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Analisi Statistica per le Imprese

4.6 Stima della frontiera di produzione

Prof. L. NeriDip. Economia Politica e Statistica

a.a. 2014-2015

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Le frontiere di produzione • Con l’evolversi degli studi in materia delle Funzioni di

Produzione, l’espressione “Funzioni di Frontiera” è stata associata ad un filone di ricerche scaturite dalla critica dei modelli tradizionali di funzioni di produzione che più che condurre all’individuazione della frontiera dell’insieme delle possibilità di produzione, conducono ad una sorta di funzione di produzione “media”.

• Infatti nei cosiddetti “modelli tradizionali” l’output viene specificato come funzione lineare degli input del processo produttivo e di un termine stocastico con distribuzione normale e media nulla; una tale relazione implica che i valori osservati dell’output possono giacere, con la stessa probabilità, al di sopra o la di sotto della funzione di produzione (Vedi Figura seguente).

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Le frontiere di produzione

Funzione “Media”

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Input

Ou

tpu

t

4

Le frontiere di produzione • L’idea sottostante a questa critica è che gli scostamenti

dei valori osservati dell’output da quelli espressi dalla frontiera sono dovuti all’azione di fattori di inefficienza, che per definizione agiscono in modo unilaterale, e all’azione degli errori di osservazione, a distribuzione simmetrica.

• Alla luce di ciò è parso più corretto ipotizzare che i valori osservati dell’output giacciano tutti al di sotto o al massimo sulla frontiera (Figura a), se è plausibile ritenere che gli errori di osservazione siano irrilevanti, oppure che gli stessi valori possano giacere anche al di sopra della frontiera stessa, ma a tale evento sarà associata una probabilità minore rispetto a quella di collocarsi al di sotto di tale funzione (Figura b)

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Le frontiere di produzione

Funzione “Frontiera - a”

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Input

Ou

tpu

t

6

Le frontiere di produzione

Funzione “Frontiera - b”

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Input

Ou

tpu

t

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Le frontiere di produzione • In una nota rassegna, Forsund, Lovell e Schmidt suggeriscono

una classificazione dei metodi di stima delle funzioni frontiera di produzione, proponendo una prima generale suddivisione in funzioni parametriche e funzioni non parametriche.

• Nella prima classe, si identificano i modelli stocastici e deterministici, e questi ultimi a seconda della procedura di stima adottata, si suddividono in matematici e statistici.

• Al di là delle terminologie adottate nelle classificazioni, il problema che i vari ricercatori che si sono occupati della questione si sono posti, è sempre stato lo stesso: come fare a trasformare in una misura reale il concetto teorico di funzione

di produzione.

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Le frontiere di produzione Rappresentando graficamente tale problematica, abbiamo

riportato in un grafico a dispersione (figura sotto) una serie di coppie di valori x (“Input”) ed y (“Output”) che corrispondono ad una serie di processi produttivi (A, B,…,F) attivati da altrettante aziende.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30 35

Applicati Equivalenti

Ou

tpu

t

A

B

C

D

E

F

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Le frontiere di produzione • Dal momento che, in generale, l'efficienza è

misurabile, confrontando le performance reali dell'azienda con la migliore raggiungibile, espressa da una funzione che rappresenta, perciò, una frontiera, come fare per definire una funzione di produzione che esprima il livello massimo di output che può essere prodotto date le quantità di fattori produttivi?

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Metodi Parametrici

Si basano sulla stima econometrica di una funzione frontiera (di produzione o di costo). Tali funzioni possono essere assunte sia deterministiche che stocastiche. Quindi dato un campione di n aziende che producono un output y (o anche più output omogenei preliminarmente aggregati in una misura sintetica) impiegando m input il metodo consiste

• 1. nella stima dei parametri della funzione frontiera; ad esempio, nel caso della produzione si stimerà la funzione che esprime il legame tra l'output e gli m input impiegati nel processo produttivo;

• 2. nel calcolo delle misure dell'efficienza tecnica confrontando i singoli output osservati nelle n aziende con i corrispondenti valori teorici sulla frontiera

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Metodi Parametrici-deterministici

• Le funzioni frontiera deterministiche sono funzioni parametriche nelle quali la deviazione di un'osservazione dal suo massimo teorico è attribuita esclusivamente all'inefficienza dell'azienda. Tale specificazione non tiene conto di possibili shock casuali specifici di quel processo produttivo (ipotesi semplice)

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Funzione frontiera deterministica

• La formulazione econometrica della funzione frontiera deterministica è data da:

• Yi= f(Xi,)TEi dove

Usualmente il modello è definito nei logaritmi delle variabili quindi

• Log(Yi)=log[ f(Xi,)]+log(TEi)= log[ f(Xi,)]-ui

• dove ui è una misura dell'inefficienza tecnica e TEi=exp(-ui)

• Si noti che più grande è ui più l'azienda i si allontana dalla frontiera di produzione.

1)(

0 i

ii Xf

YTE

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Funzione frontiera deterministica

• Supponiamo di specificare una funzione di produzione Cobb-Douglas con s input, il modello frontiera assume la forma

diventa log formain che )exp(1

s

ji

j

ijuxciY

iij

s

jjiij

s

jj uuci xxY

)log( )log()log(

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)log(

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Le funzione di frontiera deterministiche-matematiche

• Secondo il suddetto modello (Aigner e Chu, 1968) la produzione effettiva è la produzione massima meno un (non negativo) errore di inefficienza. Gli elementi del vettore parametrico possono essere stimati con la programmazione quadratica (minimizzando il quadrato della somma dei residui).

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Le funzione di frontiera deterministiche-matematiche

AIGNER D.J., CHU S.F. (1968), "On Estimating the Industry Production Function", The American Economic Review, n°4, pp.826-835

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30 35

Applicati Equivalenti

Ou

tpu

t

A

B

C

D

E

F

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Steps per il calcolo del grado di efficienza tecnica di un’azienda: attraverso frontiera

deterministico-statistiche

iij

s

jjxYi

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la funzione di produzione deterministica può essere stimata in due passi:1. stima OLS del modello per ottenere stime consistenti e non distorte dei parametri relative ai regressori nel modello e una stima consistente ma distorta del parametro intercetta2. correzione della stima del parametro intercetta in modo tale da assicurare che la frontiera stimata limiti i dati al di sotto di essa cioè:

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Steps per il calcolo del grado di efficienza

tecnica di un’azienda:

)ˆmax(ˆˆ iOLSCOLS

3. Equazione della frontiera efficiente:

*iTE iY

Yi

ij

s

jjCOLSxYi

1

ˆˆ*

4. Computo dell’indice