Analisis Model Penyebaran Virus Demam Berdarah Dengue pada Tubuh Manusia
-
Upload
nurul-ulfah -
Category
Education
-
view
430 -
download
11
Transcript of Analisis Model Penyebaran Virus Demam Berdarah Dengue pada Tubuh Manusia
1
MODEL TRANSMISI
PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE
Nita Jayanti, Nurul Ulfah, dan Tyan Retsa Putri
Matematika, FMIPA Universitas Negeri Jakarta
ABSTRAK
Demam Berdarah Dengue merupakan penyakit infeksi yang disebabkan oleh virus
dengue.Demam Berdarah Dengue termasuk dalam kelompok arthropod borne
diseases dengan Nyamuk Aedes aegypti betina sebagai vector. Transmisi
penyakit Demam Berdarah Dengue dimodelkan secara matematika, selanjutnya
akan ditentukan nilai bilangan reproduksi dasar sebagai parameter untuk
mengetahui tingkat penyebaran penyakit Demam Berdarah Dengue.
Kata Kunci: model DBD, analisis kestabilan, bilangan reproduksi dasar
I. PENDAHULUAN
Penyakit Demam Berdarah Dengue masih menjadi salah satu jenis
penyakit yang belum dapat diatasi di Indonesia. Menurut perkiraan badan
kesehatan dunia (WHO) setiap 20 menit sekali, seorang meninggal akibat
penyakit ini. Demam berdarah dengue tidak menular melalui kontak manusia
dengan manusia, melainkan ditularkan melalui gigitan nyamuk Aedes aegypti dan
Aedes albopictus. Kedua jenis nyamuk ini terdapat hampir di seluruh daerah di
Indonesia, kecuali di tempat-tempat dengan ketinggian lebih dari 1000 meter di
atas permukaan laut (Wahono et al., 2004).
Penyakit Demam Berdarah Dengue atau Dengue Haemorrhagic Fever
(DHF) adalah penyakit yang disebabkan oleh virus Dengue. Virus ini memiliki
empat serotype yang dikenal dengan DEN-1, DEN-2, DEN-3, dan DEN-4.
Keempat serotype ini menimbulkan gejala berbeda-beda jika menyerang manusia.
Serotype yang menyebabkan infeksi paling berat di Indonesia yaitu DEN-3.
2
Infeksi oleh salah satu jenis serotype ini akan memberikan kekebalan seumur
hidup tetapi tidak menimbulkan kekebalan terhadap serotype lain. Sehingga
seseorang yang hidup di daerah endemis DBD dapat mengalami infeksi sebanyak
4 kali seumur hidupnya.
Transmisi penyakit Demam Berdarah Dengue dapat dimodelkan secara
matematika yang selanjutnya akan ditentukan nilai bilangan reproduksi dasar
sebagai parameter untuk mengetahui tingkat penyebaran penyakit Demam
Berdarah Dengue.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem Kompartemen
Sistem kompartemen merupakan sebuah susunan kerja atau proses yang
menunjukkan aliran individu dari satu kompartemen ke kompartemen lainnya
seperti saat individu tersebut sehat, tertular penyakit atau sembuh dari penyakit.
Berikut ini adalah contoh sederhana bentuk sistem kompartemen:
Gambar 1. Kompartemen
2.2 Bilangan Reproduksi Dasar
Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu
parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah Bilangan Reproduksi
Dasar (Basic Reproduction Number).
Bilangan Reproduksi Dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya
rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang
berlangsung didalam populasi susceptible. Namun adapula yang mengartikan
rasio atau perbandingan yang menunjukkan jumlah individu susceptible yang
menderita penyakit yang diakibatkan oleh satu individu infected.
𝑌 𝑋 𝑘
𝑞 𝑟
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑌𝑋
3
Jika model hanya mempunyai dua titik kesetimbangan yaitu titik
kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik, maka tidak
terjadi endemik jika dan terjadi endemik jika .
2.3 Matriks Pembangkit
Matriks pembangkit dilambangkan dengan . Matriks ini digunakan untuk
menentukan nilai-nilai . Nilai-nilai dicari dengan menentukan nilai
modulus terbesar dari , yaitu . Matriks merupakan matriks
tak negative, sehingga nilai-nilai eigennya juga tak negative.
Lambang merupakan matriks dari koefisien rata-rata peningkatan
infeksi sekunder pada kompartemen ke-i dan merupakan rata-rata peningkatan
penyakit, penurunan tingkat kematian dan kesembuhan pada kompartemen ke-i,
dituliskan sebagai berikut:
Persamaan diatas dievaluasi pada titik bebas penyakit, sehingga diperoleh matriks
pembangkitnya adalah .
2.4 Kestabilan Titik Tetap
Pandang persamaan differensial
(1)
Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (1) jika
memenuhi dan . Karena turunan suatu konstanta
sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan.
dan
Adalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaan (1) untuk semua .
2.5 Stabil Asimtotis Lokal
Kestabilan asimtotis lokal m merupakan kestabilan dari sistem linier atau
kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik
4
kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik
sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan.
Definisi:
Jika J adalah matriks yang berukuran n×n maka vektor tak nol dinamakan vektor
karakteristik dari J jika memenuhi :
(2)
Untuk suatu skalar disebut nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektor
karakteristik yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai karakteristik matriks J yang berukuran n×n, maka
dapat dituliskan kembali persamaan (2) sebagai atau ekuivalen dengan
, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika | | .
Jika matriks [
] dan [
] maka persamaan (2) dapat
ditulis:
|
| atau
Akar-akar karakteristik adalah
√
Teorema Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai
karakteristik matriks [
] mempunyai tanda negatif pada bagian realnya
dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda
positif pada bagian realnya.
III. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini yaitu metode kajian pustaka
dengan melakukan studi literature dan pengumpulan referensi mengenai teori-
teori yang mendukung penyelesaian penelitian ini, antara lain :
a. penyakit Demam Berdarah Dengue,
5
b. model matematika dari pertumbuhan logistik,
c. model matematika dari penyebaran penyakit demam berdarah dengue,
d. penyelesaian dari model matematika penyebaran penyakit demam berdarah.
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Model Matematia Transmisi Penyakit Demam Berdarah Dengue
Model matematika yang digunakan untuk mengetahui bentuk transmisi
penyakit Demam Berdarah Dengue adalah dengan model SIR (Susceptible-
Infected-Recovered). Asumsi-asumsi yang digunakan antara lain:
a. Nyamuk yang dapat menyebarkan virus Dengue hanya nyamuk betina jenis
Aedes aegypti,
b. Total populasi nyamuk dan total populasi manusia adalah konstan (jumlah
nyamuk yang lahir sama dengan jumlah nyamuk yang mati, serta jumlah
manusia yang lahir sama dengan jumlah manusia yang mati),
c. Populasi manusia dan nyamuk adalah populasi yang tertutup (tidak ada
nyamuk ataupun manusia yang migrasi),
d. Manusia rentan adalah manusia yang bukan imun dan belum tertular virus
dengue,
e. Manusia terinfeksi adalah manusia yang telah tertular virus dan dapat
menularkan virus ke nyamuk,
f. Manusia yang telah sembuh tidak dapat menjadi manusia rentan atupun
terinveksi kembali,
g. Nyamuk rentan adalah nyamuk yang belum tertular virus,
h. Nyamuk terinfeksi adalah nyamuk yang telah tertular virus dan dapat
menularkan virus tersebut,
i. Nyamuk tidak akan penah sembuh setelah terinveksi,
j. Rata-rata gigitan nyamuk perhari adalah konstan (dinotasikan dengan b).
Dari asumsi di atas, misalkan adalah total populasi nyamuk dan
adalah total populasi manusia. Populasi nyamuk dibagi menjadi dua subpopulasi,
6
yaitu nyamuk rentan (susceptible) dan nyamuk terinfeksi (infected) . Populasi
manusia dibagi menjadi tiga subpopulasi, yaitu manusia rentan (susceptible) ,
manusia terinfeksi (infected) , dan manusia sembuh (recovered) , sehingga
jumlah manusia dalam suatu populasi adalah .
Secara skematis, pola penyebaran penyakit DBD dapat digambarkan dalam
diagram kompartemen berikut:
Gambar 2. Kompartemen Penyebaran Penyakit DBD Model SIR
Arti diagram kompartemen di atas adalah:
1. Laju pertumbuhan nyamuk rentan mempertimbangkan faktor kelahiran,
kematian, dan proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk terinveksi,
ditulis:
dimana . Proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk
terinfeksi dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk rentan dengan
manusia terinfeksi. Nilai peluang ini ialah perkalian antara peluang
7
transmisi virus dari manusia terinfeksi ke nyamuk rentan dengan rata-rata
gigitan nyamuk rentan perhari (b).
2. Laju pertumbuhan nyamuk terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian
dan proporsi perpindahan nyamuk rentan menjadi nyamuk terinfeksi,
ditulis:
3. Laju pertumbuhan manusia rentan mempertimbangkan faktor kelahiran,
kematian, dan proporsi perpindahan manusia rentan menjadi manusia
terinfeksi, ditulis:
dimana . Proporsi perpindahan manusia rentan menjadi manusia
terinfeksi dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk terinfeksi
dengan manusia rentan. Nilai peluang ini ialah perkalian antara peluang
transmisi virus dari nyamuk terinveksi ke manusia rentan dengan rata-rata
gigitan nyamuk terinveksi perhari.
4. Laju pertumbuhan manusia terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian,
proporsi perpindahan manusia rentan menjadi manusia terinveksi, dan
proporsi perpindahan nyamuk rentan menjadi nyamuk terinveksi karena
mengigit manusia terinveksi, ditulis:
5. Laju pertumbuhan manusia sembuh mempertimbangkan faktor kematian
dan proporsi perpindahan manusia terinveksi menjadi manusia sembuh,
ditulis:
8
Berdasarkan uraian di atas, model SIR dinyatakan dalam model (1) sebagai
berikut:
dengan kondisi : dan
serta,
: laju kelahiran nyamuk per hari
: laju kematian nyamuk per hari
: peluang transmisi virus DBD dari manusia ke nyamuk
: laju kelahiran manusia per hari
: laju kematian manusia per hari
b : rata-rata gigitan nyamuk pada manusia per hari
: peluang transmisi virus DBD dari nyamuk ke manusia
r : laju kesembuhan manusia terinfeksi per hari
Selanjutnya, model (1) dapat disederhanakan dengan pemisalan
,
,
,
,
, , sehingga sistem tersebut
dapat ditulis pada model (2) sebagai berikut:
9
dengan
, serta kondisi , yang dibuktikan pada Lampiran 1,
dan dibuktikan pada Lampiran 2.
4.2 Penentuan Titik Tetap
Titik tetap ini diperoleh dengan menyelesaikan sistem pada persamaan
model (2). Solusinya merupakan suatu solusi yang diperoleh pada saat
sehingga sistem tersebut dapat ditulis :
Sistem di atas memiliki dua jenis titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit
(Disease-Free Equilibrium/DFE) dan titik tetap endemik.
4.2.1 Titik Tetap Tanpa Penyakit
Titik tetap tanpa penyakit merupakan titik yang memuat nilai dan
Dari persamaan di atas, diperoleh:
atau
Sehingga, bila didapat
10
Jadi titik bebas penyakit (non endemic) adalah:
atau (
)
4.2.2 Titik Tetap Endemik
Titik tetap endemik merupakan titik yang memuat nilai atau .
Dengan menggunakan software Maple diperoleh titik tetap endemik:
dengan
atau
(
)
(
)
(
)
Penentuan titik tetap endemik di atas dapat dilihat pada Lampiran 3.
4.3 Asimtotis Lokal
Diberikan matriks pada populasi manusia dan nyamuk.
[
]
Nilai eigen diperoleh dari
11
Dari persamaan karakteristik
diperoleh:
Karena bilangan real dari akar-akar karakteristiknya bernilai maka model
dikatakan stabil.
4.4 Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar
Dengan menentukan the next generation matriks untuk persamaan
model (2) pada titik tetap tanpa penyakit,
[
]
diperoleh bilangan reproduksi dasar :
Penentuan dapat dilihat pada Lampiran 4.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa titik tetap tanpa penyakit
terjadi bila , sedangkan titik tetap endemik terjadi bila .
V. KESIMPULAN
Dari analisis model penyebaran penyakit Demam Berdarah Dengue,
didapat titik kesetimbangan bebas penyakit dengan tidak semua variabelnya
bernilai nol (
), artinya selalu terdapat populasi yang bebas
penyakit pada kompartemen ini.
12
Berdasarkan analisis kestabilan titik-titik tetap diperoleh nilai eigen dengan
bilangan real bernilai negatif yang berarti model stabil. Bilangan reproduksi dasar
menggambarkan bahwa untuk artinya tidak terjadi endemik pada
populasi, sedangkan artinya terjadi endemik pada populasi.
13
Daftar Pustaka
Brown, Harold W. dan Wita Pribadi. 1983. Dasar Parasitologi Klinis. Jakarta:
Gramedia.
Haberman, Richard. 1998. Mathematical Models An Introduction to Applied
Mathematics. Philadelphia: Society for Industrial and Applied
Mathematics..
Mangebu,James U.L. 2011. Model Matematik Demam Berdarah Dengue Dengan
Nyamuk Aedes albopictus Sebagai Vektor.Thesis Jurusan Matematika IPB:
Bogor.
Satari,HIndra. dan Mila M. 2008. Demam Berdarah. Jakarta: Niaga Swadaya
Shirazian, Mohammad dkk. 2010. Optimal Control Strategy for a Fully
Determinate HIV Model.Jurnal Department of Applied Mathematics
Ferdowsy University of Mashhad, Iran.
14