Análisis de redes sociales

Analisis de redes sociales

Jose Ra. Portillo

M.A.T.I.

1 de Diciembre de 2014

Jose Ra. Portillo M.A.T.I.


Indice



1

Motivacion



Definiciones

Definicion

Red social: conjunto de actores vinculados

Las redes sociales son grafos

Actores: vertices

Vınculos: aristas



Historia

1930

Ciencias sociales Sociometrıa

Lıneas

Macro: Poblaciones Estadıstica

Micro: Individuos y relaciones Grafos Genealogıa,antropologıa.

Hoy

Internet

Epistemometrıa



Recapitulando

El Analisis de Redes Socialesestudia las redes sociales como grafos.

intentando hacer sociologıa de forma precisa

explicando la macrosociologıa a partir de la microsociologıa



Razones para investigar/estudiar Redes Sociales

Web: pageRank, efecto Mateo

Epistemometrıa

Ciencias sociales:

AntropologıaSociologıaPolitologıaCiencias de la Comunicacion

Teorıa de Grafos y Matematica Discreta

Algorıtmica



Politologıa



2

Caracterısticas generales de las redes sociales



Redes de mundo pequeno

Seis grados de separacion

Relacion grado–diametro: grafos de Moore



Redes libres de escala

Distribucion de grados: ley de potencias

Subgrafos fractales

Efecto Mateo



Efecto Mateo

Mateo 13, 12Porque al que tiene se le dara mas y tendra en abundancia,pero al que no tiene, se le quitara aun lo que tiene.

Lucas 19, 26Pues yo os digo que a todo el que tiene, se le dara; mas al queno tiene, aun lo que tiene se le quitara.

Lucas 8, 18Mirad, pues, como oıs; porque a todo el que tiene, se le dara;y a todo el que no tiene, aun lo que piensa tener se le quitara.

Marcos 4, 25Porque al que tiene, se le dara; y al que no tiene, aun lo quetiene se le quitara.



Efecto Mateo

Numeros de Erdos

Numero de Bacon

Lista Forbes

Educacion: habilidad lectora

Brecha digital

revistas cientıficas de primer orden, salas de exposiciones,editoriales, distribuidoras de cine, etc.



3

Medidas de centralidad



La centralidad de cada actor es su numero de vınculos

Definicion

Centralidad de grado es la valencia del vertice.



Ley de potencias

Paradoja de la amistad

Tus amigos tienen de media mas amigos que tu




Facebook

En el 93 % de los casos, los amigos de un usuario tienen masamigos que el.

Mas sorprendente: el numero de amigos medio es 190, pero lamedia de amigos de sus amigos es de ¡635!




Metodo de inmunizacion

Estrategia efectiva:

1 escoger poblacion inicial aleatoriamente

2 los individuos de dicha poblacion designan amigos

3 vacunamos a estos amigos

Solo necesitamos vacunar a un 20 %-40 % de la poblacion paraevitar la difusion de la enfermedad.

Si no seguimos esta estrategia, necesitarıamos vacunar a un80 %-90 % para alcanzar la misma efectividad.



Jefferson High School



Medidas de centralidad

La centralidad de una red es su capacidad de transmitir

Definicion

Centralidad c(β) de Bonacich es el numero de caminos deuna red, atenuado por la longitud de dichos caminos (tasa dedescuento β).

c(β) =∑k≤1

βkAk · 1 = βA(I − βA)−1 · 1



Centralidad de vector propio

La centralidad de un actor depende de la centralidad de sus vecinos

λci =∑j

aijcj

λc = Ac



Centralidad de vector propio

¿Que vector propio?¡El mas grande! (el que tiene mayor autovalor)

ck+1 =Ack

||ck ||

c ≈ Ak · 1||Ak · 1||

Page Rank



Centralidad de cercanıa

La centralidad de un actor es la cercanıa promedio al resto de la redLa cercanıa es el inverso de la distancia

ci =1∑j dij



Centralidad de intermediacion

Definicion

Centralidad medida por capacidad de interrumpir flujo en la red(numero de rutas mınimas en las que el actor participa)



4

Deteccion de comunidades



Comunidades en grafos




Comunidades

subgrafos con gran densidad de aristas interiory pequena densidad de aristas entre ellos.

Los metodos descritos requieren comunidades disjuntas.

Problemas conceptuales:

¿Que es una comunidad?

Pertenencia de los actores a varios grupos

¿Puede un grupo contener otros grupos?

Grafos dirigidos y ponderados

Combinacion de algoritmos




El punto de vista de Ciencias de la Computacion

Problema tıpico:dividir los vertices de una red en g grupos de tamano aproximado.

En la practica: algoritmos de biseccion.

Algoritmos principales:

Biseccion espectralbasado en los autovalores del laplaciano del grafo

Kernighan-Linoptimizacion de aristas internas y externas a las comunidades



Biseccion espectral

Definicion

Dado un grafo G = (V ,E ), se define su laplaciano como unamatriz L

Lij =

di if i = j−1 if ij ∈ E (G )

0 otherwise

Si D es la matriz diagonal de grados de los verticesy J la matriz de incidencia

L = D − A = J · Jt

Dii =∑j

Aij =⇒∑j

Lij =∑i

Lij = 0 =⇒ L · 1 = 0 · 1



Biseccion espectral

Definicion

Dado un grafo G = (V ,E ), se define su laplaciano como unamatriz L

Lij =

di if i = j−1 if ij ∈ E (G )

0 otherwise

Si D es la matriz diagonal de grados de los verticesy J la matriz de incidencia

L = D − A = J · Jt

Dii =∑j

Aij =⇒∑j

Lij =∑i

Lij = 0 =⇒ L · 1 = 0 · 1Jose Ra. Portillo M.A.T.I.


Biseccion espectral

Red separable perfectamente en componentes conexas Gk

L es diagonalizable en bloques:existen g autovectores degenerados vk con autovalor 0:

vki =

{1 if i ∈ Gk

0 otherwise



Biseccion espectral

Red separable en varias comunidades Gk

Estudio mediante autovectores con autovalores cercanos a 0Combinaciones lineales de los vk



Biseccion espectral

Red separable en dos comunidades

Autovectores con autovalores no degenerados son ortogonales

Todos los autovectores (excepto el correspondiente al menorautovalor) tienen elementos positivos y negativos

λ2: conectividad algebraica: medida de la bondad de laparticion (mejor si es pequeno)

elementos positivos y negativos del autovector de λ2 definenlas dos comunidades.

Aplicable recursivamente



Biseccion espectral: Karate club de Zachary

λ2 = 0, 469



Algoritmo de Kernighan-Lin

Funcion beneficioQ = #aristas interiores−#aristas entre comunidades

Division en grupos de tamano prefijado

Optimizacion por intercambio de verticesentre las comunidades

Heurıstico




El punto de vista de la Sociologıa

Hierarchical clustering:Desarrollar una medida de similitud xijbasada en la estructura de la red



Hierarchical clustering

Hay distintas definiciones de similitud:

Distancia euclıdea xij =√∑

k 6=i ,j(Aik − Aij)2.

Correlacion de PearsonCaminos arista(vertice)–disjuntos entre vertices:(componentes k–conexas)

Similitud de coseno:xij =|Ni ∩ Nj |√

didj

Tecnicas:

Enlazado simpleAnadir aristas en orden de similitud decreciente.

Enlazado completoComunidades definidas como cliques maximales



Estructura jerarquica



Hierarchical clustering

Enlazado simple

Divide en mas y mas comunidades en cada paso

Dendograma

Division en comunidades segun niveles



Dendograma del club de Karate de Zachary




Otros metodos

Girvan y Newmann:Basado en la centralidad de intermediacion por aristas

Tyler et al.:Mejora del anterior usando aleatorizacion

Radicci et al.:Basado en la centralidad de intermediacion medianteenumeracion de ciclos cortos

ModularidadMejora de Girvan y Newmann, utilizando la definicion demodularidad




Otros metodos

Girvan y Newmann:Basado en la centralidad de intermediacion por aristas

Tyler et al.:Mejora del anterior usando aleatorizacion

Radicci et al.:Basado en la centralidad de intermediacionmediante enumeracion de ciclos cortos

ModularidadMejora de Girvan y Newmann,utilizando la definicion de modularidad



Modularidad

Q =1

2|E |∑i ,j

[Aij −

didj

2|E |

]δsi ,sj



Modularidad



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