1

Analyse de la variance à un facteur

Comparaison de k échantillons  indépendants au niveau des moyennes

2

Cas Avalon

Question :Le montant moyen des achats de produitscosmétiques par les clientes d’Avalon a-t-

ilévolué de manière significative au coursdes trois années 90, 91 et 92?Prendre = 0.05.

3

AvalonRésultats statistiques

Report

PURCHASE

11.0582 100 4.2451 18.021

13.8185 100 4.9755 24.756

18.9334 100 7.2630 52.752

14.6034 300 6.5046 42.310

YEAR1990

1991

1992

Total

Mean N Std. Deviation Variance

4

AvalonRésultats graphiques

100100100N =

YEAR

199219911990

PU

RC

HA

SE

40

30

20

10

0

1452319682564595

83

61

100100100N =

YEAR

19921991199095

% C

I PU

RC

HA

SE

22

20

18

16

14

12

10

8

5

Comparaison de k moyennes

Y = variable numérique étudiéeX = variable définissant k populations

Les k échantillons : - Dans la population i :

effectif ni, moyenne , écart-type si

- Global :n = ini , moyenne générale

k

iii nyny

1

/

iy

6

Les hypothèses

Yi = Variable Y étudiée sur la population i

Les Hypothèses :

Chaque Yi suit une loi normale N(i,)

7

Estimation de la variance commune 2

kn

snsns kk

22

112 )1(...)1(

où n = n1 + . . . + nk

s2 = Within groups Mean-Square

8

Formules de décomposition

Décomposition de la somme des carrés totale

Décomposition des degrés de liberté

i in nk k k2 2 2

ij i i ji ii 1 j 1 i 1 i 1 j 1

(y y) n (y y) (y y )

n-1 = (k-1) + (n-k)

Somme descarrés totale(Total)

Somme descarrésinter-classes(Between)

Somme descarrésintra-classes(Within)

9

Mesure de la force de la liaison entre Y et X

i

k2

i i2 i 1

nk2

jii 1 j 1

n (y y)Somme des carrés inter-classes

Somme des carrés totale(y y)

Le rapport de corrélation

10

Test de Comparaison dek moyennes 1, 2, …, k

Test :

H0 : 1 = … = k

H1 : Au moins un i

différent des autres

Statistique utilisée :

Règle de décision : On rejette H0 au profit de H1,

au risque de se tromper, si

F F1-(k-1,n-k)

Niveau de signification (NS) du F observé :Plus petite valeur de

conduisant au rejet de H0 :

NS = : F = F1-(k-1,n-k)

k

iii

k

iii

knsn

kyyn

F

1

2

1

2

)/()1(

)1/()(

Fractile de Fisher-Snedecor (table 5)

11

Niveau de signification du F observé

Loi de Fisher-Snedecor F(2,297)

F

43210

f(F

)

1.2

1.0

.8

.6

.4

.2

0.0

Loi F(k-1, n - k)

F observé

Niveau de signification

12

AvalonRésultats statistiques

Report

PURCHASE

11.0582 100 18.021

13.8185 100 24.756

18.9334 100 52.752

14.6034 300 42.310

YEAR1990

1991

1992

Total

Mean N Variance

ANOVA

PURCHASE

3193.341 2 1596.671 50.142 .000

9457.301 297 31.843

12650.642 299

Between Groups

Within Groups

Total

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

Measures of Association

.502 .252PURCHASE * YEAREta Eta Squared

13

Comparaison multipleMéthode de Scheffé

On rejette H0 : i = j au risque global

de toutes les comparaisons si

)11

(),1()1( 21

ji

ji

nnsknkFk

yy

14

Avalon : Résultats des comparaisons multiples

PURCHASE

Scheffea

100 11.0582

100 13.8185

100 18.9334

1.000 1.000 1.000

YEAR1990

1991

1992

Sig.

N 1 2 3

Subset for alpha = .05

Means for groups in homogeneous subsets are displayed.

Uses Harmonic Mean Sample Size = 100.000.a.