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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA
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•EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS •ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS •SEMEJANZA DE MODELOS
Ensayos con modelos Leyes de semejanza Semejanza de Froude Semejanza de Reynolds Semejanza de Mach
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA
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EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS
Las ecuaciones fundamentales de un flujo noson generalmente suficientes para una solucióncompleta del problema.
En Mecánica de fluidos que pueden intervenirhasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible la experimentación. Afortunadamente, en un problema concreto, no influirán más de 6;pero todavía es excesivo.
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Mediante el análisis dimensional podemos formaragrupaciones adimensionales y trabajar con ellasen lugar de con las magnitudes físicas reales. Conello se reduce el número de variables a (n−m):
n = número de magnitudes físicas que intervienenm = número de magnitudes básicas que intervienen
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Cuantas menos agrupaciones resulten, menosexperiencias hay que hacer: una agrupaciónrequeriría una experiencia; dos agrupacionesvarias experiencias (10 por ejemplo) para construir una curva, y tres nos llevaría a varias(10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo).
Una ventaja adicional que nos proporciona lateoría dimensional es la de predecir los resultadosde un proyecto, en base a los obtenidos ensayandocon un modelo a escala.
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ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS
Para establecer los posibles adimensionales, supongamos que intervienen a la vez todas las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión, de gravedad, de fricción, de elasticidad y de tensión superficial.
),( FΣ),( iF
22212
23
)(
)()(
ultlltllamFF i
⋅⋅=⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=⋅==Σ−
−
ρρ
ρ
Expresemos la resultante o fuerza deinercia que provoca la aceleración delflujo, en función de la velocidad u:
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Fuerza de presión (p):
µ
Fuerza elástica (K):
)(σFuerza tensión superficial
Fuerza de gravedad (g):
Fuerza viscosa ( ):
Fp = l 2 · p
Fg = l 3 ·ρ ·g
Fr = l 2 ·τ = l · u · µ
Fσ = l · σ
FK = l 2 · K
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Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:22232 ullKlulglpl ⋅⋅=⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅ ρσµρ
expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:
Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre confrecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8.
Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:
en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugarde las 8 (dimensionales).
f (l, p, ρ, g, u, µ, K, σ) = 0
0 , , , , 2222 =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅ uluK
ulugl
up
ρσ
ρρµ
ρϕ
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Coeficiente de presión
Número de Froude gl
u⋅
=Fr
Número de Reynolds νµ
ρ ulul ⋅=
⋅⋅=Re
Número de Mach au
Ku
==ρ
Ma
Número de Weber l
u⋅
=ρσ
We
0 , , , ,2
2 =
⋅
⋅⋅ l
uKuul
glu
up
ρσρνρϕ
0 , , , , 2222 =
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅ ulu
Kulu
glu
pρ
σρρ
µρ
ϕ
22up ρ
=
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=22u
p ρ
Si hubiera dos longitudes características en el problema, l y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:
En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales cuyaintervención sea nula o poco importante.
=22u
p ρ
f (Fr, Re, Ma, We)
f (Fr, Re, Ma, We, l/l’)
0 , , , ,2
2 =
⋅
⋅⋅ l
uKuul
glu
up
ρσρνρϕ
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Wiliam FroudeInglaterra (1810-1879)
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Osborne ReynoldsBelfast (1842-1912)
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Ernst MachAustria (1839-1916)
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Moritz WeberAlemania (1871-1951)
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Ensayos con modelos
No es necesario ensayar con el mismo fluidoque utilice el prototipo. El agua y el aire sonlos fluidos que generalmente se utilizan.
Los modelos se hacen de materiales diversosmadera, escayola, metales, hormigón, plásticoetc.
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Los ensayos de canalizaciones, puertos,presas, aliviaderos, etc, se hacen en loslaboratorios de hidráulica.
Los ensayos de modelos de aviones, y engeneral de cuerpos sumergidos, se hacen entúneles de viento y en túneles de agua.
Los ensayos de barcos se hacen en los llamadoscanales hidrodinámicos.
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Leyes de semejanzaDos corrientes fluidas son semejantes cuando laslíneas de flujo de una lo sean respecto a lashomólogas de la otra; diremos entonces que existesemejanza cinemática. Para ello es necesario,
33m
3p2
2m
2p
m
p ; ; λλλ ===l
l
l
lll
Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem
a) Semejanza geométrica
b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogoshan de ser semejantes:
siendo λ la escala.
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a) Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza predominante es la de gravedad: semejanza de Froude,
Frp = Frm
b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la fuerza predominante es la de viscosidad: semejanza de Reynolds,
Rep = Rem
c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach,
Map = Mam
d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión superficial: semejanza de Weber,
Wep = Wem
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mp FrFr =
mm
m
pp
p
glu
glu
⋅=
⋅m
p
m
p
gg
uu
⋅= λ
21
m
p λ=uu
Semejanza de Froude
y si gp = gm, como es lo habitual:
Por ejemplo, si λ = 25 , up /um = 5.
Relación de velocidades
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José Agüera Soriano 2011 41
)( uSQ ⋅=
m
p
m
p
m
p
uu
SS
⋅= 25
m
p λ=QQ
)( 3lF ⋅= γ
3
m
p
m
p λγγ
⋅=FF 3
m
p λ=FF
Relación de caudales
Para λ = 25, Qp/Qm = 3125.
Fp/Fm = 15625.
Relación de fuerzas
Si γp = γm,
Para λ = 25,
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José Agüera Soriano 2011 42
)( uFP ⋅=
213
m
p
m
p
m
p λλ ⋅=⋅=uu
FF
PP
27
m
p λ=PP
Relación de potencias
Pp/Pm = 78125.
Si γp = γm,
Para λ = 25,
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José Agüera Soriano 2011 43
mp ReRe =
mpm
p
m
p
m
mm
p
pp 1 ;llu
uulul⋅=
⋅=
⋅
νν
νν
λνν 1
m
p
m
p ⋅=uu
Semejanza de Reynolds
up/um = 1/25.
Relación de velocidades
Por ejemplo, si λ = 25, νp = νm, y
Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad 5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces mayor, por lo que no es posible que se cumplan las dos a la vez,a menos que la escala sea la unidad.
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José Agüera Soriano 2011 44
)( uSQm ⋅⋅=⋅= ρρ&
λνν
λρρ
ρρ 1
m
p2
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p ⋅⋅⋅=⋅⋅=uu
SS
mm&
&
λµµ
λνν
ρρ
⋅=⋅⋅=m
p
m
p
m
p
m
p
mm&
&
Relación de caudales
Podemos ensayar desde luego con un fluido diferente al del prototipo, y algo podríamos compensar. Menos mal que lo frecuente es que sólo intervenga una.
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José Agüera Soriano 2011 45
)( µ⋅⋅= ulF
mm
pp
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p 1ρνρν
λνν
λµµ
⋅
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=
uu
ll
FF
m
p2
m
p
m
p
ρρ
νν
⋅
=
FF
Relación de fuerzas
Si se tratara del mismo fluido y en el mismo estado, Fp = Fm:
el mayor esfuerzo cortante en el modelo contrarresta sumenor superficie de rozamiento.
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José Agüera Soriano 2011 46
mp MaMa =
mm
m
pp
p
ρρ Ku
Ku
=
mm aa
uu pp =
)( SuQm ⋅⋅=⋅= ρρ&
m
p
m
p
m
p
m
p
SS
uu
mm
⋅⋅=ρρ
&
&
2
m
p
m
p
m
p λρρ
⋅⋅=aa
mm&
&
Semejanza de Mach
Relación de caudales
Relación de velocidades
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José Agüera Soriano 2011 47
)( SKF ⋅=
ρλ Ka
KK
SS
KK
FF
=⋅=⋅= comoy ;2
m
p
m
p
m
p
m
p
22
m
p
m
p
m
p λρρ
⋅
⋅=
aa
FF
Relación de fuerzas
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José Agüera Soriano 2011 48