TEORIA DELLA STIMA E DELLA DESCISIONE STATISTICAadacher/automazione/Esercizi e...TEORIA DELLA STIMA...
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TEORIA DELLA STIMA E DELLA DESCISIONE STATISTICA STIMA A MASSIMA VEROSIMIGLIANZA Per determinare la stima a massima verosimiglianza di un parametro θ, partendo da un campione di dati X,
bisogna scrivere la densità di probabilità f(x;θ) dipendente dal parametro incognito θ . Successivamente si
ricava la funzione di verosimiglianza oppure il suo logaritmo:
â=
=N
iixfL
1
);()( θθ
â=
=N
iixfL
1)];(ln[)](ln[ θθ
Per procedere nella stima a massima verosimiglianza, basta semplicemente verificare che ln[L(θ)] sia
derivabile, calcolare la derivata prima e ricavare il valore di θ per cui si annulla:
0)](ln[Ë
=â
â
= ML
L
θθθθ
Le stime a massima verosimiglianza vengono in genere indicate con . Le principali proprietĂ di cui
godono sono:
MLÎĚ
Le stime sono consistenti; MLÎĚ
Le stime sono asintoticamente efficienti; MLÎĚ
Se per il problema in esame esiste uno stimatore efficiente, esso è proprio lo stimatore MLÎĚ
Inoltre se Ď(θ) è una funzione invertibile del parametro θ, la stima a massima verosimiglianza di Ď(θ), sarĂ
proprio . )Ë( MLθĎ
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2 Esercizi e Complementi
Esercizio 1.1
Determinare la stima a massima verosimiglianza del valor medio e della varianza di un campione di dati
X =(x1, x2, âŚ, xN) gaussiano N(Îź,Ď2)
Il primo passo è di scrivere la funzione di verosimiglianza:
( )2
2
2
12
1
2
21);(),( Ď
Îź
ĎĎθĎÎź
ââ
==ââ ==
ixN
i
N
ii exfL
passando al logaritmo:
â=
ââââ=N
iixNNL
1
22
22 )(2
1)ln(2
)2ln(2
)],(ln[ ÎźĎ
ĎĎĎÎź
le derivate parziali valgono:
â=
â=â
â N
iixL
12
2
)(1)],(ln[ ÎźĎÎź
ĎÎź
â=
â+â=â
â N
iixNL
1
2422
2
)(2
12
)],(ln[ ÎźĎĎĎ
ĎÎź
I valori per cui si annullano sono le stime a massima verosimiglianza dei parametri, rispettivamente:
â=
=N
iiML x
N 1
1ÎźĚ
â=
â=N
iMLiML x
N 1
22 )Ë(1Ë ÎźĎ
che corrispondono alla media e alla varianza campionaria.
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Modelli e Metodi per la Simulazione
3
Complemento 1.1
Per verificare la bontĂ della stima ottenuta bisogna verificare che le stime siano corrette. Per il valor
medio si ha:
ΟΟ == â=
N
iiML xE
NE
1
][1]Ë[
PoichĂŠ il valor medio dello stimatore coincide con il parametro da stimare, la stima si definisce non
polarizzata. Per verificare se la stima del valor medio MLÎźĚ Ă¨ una stima efficiente bisogna confrontare la
varianza della stima con il limite di Cramer-Rao, a tal proposito è necessario ricordare la disuguaglianza di
Cramer-Rao che nel caso specifico vale:
NxfE
Var ML
2
22 )],;(ln[
1]Ë[ Ď
ÎźĎÎź
Îź =
âĽâĽâŚ
â¤
â˘â˘âŁ
âĄâââ
ââââ
ââ
ââĽ
Per calcolare la varianza della stima MLÎźĚ bisogna eseguire la seguente operazione:
Nx
NVarVar
N
iiML
2
1
1]Ë[ ĎÎź =âĽâŚ
â¤â˘âŁ
âĄ= â
=
PoichĂŠ la varianza della stima coincide con il limite di Cramer-Rao, possiamo concludere che la media
campionaria MLÎźĚ ottenuta dalla stima a massima verosimiglianza del valor medio di un campione dati
gaussiano è una stima efficiente. Inoltre per quanto visto prima è anche una stima non polarizzata e
consistente, in definitiva è la migliore stima possibile che possiamo ottenere per questo tipo di parametro.
Questo risultato è valido sia se la varianza del campione è nota, e sia se è incognita come in questo caso.
Complemento 1.2
Le stesse verifiche effettuate per la stima del valor medio possono essere effettuate per la stima della
varianza del campione . Il risultato della stima a massima verosimiglianza suggerisce di utilizzare la
varianza campionaria come stima della varianza di un campione gaussiano. Purtroppo la varianza
campionaria non è una stima corretta infatti:
2Ë MLĎ
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4 Esercizi e Complementi
[ ] [ ] 2
1
22 1)Ë(1Ë ĎÎźĎN
NxEN
EN
iMLiML
â=â= â
=
In questo caso la stima si dice polarizzata, e la sua polarizzazione b vale:
[ ]N
Eb ML
222Ë ĎĎĎ â=â=
uno stima non polarizzata è ad esempio:
22 Ë1
Ë MLNP NN ĎĎâ
=
Il limite di Cramer-Rao, richiede un calcolo piĂš laborioso:
24
2
2
2
2
2
2 112
)],;(ln[
)Ë(1
]Ë[ ââ â
âââ â=
âĽâĽâŚ
â¤
â˘â˘âŁ
âĄâââ
ââââ
â
ââ
âââ
ââââ
â
ââ
+
âĽNNxfE
b
Var
ML
MLĎ
ĎĎÎź
ĎĎ
Ď
Per calcolare la varianza di . Consideriamo la seguente variabile: 2Ë MLĎ
22
2 Ë1NP
N ĎĎ
Ď â=
Si dimostra che questa variabile ha una densitĂ di probabilitĂ del Chi-quadro con N â 1 gradi di libertĂ , e
la sua varianza vale:
[ ] )1(22 â= NVar Ď
pertanto:
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Modelli e Metodi per la Simulazione
5
[ ] [ ] [ ]2222
22
22
11Ë1Ë1Ë ĎĎĎĎĎ Var
NNNVar
NN
NNVarVar NPNPML ââ
â
ââââ
ââ
ââ â
âââ â
=ââ â
âââ â
=âĽâŚâ¤
â˘âŁâĄ â
=
In definitiva:
[ ] ââ â
âââ â=
âââ â
âââ â
=ââââ
ââââ
ââ
ââ â
âââ â
=NNNN
NNNN
NVar ML112
121)1(2
11Ë
4422222 ĎĎĎĎ
Confrontando questa espressione con il limite di Cramer-Rao, appare evidente che la varianza
campionaria ha una varianza di stima sempre superiore al limite di Cramer-Rao, quindi la stima a massima
verosimiglianza della varianza di un campione dati non è una stima efficiente, ma tende al limite di
Cramer-Rao solo per N â â. In questo caso la stima si dice asintoticamente efficiente. Possiamo
riepilogare quanto detto dicendo che la stima a massima verosimiglianza di un campione dati gaussiano è
la varianza campionaria di , la quale risulta essere una stima consistente(in quanto stima ML), una
stima non corretta (perchÊ polarizzata), ed una stima asintoticamente efficiente. A questo punto è
interessante confrontare le proprietĂ della varianza campionaria con quelle della stima non polarizzata
determinata in precedenza :
2Ë MLĎ
2Ë NPĎ
[ ]1
2Ë4
2
â=
NVar NP
ĎĎ
PoichÊ la varianza di questa stima è maggiore della varianza della stima , dobbiamo concludere che la
stima a massima verosimiglianza della varianza di un campione di dati gaussiano, sebbene sia una stima
polarizzata, ha una bontà maggiore di qualsiasi altra stima, poichÊ è quella a varianza minore.
2Ë MLĎ
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6 Esercizi e Complementi
Esercizio 1.2
Determinare la stima a massima verosimiglianza del valor medio di una v.a. esponenziale negativa
utilizzando il campione di dati X =(x1, x2, âŚ, xN)
Il primo passo è di scrivere la funzione di verosimiglianza:
( )Nxxx
N
N
ii exfL
+++â
=â ==
L211
1
1);()( Îź
ΟΟΟ
passando al logaritmo:
( )NxxxNL +++ââ= L211)ln()](ln[Îź
ΟΟ
la derivata vale:
( )NxxxNL++++â=
ââ
L2121)](ln[ΟΟΟ
Îź
Il valore per cui si annulla è la stima a massima verosimiglianza del parametro:
( )N
xxx NML
+++=
L21ÎźĚ
che corrispondono alla media campionaria. Anche la media campionaria è una stima non polarizzata,
consistente ed efficiente, quindi la miglior stima per il valor medio di una v.a. esponenziale negativa
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Modelli e Metodi per la Simulazione
7
Esercizio 1.3
Sia Îť il numero medio di chiamate ricevute in unâora in una centrale telefonica. Ipotizzando che il numero
effettivo di chiamate orarie sia modellabile con una variabile aleatoria discreta di Poisson, con valor
medio pari a Îť, e di avere a disposizione N osservazioni indipendenti del fenomeno, determinare:
La stima a massima verosimiglianza del parametroÎť.
La polarizzazione della stima ottenuta;
Verificare la consistenza e lâefficienza della stima ottenuta
Ricordiamo che una v.a. discreta di Poisson a funzione massa di probabilitĂ pari a :
ΝΝ â= en
pn
n !
inoltre:
Îť== ][][ nVarnE
Il primo passo è di scrivere la funzione di verosimiglianza, sostituendo opportunamente la funzione
densitĂ di probabilitĂ con la funzione massa di probabilitĂ , perchĂŠ questa volta il problema riguarda una
v.a. discreta, ed il campione delle osservazioni è (n1,n2âŚ,nN):
ââ
â=
â
=
â
=
â =
===N
i
NN
ii
n
i
nN
ii e
ne
npL
N
i ii
1
1
1,
!!
)(1
ΝΝΝ
ΝΝΝ
passando al logaritmo:
ΝΝΟ NnnLN
ii
N
ii ââ= ââ
== 11
)!ln()ln()](ln[
la derivata vale:
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8 Esercizi e Complementi
NnL N
ii â=
ââ â
=1
1)](ln[ΝΝ
Îť
Il valore per cui si annulla è la stima a massima verosimiglianza del parametro:
â=
=N
iiML n
N 1
1ÎťĚ
Per verificare se la stima è corretta (non polarizzata):
[ ] ΝΝ == â=
N
iiML nE
NE
1
][1Ë
La stima ottenuta mediante la tecnica a massima verosimiglianza è la media campionaria, e risulta essere
una stima corretta. PoichÊ si tratta di una stima ML è anche consistente. Per verificare se la stima è
efficiente bisogna calcolare la varianza della stima e confrontarla con il limite di Cramer-Rao. PoichĂŠ per
ipotesi le N osservazioni sono indipendenti, la varianza si può calcolare come il prodotto delle singole
varianze:
[ ]N
nVarN
VarN
iiML
ΝΝ == â=1
2 ][1Ë
Il limite di Cramer-Rao è:
NnEnENnEp
E
VarN
ii
N
ii
N
ii
i
MLÎť
ΝΝΝΝΝ
ΝΝ
=
âââ
ââââ
â=
âĽâŚ
â¤â˘âŁ
âĄ=
âĽâĽâŚ
â¤
â˘â˘âŁ
âĄâââ
ââââ
ââ
ââ
=
âĽâĽâŚ
â¤
â˘â˘âŁ
âĄâââ
ââââ
ââ
ââĽ
âââ=== 1
21
21
2, ][1
11
1
1
1
]ln
1]Ë[
PoichÊ la varianza della stima coincide con il limite di Cramer-Rao la stima è efficiente.
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Modelli e Metodi per la Simulazione
9
Esercizio 1.4
Si consideri un esperimento che può avere solo due risultati: âsuccessoâ o âinsuccessoâ e che essere
ripetuto N volte. Ipotizzando che la probabilitĂ dellâevento âsuccessoâ sia pari a p, e che durante le N
prove dellâ esperimento lâevento favorevole si è verificato k volte, determinare una stima non polarizzata
del parametro p e verificarne la consistenza.
La variabile aleatoria discreta che descrive lâesercizio è una v.a. binomiale la cui funzione massa di
probabilitĂ vale:
)()1( kNkk pp
kN
p âââââ
ââââ
â=
Chiaramente la funzione massa di probabilità è funzione del parametro p, inoltre è anche la funzione di
verosimiglianza, quindi per determinare la stima ML è sufficiente derivare pk.:
)1()(1)( )1()()1()1()( âââââ âââââ
ââââ
âââââ
â
ââââ
â=âĽ
âŚ
â¤â˘âŁ
âĄâââ
â
ââââ
â== kNkkNkkNkk ppkN
kN
pkpkN
ppkN
dpd
dpdp
dppdL
la derivata si annulla per
Nkp
dppdL
MLpp ML
=â==
Ë0)(
Ë
poichĂŠ si tratta di una v.a. binomiale il valor medio e la varianza di k sono:
NpkpkEN
kkâ
=
==0
][
)1(][][][ 22 pNpkEkEkVar â=â=
Verifichiamo se la stima ML è una stima polarizzata:
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10 Esercizi e Complementi
pNkEpE ML ==
][]Ë[
La stima ML del parametro p è una stima corretta.
Npp
NkVarpVar ML
)1(][]Ë[ 2
â==
PoichĂŠ:
0]Ë[lim =ââ MLN
pVar
La stima ML del parametro p è una stima consistente.
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Modelli e Metodi per la Simulazione
11
DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARD
La distribuzione normale standard si indica con ÎŚ(z), e la sua espressione vale:
âŤââ
â=ÎŚ
z x
dxez 2
2
21)(Ď
La funzione ÎŚ(z), rappresenta lâarea sottesa ad una curva gaussiana di valor medio nullo, e varianza
unitaria. Questa espressione permette di calcolare la probabilità degli eventi X ⤠z, quando X è appunto,
una v.a. gaussiana a media nulla, e varianza unitaria.
x3.5-3.5
0.4
z
ÎŚ (z)
Ogni v.a. gaussiana X â N(Îź,Ď2), può essere normalizzata alla v.a. gaussiana standard Z mediante la
trasformazione:
2Ď
Îźâ=
XZ
In appendice, nella tavola A.1, viene riportata la tabella con i valori di Ό(z). Anche se la curva è definita
nellâintervallo ]-â,+â[ , in pratica assume valori significati nellâintervallo [-3.5, +3.5]. Per questo motivo
nelle tabelle vengono riportati soltanto in questo intervallo. Inoltre poichÊ la curva gaussiana è una
funzione simmetrica, la funzione ÎŚ(z), gode della seguente proprietĂ :
)(1)( zz ÎŚâ=âÎŚ
Pertanto la tabella riporta soltanto i valori nellâintervallo [0, +3.5].
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12 Esercizi e Complementi
Esercizio 1.5
Mediante lâutilizzo della tavola statistica Tav. A1 (che riporta i valori della distribuzione normale
standard), calcolare la probabilitĂ che la v.a. gaussiana X â N(4,4), assuma valori tra 3 e 5.
La prima operazione da effettuare è normalizzare la v.a. X alla gaussiana standard, e successivamente e
seguire il calcolo della probabilitĂ . In pratica:
{ } [ ])5.0(1)5.0()5.0()5.0(2
432
4553Pr ÎŚââÎŚ=âÎŚâÎŚ=ââ â
âââ â
ÎŚâââ â
âââ â
ÎŚ=<< X
Dalla tabella si ha: ÎŚ(0.5) = 0.6915, si ha:
{ } 383.053Pr =<< X
Esercizio 1.6
La quantità di carburante, in migliaia di litri, richiesta settimanalmente ad una stazione di servizio, può
essere schematizzata come una v.a. gaussiana X â N(20,16). Sapendo che la stazione viene
completamente rifornita allâinizio di ogni settimana, si chiede di calcolare la capacitĂ C del serbatoio, in
modo che la probabilitĂ di esaurire il carburante nella settimana risulti 0.01
PoichĂŠ la probabilitĂ che il carburante richiesto dalla stazione superi la capacitĂ del deposito deve essere
0.01, si ha:
{ } 01.0Pr => CX
e poichĂŠ:
{ } { } 01.04
201Pr1Pr =ââ â
âââ â
ÎŚâ=<â=>CCXCX
da cui:
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Modelli e Metodi per la Simulazione
13
99.04
20=â
â â
âââ â
ÎŚC
Dalla tabella si ha:
32,2933.24
20âââ
â CC
Quindi la capacitĂ del serbatoio deve essere circa di 29,32 migliaia di litri.
Complemento 1.3
Le variabili aleatorie gaussiane godono di alcune importanti proprietĂ , tra le quali, ricordiamo che due v.a.
gaussiane incorrelate sono anche indipendenti. Unâaltra proprietĂ riguarda la somma di due v.a. gaussiane
In particolare se una v.a. V è combinazione lineare di due v.a. gaussiane X e Y incorrelate
bYaXV +=
Eâ una v.a. gaussiana con i seguenti parametri:
YXV ba ΟΟΟ +=
222YXV ba ĎĎĎ +=
Questo risultato può essere esteso anche alla combinazione lineare di N v.a. gaussiane.
Se invece le due v.a. non sono incorrelate, le relazioni date sopra non sono valide. Nel caso di due v.a.
gaussiane correlate con grado di correlazione pari a Ď può essere interessante calcolare le probabilitĂ
condizionate X|Y e Y|X. In questo caso valgono le seguenti relazioni:
[ ] )( YY
XX yyYXE Îź
ĎĎ
ĎÎź â+==
[ ] ( )22 1 ĎĎ â== XyYXVar
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14 Esercizi e Complementi
[ ] )( XX
YY xxXYE Îź
ĎĎ
ĎÎź â+==
[ ] ( )22 1 ĎĎ â== YxXYVar
Esercizio 1.7
Un operaio A per compiere un lavoro impiega un certo tempo( in minuti) TA schematizzabile con
una v.a. gaussiana con parametri (102,9). Un secondo operaio impiega un tempo( in minuti) TB
schematizzabile con una v.a. gaussiana con parametri (100,16). I due operai inizano il lavoro
contemporaneamente ed in maniera indipendente.Quale è la probabilitĂ che lâoperaio A finisca il
lavoro prima dellâoperaio B
B
La coppia di variabili TA e TA sono due una coppia di v.a. gaussiane indipendenti. Pertanto la
variabile D = TA - TA è ancora una v.a. gaussiana con parametri (8,25):
{ } ( ){ } { } 334.0520Pr0PrPr âââ â
âââ âÎŚ=â¤=â¤â=< DTTTT BABA
Esercizio 1.8
Si supponga che lâaltezza(cm) di un gruppo molto numero sia una v.a gaussiana X â N(170,100).
Mentre il peso(Kg) sia espresso da una v.a gaussiana Y â N(75,100). PoichĂŠ le v.a. X e Y si
riferiscono allo stesso gruppo di persone sono correlate (Ď = 0.8) Quale è la probabilitĂ che scelta
una persona a caso pesi meno di 75 Kg?. Quale il peso medio delle persone alte 180 cm? Quale
è la probabilità che una persona alta 180 cm pesi meno di 75 Kg?
La prima domanda riguarda soltanto la v.a. Y pertanto:
{ } ( ) 5.0075Pr =ÎŚ=â¤Y
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Modelli e Metodi per la Simulazione
15
La seconda domanda implica il calcolo del valor medio condizionato E[Y|X = 180]
[ ] KgXYE XX
YY 83)170180(8.075)180(8.0180 =â+=â+== Îź
ĎĎ
Îź
La deviazione standard della v.a. condizionata Y|X, vale:
( ) 664.01101 222 =â=â= ĎĎĎ YXY
Quindi la risposta alla terza domanda è :
( ){ } 0912.034
6837575180Pr ââ
â â
ââââÎŚ=â
â â
âââ â
ÎŚ=â¤=XY
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16 Esercizi e Complementi
STIMA PER INTERVALLI La stima per intervalli, consiste nel determinare se il valore del parametro θ da stimare ricade in un certo
intervallo, che viene definito intervallo di fiducia della stima. Il problema viene formulato nel seguente
modo
{ } γθ â=<< 1Pr 21 BB
Dove B B1 e B2B sono due variabili statistiche, il cui valore è completamente determinato dal campione dati X,
mentre Îł viene detto livello di incertezza.
Ricordiamo due risultati importanti della teoria della stima:
1) Quando il parametro da stimare è il valor medio Ο di un campione dati gaussiano, la stima per
intervalli viene formulata nel seguente modo:
γΟ â=ââŹâŤ
âŠâ¨â§
â+<<
ââ 1
11Pr 21 S
NtXS
NtX
dove X e S2 sono rispettivamente la media e la varianza campionaria. Le variabili B1 e BB2 nel caso
specifico sono variabili t-Student con N â 1 gradi di libertĂ (N dimensione del campione).
2)Quando il parametro da stimare è la varianza del campione il problema viene formulato nel seguente
modo:
ÎłĎ â=ââŹâŤ
âŠâ¨â§
<< 1Pr1
22
2
2
xNS
xNS
I valori x1 e x2 si determinano facilmente dalle tavole del Ď2 imponendo le condizioni:
{ } { }2
1Pr2
Pr 12
22 ÎłĎÎłĎ â=âĽ=⼠xx
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Modelli e Metodi per la Simulazione
17
Esercizio 1.9
Dato un campione di dati X di dimensione N = 100, estratto da una popolazione avente scarto
quadratico medio Ď = 5.1. Ipotizzando che la media campionaria sia X =21.6 costruire un
intervallo di fiducia al 95% per la stima del valor medio della popolazione.
Lâesercizio consiste nel determinare un intervallo entro quale ritenere accettabile la stima del parametro Îź,
con un livello di incertezza γ = 0.05. PoichÊ la varianza del campione è nota il problema può essere
formulato semplicemente nella forma:
{ } 95.0Pr 21 =<< zz Îź
Graficamente si ha la seguente situazione:
Ď
Nz Îł
Ď
Nz Îł+
r e g io n e d ia c c e t ta z io n e
r e g io n e d i r i f iu to
X XÎź
Per determinare la regione di accettazione [z1,z2] bisogna quindi calcolare la variabile zÎł mediante la
conoscenza del livello di incertezza Îł. Dalla tabella della distribuzione normale standard, si ricava:
{ } [ ] 96.1975.0)(95.01)(2)(1)(Pr =â=ÎŚâ=âÎŚ=ÎŚââÎŚ=<<â γγγγγγγ zzzzzzZz
Dal valore di zÎł si ottiene il seguente intervallo di fiducia:
6.226.2095.010
1.596.16.2110
1.596.16.21PrPr â¤â¤â=ââŹâŤ
âŠâ¨â§ +<<â=
ââŹâŤ
âŠâ¨â§
+<<â ΟΟĎÎźĎγγ
NzX
NzX
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18 Esercizi e Complementi
Esercizio 1.10
Considerato il campione dati X (N = 80), riportato in tabella, determinare un intervallo di
fiducia al 99% per la stima del valor medio.
15.8 26.4 17.3 11.2 23.9 24.8 18.7 13.9 9.0 13.2
22.7 9.8 6.2 14.7 17.5 26.1 12.8 28.6 17.6 23.7
26.8 22.7 18.0 20.5 11.0 20.9 15.5 19.4 16.7 10.7
19.1 15.2 22.9 16.6 20.4 21.4 19.2 21.6 16.9 19.0
18.5 23.0 24.6 20.1 16.2 18 7.7 13.5 23.5 14.5
14.4 29.6 19.4 17.0 20.8 24.3 22.5 24.6 18.4 18.1
8.3 21.9 12.3 22.3 13.3 11.8 19.3 20.0 25.7 31.8
25.9 10.5 15.9 27.5 18.1 17.9 9.4 24.1 20.1 28.5
Lâesercizio è molto simile a quello precedente, bisogna però fare attenzione al fatto che questa volta la
varianza non è nota. La prima operazione da compiere è calcolare la media e la varianza campionaria:
8.181
1
== â=
N
iix
NX
96.31)(1
1
22 =â= â=
N
ii Xx
NS
Il problema viene formulato nel seguente modo:
γΟ γγ â=ââŹâŤ
âŠâ¨â§
â+<<
ââ 1
11Pr S
N
tXS
N
tX (2 â 40)
Anche in questo caso il problema si riconduce al calcolo di una variabile tÎł, mediante le tavole statistiche.
Questa volta bisogna utilizzare le tavole della distribuzione t-Student, poichĂŠ la varianza del campione dati
non è nota.
{ } 01.01Pr =â=<<â γγγ tTt
PoichÊ N = 80, è necessario conoscere la distribuzione t- Student con 79 gradi di libertà . Nella tabella a
disposizione, questo valore non è riportato. Quindi si può procedere in diversi modi, il primo è utilizzare il
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Modelli e Metodi per la Simulazione
19
valore piĂš vicino riportato nella tabella, e quindi dalla riga della distribuzione con 80 gradi di libertĂ si
legge tÎł = 2.638, di conseguenza si ricavo lâintervallo:
47.203.1701.096.3179638.28.1896.31
79638.28.18Pr â¤â¤â=
ââŹâŤ
âŠâ¨â§
+<<â ΟΟ
Un secondo metodo è lâapprossimazione gaussiana, tanto piĂš valida quanto piĂš grande è N. Per N = 79, è
ragionevole poter utilizzare tale approssimazione:
{ } [ ] 5758.299.01)(2)(1)(Pr =â=âÎŚ=ÎŚââÎŚ=<<â γγγγγγ zzzzzZz
5.201.1799.080
96.315758.28.1880
96.315758.28.18Pr â¤â¤â=âŞâ
âŞâŹâŤ
âŞâŠ
âŞâ¨â§
â<<â ΟΟ
Esercizio 1.11
Si consideri il seguente campione dati X (N = 15):
[0.060, 0.082, 0.056, 0.075, 0.091, 0.074, 0.072, 0.074, 0.080, 0.064, 0.068, 0.085, 0.078, 0.071]
Si determini un intervallo di fiducia al 95% per la stima del valor medio e della deviazione standard.
Calcolo della media e della varianza campionaria:
074.01
1
== â=
N
iix
NX
000081.0)(1
1
22 =â= â=
N
ii Xx
NS
Per la stima del valor medio utilizziamo le tavole della distribuzione t-Student con 14 gradi di libertĂ ,
poichÊ il livello di incertezza è γ = 0.05, si ha tγ = 2.145:
079.0069.005.0009.014145.2074.0009.0
14145.2074.0Pr â¤â¤â=
ââŹâŤ
âŠâ¨â§
+<<â ΟΟ
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20 Esercizi e Complementi
Per la stima della varianza, si ha:
ÎłĎ â=ââŹâŤ
âŠâ¨â§
<< 1Pr1
22
2
2
xNS
xNS
I valori x1 e x2 si determinano dalla tabella del Ď2 facilmente imponendo le condizioni:
{ } { }2
1Pr2
Pr 12
22 ÎłĎÎłĎ â=âĽ=⼠xx
Pertanto x2 = 26.119 e x1 = 5.629, da cui:
015.0007.095.0629.515009.0
119.261509.0Pr1Pr
1
2
2
2
â¤â¤â=âŞâ
âŞâŹâŤ
âŞâŠ
âŞâ¨â§
<<=â=âŞâ
âŞâŹâŤ
âŞâŠ
âŞâ¨â§
<< ĎĎÎłĎx
NSx
NS
Complemento 1.4
Eâ importante notare, che se diminuisce il livello di incertezza Îł, lâintervallo di fiducia aumenta. Questo
che apparentemente è un risultato positivo, deve far riflettere. PerchĂŠ lâaumento della fiducia nella stima,
significa che la stima è poco attendibile, perchĂŠ piĂš è ampio lâintervallo in cui si cerca un parametro, e piĂš
facile è trovarlo. Quindi una buona stima, è una stima con un livello di incertezza basso ed un intervallo di
fiducia molto stretto.
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Modelli e Metodi per la Simulazione
21
TEST DI IPOTESI STATISTICHE Si chiamano test di ipotesi statistiche (o prove dâaccordo) tutti quei procedimenti atti a verificare, per
mezzo dello studio di campioni, se sono accettabili o meno delle ipotesi fatte sulla legge di distribuzione
di una variabile. Nella sua forma piĂš generale il test delle ipotesi statistiche viene formulato nel seguente
modo:
Si definisce una variabile H (funzione del campione dati X) detta statistica del test;
Si definisce un intervallo di fiducia entro il quale devono essere verificate le ipotesi;
Se in corrispondenza del particolare campione osservato la variabile H assume un valore esterno
allâintervallo di fiducia, lâipotesi fatta viene rifiutata.
Quindi formalmente il problema viene formulato in maniera analoga al calcolo dellâintervallo di fiducia
per la stima dei parametri:
{ } Îłâ=<< 1Pr 21 hHh
Se il valore di H, ottenuto dal campione in esame, cade allâinterno dellâintervallo [h1,h2] non è ragionevole
rifiutare lâipotesi, che può essere accetta con una certa cautela derivante dal livello di incertezza Îł.
Un test molto importate è il test del Ď2 (Chi-quadro), che viene utilizzato, per verificare se un campione
dati X osservato segue una distribuzione uniforme. Per condurre il test si suddivide lâintervallo della
variabile uniforme ipotizzata in s parti e si determina la variabile Ri che rappresenta il numero di elementi
del campione che assumono un valore compreso nella i-esima parte, i valori (R1, R2, R3, ⌠RS).
PoichĂŠ sulla variabile in esame viene fatta lâipotesi sulla sua distribuzione, in ogni intervallo dovrebbe
cadere un numero di valori pari a : (p1, p2, p3, âŚ, pS). La statistica del test V viene calcolata nel seguente
modo:
( )â=
â=
S
i i
ii
NpNpR
V1
2
Fissato un certo livello di incertezza Îł, dalle tabelle del Ď2 con s-1 gradi di libertĂ , si può ricavare xÎł tale
che
{ } ÎłĎ Îł =⼠x2Pr
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22 Esercizi e Complementi
A questo punto possiamo formulare un test di ipotesi statistiche del tipo:
{ } γγ â=<< 10Pr xV
dove lâintervallo [0, xÎł] definisce la regione di accettazione. Lâipotesi verrĂ rifiutata se il valore di V
ottenuto da un particolare campione, è esterno alla regione di accettazione.
Esercizio 1.11
Gli incidenti di auto avvenuti in un anno su un tratto di strada sono indicati per ogni mese nella seguente
tabella:
MESE GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC
n° incidenti 19 16 20 22 33 30 34 35 22 18 30 21
Si vuole provare con un livello di incertezza Îł = 0.01, lâipotesi che la probabilitĂ evento incidente non
dipenda dal particolare mese in cui accada.
Lâipotesi che il numero di incidenti non dipenda dal mese, si traduce definendo una v.a. discreta X, che sia
uniformemente distribuita nellâintervallo [1,12], con vettore delle probabilitĂ : p1,= p2,= p3,= âŚ,= pS = 1/12.
Per verificare se il numero degli incidenti segua questa legge di distribuzione utilizziamo il test del Ď2
definendo la variabile V:
( )â=
â=
S
i i
ii
NpNpRV
1
2
Lâintervallo dei definizione della distribuzione in esame, viene suddiviso chiaramente in dodici parti s=12
Al posto di Ri sostituiamo il relativo numero di incidenti nel relativo mese, mentre la dimensione del
campione si ottiene sommando tutti i valori della tabella:
â=
=â==12
125300
iii NpRN
A questo punto siamo in grado di calcolare il valore di V:
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Modelli e Metodi per la Simulazione
23
( )8.20
252512
1
2
â â
=â=i
iRV
Dalle tabelle del Ď2 ricaviamo xÎł tale che:
{ } 72.2401.0Pr 2 =â==⼠γγ ÎłĎ xx
PoichĂŠ V < xÎł, lâipotesi fatta è vera con un livello di fiducia pari al 99%.
Esercizio 1.12
Si supponga di effettuare 100 lanci con una moneta e di ottenere 45 volte testa. Verificare mediante il test
del Ď2 che la moneta non sia truccata.
Se la moneta è perfettamente simmetrica la variabile X che esprime il risultato del lancio, può assumere
due valori con probabilitĂ pari a pi = 0.5, i = 1,2. Associamo ad 1 il risultato testa e a 2 il risultato croce:
â=
=â==2
1
50100i
ii NpRN
( )â=
==â
+â
=â
=S
i i
ii
NpNpR
V1
2222
150)5(2
50)5055(
50)5045(
Dalle tabelle del Ď2 con 1 grado di libertĂ , si ricava che xÎł è sempre maggiore di 1, per ogni Îł >0.3. Quindi
lâipotesi di simmetria sulla moneta può essere accettata con un livello di incertezza pari a 0.3
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24 Esercizi e Complementi
Esercizio 1.13
Si supponga di effettuare al calcolatore lâesperimento del lancio di un dado. Lâesperimento viene ripetuto
120 volte ottenendo i seguenti risultati:
Valore 1 2 3 4 5 6
Risultato 25 17 15 23 24 16
Per poter verificare se la simulazione condotta riproduce fedelmente la realtĂ , analizziamo il risultati
ottenuti. Mediante il test del Ď2 si vuole verificare che la sequenza di dati ottenuti sia uniforme
nellâintervallo [1,6] con un livello di incertezza Îł = 5%
Questo tipo di verifica è molto frequente, nellâanalisi degli Input di un simulazione. In pratica lo scopo è
verificare che la sequenza casuale generata al calcolatore segua la distribuzione desiderata. Nel caso
specifica bisogna verificare che la sequenza si uniforme nellâintervallo [1,6]
â=
=â==6
1
20120i
ii NpRN
( )5
20)2016(
20)2024(
20)2023(
20)2015(
20)2017(
20)2025( 222
1
2222
=â
+â
+â
+â
+â
+â
=â
=â=
S
i i
ii
NpNpR
V
Dalle tabelle del Ď2 con 5 gradi di libertĂ ricaviamo xÎł tale che:
{ } 071.1105.0Pr 2 =â==⼠γγ ÎłĎ xx
PoichĂŠ V < xÎł, lâipotesi fatta è vera con un livello di fiducia pari al 95%.
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Modelli e Metodi per la Simulazione
25
Esercizio 1.14
Durante lâesecuzione di una simulazione è previsto generare una sequenza di 250 numeri casuali tra
[0,9]. Per poter verificare la corretta generazione della sequenza casuale, viene suddiviso lâintervallo
[0,9] in 10 parti e si effettua il conteggio di quanti valori cadono nel singolo intervallo, e si ottiene la
seguente tabella:
Valore 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Risultato 17 31 29 18 14 20 35 30 20 36
Mediante il test del Ď2 si vuole verificare che la sequenza di dati ottenuti sia uniforme nellâintervallo [0,9]
Analogamente allâesercizio precedente:
â=
=â==10
1
25250i
ii NpRN
( ) ( )28.23
252510
1
2
1
2
ââ==
=â
=â
=i
iS
i i
ii RNp
NpRV
PoichĂŠ non viene fatta nessun riferimento al livello di incertezza scegliamo due valori Îł = (5%,1%) Dalle
tabelle del Ď2 con 9 gradi di libertĂ ricaviamo xÎł tale che:
{ } 919.1605.0Pr 2 =â==⼠γγ ÎłĎ xx
{ } 666.2101.0Pr 2 =â==⼠γγ ÎłĎ xx
In entrambi i casi non è possibile accettare il test.
Se si analizza attentamente la tabella si vede che per Îł =0.5%, si ottiene xÎł = 23.589. Il test in questo caso
può essere accettato anche se lo scarto è minimo. Eâ opportuno ricordare, che in questo caso è poco
significativo accettare il test, in primo luogo perchĂŠ lo scarto è minimo, ma soprattutto perchĂŠ lâipotesi è
verificata con un livello di incertezza molto basso, e quindi con un intervallo di fiducia molto ampio.
Abbiamo piĂš volte ribadito, che quando lâintervallo di fiducia è molto ampio è poco significativo accettare
un test di ipotesi statistiche.
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26 Esercizi e Complementi
Esercizio 1.15
Nellâanalisi dellâ accadimento di un certo evento, si è misurato che lâevento nelle ultime 90 settimane si è
verificato secondo il seguente campione dati:
N° di eventi per settimana 0 1 2 3 o piÚ
N° di settimane in cui si è verificato 52 32 6 0
Dalla tabella, si evince che sono 52 le settimane in cui non si è verificato, mentre sono 32 le settimane in
cui si è verificato una volta, e 6 le settimane in cui si è verificato 2 volte, etc. Verificare mediante il test
del Ď2 che la frequenza degli evento segua una distribuzione di Poisson con parametro Îť = 0.4 con livello
di incertezza Îł = 5%
Lâesperimento in esame consiste nellâosservare, in un intervallo temporale ben definito (0,t) pari ad una
settimana il verificarsi di un dato evento. In generale ogni osservazione è indipendente dalle altre, e quindi
ogni occorrenza dellâevento è indipendente dalle altre, inoltre dai dati osservarti la frequenza delle
occorrenze dellâevento sembra piuttosto regolare Quindi è lecito supporre, che lâoccorrenza di questo
evento segua una distribuzione di Poisson. Per calcolare i valori delle probabilitĂ pi bisogna utilizzare la
formula di Poisson:
ΝΝ â= en
pn
n !
da cui:
6703.0!04.0 4.0
0
0 == âep
2681.0!14.0 4.0
1
1 == âep
0536.0!2
4.0 4.02
2 == âep
0080.0)(1 2103 =++â= pppp
Chiaramente nel nostro caso sebbene lâindice parte da zero (p0, p1, p2, p3), queste probabilitĂ vanno lette
come (p1, p2, p3, p4) perchĂŠ lâindice della sommatoria del calcolo della statistica del test V parte da 1:
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Modelli e Metodi per la Simulazione
27
( ) ( ) ( ) ( )â=
=â
+â
+â
=â
=3
1
2222
76.354.554.56
13.2413.2432
33.6033.6052
i i
ii
NpNpR
V
Le ultime due probabilità sono state accorpate, poichÊ la somma delle loro probabilità assolute è minore di
5 è quindi sono ininfluenti per il test (Np3 = 0.0536*90=4.824, Np4 = 0.0536*90=0.72) le abbiamo
sommate e considerate come un unico caso (Np3+4 = 5.54). Questa è una regola empirica per assicurarsi
che la statistica del test sia una v.a. del Ď2.
Dalle tabelle del Ď2 con 2 gradi di libertĂ ricaviamo xÎł tale che:
{ } 991.505.0Pr 2 =â==⼠γγ ÎłĎ xx
PoichĂŠ V < xÎł, lâipotesi fatta è vera con un livello di fiducia pari al 95%.
Esercizio 1.16
Si ipotizza che il numero di difetti di presenti su un circuito stampato segue una legge di Poisson. Su un
campione di 60 circuiti presi a caso si misurano le seguenti frequenze di difetti:
N° difetti 0 1 2 3 o piÚ
N° di circuiti in cui è sono presenti i difetti 32 15 9 4
Verificare mediante il test del Ď2 che la frequenza degli evento segua una distribuzione di Poisson con
livello di incertezza Îł = 5%
PoichĂŠ in questo caso non viene fatta nessuna ipotesi sul parametro della distribuzione utilizzimo un
valore stimato. Dalla teoria è noto che la media campionaria è corrisponde alla stima a massima
verosimiglianza del valor medio di un v.a. di Poisson, pertanto:
75.060
4392151320Ë =â +â +â +â
=Îť
da cui:
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28 Esercizi e Complementi
4724.0!0
75.0 75.00
0 == âep
3543.0!1
75.0 75.01
1 == âep
1329.0!2
75.0 75.02
2 == âep
0404.0)(1 2103 =++â= pppp
Anche in questo caso conviene accorpare le ultime due probabilitĂ . Questo si poteva anche vedere , dalla
tabella iniziale, infatti perchĂŠ il test sia significativo, in ogni intervallo i-esimo, in cui si divide il campione
dati è bene che cadano al meno 10 valori. Unendo le ultime due colonne otteniamo : 9+4 =13
( ) ( ) ( ) ( )â=
=â
+â
+â
=â
=3
1
2222
97.239.10
39.101326.21
26.211534.28
34.2832
i i
ii
NpNpR
V
PoichÊ il valor medio della variabile di Poisson è stato stimato dal campione, non bisogna utilizzare la
distribuzione del Ď2 con 2 gradi di libertĂ ( come si dovrebbe perchĂŠ la statistica del test è stata calcolato
con s = 3), ma quella con un grado di libertĂ , perchĂŠ bisogna anche considerare lâincertezza della stima
effettuata, quindi diminuire i gradi di libertĂ del numero di parametri stimati dal campione dati (in questo
caso solo il valor medio), pertanto ricaviamo xÎł tale che
{ } 841.305.0Pr 2 =â==⼠γγ ÎłĎ xx
PoichĂŠ V < xÎł, lâipotesi fatta è vera con un livello di fiducia pari al 95%.
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Modelli e Metodi per la Simulazione
29
Esercizio 1.17
Osservando gli arrivi in un centro di servizio, si registrano i seguenti valori:
0.87 2.57 3.23 3.94 0.06 0.95
2.48 1.43 1.63 15.80 1.50 1.36
3.43 0.25 1.04 5.53 0.54 1.41
2.68 0.80 3.86 2.23 2.00 1.88
2.73 0.17 0.01 0.55 3.48 0.77
che rappresentano i tempi di inter-arrivo delle richieste di servizio al sistema. Verificare mediante il test
del Ď2 che la distribuzione dei tempi di inter-arrivo segua una legge esponenziale negativa.
Nellâanalisi dei sistemi a coda, questo tipo di verifica è necessaria per poter decidere di adottare un
modello markoviano per descrive il sistema. PoichĂŠ abbiamo soltanto un campione dati X osservato senza
nessuna ipotesi calcoliamo la media e varianza campionaria:
31.21
1
== â=
N
iix
NX
88.2)(1
1
2 =â= â=
N
ii Xx
NS
Se i tempi di inter-arrivo fossero esponenziali, ogni arrivo è indipendente dal precedente, è si può
ipotizzare che gli arrivi sono uniformemente distribuiti allâinterno dellâintervallo di osservazione. Questo
significa che se suddividiamo la sequenza complessiva di 30 valori in s = 6 intervalli, in ogni intervallo
devono cadere 5 valori della sequenza. Se suddividiamo lâintervallo [0,1] in 6 parti otteniamo i seguenti
sottointervalli con i rispettivi valori di soglia:
0.00 0.167 0.333 0.500 0.667 0.883 1.00** * * * * * * * ***** * ** * * * * *** * ** **
5 5 5 5 5 5
*
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30 Esercizi e Complementi
Il problema va trasportato ad una distribuzione esponenziale, quindi dobbiamo traslare i valori di soglia
secondo la formula:
[ ])(1ln31.2)( xUxE ââ=
E contare in ogni intervallo quanti valori cadono:
0.00 0.421 0.935 1.599 2.534 4.133 15.95** ** **** * * *** ** * ** * * * * * ** ** ** *
4 5 6 5 8 2
chiaramente per effetto della trasformazione di variabile gli intervalli non sono della stessa lunghezza, ma
in ogni caso dovrebbero cadere 5 valori in ogni intervallo (ipotesi di uniformitĂ ). PoichĂŠ si osservano dei
valori diversi in ogni intervallo, effettuiamo il test del Ď2 con un livello dâincertezza del 5% per verificare
lâipotesi:
â=
=â==6
1
530i
ii NpRN
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )â=
=â
+â
+â
+â
+â
+â
=â
=6
1
2222222
4552
558
555
556
555
554
i i
ii
NpNpR
V
PoichĂŠ abbiamo utilizzato, un valore stimato del valor medio della distribuzione esponenziale, bisogna
utilizzare la tavola del Ď2 con 4 gradi di libertĂ :
{ } 488.905.0Pr 2 =â==⼠γγ ÎłĎ xx
PoichĂŠ V < xÎł, lâipotesi fatta è vera con un livello di fiducia pari al 95%.
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NUMERI PSEUDO-CASUALI GENERATORI DI SEQUENZE PSEUDO-CASUALI Un generatore congruente lineare, ha la seguente espressione
mcaXX nn mod)(1 +=+
Il parametro a è detto moltiplicatore mentre c incremento, m è il valore rispetto al quale si esegue
lâoperazione di modulo. In particolare se c = 0, il generatore viene detto moltiplicativo. Il termine iniziale
dellâalgoritmo X0 è detto seme ed è un numero intero. Per ottenere dalla sequenza numerica Xn una
sequenza di valori distribuita tra [0,1] è sufficiente la seguente operazione
mXU n
n =
La sequenza ottenuta è periodica al piÚ di periodo m, in particolare si dice che ha periodo pieno se il suo
periodo è proprio m, e ciò si verifica quando sono verificate le seguenti condizioni:
Se m e c sono primi tra loro;
Se m è divisibile per un numero primo b, per il quale deve essere divisibile anche a â 1;
Se m è divisibile per 4, allora anche a â 1 deve essere divisibile per 4.
Oltre a queste verifiche è necessario anche verificare lâuniformitĂ della sequenza mediante lâistogramma
(analisi qualitativa) e mediante il test del Ď2 (analisi quantitativa).
Dopo aver ottenuto una sequenza pseudo-casuale è possibile ottenere altre distribuzioni mediante le
trasformazioni di variabili aleatorie, o mediante il metodo della reiezione-accettazione.
Appare evidente che maggiore è il periodo della sequenza ottenuta, e maggiori sono le probabilità di aver
ottenuto un buon generatore. PoichĂŠ per ottenere un periodo molto elevato bisogna utilizzare valori di m
molto elevati, almeno m ⼠235, e di conseguenza anche valori di a molto grandi, questo significa che
bisogna avere elaboratori elettronici con notevoli capacitĂ di calcolo. Bisogna anche considerare lo scopo
per cui si svolge la simulazione, infatti se non sono necessarie sequenze molto numerose si possono
utilizzare anche generatori con valori piĂš bassi.
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32 Esercizi e Complementi
Esercizio 2.1
Dato il seguente generatore congruente lineare (LCG), calcolare la sequenza pseudo-randomica generata
e verificare lâuniformitĂ ,mediante la tecnica dellâistogramma. LCG = (a = 3, X0 = 3, m = 7).
Calcoliamo la sequenza Xn:
2)7mod(3 01 == XX
6)7mod(3 12 == XX
4)7mod(3 23 == XX
5)7mod(3 34 == XX
1)7mod(3 45 == XX
3)7mod(3 56 == XX
2)7mod(3 67 == XX
[ ]285.0428.0428.0142.0571.0857.0285.07
== nn
XU
suddividiamo lâintervallo [0,1] in 6 intervalli e contiamo quanti valori cadono in ogni singolo intervallo:
I= [0, 0.167, 0.333, 0.500, 0.667, 0.833, 1]
R = [2, 2, 1, 1, 0, 1]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
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Modelli e Metodi per la Simulazione
33
Esercizio 2.2
Ripetere lâesercizio precedente con m = 14
Calcoliamo la sequenza Xn:
9)14mod(3 01 == XX 13)14mod(3 78 == XX
13)14mod(3 12 == XX 11)14mod(3 89 == XX
11)14mod(3 23 == XX 5)14mod(3 910 == XX
5)14mod(3 34 == XX 1)14mod(3 1011 == XX
1)14mod(3 45 == XX 3)14mod(3 1112 == XX
3)14mod(3 56 == XX 9)14mod(3 1213 == XX
9)14mod(3 67 == XX 13)14mod(3 1413 == XX
Un = [0.6429, 0.9286, 0.7857, 0.3571, 0.0714, 0.2143, 0.6429, 0.9286, 0.7857, 0.3571, 0.0714,
0.2143, 0.6429, 0.9286]
R = [4, 2, 0, 3, 2, 3]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Il risultato non è molto incoraggiante, quindi la scelta di aumentare il periodo non basta per migliorare, il
generatore, infatti abbiamo ottenuto una sequenza con un periodo molto basso, infatti il numero primo per
cui è divisibile m è 7, mentre a-1 non è divisibile per 7.
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34 Esercizi e Complementi
Esercizio 2.3
Dato il seguente generatore congruente lineare (LCG: a = 17, c = 43, X0 = 27, m = 100), verificare al
calcolatore, lâuniformitĂ mediante la tecnica dellâistogramma e il test del Ď2 con un livello di incertezza
del 5%
Prima di generare la sequenza al calcolatore bisogna fare alcune verifiche preliminari sui parametri del
LCG:
Se m e c sono non hanno divisori comuni, sebbene m non sia un numero primo;
Sia m = 100 che a â 1 = 16 sono divisibili per 2 (numero primo)
Sia m = 100 che a â 1 = 16 sono divisibili per 4
Quindi possiamo concludere che la sequenza generata avrĂ periodo pieno. Di seguito riportiamo i primi 3
(la sequenza completa ha lunghezza N = 100):
mcaXX nn mod)(1 +=+
02.02)100mod(4317 1101 ==â=+=
mX
UXX
77.077)100mod(4317 2212 ==â=+=
mX
UXX
52.053)100mod(4317 3323 ==â=+=
mX
UXX
Per implementare il test del Ď2 è possibile suddividere lâintervallo [0,1] in s = 10 parti, per ognuna di
queste parti pi = 0.1:
â=
=â==10
1
10100i
ii NpRN
Il vettore delle variabili Ri = [25, 0, 0, 25, 0, 0, 25, 0,0, 25]
PoichĂŠ ci sono geli intervalli in cui non cadono valori, effettuiamo lâaggregazione, calcolando il test su 4
con 25 valori:
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Modelli e Metodi per la Simulazione
35
( ) ( ) ( ) ( ) ( )â=
=â
+â
+â
+â
=â
=4
1
22222
025
252525
252525
252525
2525
i i
ii
NpNpR
V
Mediante la tavola del Ď2 con 3 gradi di libertĂ :
{ } 185.705.0Pr 2 =â==⼠γγ ÎłĎ xx
PoichĂŠ V < xÎł, lâipotesi fatta è vera con un livello di fiducia pari al 95%. Bisogna in questo caso fare
attenzione perchĂŠ il test del Ď2 condotto in questo modo è falsato. Infatti osservando il vettore Ri è
possibile notare che ci sono degli intervalli in cui sono concentrati molti valori, ed altri vuoti, questo basta
per concludere che la sequenza generata non può essere utilizzata come sequenza pseudocasuale in una
simulazione perchÊ il generatore LCG scelto non è affidabile:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
5
10
15
20
25
Istogramma della sequenza casuale di 100 con s =10
Questo esercizio mette in risalto un forte limite del test del Ď2 , quando viene utilizzato per verificare il
comportamento di un generatore LCG per questo motivo, la verifica si accompagna molto spesso con
lâistogramma e ad altri tipi di verifiche piĂš significative che saranno illustrate nelle pagine seguenti.
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36 Esercizi e Complementi
Esercizio 2.4
Data la seguente sequenza di numeri pseudocasuali Un = [0.44, 0.81, 0.14, 0.05, 0.93] verificare
lâuniformitĂ mediante il test di Kolmogorov-Smirnov con un livello di incertezza pari al 5%
Il campione dati disponibile è molto piccolo ( N = 5), quindi il test del Ď2 non può essere condotto in
maniera significativa. In questo caso si preferisce il test KS:
La prima operazione da compiere è ordinare i valori del campione osservato:
1)93.0(80.0)81.0(60.0)44.0(40.0)14.0(,20.0)05.0( 00000 ===== FFFFF
Eâ opportuno ricordare che una variabile aleatoria che segue una legge di distribuzione uniforme
nellâintervallo [0,1] è descritta dalle seguenti curve:
x
Xf(x)
DensitĂ diProbabilitĂ
x
XF(x)
Distribuzione diProbabilitĂ
1
11
10 0
Per implementare il test KS bisogna utilizzare la curva Distribuzione di ProbabilitĂ (la curva di destra):
)( )(0
iXF )( )(iX XF )()( )()(0
iXi XFXF â
0.20 0.05 0.15
0.40 0.14 0.26
0.60 0.44 0..16
0.80 0.81 0.01
1.00 0.93 0.07
Il punto di massima distanza dalla curva ipotizzata è il 2° della tabella quindi X(2) = 0.14, per cui la
statistica del test è D = 0.26. Se poniamo un livello di incertezza pari a Îł = 0.05, le tabelle (K â S) curva
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Modelli e Metodi per la Simulazione
37
forniscono per N = 5, un valore dÎł = 0.56, poichĂŠ la statistica del test D è minore di questo valore, lâipotesi
fatta (sequenza osservata uniforme) può essere accettata.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Test di Kolmogorov-Smirnov
x
F(x
)Curva osservata ->
<- Curva teorica
Interpretazione grafica del test di Kolmogorov-Smirnov
Complemento 2.1
Il test di Kolmogorov-Smirnov, a differenza del test del Ď2, analizza la forma della legge di distribuzione,
pertanto è piĂš potente nel caso di campioni con pochi valori. Il test del Ď2 è piĂš idoneo ad analizzare la
densitĂ dei punti allâinterno degli intervalli in cui suddividiamo lâintervallo di definizione della variabile, e
molto spesso è necessario accompagnare questo test mediante unâanalisi fatta con lâistogramma. Quando
la sequenza pseudocasuale è molto numerosa il test KS diventa molto laborioso ma con lâattuale
disponibilità di calcolatori elettronici, è possibile implementare entrambi i test al calcolatore, pertanto
quando si genera una sequenza pseudocasuale uniforme, è consigliabile effettuare tutte le verifiche prima
di accettare il generatore ed utilizzarlo per una simulazione.
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38 Esercizi e Complementi
Complemento 2.2
La verifica dellâuniformitĂ della sequenza pseudocasuale non è lâunica verifica da effettuare, per accettare
un LCG. Una verifica molto importante e necessaria è quella della correlazione tra i valori della sequenza.
Questo tipo di verifica è molto piÚ complessa, ma è necessaria perchÊ un generatore LCG che supera i test
di uniformità non può essere utilizzato se i valori della sequenza non sono incorrelati. Questa condizione
non si può ottenere e quindi è sufficiente che la correlazione sia molto bassa. Un test molto potente che
viene condotto per verificare la bontà dei generatori LCG è il test spettrale, che sfrutta una particolare
proprietĂ dei generatori LCG. Questi generatori presentano una struttura a reticolo, se ad esempio
suddividiamo la sequenza in triple, ed analizziamo la disposizione dei valori in uno spazio tridimensionale
osserviamo una figura del tipo:
Generatore moltiplicativo IBM RANDU( LCG: a = 65539, c = 0, X0 = 1, m = 231), 1968
Il generatore LCG in figura è noto come RANDU, ed è stato implementato dalla IBM sui propri sistemi
nel 1968.
Come si vede dalla figura, i valori della sequenza si dispongono su dei piani ( questa è una diretta
conseguenza della struttura a reticolo dei generatori congruenti lineari). Se i piani non sono equidistanti,
significa che vi sono delle zone dellâintervallo [0,1] a maggiore densitĂ di valori, e soprattutto che câè una
elevato correlazione tra i valori della sequenza. Pensiamo ad esempio ad un generatore che simuli il lancio
del dado, se prendiamo i risultati a valori singoli è auspicabile che ogni valore abbia una percentuale pari
ad 1/6, mentre se prendiamo i valori della sequenza a coppie desideriamo che ogni coppia abbia una
percentuale pari a 1/36 e cosi via. Da questa considerazione nasce lâidea di verificare la correlazione e
lâuniformitĂ della sequenza mediante la distanza tra i piani di cui è formato il reticolo. Se lâanalisi è
condotta su due dimensioni i piani si riducono a delle rette, mentre se lâanalisi viene condotta per
dimensioni k > 3, i piani diventano degli iperpiani non piĂš rappresentabili graficamente, ma in ogni caso la
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Modelli e Metodi per la Simulazione
39
distanza è calcolabile. Il test spettrale, consiste nel calcolare per ogni dimensione k > 1, la distanza
minima tra i paini e di effettuare una normalizzazione tale che si ottiene una variabile 0<S<1. Se S è molto
vicino ad 1, la correlazione è abbastanza bassa perchÊ gli iperpiani sono quasi equidistanti, se invece S è
molto vicino a zero allora ci degli iperpiani molto vicini tra loro e quindi la sequenza generata ha una
elevata correlazione. Un risultato molto interessante del test spettrale, è che S non ha lo stesso valore per
tutte le dimensioni. Di seguito si riportano alcuni esempi di LCG molto comuni ed i rispettivi test spettrali.
LCG: a = 477211307, c = 0, X0 = 1, m = 232
Il test spettrale è stato condotto fino ad 8 dimensioni (k = 8) con il seguente risultato:
k 2 3 4 5 6 7 8
S 0.6581 0.0095 0.0500 0.1367 0.2608 0.4103 0.5660
Questo generatore analizzato in 2 dimensioni sembra buono, ma poi presenta unâelevata correlazione giĂ
per valori della sequenza distanti piĂš di due valori (k > 3). Graficamente:
Sui generatori LCG vengono fatte numerose prove ed poichĂŠ questi generatori dipendono molto
dai loro parametri tanto che un piccolo cambiamento di uno di essi può provocare la totale
modifica della sequenza generata il parametri (a, c, X0, m) vengono nella pratica determinati in
maniera esaustiva ripetendo per ogni scelta, il test spettrale ed i test di uniformitĂ .
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40 Esercizi e Complementi
Unix ANSI-C : LCG: a = 1103515245, c = 12345, X0 = 12345, m = 231
Il test spettrale è stato condotto fino ad 8 dimensioni (k = 8) con il seguente risultato:
k 2 3 4 5 6 7 8
S 0.84 0.52 0.63 0.49 0.68 0.43 0.54
BCSLIB: LCG: a = 515, c = 0, X0 = 1, m = 235
Implementato nel linguaggio SIMULA :
k 2 3 4 5 6 7 8
S 0.5809 0.4145 0.8004 0.6401 0.6951 0.6379 0.7473
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Modelli e Metodi per la Simulazione
41
APPLE: LCG: a = 513, c = 0, X0 = 1, m = 235
Implementato da Apple Computers :
k 2 3 4 5 6 7 8
S 0.4746 0.3715 0.6376 0.6124 0.7416 0.6781 0.7473
Fishman-Moore: LCG: a = 742938285, c = 0, X0 = 1, m = 231-1
Implementato da Apple Computers :
k 2 3 4 5 6 7 8
S 0.8672 0.8607 0.8627 0.8319 0.8340 0.6239 0.7067
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42 Esercizi e Complementi
Complemento 2.3
Unâaltra importante classe di generatori di sequenze pseudocasuale è costituita dai generatori congruenti
inversi denominati ICG (proposti da Euchenauer e Lehr nel 1986), la cui formula è:
mcX
aXn
n mod)1(1 +=+
mXU n
n =
Questa classe di generatori è molto meno sensibile alla variazione dei parametri rispetto ai generatori
LCG. Purtroppo non avendo una struttura regolare non è possibile implementare il test spettrale, possiamo
in ogni caso analizzare una figura bidimensionale che ci dĂ una misura della correlazione, prendendo i
punti a coppia e disponendoli su di un piano. Questa operazione è analoga a quella vista in precedenza per
i generatori LCG, per i quali è stato possibile misurare la correlazione grazie alla struttura a reticolo ( che
in un piano ha come effetto di disporre le coppie di valori su delle rette parallele), per un generatore ICG
si ottiene una figura del tipo:
Oltre ai classici test illustrati, esistono molti altri tipi di test empirici che si effettuano sui generatori di
sequenze pseudocasuali per verificarne le prestazioni: come ad esempio verificare che un generatore
uniforme simuli correttamente delle variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite in [0,1]
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Modelli e Metodi per la Simulazione
43
SEQUENZE PSEUDO-CASUALI NON UNIFORMI La generazione di sequenze pseudocasuale uniformi in[0,1], è soltanto il primo passo della generazione di
numeri casuali. Infatti una volta ottenuta una sequenza che simuli in maniera accettabile una v.a. uniforme
in [0,1] bisogna determinare delle sequenze che rappresentino bene anche altre variabili aleatorie. Esistono
diverse tecniche per ottenere variabili aleatorie con densitĂ di probabilitĂ nota da una sequenza numerica
pseudocasuale. Negli esercizi proposti di seguito saranno illustrati alcuni esempi.
Esercizio 2.5
Data una sequenza di numeri pseudocasuali Un in [0,1], determinare una sequenza di numeri
pseudocasuale che segua una distribuzione uniforme in [b,b+a]
Consideriamo la seguente variabile Y
baUY +=
la funzione inversa è :
abYYgU â
== â )(1
Quindi la distribuzione della v.a. uniforme in [a,b]:
âŞâŞâŠ
âŞâŞâ¨
â§
>+<<<<ââ
=by
abybby
ayyFY
1
0)(
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44 Esercizi e Complementi
Esercizio 2.6
Data una sequenza di numeri pseudocasuali Un in [0,1], determinare una sequenza di numeri
pseudocasuale che segua una distribuzione esponenziale negativa
Indichiamo con E la v.a. esponenziale, e riflettiamo sulla seguente legge di corrispondenza:
)1ln( UE ââ=
la funzione inversa è :
EeEgU ââ â== 1)(1
Quindi la distribuzione della v.a. esponenziale:
01)( âĽâ= â yeyF yE
Sebbene siamo ceri di aver utilizzano un generatore molto affidabile per generare la sequenza
pseudocasuale Un conviene sempre effettuare dei test di verifica, come il test del Ď2 oppure il test di
Kolmogorov-Smirnov per verificare che la v.a. generata segua la curva desiderata, molto semplice è
sufficiente una verifica mediante istogramma:
0 1 2 3 4 5 6 7 80
100
200
300
400
500
600
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Modelli e Metodi per la Simulazione
45
Esercizio 2.7
Data una sequenza di numeri pseudocasuali Un in [0,1], determinare una sequenza di numeri
pseudocasuale che segua una distribuzione di Weibull con parametri (β,δ )
Questo esercizio è molto simile al precedente. La funzione densità di probabilità della v.a. di
Weibull è:
1
)(â
ââ â
ââââ
ââ â
âââ=
ββ
δ
δδβ xexf
x
X
La funzione distribuzione di probabilitĂ vale:
β
δââ â
ââââ
â=x
X exF 1)(
ponendo
( )[ ]βδ1
1 1ln)( UXXgU ââ=â= â
Confrontiamo lâistogramma con parametri (δ = 1, β = 2) con la curva reale (δ = 1, β = 2) per unâanalisi
qualitativa, ma è possibile anche effettuare analisi piĂš consistenti mediante il test del Ď2 oppure il test di
Kolmogorov-Smirnov:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
50
100
150
200
250
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8DensitĂ di probabilitĂ della v.a. di Weibull
x
f(x)
b=0.8
b=1 b=2
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46 Esercizi e Complementi
Complemento 2.4
Con il metodo della trasformazione di variabili aleatorie è possibile anche generare variabili aleatorie
gaussiane. Osservando la probabilitĂ congiunta di due v.a. gaussiane indipendenti X e Y si ha:
âââ
ââââ
â +â
== 2
22
21)()(),(
yx
YXXY eyfxfyxfĎ
Consideriamo la seguente trasformazione in coordinate polari:
22 YXR +=
ââ â
âââ=Î
XYgarctan
Le variabili X e Y si ottengono dalle variabili R e Î mediante la seguente trasformazione inversa:
Î= cosRX
Î= sinRY
La densità di probabilità congiunta di R e Πè:
âââ
ââââ
ââ
Î = 2
2
2),(
r
R errfĎ
θ
con le singole densitĂ di probabilitĂ marginali :
0)( 2
2
âĽ=âââ
ââââ
ââ
rrerfr
R
ĎθĎ
θ 2021)( â¤â¤=Îf
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Modelli e Metodi per la Simulazione
47
In definitiva R è una variabile aleatoria di Rayleigh mentre Πè una variabile aleatoria uniforme in [0,2Ď].
PoichÊ siamo in grado di generare solo variabili aleatorie uniformi in [0,1] il nostro obiettivo è di
manipolare le espressioni appena calcolate per ricavare una legge di trasformazione che permetta di
ricavare le v.a. gaussiane X e Y da v.a. uniformi U in [0,1]. La densità di Rayleigh è una legge
esponenziale quindi è molto semplice verificare che dalla distribuzione di probabilità di R:
01)()( 2
0
2
âĽâ==âââ
ââââ
ââ
⍠redrrfrFrr
RR
si ricava la seguente trasformazione, che permette di esprimere una v.a. R di Rayleigh in funzione di una
v.a. uniforme in [0,1] :
( )UR ââ= 1ln2
la variabile Πè uniforme in [0,2Ď], e nellâesercizio 2.5 abbiamo visto come si operano le trasformazioni di
v.a. uniformi, quindi definite due v.a. uniformi in [0,1] U1 e U2 la trasformazione che consente di ottenere
due v.a. gaussiane indipendenti X e Y è:
( ) ( )21 2cos1ln2 UUX Ďââ=
( ) ( )21 2sin1ln2 UUY Ďââ=
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48 Esercizi e Complementi
SEQUENZE PSEUDO-CASUALI DISCRETE La generazione di variabili aleatorie discrete è molto semplice, basta ricordare la definizione di una v.a. di
Bernoulli. Questa v.a. può assumere solo due valori 0 ed 1, rispettivamente con probabilitĂ (1 â p)
e p. Lâidea è quella di determinare una regola che ci aiuti a passare da una variabile continua
uniforme in [0,1] alla v.a. di Bernoulli. Se fissiamo un valore di soglia pari a p ed eseguiamo un
test definendo una variabile B tale che:
âŠâ¨â§
â¤>
=pUpU
B10
Otteniamo una v.a. di Bernoulli. Allo stesso modo si procede per qualsiasi v.a. discreta come vedremo
negli esercizi che seguono.
Esercizio 2.7
Data una sequenza di numeri pseudocasuali uniforme in [0,1] U, determinare una sequenza di numeri
pseudocasuale che segua una distribuzione discreta pn = [0.5, 0.3, 0.2]
La v.a discreta definita nella traccia dellâesercizio può assumere solo tre valori [0,1,2] e rispettivamente
con probabilità p0 = 0.5, p1 = 0.3, p2 = 0.2, partendo da una v.a. uniforme si può ottenere semplicemente
con seguente test:
âŞâŠ
âŞâ¨
â§
â¤<â¤<â¤<
=18.028.05.01
5.000
UU
UBn
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Modelli e Metodi per la Simulazione
49
Esercizio 2.8
Data una sequenza di numeri pseudocasuali uniforme in [0,1] U, determinare una sequenza di numeri
pseudocasuale che segua una distribuzione binomiale con parametri p e N
La v.a Binomiale ha funzione massa di probabilitĂ :
1)( =+âââ
ââââ
â= â qpqp
nN
p nNnn
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Xn
Pn
Massa di probabilitĂ della v.a. binomiale
Massa di probabilitĂ della v.a. Binomiale per N=15, p=0.8
Ed esprime la probabilitĂ che un evento si realizzi n volte in un esperimento ripetuto N volte. Per N = 1, la
v.a. binomiale si riduce ad una v.a. di Bernoulli. Questo ci suggerisce di generare una v.a. di Bernoulli e di
ripetere lâesperimento N e contare il numero di volte che si verifica lâevento favorevole. Un possibile
algoritmo è riportato di seguito:
Binomiale (N,p) for i=1:100 sum=0;%inizializzazione for j=1:N if(U < p);%generazione di una v.a. di Bernoulli sum=sum+1; end end B=sum+1;%B rappresenta una v.a. Binomiale h(B)=h(B)+1;%compilazione dellâistogramma end
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50 Esercizi e Complementi
Esercizio 2.9
Data una sequenza di numeri pseudocasuali uniforme in [0,1] U, determinare una sequenza di numeri
pseudocasuale che segua una distribuzione geometrica con parametro p
La v.a. discreta geometrica è definita come il numero di prove k da effettuare prima che si abbia lâevento
favorevole, il quale ha probabilitĂ p di accadere.
kppprovekdoposuccesso )1()Pr( â=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35Massa di probabilitĂ della v.a. geometrica
Xn
Pn
- Distribuzione geometrica (k = 10, p = 0.3)
Quindi per generare una v.a. geometrica basta semplicemente, generare una v.a. U, definire
lâevento favorevole come: U < p e contare il numero prove del test fino al primo evento
favorevole (ricordiamo che il primo campione della v.a. geometrica vale p: p0 = p). for i=1:1000 geo= 0; %initializione while U>p & geo+1<k %stepping through the distribution geo=geo+1; %geo è la v.a. geometrica end h(geo+1)=h(geo+1)+1; %compiliazione istogramma end
La v.a. geometrica è definita per n = 0,1,âŚ,â. In realtĂ la sequenza viene generata per un numero
finito di valori k. PoichÊ la somma di tutti elementi della sequenza deve essere 1, è possibile
soprattutto negli ultimi termini (coda della distribuzione) che i valori della sequenza generata non
coincidano con quella teorica.
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Modelli e Metodi per la Simulazione
51
Complemento 2.5
Alle volte per generare una v.a. discreta occorre esaminare attentamente le sue proprietĂ . Ad esempio la
v.a. di Poisson ha funzione massa di probabilitĂ :
ΝΝ â= en
pn
n !
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Xn
Pn
Massa di probabilitĂ della v.a. di Poisson
Massa di probabilitĂ di una v.a. binomiale negativa con Îť = 7
Partire dalla funzione massa di probabilità per generare la v.a. può essere complicato, quindi è opportuno
sfruttare alcune proprietà . Ad esempio una proprietà molto importante di cui gode una v.a. di Poisson è la
proprietĂ dellâuniformitĂ degli eventi. Tutti gli eventi che si susseguono nellâintervallo di osservazione
(0,t) hanno inter-tempi esponenziali, quindi indicando con ei una successione di v.a. esponenziali con
valor medio 1/Îť si ha:
ââ+
==
<â¤1
11
n
ii
n
ii ete
il valore di n esprime il numero di eventi accaduti nellâintervallo (0,t) e quindi segue una distribuzione di
Poisson. Ricordando lâespressione che lega la v.a. esponenziale a quella uniforme, si può generare la v.a.
di Poisson direttamente da sequenze uniformi in [0,1] Ui
ââ=
â+
=
â¤<n
ii
tn
ii UeU
1
1
1
Îť
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METODO MONTE CARLO CALCOLO INTEGRALE Il metodo Monte Carlo consiste nel ripetere numerose volte un esperimento per conteggiare il numero di
volte che si verifica un evento (un particolare risultato dellâesperimento) rispetto al numero totale di volte
che si ripete lâesperimento. In questo modo è possibile calcolare una stima della probabilitĂ dellâevento:
{ }totN
N )(Pr ξξ =
Dove con N(Îľ) abbiamo indicato il numero di volte che si verifica lâevento Îľ.
Questo metodo è molto usato nei problemi, ove si conosce una formulazione matematica, ma non riesce a
determinare una soluzione per via analitica. Il metodo Monte Carlo, può essere impiegato sia in problemi
di natura probabilistica, e sia in problemi di natura non aleatoria. Infatti grazie al forte impulso che ha
avuto lâinformatica negli ultimi decenni, e alla possibilitĂ di generare variabili casuali al calcolatore, negli
ultimi decenni questo metodo è stato molto impiegato per determinare soluzioni approssimati di equazioni
non risolvibili per via analitica. Lâidea che è alla base, nasce dalla relazione integrale che definisce la
probabilitĂ di un evento:
{ } { } âŤââ
=â¤=x
X dxxfxX )()(PrPr ξξ
Da un esperimento definito su uno spazio campione Ί, è sempre possibile definire una variabile aleatoria
X con funzione di densitĂ di probabilitĂ fX(x), tale che la probabilitĂ dellâevento Îľ, possa essere
determinata mediante il calcolo di un integrale definito. Questo significa calcolare la probabilitĂ di un
evento mediante il calcolo di unâarea.
0 1
1
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Modelli e Metodi per la Simulazione
53
La possibilitĂ di generare sequenze pseudo-casuali al calcolatore suggerisce di risolvere il problema
inverso, cioè conoscendo la probabilitĂ di un determinato evento stabilire la stima dellâarea a cui
corrisponde. Come si vede dalla figura, per calcolare lâarea tratteggiata, è necessario risolvere un integrale
definito
âŤ=2
1
)(x
x
dxxfA
che può essere molto complicato da risolvere per via analitica. Mediante il metodo Monte Carlo è
possibile generare delle sequenze pseudo-casuali, è contare quanti di questi valori cadono nellâarea di
interesse, in questo modo si ottiene una stima dellâarea cercata. PoichĂŠ questo procedimento è una vera e
propria simulazione utilizzata per ottenere un risultato che non è possibile ottenere per altre vie, bisogna
fare attenzione ad alcuni aspetti. In particolare considerare quelle operazioni necessarie in tutte le
simulazioni:
Analisi degli Input
Analisi degli Output
In questo tipo di simulazione lâinput è costituito delle sequenze pseudo-casuali generate al calcolatore,
quindi occorre verificare la bontĂ delle sequenze affinchĂŠ il risultato non sia falsato proprio da dati di
input non corretti. Lâanalisi degli output è necessaria per analizzare correttamente le variabili di stima per
ottenere un risultato quanto piĂš vicino a quello reale.
Chiaramente questo procedimento può essere esteso anche agli integrali di superficie e agli integrali di
volume, in questo caso bisogna fare molta attenzione ai generatori LCG, poichĂŠ la disposizione sui piani
dei valori delle sequenze generate, potrebbe vanificare la simulazione. Infatti la struttura a reticolo dei
LCG, ha come conseguenza che delle regioni dello spazio sono piĂš dense di punti di altre, e questo
potrebbe condurre ad una stima errata del volume dâinteresse. Per questo motivo prima di utilizzare un
generatore LCG, per il calcolo dei volumi è necessario condurre il test spettrale sulla sequenza generata.
Quanto detto chiaramente può essere esteso al calcolo di ipervolumi di N dimensioni. Infine è importante
notare che le variabili di stato dei sistemi studiati nelle applicazioni scientifiche ed industriali sono sempre
esprimibili mediante relazioni integrali piĂš o meno complesse, pertanto stimare il loro valore mediante la
simulazione ci riconduce quasi sempre al problema del calcolo di ipervolumi mediante il metodo Monte
Carlo.
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54 Esercizi e Complementi
Esercizio 3.1
Determinare una stima del valore di Ď mediante il metodo Monte Carlo
PoichĂŠ lâarea del cerchio vale A = Ďr2, possiamo considerare un cerchio di raggio unitario sul piano
cartesiano, o meglio il settore circolare del primo quadrante. Generando due v.a. uniformi in [0,1]: X, Y,
possiamo contare il numero di punti tali che: X2 + Y2 < 1:
1
1
-1
-1
4Ď
Bisogna scegliere la lunghezza delle sequenze M, ed il numero di volte che si ripete la simulazione N. In
questo modo si ottiene una sequenza di Output A di N valori:
[ ]NaaaA K,, 21=
Ogni singolo valore ai è ottenuto dividendo il numero di valori che appartengono allâarea, per M. Ed il
valore stimato dellâarea sarĂ la media campionaria della sequenza A.
Effettuando la simulazione per M = 100, ed N = 10 si ottiene la seguente sequenza di Output:
A = [ 0.79, 0.78, 0.77, 0.82, 0.71, 0.79, 0.74, 0.77, 0.74, 0.78].
â=
==N
iiA
NA
1
7690.01Ë
mentre:
7854.04=
Ď
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Modelli e Metodi per la Simulazione
55
Complemento 3.1
La stima ottenuta non è molto soddisfacente. Per cercare di capire il perchĂŠ è necessario condurre lâanalisi
degli Input delle sequenze generate, in questo caso bisogna effettuare i test per verificare lâuniformitĂ ,
quindi il test del Ď2 e lâistogramma. Mentre per gli Output è necessario verificare che la sequenza di uscita
sia un campione dati gaussiano (test di Kolmogorov-Smirnov). Infatti in questo modo siamo sicuri che la
media campionaria calcolata sia la stima a massima verosimiglianza dellâarea cercata. Inoltre bisogna
anche verificare che la varianza della sequenza di output sia molo piccola e che diminuisca allâaumentare
di N. PoichÊ per una buona simulazione occorre generare un numero elevato di punti, è necessario
implementare i test al calcolatore. Ad esempio eseguendo la simulazione dellâesercizio 3.1 si ottengono i
seguenti istogrammi per gli Input:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
20
40
60
80
100
120
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
20
40
60
80
100
120
Istogramma delle sequenze X e Y con M = 1000
Per quantificare lâanalisi occorre eseguire il test del Ď2. PoichĂŠ la simulazione viene eseguita piĂš volte, nel
nostro caso N volte, il test del Ď2 andrebbe eseguito ad ogni run della simulazione. In questo modo per
ogni sequenza di Input si ottiene un vettore di N elementi che contiene la statistica del test V. Nel caso
specifico con un livello di incertezza Îł = 5%, e dividendo lâintervallo della sequenza in s = 10 intervalli,
dalle tabelle del Ď2 con s-1 = 9 gradi di libertĂ si ottiene xÎł = 16,92. Se ad ogni run della simulazione la
statistica del test è al di sotto di questo valore, le sequenze generata X e Y, possono essere utilizzate per la
simulazione, altrimenti bisogna generare altre sequenza ed annullare la simulazione. Questo modo di
procedere è molto laborioso perchĂŠ si concentra sullâanalisi della singola sequenza di Input. Quando la
sequenza di Input di una simulazione è ottenuta della generazione al calcolatore di numeri pseudo-casuali,
è preferibile analizzare il generatore che si utilizza mediante il test spettrale o altri tipi di test. In questo
modo si concentra lâattenzione sul generatore, ed una volta accertata la bontĂ del generatore, si possono
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56 Esercizi e Complementi
tranquillamente utilizzare tutte le sequenze ottenuto da esso, senza verifiche puntuali che possono essere
molto dispendiose per run di simulazione molto lunghi e con numerosi campioni.
Sulla sequenza di Output che è unica si può condurre il test di Kolmogorov-Smirnov, per verificare se ha
un andamento gaussiano attorno alla media campionaria. In figura viene riportato il test eseguito durante
la simulazione del esercizio 3.1
0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.8 0.81 0.820
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Test di Kolmogorov-Smirnov
x
F(x
)
Curva osservata ->
<- Curva teorica
Il test viene superato anche se la stima ottenuta non è molto buona. Questo significa che il
campione dati ottenuto è gaussiano, e poichÊ la varianza campionaria che si ottiene vale:
4
1
22 10*72.1)Ë(1Ë â
=
=â= âN
ii AA
NĎ
è molto piccola, può darsi che la stima non sia molto precisa a causa del numero esiguo di
campioni utilizzati (M = 100), se ripetiamo lâesercizio 3.1 con M = 10000, e N = 100 si ottiene:
â=
==N
iiA
NA
1
7856.01Ë
7854.04=
Ď
Notiamo infine che i valori di M ed N sono il costo della simulazione in termini di impiego delle
risorse del sistema, e di durata della simulazione. La scelta di un buon generatore di sequenze
pseudo-casuali può ridurre notevolmente i costi e la durata della simulazione.
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Modelli e Metodi per la Simulazione
57
Esercizio 3.2
Mediante la simulazione Monte Carlo stimare il valore dei seguenti integrali definiti:
âŤ=1
0
xdxI âĽâŚâ¤
â˘âŁâĄ =
21: IR
⍠+=
1
021 x
dxI âĽâŚâ¤
â˘âŁâĄ =
4: ĎIR
âŤâ
=2/1
021 x
dxI âĽâŚâ¤
â˘âŁâĄ =
6: ĎIR
⍠+=
1
01 x
dxI [ ]2log: =IR
âŤ=1
0
3dxeI âĽâŚâ¤
â˘âŁâĄ â=
31: eIR
Esercizio 3.3
Mediante la simulazione Monte Carlo stimare il valore della seguente area:
1 2 x
y
âĽâŚ
â¤â˘âŁ
âĄââ â
âââ â=
4: ĎĎAR
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58 Esercizi e Complementi
Esercizio 3.4
Mediante la simulazione Monte Carlo stimare il valore dellâ area racchiusa dalla curva:y2 = x3(2-x)
x
y
2
[ ]Ď=AR :
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SIMULAZIONE DI SISTEMI AD EVENTI DISCRETI MODELLI E SIMULAZIONE Simulare il comportamento di un sistema significa stimare il valore delle variabili di stato del sistema, e di
altre grandezze che descrivono le prestazioni del sistema. I dati di ingresso di una simulazione sono detti
Input, che possono appartenere a distribuzioni empiriche, teoriche, oppure pseudo-casuali. Sicuramente
questa terza classe di Input è la piÚ utilizzata, perchÊ permette di caratterizzare i fenomeni aleatori al
calcolatore. Le stime dei parametri del sistema vengono ottenute dai dati di uscita della simulazione
denominati Output. Per condurre correttamente una simulazione è molto importante la scelta del modello
che descrive il sistema. Negli esercizi che seguono analizzeremo in dettaglio alcuni modelli elementari
come i sistemi a coda M/M/1, che rappresentano il mattone elementare di molti sistemi complessi. La
grandezza specifica che si analizza di un sistema a coda M/M/1 è il tempo medio di coda in funzione del
carico di lavoro del sistema, ma è possibile anche stimare grandezze diverse come il numero medio di
utenti nel sistema, oppure il coefficiente di utilizzazione del servente. Questo indice in simulazioni piĂš
complesse permette di stimare lâutilizzazione delle risorse durante lâimpiego di un sistema. I sistemi a
coda appartengono alla famiglia dei sistemi ad eventi discreti, pertanto viene utilizzata questo tipo di
simulazione per stimarne i parametri. La simulazione ad eventi discreti può essere condotta con due
tecniche differenti: modalitĂ sincrona, comunemente detta time driven simulation, e la modalitĂ asincrona
comunemente detta event driven simulation. La scelta della tecnica appropriata dipende dalle
caratteristiche del sistema, per i sistemi a coda si predilige la simulazione asincrona (event driven).
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60 Esercizi e Complementi
Esercizio 4.1
Nella seguente tabella sono riportati i tempi di arrivo e di servizio espressi in minuti di un sistema a coda
M/M/1. Effettuare una simulazione ad eventi discreti (con tempo simulato pari a 20 minuti) del sistema a
coda M/M/1 e stimare il tempo medio di coda, il numero medio di utenti nel sistema, ed il coefficiente di
utilizzazione del servente
Arrivi 1 4 2 1 8 2 4 3
Servizio 2 5 4 1 3 2 1 3
A scopo didattico viene condotta in maniera manuale la simulazione. In ogni caso il lettore può
implementare una simulazione al calcolatore per confrontarla con i risultati ottenuti in questo esercizio. La
prima operazione da compiere è la verifica del modello. Nel testo dellâesercizio viene suggerito di
effettuare una simulazione a eventi discreti di un sistema M/M/1. AffinchĂŠ il modello sia valido bisogna
verificare che i tempi di inter-arrivo seguano una distribuzione esponenziale, e che i tempi di servizio
seguano una distribuzione esponenziale. In questo particolare esercizio ci viene fornita una sequenza di
dati di ingresso derivata direttamente dallâosservazione di un sistema reale, pertanto siamo in presenza di
una distribuzione empirica di Input. In particolare abbiamo due sequenze di Input XA = tempi di arrivo, XS
= tempi di servizio. Dato il numero esiguo di campioni ( N = 8) si suggerisce di condurre il test di
Kolmogorov-Smirnov (livello di incertezza Îł = 5%) per verificare che le due sequenze siano esponenziali.
Senza riportare i dettagli del test piĂš volte illustrati, verifichiamo che per la prima sequenza XA la statistica
del test vale D = 0.1530, dalla tabella non è possibile risalire direttamente al valore di dγ per N = 8, quindi
bisogna procedere per interpolazione, dalla tabella abbiamo in fatti i valori di dÎł per N = 5, e N = 10,
quindi sicuramente si avrĂ : 0.56 ⤠dÎł ⤠0.41, quindi possiamo accettare lâipotesi che la sequenza di Input
XA segua una distribuzione esponenziale. Analogamente si procede per la sequenza XS ottenendo la
statistica del test pari D = 0.1980. Seguendo le stesse osservazioni fatte in precedenza possiamo accettare
lâipotesi che la sequenza di Input XS segua una distribuzione esponenziale. A questo punto è possibile
procedere con la simulazione, che viene condotta ad eventi discreti in modalitĂ asincrona (event driven
simulation) pertanto è necessario definire la lista degli eventi, che nel caso specifico è costituita soltanto
da due tipi di eventi: arrivi e partenze. Indichiamo il tempo simulato con TSIM. Questo valore temporale
viene aggiornato ad ogni esecuzione del ciclo principale della simulazione (main control loop). La
simulazione si arresta dopo che si è verificato lâultimo evento. Per calcolare i parametri del sistema
costruiamo una tabella che riporta per ogni arrivo ed ogni partenza riportata i rispettivi tempi di arrivo di
partenza è di coda:
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Modelli e Metodi per la Simulazione
61
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
Il primo evento è sicuramente un arrivo, perchÊ il sistema è vuoto. Il primo utente del sistema viene
accolto subito nel centro di servizio. Per definire il secondo evento bisogna verificare la differenza tra il
tempo di servizio del primo utente (2 min) ed il tempo di arrivo del secondo utente (4 min). Pertanto
lâevento successivo è una partenza:
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
1 2 2 3
A questo punto il tempo simulato vale TSIM = 3 min, e si ripete il ciclo principale della simulazione
aggiornando la lista degli eventi. PoichĂŠ il sistema è nuovamente vuoto, il prossimo evento sarĂ
sicuramente un arrivo:
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
1 2 2 3
2 5 5
Anche questo utente viene subito accolto nel centro di servizio. Dalla sequenza di Input XS si vede che il
tempo di servizio del secondo utente è di 5 min, pertanto uscirĂ dal sistema quando il tempo simulato sarĂ
pari a TSIM = 10 min. Chiaramente questa riflessione non è necessaria perchÊ confrontando ad ogni ciclo
tempi di arrivo e tempi di servizio si ottiene lo stesso risultato:
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
1 2 2 3
2 5 5
3 7 7
4 8 8
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62 Esercizi e Complementi
Confrontando il tempo di inter-arrivo del 5° utente (8 min) e il tempo di servizio del secondo utente (5
min) si evince che lâevento successivo è una partenza:
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
1 2 2 3
2 5 5
3 7 7
4 8 8
2 10 5 10
Il prossimo evento è ancora una partenza:
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
1 2 2 3
2 5 5
3 7 7
4 8 8
2 10 5 10
3 14 7 14
Il terzo utente è entrato nel sistema quando il tempo simulato aveva valore TSIM = 7 min, ma entra nel
centro di servizio quando esce dal sistema il secondo utente (TSIM = 10 min). PoichĂŠ il tempo di servizio
del terzo utente è pari a 4 min, il suo temo complessivo di coda è D = 7 min.
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Modelli e Metodi per la Simulazione
63
A questo punto entra nel centro di servizio il quarto utente, che ha tempo di servizio pari a 1 min:
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
1 2 2 3
2 5 5
3 7 7
4 8 8
2 10 5 10
3 14 7 14
4 15 7 15
Il sistema è vuoto, quindi lâevento successivo è un arrivo:
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
1 2 2 3
2 5 5
3 7 7
4 8 8
2 10 5 10
3 14 7 14
4 15 7 15
5 16 16
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64 Esercizi e Complementi
Il prossimo evento è ancora un arrivo:
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
1 2 2 3
2 5 5
3 7 7
4 8 8
2 10 5 10
3 14 7 14
4 15 7 15
5 16 16
6 18 18
Seguito da una partenza:
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
1 2 2 3
2 5 5
3 7 7
4 8 8
2 10 5 10
3 14 7 14
4 15 7 15
5 16 16
6 18 18
5 19 3 19
Il prossimo evento è la partenza del sesto utente
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Modelli e Metodi per la Simulazione
65
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
1 2 2 3
2 5 5
3 7 7
4 8 8
2 10 5 10
3 14 7 14
4 15 7 15
5 16 16
6 18 18
5 19 3 19
6 21 3 21
A questo punto è facile verificare la tabella riepilogativa della simulazione:
Arrivi Partenze TAR TPA TCODA (D) TSIM
1 1 1
1 2 2 3
2 5 5
3 7 7
4 8 8
2 10 5 10
3 14 7 14
4 15 7 15
5 16 16
6 18 18
5 19 3 19
6 21 3 21
7 22 22
7 23 1 23
8 26 26
8 29 3 29
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66 Esercizi e Complementi
La sequenza di Output della simulazione è il vettore D = [2, 5, 7, 7, 3, 3, 1, 3]. PoichÊ viene richiesta
lâanalisi per un tempo simulato pari a 20 min la simulazione poteva essere arrestata1 dopo la partenza del 5
utente ( TSIM = 19 min). Quindi ci limitiamo a stimare il tempo medio di coda sulla sequenza troncata di 5
elementi D* = [2, 5, 7, 7, 3]. PoichÊ nei sistemi M/M/1 il tempo di coda è una v.a. esponenziale, la stima
del suo valor medio può essere ottenuta mediante la media campionaria:
8.45
37752Ë =++++
=D
Mentre per calcolare il coefficiente di utilizzazione del servente Ď verifichiamo per quanto tempo è stato
impiegato il servente rispetto al tempo totale di osservazione (20 min). Nel grafico riportato di sotto
vengono riportati i due stati in cui può trovarsi il servente (S0 = non attivo, S1 = attivo)
tS0
S1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Dallâarea tratteggiata si risale al tempo totale di attivitĂ del servente2 (16 min), pertanto il valore stimato di
Ď Ă¨:
8.02016Ë ==Ď
1 Molto spesso queste simulazioni vengono condotte definendo un tempo limite (Tmax) per il tempo simulato. Questo significa aggiungere un controllo allâinizio del ciclo principale della simulazione (main control loop). Se il tempo simulato è inferiore a Tmax la simulazione procede, altrimenti si arresta. 2 Questo valore nei sistemi M/M/1 corrisponde anche al Throughput.
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Modelli e Metodi per la Simulazione
67
Allo stesso modo si procede per il numero di utenti nel sistema:
t1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n(t)
0
1
2
3
Dallâarea tratteggiata si risale al numero medio di utenti nel sistema:
3.12026)(
201Ë
20
0
=== ⍠dttnn
Tutti questi risultati sono delle stime dei parametri del sistema, perchĂŠ ottenuti mediante una simulazione.
Dalla tabella riepilogativa della simulazione, è possibile verificare come il tempo simulato abbia degli
incrementi irregolare, da questa osservazione discende il nome che si dĂ a questo tipo di simulazione ad
eventi discreti, cioè asincrona.
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68 Esercizi e Complementi
Complemento 4.1
Unâ importante risultato della teoria delle code è il teorema di Burke, che descrive il processo di uscita di
un sistema a coda M/M/1, come un processo di Poisson della stessa intensitĂ Îť del processo di arrivo.
Questo significa che unâ utile verifica del corretto funzionamento della simulazione, è la verifica che i
tempi di inter-partenza seguano una distribuzione esponenziale con valor medio pari a 1/Îť. Un altro
risultato importante della teoria delle code è che il tempo di coda è una v.a. esponenziale negativa con
valor medio pari a:
( )ΝΟ â=
1][DE
Complemento 4.2
Quando viene effettuata una simulazione vengono effettuate due operazioni molto importati
prima di accettare il risultato: la verifica della simulazione, e la validazione della simulazione. La
verifica della simulazione consiste nel accertare che il modello della simulazione funzioni nel
modo appropriato, secondo quelli che sono gli intendimenti di chi realizza la simulazione. Ad
esempio nel caso specifico dellâesercizio 4.1. la verifica consiste nel accertamento che il modello
della simulazione si comporti realmente con un sistema M/M/1. La validazione della simulazione
consiste nel confermare che il modello della simulazione si comporti nella maniera piĂš simile al
sistema reale oggetto di studio. La validazione può essere condotta in maniera qualitativa, per
sistemi che non hanno un elevato grado di complessitĂ , mentre per sistemi molto complessi
possono essere necessarie delle verifiche sperimentali, che si ottengono sollecitando il sistema ed
il modello della simulazione con gli stessi input e verificando che hanno la stessa risposta agli
input e producono lo stesso risultato. Questo tipo di validazione è anche chiamata verifica
sperimentale della simulazione ed è un procedimento molto costoso ma alle volte necessario.
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Modelli e Metodi per la Simulazione
69
Esercizio 4.2
Effettuare una simulazione ad eventi discreti di un sistema a coda M/M/1, con frequenza media de
processo di arrivo pari a Îť = 4 arrivi al minuto, frequenza media di servizio pari a Îź = 5 partenze al
minuto.Calcolare il tempo medio di coda, ed il coefficiente di utilizzazione dei serventi, dopo unâora di
osservazione.
Ripetere la simulazione con tempo di servizio deterministico con valore pariÎź = 5 partenze al minuto, e
confrontare i risultati ottenuti.
Complemento 4.3
La simulazione negli ultimi anni ha avuto un forte impulso, grazie alle sue enorme potenzialitĂ possiamo
riassumere i vantaggi dellâutilizzo della simulazione rispetto alla progettazione tradizionale nei seguenti
punti:
Eâ possibile analizzare sistemi complessi, la cui rappresentazione analitica è impraticabile;
Eâ possibile ripetere a costo nullo, molte volte lâesperimento, e sollecitare il sistema con una
gamma molto ampia di Input, non realizzabili in esperimenti reali;
Permette di capire a fondo le relazioni tra le variabili di stato,e gli indici di prestazione di un
sistema, mediante la registrazione della simulazione ed unâanalisi dettagliata di tutte le iterazioni tra
le varie parti del modello.
AltresÏ è importante ricordare alcuni aspetti negativi:
Il risultato di una simulazione è una stima del comportamento del sistema, quindi la simulazione
non produce risultati esatti;
Eâ necessario utilizzare strumenti statistici per verificare e validare una simulazione, prima di
accettare un risultato;
Per implementare una simulazione è necessario individuare un modello del sistema reale oggetto
di studio. La scelta di un modello significa molto spesso effettuare delle semplificazioni, per poter
riprodurre al calcolatore determinati esperimenti. Questo significa che spesso le simulazioni
forniscono solo un indicazione del comportamento del sistema, e quindi bisogna fare attenzione
allâutilizzo dei risultati.
In definitiva la simulazione, nel campo della progettazione, o in altri campi può essere uno strumento
molto valido se utilizzato nella maniera appropriata.