ANALIZA NUMERIČKIH NIZOVA (RAZDIOBA FREKVENCIJA)

Mjere disperzije

Prosjek aritmetičkih sredina ( )

• Prosjek aritmetičkih sredina je aritmetička sredina aritmetičkih sredina i izračunava se kao vagana aritmetička sredina srednjih vrijednosti

X

1

1

k

i i

i

k

i

i

X N

X

N

Prosjek postotaka ( )

• Prosječan postotak izračunava se ili harmonijskom ili aritmetičkom sredinom .

• Vagana aritmetička sredina se koristi kad su zadani postoci (P) i ukupne frekvencije (C), tj. frekvencije koje se nalaze u nazivniku pri izračunavanju postotaka

1

1

k

i i

i

k

i

i

PC

P

C

P

Prosjek relativnih brojeva koordinacije ( )

• Analogno prethodnim srednjim vrijednostima prosjek relativnih brojeva koordinacije dobiva se po formuli za vaganu sredinu

1

1

k

i i

i

k

i

i

R B

R

B

R

Mjere disperzije

• Disperzija je pojam za raspršenost članova numeričkog niza od neke srednje vrijednosti.

• Mjere disperzije su veličine kojim se utvrđuje veličina raspršenosti članova numeričkog niza od neke srednje vrijednosti, odnosno utvrđuje reprezentativnost srednjih vrijednosti.

Apsolutne mjere disperzije

• Izražene su u istim jedinicama mjere kao i numeričko obilježje.

– Raspon varijacije

– Varijanca

– Standardna devijacija

– Interkvartil

• Njihov je nedostatak što ne omogućuju usporedbu disperzije raznorodnih nizova.

Relativne mjere disperzije

• Izražene su u relativnim brojevima:

– koeficijent varijacije

– koeficijent kvartilne devijacije

Raspon varijacije (R)

• je interval između najveće i najmanje vrijednosti numeričkog obilježja

R = xmax - xmin

Varijanca (2)

• Aritmetička sredina kvadrata odstupanja vrijednosti numeričkog obilježja od njihove aritmetičke sredine

• Izražena je u istim jedinicama mjere kao i numeričko obilježje.

Standardna devijacija ()

• Standardna devijacija je prosječno odstupanje pojedinačnih vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine.

• Ako je odstupanje maleno to ukazuje na malu raspršenost, odnosno disperziju članova numeričkog niza od aritmetičke sredine iz čega slijedi dobra reprezentativnost aritmetičke sredine.

• Kad je disperzija velika, reprezentativnost aritmetičke sredine je slaba.

Standardna devijacija se izračunava zavisno od tipa numeričkog niza:

• Tip I.

• Tip II. I III.

2

1

( )N

i

i

x X

N

2

2

1 1

1 1

n n

i i i i

i i

n n

i i

i i

f x f x

f f

gdje je:

– standardna devijacija

N – ukupan broj jedinica

xi – vrijednost numeričkog obilježja (ako

je obilježje u razredima tada xi označava

razrednu sredinu, i=1,...,n)

X – aritmetička sredina

fi – frekvencija, i=1,...,n

Primjer Tabela 1 Stanovništvo prema starosti i spolu, procjena sredinom 2008. (u tisućama)

Starost Ukupno Žene Muškarci

0-9 428282 208466 219816

10-19 488102 253224 264878

20-29 609711 298979 310732

30-49 1241237 619907 621330

50-64 870938 448197 422741

65-74 450122 257122 193000

75-84 266503 173415 93088

85+ 49613 37176 12437

Ukupno 4434508 2296486 2138022

Primjer Tabela 1 Stanovništvo prema starosti i spolu, procjena sredinom 2008. (u tisućama)

Starost Prave granice

Xi Ukupno Žene Muškarci Xi*fi

0-9 0-10 5,0 428282 208466 219816 2141410

10-19 10-20 15,0 488102 253224 264878 7321530

20-29 20-30 25,0 609711 298979 310732 15242775

30-49 30-50 40,0 1241237 619907 621330 49649480

50-64 50-65 75,5 870938 448197 422741 65755819

65-74 65-75 70,0 450122 257122 193000 31508540

75-84 75-85 80,0 266503 173415 93088 21320240

85+ 85-110 97,5 49613 37176 12437 4837267,5

Ukupno 4434508 2296486 2138022 197777061,5

Aritmetička sredina: X = 44,59955

Primjer Tabela 1 Stanovništvo prema starosti i spolu, procjena sredinom 2008. (u tisućama)

Starost Prave granice

Xi Ukupno Žene Muškarci Xi*fi Xi^2*fi

0-9 0-10 5,0 428282 208466 219816 2141410 10707050

10-19 10-20 15,0 488102 253224 264878 7321530 109822950

20-29 20-30 25,0 609711 298979 310732 15242775 381069375

30-49 30-50 40,0 1241237 619907 621330 49649480 1985979200

50-64 50-65 75,5 870938 448197 422741 65755819 4964564335

65-74 65-75 70,0 450122 257122 193000 31508540 2205597800

75-84 75-85 80,0 266503 173415 93088 21320240 1705619200

85+ 85-110 97,5 49613 37176 12437 4837267,5 471633581,3

Ukupno 4434508 2296486 2138022 197777061,5 11834993491

Standardna devijacija:

26,071452

2

Xf

xf

i

ii

Koeficijent varijacije (V)

• relativna mjera disperzije izražena u % koja se izračunava prema formuli

V = / 100

• Veći koeficijent varijacije pokazuje veću

raspršenost, odnosno manju reprezentativnost aritmetičke sredine.

• Koeficijent varijacije može i prijeći vrijednost 100% u slučajevima kad se radi o veoma heterogenom nizu.

X

Interkvartil (Q3 – Q1)

• Interkvartil je razlika između gornjeg i donjeg kvartila.

• To je mjera disperzije kojom se utvrđuje reprezentativnost medijana kao srednje vrijednosti.

• Donji kvartil (Q1) je vrijednost numeričkog obilježja za koju vrijedi da 25% (N/4) jedinica u nizu ima vrijednost numeričkog oblježja jednaku ili manju od donjeg kvartila i 75% (3N/4) jedinica vrijednosti numeričkog obilježja jednaku ili veću od donjeg kvartila.

• Gornji kvartil (Q3) je vrijednost numeričkog obilježja za koju vrijedi da 75% (3N/4) jedinica u nizu ima vrijednost numeričkog oblježja jednaku ili manju od gornjeg kvartila i 25% (N/4) jedinica s obilježjem jednakim ili većim od gornjeg kvartila.

• Raspon između donjeg i gornjeg kvartila je interval unutar kojeg se kreće vrijednost numeričkog obilježja za 50% jedinica u nizu, tj. između Q1 i Q3 nalazi se medijan.

• Što je raspon između donjeg i gornjeg kvartila manji, medijan je reprezentativniji jer je zgusnutost oko medijana veća, i obrnuto.

Izračunavanje interkvartila

• analogno izračunavanju medijana, samo što se za donji kvartil Q1 polazi od N/4 jedinica, a za Q3 od 3N/4 jedinica.

• Za treći tip numeričkog niza koriste se formule:

3 1

1

1 1

kvart

1

3 1

kvart

/ 4

3 / 4

QI Q Q

N fQ L i

f

N fQ L i

f

gdje je:

IQ – interkvartil

Q1 – donji kvartil

Q3 – gornji kvartil

N – ukupan broj jedinica

L1 – donja granica kvartilnog razreda

1f – zbroj frekvencija u kumulativnom nizu do

kvartilnog razreda, ne uključujući frekvenciju

kvartilnog razreda ( fkvart)

i – veličina kvartilnog razreda.

Koeficijent kvartilne devijacije (VQ)

• relativna mjera disperzije i zauzima vrijednosti od 0 do 1

• Što je VQ bliže 0, disperzija je manja a medijan reprezentativniji, i obrnuto.

3 1

3 1

Q

Q QV

Q Q

gdje je :

VQ – koeficijent kvartilne devijacije

Q1 – donji kvartil

Q3 – gornji kvartil.

ANALIZA VREMENSKIH NIZOVA

Grafičko prikazivanje. Indeksi. Srednje vrijednosti.

Vremenski niz • Dobiva se grupiranjem statističkih jedinica prema

vremenskom obilježju • Vremensko obilježje je svojstvo statističke jedinice kojim je

izraženo vrijeme na koje se odnosi statistička jedinica. • Kod vremenskog niza se statističke jedinice označavaju sa Yi,

i = 1,…, N. • Vremenska jedinica može biti:

– 1 godina – 1 dan – 1 sat – 1 petogodišnje razdoblje – … .

• Razdoblje je širi pojam od vremenske jedinice i predstavlja skup vremenskih jedinica, razdoblje od 2000. do 2005. godine se odnosi na 2000.,2001., …, do uključivo 2005. godinu.

Vrste vremenskih nizova:

• Intervalni vremenski niz - vrsta vremenskog niza kod kojeg se frekvencije dobivaju postepenim zbrajanjem unutar intervala odabrane vremenske jedinice (1 dan, 1 godina,…).

Godina Proizvodnja

1951. 434 1952. 442 1953. 515 1954. 616 1955. 805 1956. 887 1957. 1049 1958. 1119 1959. 1299

Tabela 1 Proizvodnja čelika u FNRJ u tisućama tona

• Trenutačni vremenski niz je vrsta vremenskog niza kod kojeg zbrajanje frekvencija nema realnog smisla pa se frekvencije vremenskog niza, odnosno broj statističkih jedinica dobiva snimanjem pojave u nekom određenom trenutku (01.siječnja, krajem mjeseca, sredinom godine,…).

Godina Broj konja u

tisućama

1955. 1242 1956. 1296 1957. 1307 1958. 1296 1959. 1274 1960. 1272

Tabela 4 Broj konja u FNRJ u tisućama grla na dan 15. siječnja

Vrste grafičkih prikaza:

• Intervalni vremenski niz:

– površinski grafikon

– linijski grafikon

• Trenutačni vremenski niz:

– linijski grafikon

• Površinski grafikon je vrsta grafičkog prikaza u kojem se stupac podiže iznad baze određene vremenske jedinice do visine koja je određena frekvencijom vremenskog niza.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1951. 1952. 1953. 1954. 1955. 1956. 1957. 1958. 1959.

Proizvodnja čelika u tonama

Proizvodnja

• Linijski grafikon je vrsta grafičkog prikaza koji predstavlja liniju dobivenu spajanjem točaka kod kojeg je svaka točka na grafikonu podignuta nad sredinom vremenske jedinice (ako je vremenski niz intervalni), odnosno iznad onog mjesta na apscisi koje se odnosi na trenutak kada je pojava snimljena (ako je vremenski niz trenutačni) do visine koja je određena frekvencijom vremenskog niza.

0

500

1000

1500

1951. 1952. 1953. 1954. 1955. 1956. 1957. 1958. 1959.

Proizvodnja čelika u tonama

Proizvodnja

1200

1250

1300

1350

1955. 1956. 1957. 1958. 1959. 1960.

Broj konja u tisućama

Broj konja u tisućama

• Kada su vremenske jedinice nejednake, potrebne su nam korigirane frekvencije (samo za intervalne nizove):

• Kumulativni niz je niz koji se dobiva postepenim zbrajanjem frekvencija vremenskog niza - on se može dobiti samo za intervalni niz jer za trenutačni niz to zbrajanje nema realnog smisla

YY i

ic 0

gdje je: Yc – korigirana frekvencija i0 – osnovna veličina vremenske jedinice na koju se svode sve ostale jedinice i – veličina vremenske jedinice koja pripada frekvenciji Y koja se korigira.

• Vodoravni prekid grafikona (samo za linijske grafikone):

– preporuča se kad se frekvencije kreću u jednom intervalu (rasponu), tako da se vodoravnim prekidom na osi y dobiva veća duljina na ordinati za uži interval pa se zbog toga postiže zorniji prikaz kretanja promatrane pojave

• Okomiti prekid grafikona (za površinske i linijske grafikone)

– prekid je paralelan s osi y, a koristi se kada je zadan diskontinuirani niz vremenskih jedinica (1998., 2000.-2002.) ili kada su vremenske jedinice različite (2002.-2007., a zatim mjeseci 2008.).

• Ako je zadan intervalni vremenski niz sa čestim prekidima između vremenskih jedinica tada se preporuča površinski grafikon s razmakom između stupaca (bez oznake prekida)

Grafičko uspoređivanje vremenskih nizova

• Moguće je pomoću aritmetičkog ili logaritamskog mjerila na osi y.

• Postoje tri slučaja: – statističke jedinice su izražene u istim jedinicama

mjere aritmetičko mjerilo na osi y, što znači isti razmak između jedinica mjere (0-100, 500-600), …

– statističke jedinice su izražene u istim jedinicama mjere, ali na različitoj razini logaritamsko mjerilo na osi y,

– statističke jedinice su izražene u različitim jedinicama mjere logaritamsko mjerilo na osi y.

Pravila za konstruiranje logaritamskog mjerila:

1. ne može početi od nule, jer je , a najmanji broj s kojim se počinje je 1

2. logaritamsko mjerilo završava s 10 puta većim brojem

3. duljina logaritamskog mjerila je proizvoljna i ovisi o veličini grafikona, a za naše uvjete preporuča se veličina od 10 cm

4. interval od najmanjeg do najvećeg broja popunjava se s brojevima koji se nalaze u tom intervalu koristeći logaritme.

Pravila za konstruiranje logaritamskog mjerila:

5. preporuča se formirati osnovni logaritamski ciklus od 1 do 10

1. log 1 = 0

2. log 2 = 0,30

3. log 3 = 0,48

4. log 4 = 0,60

5. log 5 = 0,70

6. log 6 = 0,78

7. log 7 = 0,85

8. log 8 = 0,90

9. log 9 = 0,95

10. log 10 = 1

6. osnovni logaritamski ciklus se koristi za preračunavanje ciklusa koji odgovara zadanim frekvencijama (100-1000, 35-350, …). Ako su frekvencije u intervalu od 13-200 tada treba formirati dva ciklusa: od 10-100 i od 100-1000.

Indeksi

• relativan broj koji se dobije uspoređivanjem dviju ili više frekvencija vremenskog niza ( frekvencije Yi, i = 1,2,…, N)

• gdje su Y1 i Y2 frekvencije jedne te iste pojave, ali koje

pripadaju različitim vremenskim jedinicama. Frekvencija koja je baza usporedbe nalazi se u nazivniku.

IY

Y

1

2

100

• Indeks je neimenovan broj i on pokazuje koliko se frekvencija u brojniku razlikuje od frekvencije u nazivniku, a ta je razlika izražena u postocima.

• Ako je:

• Primjerice: – I = 250 znači da je Y1 > Y2 za 150% ili 2,5 puta

– I = 100 znači da je Y1 = Y2

– I = 87 znači da je Y1 < Y2 za 13 %.

Y Y I

Y Y I

Y Y I

1 2

1 2

1 2

100

100

100

Vrste indeksa:

• Individualni – verižni i bazični

• Skupni

• Individualni indeks je indeks u kojem se jedna frekvenciju (u brojniku) uspoređuje s jednom frekvencijom (u nazivniku) za razliku od skupnog indeksa kod kojega se više frekvencija jedne vremenske jedinice uspoređuju s više jedinica druge vremenske jedinice odabrane za bazu usporedbe.

Verižni indeksi

• frekvencija neke vremenske jedinice uspoređuje s frekvencijom prethodne vremenske jedinice:

NiY

YiI

i

,...,2,1001

Primjer:

Godina Proizvodnja I 1951. 434 / 1952. 442 1,018433 1953. 515 1,165158 1954. 616 1,196117 1955. 805 1,306818 1956. 887 1,101863 1957. 1049 1,182638 1958. 1119 1,06673 1959. 1299 1,160858

Grafički prikaz verižnih indeksa

Bazni indeksi

• Proizvoljno se odabire ili je zadana vremenska jedinica za bazu usporedbe; u brojniku je frekvencija i-te vremenske jedinice, a u nazivniku frekvencija one vremenske jedinice koja je odabrana za bazu usporedbe:

IY

Y

i

B

100

Primjer:

• Proizvodnja za 1939. godinu je 235 tisuća tona. Bazni indeksi u odnosu na 1939. godinu:

Godina Proizvodnja I 1951. 434 1,846809 1952. 442 1,880851 1953. 515 2,191489 1954. 616 2,621277 1955. 805 3,425532 1956. 887 3,774468 1957. 1049 4,46383 1958. 1119 4,761702 1959. 1299 5,52766

Grafički prikaz baznih indeksa:

0

100

200

300

400

500

600

1951. 1952. 1953. 1954. 1955. 1956. 1957. 1958. 1959.

Indeks proizvodnje u odnosu na 1939. godinu

Preračunavanje indeksa • prevođenje baznih indeksa u verižne i obrnuto ili

prevođenje baznih s jedne vremenske jedinice na drugu: – verižni indeksi u bazne indekse na bazi prve vremenske

jedinice:

– bazni indeksi (na bazi prve vremenske jedinice) na bazu

neke druge vremenske jedinice

– bazni indeksi (na bazi prve vremenske jedinice) verižne indekse

100113

4

2

3

1

2 Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y i

i

i

100100100: 1

111

B

i

B

iBi

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

100100100:11

1

11

1

1

i

i

i

iii

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Skupni indeksi

• Kod skupnih indeksa se javlja mogućnost da se usporedi više frekvencija jedne vremenske jedinice sa više frekvencija druge vremenske jedinice.

• Te se frekvencije odnose na više pojava, ali samo onih čije uspoređivanje ima smisla

• Od skupnih indeksa najčešći je indeks vrijednosti proizvodnje:

– IV – indeks vrijednosti proizvodnje

– Vrijednost proizvodnje izvještajnog razdoblja p1·q1 , 1 = izvještajno razdoblje

– Vrijednost proizvodnje baznog razdoblja p0·q0 , 0 =bazično razdoblje

I

p q

p qV

1 1

0 0

100