วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

80

Analysis of Covariance (ANCOVA) รองศาสตราจารย ดร. มนตร พรยะกล

Email: mpiriyakul@yahoo.com, 2012

ภาควชาสถต คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยรามค าแหง

ANCOVA เปนเทคนคการศกษาเปรยบเทยบคาเฉลยโดยควบคมตวแปรอนท

มอทธพลตอตวแปรตาม เพราะหากไมควบคมเอาไวผลการศกษาอาจไมชดเจนวาการท

ตวแปรตามมความแตกตางกนในระหวางกลมของตวแปรอสระ (เชน เพศ อาย หรอ

Treatment ทใชในการทดลอง) เปนเพราะผลของ Treatment เทานนหรอวา เพราะมเหต

แทรกซอนอยางอนคอมตวแปรอนมาท าใหแตกตางกน เชน

1. ถาเราตองการเปรยบเทยบผลผลตผกทอาจเตบโตไมเทากนเมอใหปยต างสตร

กน เหตแทรกซอนอาจเปน ค า Ph ของดน ปรมาณน าฝนทตกลงในแปลงทดลอง

นอกเหนอจากปรมาณน าทใชรดแปลงผกตามปกต หรอความเขมแสง

2. ถาเราตองการเปรยบเทยบผลการฝกอบรมโดยใชวธฝกอบรมทตางกนจะมผล

ตอการเรยนรตางกนหรอไม ตวแปรรวมอาจเปนระดบความรเดมในหวขอฝกอบรม

3. ถาตองการเปรยบเทยบความภกดตอองคกรในระหวางพนกงานทมระดบการ

ศกษาตางกน ตวแปรรวมอาจเปน ความยตธรรมในองคกร การสนบสนนขององคกร

หรอการรบรภาวะผน าของผบรหาร

จากตวอยางขางตนจะเหนวาเรามความจ าเปนตองควบคมอทธพลของตวแปร

รวมเอาไวจงจะทราบผลการเปรยบเทยบทถกตอง ค าวาควบคมกคอบงคบไมใหเขามา

เกยวของ ซงคงท าไมไดเพราะตวแปรรวมยอมสงผลอยแลว ว ธควบค มจงอาจท าได 2

ทางคอ 1) หกอทธพลของตวแปรรวมออกจากคาตวแปรตาม ซงอาจหกมากนอยเพยงใด

ขนอยกบความสมพนธระหวางตวแปรตามกบตวแปรรวม ถาเกยวของมากกหกออกมาก

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

81

ถาเกยวของนอยกหกออกนอย 2) น าตวแปรรวมมารวมเปนสภาพแวดลอมการทดลอง

(ถาเปนงานทดลอง) เชนควบคมความชนเปนระดบตาง ๆ ควบคมความเขมแสงเปนระดบ

ตาง ๆ ควบคมคาของ Ph เปนระดบตาง ๆ แลวท าการทดลองตาม combination ของระดบ

เหลานน

ส าหรบกรณ One way ANCOVA ตวแบบจะเปนดงน

นนคอ

หรอ

นนคอ

จะเหนไดวาการควบคมในทนคอการหกอทธพลของ x (ตวแปรรวม) ออกจากคา

y คาของ x ทน าไปหกคอ หรอในรปคาเฉลยคอ โดยท

คอสมประสทธการถดถอยทใชเปนระดบอทธพลของ x ทมตว y ในกลมยอยของตวแปร

อสระ ซงถา มคามากเราจะหกอทธพลของ x ออกไปมาก ในทน

คอคาท i ของ y ในกลมท j

คอคาท i ของ x ในกลมท j

คอคาเฉลยรวมของ y

คอคาเฉลยรวมของ x

คอคาสมประสทธการถดถอยของสมการในกลมท j

คออทธพลของ Treatment ท j ทมตอ y

คอคาความคลาดเคลอน

จากสมการ จะพบวา

=

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

82

จะเหนไดวาความแตกตางระหวางคาเฉลย

กบ

มไดมสาเหตมาจากเฉพาะอทธพล

ของ Treatment คอ ( ) แตเพราะสวนหนงมาจากอทธพลตวแปรรวม ซงมากนอย

ขนอยกบคา ถา = 0 กแปลวาตวแปรรวมไมมอทธพล ซงหากเราควบคมอทธพลของ

ตวแปรรวมโดยหกออกจากคาของตวแปรตาม จะพบวา (ตอไปนจะใชสญลกษณ แทน

เพอแสดงใหเหนวาเราตองการให เปนคาคงท)

คราวนจะเหนไดวามเฉพาะอทธพลของ Treatment เท านนทสงผลตอความแตกตาง

ระหวางคาเฉลยของตวแปรตาม และหากเราหกอทธพลของตวแปรรวมออกจากตวแปร

ตามจะพบวา

หรอ

ซงแสดงใหเหนวาการควบคมอทธพลของตวแปรรวมหมายถงการหกอทธพลของตว

แปรรวมออกไปและสงทเหลอคออทธพลของ Treatment

สงทเปนความจ าเปนตองทราบคอเราตองทราบอยางแนชดวา x มความสมพนธ

กบ y จรงๆ (ม linear relationship) ซงทราบไดจากผลการทบทวนวรรณกรรม และระดบ

อทธพลของ x ทมตอ y ตองเหมอนเดม (คอ เทากบ เสมอในกลมยอยของตวแปร

อสระหรอทกระดบของ Treatment) เชน การศกษาเปรยบเทยบความผกพนต อองคการ

(Organization Commitment--OC) แยกตามระดบการศกษาของพนกงาน (ต ากวาปรญญา

ตร ปรญญาตร สงกวาปรญญาตร) โดยมการรบรความยตธรรมในองคก าร (perceived

organization justice--POJ ) เปนตวแปรรวม กรณนสมการความสมพนธเชงเสนระหวาง

ความผกพนตอองคกรและการรบรความยตธรรมในองคกรจะตองเปนสมการทมความ

ชน ( ) เทากนเทากบ เสมอในทกสมการคอ

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

83

กลมพนกงานทจบการศกษาระดบต ากวาปรญญาตร

กลมพนกงานทจบการศกษาระดบปรญญาตร

กลมพนกงานทจบการศกษาระดบสงกวาปรญญาตร

เสนสมการเหลานจะตองขนานกน ทตองมเงอนไขนเพราะเมอเราจะหกอทธพล

ของ POJ ออกจาก OC กสามารถกระท าไดโดยเสมอภาค มใชวากลมท 1 ถกหกมากกวา

กลมอน ( มคามากกวา) หรอกลม 2 ถกหกนอยกวากลมอน ( มค านอยกวา) ดง น

เปนตน

หรอในกรณการศกษาความภกดตอตราสนคาเปรยบเทยบระหวางลกษณะการ

รบรขาวสาร (สอมาตรฐาน, สอบรณาการ, WOM ) พบวาระดบความไว วางใจต อตรา

สนคา (brand trust--BT) มสวนเกยวของกบความภกดตอตรา (Brand Loyalty--BL) เรา

ตองหกอทธพลของ BT ออกจาก BL มเชนนนเราจะไมทราบวา BL ทแตกตางก นตาม

ลกษณะการรบรขาวสารนนมความแตกตางกนจรงหรอไมจรงโดยมไดมเหตผลมาจาก

ปจจยแทรกซอนอยางอน ซงการจะหกอทธพลของ BT ออกจาก BL เราตองตรวจดดวย

วา BT มอทธพลตอ BL ในทกกลมผบรโภค (3 กลมตามลกษณะการรบรขาวสาร) เหมอน

กน ( คอ ) หากไมเปนเชนนหามหกอทธพลของ BT ออกจาก BL เพราะจะไม

เปนธรรมในระหวางกลม และหากมตวแปรอนทมอทธพลตอ BL อกเชน ความพงพอใจ

และทศนคตตอตรา กใหหกอทธพลของความพงพอใจและทศนะคตตอตราออกจาก BL

โดยใหปฏบตแบบเดยวกนกบกรณของ BT

นอกจากนเรายงตองตรวจสอบดวยวาขอตกลงเรอง Stability of Variance และ

Normality ยงคงเปนจรงเชนเดยวก บการวเคราะห Analysis of variance (ANOVA) ซง

หากขอตกลงนไมเปนจรงก ใหแปลงขอมล เสยกอนมเชนนนจะยงใช ANOVA

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

84

ไมได วธแปลงขอมลทงายและมกแกปญหาไดดคอ log transformation คอแปลง Yij เปน

ln (Yij) แลวด าเนนการตอไปตามปกต

ข นตอนการวเคราะห ANCOVA มดงน

1. ทบทวนวรรณกรรมวาตวแปรใดบางเปนตวแปรควบคม (Controlled variable

หรอ covariate) และตวแปรตามมคาแตกตางกนตามตวแปรอสระใด (ตวแปรอสระจะ

เปนตวแปรกลม) ท งนเพอใหผลการศกษาของเราเทยบไดกบการศกษาในอดตหรอใน

บรบทอน

2. ตรวจสอบขอตกลงเรอง Stability of Variance และ Normality หากขดแยงให

แปลงขอมลโดยอาศย log transformation หรอ Box-Cox transformation

3. วเคราะหสมการถดถอยระหวางตวแปรตามกบตวแปรควบคมแลวทดสอบวา

ตวแปรควบคมในภาพรวม (ยงไมแยกตามกลมตวแปรอสระ) มอทธพลตอตวแปรตาม

หรอไม

4. วเคราะหสมการถดถอยระหวางตวแปรตามกบตวแปรควบคมแยกตามกล ม

ของตวแปรอสระ (นคอ interaction ระหวางตวแปรอสระกบตวแปรควบคม) แลวทดสอบ

วาสมประสทธถดถอยของกลมตาง ๆ เหลานนตางกนหรอไม หากพบวาตางกนก ไมให

น าตวแปรควบคมตวนนมารวมวเคราะหเพราะหากน าอทธพลของตวแปรรวมมาหกออก

จากคาของตวแปรตามจะไมเกดความเปนธรรมเพราะหกมากนอยไมเทากน

5. หกอทธพลของตวแปรรวมออกจากค าของตวแปรตามแลวเปรยบเทยบ

คาเฉลยในระหวางกลม

การวเคราะหขอมลดวยโปรแกรม SPSS ท าไดดงน

1. ท า Data entry ซง treatment อาจเปน categorical variable ในทนจะใชไฟล

Employee data.sav โดยก าหนดใหตวแปรตามคอ current salary ตวแปรอสระคอ เพศ

(sex) ตวแปรรวมคอเงนเดอนเมอแรกจาง (beginning salary)

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

85

2. Analyze > general linear model > univariate

สงตวแปรตามในชอง Dependent variable

สงตวแปร Treatment ในชอง fixed factor (s)

สงตวแปร Covariate ในชอง covariate (s)

กดปม Option ตอบ dialog โดย check ท Homogeneity test เพอทดสอบ

Stability of variance ซงท าไดหลายวธ โปรแกรม SPSS ใช Levene’s Test

ถา Accept Ho: ใหท าข นท 3 ถาไม accept ใหแปลงขอมล

โดยอาจใช log transformation

หมายเหต Levene’s Test คอสถตทดสอบ (test statistics) ทมงทดสอบ homogeneity of

variance โดยทถา W ใหคา p-value ต ากวาระดบนยส าคญทก าหนด (0.10, 0.05, 0.01)

ใหสรปวา variance ไมคงท ใหนกวจยแกปญหาเสยกอน เชน แปลงขอมลหรอเปลยนไป

ใชตวสถตเปรยบเทยบคาเฉลยสตรอนทไมตองการขอตกลงน

W =

และ Zij= , k = จ านวนกลม

ยอย n = จ านวนตวอยางรวม ni = จ านวนตวอยางในกลมยอย

3. ไปท Dialog แรกกดปม model เลอก custom โดยสงตวแปร treatment และ

covariate แยกกน กบสงตวแปร treatment และ covariate พรอมกน

การสง Covariate เพอตรวจสอบวา Ho: = 0 หรอไม (คอตวแปรรวมมอทธพล

ตอตวแปรตามหรอไม) ถาไมมอทธพลกใหใช ANOVA ทดสอบสมมตฐานไดโดยไมตอง

หวงเรองตวแปรควบคม แตถามอทธพล (p-value .05) ใหตรวจสอบวาตวแปรควบคม

มอทธพลสม าเสมอกนในทกระดบของตวแปรอสระหรอไม

การสง Treatment และ covariate พรอมกน คอเลอกตวแปรอสระและตวแปร

รวมพรอมกน แลวสงลงบอกซ model เพอตรวจสอบวา Ho: 1 = 2= …= k= ถา

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

86

ปฏเสธ Ho: 1 = 2= …= k= (คอ p-value .05) แสดงวาตวแปรรวมมผลไม

สม าเสมอกนในทกระดบของตวแปรอสระกใหเลกไมตองน าตวแปรรวมมาพจารณา

สรปกคอใหวเคราะหตอไปเฉพาะเมอปฏเสธ Ho: = 0 (คอ p-value .05) และ

ยอมรบสมมตฐาน Ho: 1 = 2= …= k= (คอ p-value ≥ .05)

4. วเคราะห ANOVA คอท ากระบวนการหกอทธพลของตวแปรรวมออกจาก

คาตวแปรตาม ใหเรมตนใหมดงน

1) Analyze > general linear model > univariate ตอบ dialog โดยสงตวแปรตาม

ในชอง dependent variable สงตวแปร Treatment ในชอง fixed factor สงตวแปรรวมใน

ชอง covariate

2) กดปม Model เลอกใช full factorial (เปน default อยแลว)

3) กดปม Option สงตวแปร Treatment ลงชอง display means for: ใหเชคเครองหมาย

ถกในชอง ⎕หนา compare main effect เลอก Bonferroni และในเฟรม display ใหเลอก

Descriptive statistics

หมายเหต Bonferroni correction ใชส าหรบปรบระดบนยส าคญกรณ multiple mean

comparison เพอใหระดบนยส าคญของการเปรยบเทยบรวม (whole family of test) ยงคง

เทาเดม โดยก าหนดใหระดบนยส าคญของการเปรยบเทยบเทากบ โดยท m คอจ านวน

คเปรยบเทยบซงยงคงมผลใหระดบนยส าคญรวมเทาเดมคอเทาก บ ท ง นเปนไปตาม

Bonferroni inequality คอ Pr

ทดลองรนโปรแกรมดดงตอไปน ปญหาวจยคอผมเงนไดมรายไดตางกนตามเพศ

ของผมเงนไดหรอไม และถกควบคมดวยรายไดเมอแรกจางหรอไม จากไฟล Employee

data.sav ใหสงตวแปร salary ลงในชอง dependent สงตวแปร sex ลงในชอง Fixed Factor

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

87

ผลการวเคราะหแสดงใหเหนวา F = 119.798 มคา p-value = 0.000 แสดงวาชายและหญง

มรายไดตางกน

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

88

คราวนลองควบคมเงนเดอนเมอแรกจางเอาไวโดยทดสอบดกอนวาเงนเดอนเมอแรกจาง

มอทธพลตอรายไดปจจบนหรอไมและมอทธพลคงทหรอไม

พบวาคา F = 376.372 มคา p-value = 0.000 แสดงวาเงนเดอนเมอแรกจางมผลกระทบตอ

เงนเดอนปจจบน และทบนทด sex*salbegin ซงใชทดสอบ Ho: 1 = 2 = พบวาตว

สถต F มคาเทากบ 0.344 มคา p-value = 0.558 แสดงวายอมรบสมมตฐานดงกลาว แสดง

วา salbegin มอทธพลตอ salary คงทหรอสม าเสมอในท ง 2 เพศของผมเงนได จากนใหรน

โปรแกรมใหมอกครงโดยควบคมตวแปรเงนเดอนเมอแรกจางดงน

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

89

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

90

จากตารางจะเหนไดวาผมเงนไดจะมรายไดตางกนระหวางเพศโดยพบวารายไดเมอแรก

จางสงผลกระทบตอรายไดปจจบน ในตอนแรกพบวารายไดตางกนมากคอชายมรายได

เฉลยเทากบ $41,441 หญงมรายไดเฉลย $26.032 ซงแตกตางกนมาก คา F = 119.798 ซง

สงมาก แสดงวาชายและหญงมรายไดทแตกตางกนเดนชด เมอตรวจพบวารายไดเมอแรก

จางสงผลใหเกดความแตกตางดานรายไดโดยสงผลกระทบคอนขาง มากและรายไดเฉลย

ตางกนถง $15,409 นาสงสยวาทจรงแลวชายและหญงอาจมไดมรายไดตางกนถงขนาดนน

หรออาจไมตางกนเลยกไดเพราะประเทศทเจรญแลวอาจไมกดกนทางเพศ แตเมอลองหก

อทธพลของรายไดเมอแรกจางออกกยงพบวารายไดปจจบนยงคงต างก นอยแต ต างก น

นอยลง มคา F = 6.162 ซงเลกลงมาก แปลวาไมตางกนมาก โดยพบวาชายมรายไดเฉลย

$35,366 หญงมรายไดเฉลย $32,289 ซงตางก นเพยง $3,077 ท ง นรายไดเมอแรกจาง

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

91

สามารถควบคมรายไดปจจบนไดรอยละ 77.8 (R2 = 0.778) แตผลการทดสอบขอตกลง

เรอง stability of variance ซงทดสอบ Ho:

ดวย Levene’s Test พบวา F =

33.01 มคา p-value = 0.000 แสดงวาปฏเสธ Ho:

จงแก ปญหาโดยการ

แปลงคาตวแปรตามและตวแปรรวมดวย log transformation คอ salary lnsalary และ

salbeg lnsalbeg และด าเนนการใหมดงภาพพบวาผลการศกษายงคงเหมอนเดมแตไม

ขดกบขอตกลง การแปลงแบบนจะมผลใหค าเฉลยและ SD เปนค า log ใหแปลงค า

คาเฉลยและ SD กลบสคาเดมมเชนนนจะอานผลผด

สรป

ANCOVA เปนเทคนคการวเคราะหขอมลเพอศกษาเปรยบเทยบคาเฉลยระหวาง

กลมประชากรโดยผวจยตองควบคมปจจยอนทสมพนธกบตวแปรเปาหมายเอาไวเพอให

เหนอยางชดเจนวาตวแปรเปาหมายในระหวางกลมประชากรตางกนจรง ๆ มใชเพราะม

อทธพลอนแฝงอย สงเกตจากตวอยางขางตนจะเหนวาเมอควบคมตวแปรรวมคอรายได

เมอแรกจางเอาไวจะพบวาตวแปรเปาหมายคอรายไดในปจจบนยงคงแตกตางกนอยเชนเดม

แตตางกนไมมากเทาเมอยงไมไดควบคมตวแปรรวมเอาไว ผลการศกษาดวย ANCOVA จง

เกดขนใน 2 มตคอท าใหทราบถงความแตกตางและทราบถงสาเหต จงเปนวทยาสถตท

สามารถสนองการศกษาเชงเปรยบเทยบและการศกษาเชงสาเหตไดในเวลาเดยวกน ขอท

วารสารรามค าแหง ISNN 0125-300 X ปท 29 ฉบบท 1 มกราคม-มถนายน 2555 สาขาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

92

ควรเขาใจกคอ อยาสบสนระหวางสถตพรรณนากบสถตอนมาน ตามตวอยางขางตน

สถตพรรณนาจะบอกใหเราทราบวารายไดปจจบนของชายและหญงเปนเทาไร สถต

อนมานคอ ANCOVA จะบอกใหทราบวาชายและหญงมรายไดตางกนจรง (significantly)

หรอไม และมปจจยใดแฝงอยคอแอบสงผลใหมองเหนวาตางกนท งทอาจไมตางกนกได

บรรณานกรม

SPSS Inc. (2010). IBM SPSS Statistics19 Command Syntax Reference

Johnson, A. R. and Wichern, D. W. (1998). Applied Multivariate Statistical

Analysis 2, 4th edition, Prentice-Hall, NJ.

Hair Jr., J. F., Black, W. C., Babin, B. J. and Anderson, R. F.(2010)

Multivariate Data Analysis: A Global Perspective, 7th edition, Pearson Prentice

Hall, NJ.