Análisis de Circuito Por Laplace

8/19/2019 Análisis de Circuito Por Laplace

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Uso de la transformada de Laplace en elanálisis de circuitos en el dominio del tiempo

Asignatura: Circuitos Eléctricos II

NRC: 1921

Autores:

A10- Xavier Freire Zamora

A11-Christian Naranjo A.

Sangolquí, 27 de Febrero del 2015

Departamento de Eléctrica y Electrónica

Profesor: Ing. Paul Mejia


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Uso de la transformada de Laplace en el análisis de circuitos en el

dominio del tiempo

“La transformada de Laplace es una transformación de una función f(t) del dominio temporal

al dominio de la frecuencia compleja, lo que da como resultado F(s). “ (según Sadiku p.617).

Bajo una perspectiva técnica Laplace es una herramienta matemática que dentro del

análisis de circuitos nos brinda la posibilidad de pasar del dominio temporal al de la

frecuencia (que sabemos involucra el manejo de números complejo), analizar el circuito y

regresar al dominio del tiempo evitándonos tediosos y complicados cálculos.

Con Laplace buscaremos simplificar y facilitar la resolución de un problema, que dentro

de dominio temporal involucre el manejo de ecuaciones diferenciales y sin embargo en el

dominio de la frecuencia solo necesitamos el manejo de ecuaciones algebraicas.

Ahora bien, evidentemente necesitamos un buen manejo de la transformada de Laplace

por lo que nos guiaremos de una tabla en la que consten todas las propiedades que

necesitaremos para hallar la transformada de Laplace y su respectiva inversa. Esta tabla se

encuentra al final del documento como anexo, siendo el anexo 1.

“Pasos en la aplicación de la transformada de Laplace :

1. Transformar del dominio temporal al dominio de la frecuencia.

2. Resolver el circuito usando el análisis nodal, el análisis de mallas, la transformación

de fuentes, la superposición o cualquier otra técnica del análisis de circuitos.

3. Calcular la Transformada inversa de la solución y, obtener la solución en el dominio

temporal. ” (sadiku P.716).

Vamos a ver qué ocurre con los componentes o elementos de los circuitos cuando son

llevamos al dominio de la frecuencia mediante Laplace, específicamente que relación se

presenta en sus magnitudes de corriente y voltaje y que ocurriría si nuestros elementos


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que almacenan energía (capacitor o Inductor) tienen alguna condición inicial diferente de

cero.

1. En las resistencia la relación es muy simple y no presenta mayor complejidad, ello

evidenciamos en la ilustración 1 y en las ecuaciones 1 y 2.

Ilustración 1: Paso del dominio temporal al de la frecuencia en la resistencia (Tomada de Sadiku 3er

edición, P.718)

2. En el capacitor no debemos olvidar que este elemento tienen memoria por lo que

puede tener condiciones iniciales, su relación entre sus magnitudes se puede ver en

la ilustración 1 .

Ilustración 2: Paso del dominio temporal al de la frecuencia en un Capacitor (Tomada de Sadiku

3era edición, P.717)

Dominio Temporal

= (1)Dominio de la frecuencia

= 2

Dominio Temporal

= 3 Dominio de la Frecuencia

=1 0− 4


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4

3. En el inductor ocurre la misma situación que en el capacitor, y la relación entre

voltaje y corriente en el dominio de la frecuencia se observe en la ilustración 3 y,

las ecuaciones 5 y 6.

Ilustración 3: Paso del dominio temporal al de la frecuencia en un Inductor (Tomada de Sadiku 3era

edición, P.717)

Si las Condiciones iniciales son nulas para el inductor y el capacitor las ecuaciones 2,4 y

6 se reducen a

=

=1

=1

Ilustración 4: Paso del dominio temporal al de la frecuencia a) Resistencia, b) Inductor y c)

Capacitor (Tomada de Sadiku 3era edición, P.718)

Dominio Temporal

= Dominio Temporal

=1 0−


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Ejemplos

1. Encuentre en el circuito de la ilustración 5, suponiendo las condiciones

iniciales nulas

Ilustración 5: Figura para el ejemplo 1 (Tomada de Sadiku 3era edición, P.719)

En la ilustración 6 se muestra el circuito en el campo de la frecuencia, y sobre el

realizamos un análisis de mallas.

Para la malla 1.

1=(13) 3 Para la malla 2.

0 = 3 ( 53) Con estas ecuaciones obtenemos la solución de

=1 1 = =

13 =1=3 Ilustración 6: Circuito en el campo de la frecuencia

(Tomada de Sadiku 3era edición, P.719)


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Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos.

Calculado la transformada inversa de Laplace obtenemos la respuesta en el dominio del

tiempo.

3. En El circuito de la ilustración 9, el interruptor se mueve de la posición a la

posición en t=0, encuentre i(t) pata t >0.

Ilustración 9: grafico para el ejemplo 3 (Tomada de Sadiku 3era edición, P.721)

La corriente que fluye por la bobina para < 0 (siendo esa corriente) es la condicióninicial de la bobina, trabajaremos desde ahora con > 0 que es cuando el interruptor del


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circuito está en la posición b, sin olvidar la condición inicial de la bobina, la ilustración 10

muestra los expuesto.

Ilustración 10: Circuito en el dominio de la frecuencia, con la condición inicial de la bobina (Tomada

de Sadiku 3era edición, P.721)

Ahora solo realizamos un análisis de mallas en el circuito.

Despejamos .

Expresamos / + / en sus fracciones parciales

Aplicamos la transformada inversa de Laplace.

Hemos hallado la respuesta del comportamiento de un circuito RL de primer orden con

fuente o excitación forzada, eso podemos evidenciar en los siguiente.


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9

El cociente representa la constante de tiempo .

La expresión entre paréntesis es la respuesta transitoria, mientras el segundo término

es la respuesta en estado estable.

4. Considere el circuito de la ilustración 11 , Encuentre el valor de la tensión a través del

capacitor suponiendo que el valor de =10 y suponga que en t=0, unacorriente de -1A fluye a través del inductor y hay un voltaje de +5 V a través del

capacitor.

Ilustración 11: Figura la el ejemplo 4 (Tomada de Sadiku 3era edición, P.722)

Pasamos nuestro circuito al dominio de la frecuencia sin olvidar las condiciones

iniciales, la transformación se muestra en la ilustración 12 .

Ilustración 12: Circuito en el dominio de la frecuencia obtenido del circuito de la ilustración 11

(Tomada de Sadiku 3era edición, P.722)

Aplicamos un análisis de nodos en el punto de voltaje desconocido


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10

Simplificando y remplazando las condiciones iniciales obtenemos.

Aplicando la transformada inversa de Laplace que la solución en el dominio del tiempo.

5. Suponga que no existe energía inicial almacenada en el circuito de la ilustración 13

en t=0 y que =10 . a) Encuentre utilizando el teorema de Thevenin.

b) Determine .

Ilustración 13: Grafico del ejemplo 5 (Tomada de Sadiku 3era edición, P.724)

Las condiciones iniciales son cero por lo que el voltaje en el capacitor y la corriente en el

inductor son cero para t=0.

Aplicamos el teorema de Thevenin sobre el circuito en el dominio del tiempo y lo

transformamos al dominio de la frecuencia, esto se observa en la ilustración 14 . Sobre este

circuito hallamos el voltaje de Thevenin.


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Ilustración 14: Aplicación de Thevenin y transformación de Laplace. (Tomada de Sadiku 3era

edición, P.725)

Sobre el circuito en el dominio de la frecuencia hallamos la resistencia de Thevenin, para

ello nos ayudaremos de la ilustración 15 .

Ilustración 15: Circuito para hallar la resistencia de Thevenin (Tomada de Sadiku 3era edición,

P.725)

Planteamos las siguientes relaciones:


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12

Resolviendo las 2 ecuaciones obtenemos la corriente .

Con la corriente hallada y el voltaje de Thevenin procedemos a hallar la impedancia de

Thevenin.

Finalmente obtenemos el circuito de Thevenin, el cual se muestra en la ilustración 16.

Ilustración 16: Equivalente de Thevenin del circuito en el dominio de la frecuencia (Tomada de

Sadiku 3era edición, P.725)

Sobre el circuito de la ilustración 16 procedemos a obtener el voltaje .

Aplicando la transformada inversa de Laplace obtenemos la respuesta en el dominio del

tiempo.


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Bibliografía

Sadiku, M. N. (2006). Fundamentos de Circuitos Electricos. Mc Graw Hill.

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