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Analisi di sistemi non lineari - diee.unica.iteusai/didattica/AnalisiSistemi2/AS2-nonlineare.pdf ·...
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Analisi di sistemi non lineari
( )( )( )
qpn RRRt
tt∈∈∈
==
uyxxhy
uxfx,
,,&
f è un vettore di funzioni che definiscono la dinamica delle variabili di stato x, eventualmente in presenza dell’ingresso u, ed h è il vettore della trasforma-zione in uscita che lega lo stato con l’uscita y
Se le funzioni non dipendono dal tempo, e l’ingresso può essere rappresentato da funzioni esplicite del tempo, il sistema si dice autonomo
( ) ( )( )
pn RRt
∈∈=
=yx
xhyxfx&
Se l’ingresso influenza direttamente la trasformazione in uscita il sistema presenta una componente istantanea
( )( )( )( )
qpn RRRtttt
∈∈∈==
uyxuxhyuxfx
,,,,&
Analisi di sistemi non lineari
Tutti i sistemi reali presentano dei comportamenti non lineari che però in specifiche condizioni e campi di funzionamento possono anche approssimarsi con dinamiche lineari.Es.: molle
Le approssimazioni lineari, essendo valide in un campo limitato, possono comportare limitazioni nelle prestazioni ammissibili dei sistemi.
F
x
kk xkxkFxkF
<<′<⋅′−⋅=⋅=
0
ˆ3
Esempi di non linearità
Prodotto tra variabili di stato accelerazione centrifuga/Coriolis
Valore assoluto attrito fluidodinamico
Funzione segno attrito secco
Funzioni trigonometriche vincoli geometrici nei robot
Saturazione materiali ferromagnetici
Back-lash ingranaggi meccanici
Isteresi relè elettromeccanici
Radice quadrata efflusso di fluidi da forami
Analisi di sistemi non lineari
Una caratteristica di un sistema non lineari è costituita dai punti di equilibrio xeq, ovvero le soluzioni ammissibili della equazione non lineare
( ) 0xf =eq
Un sistema non lineare può avere un numero finito o infinto di punti di equilibrio, ciascuno dei quali può essere stabile, instabile o di sella
Un sistema non lineare può presentare comportamenti i più vari, da quelli molto simili a sistemi lineari con un solo punto di equilibrio globalmente stabile, funzionamenti apparentemente non deterministici (es. sistemi caotici), funzionamenti oscillatori permanenti autonomi (cicli limite), convergenza/divergenza in tempo finito o asintotica, etc.
Uno stesso sistema di equazioni differenziali non lineari può presentare comportamenti e proprietà completamente differenti al variare dei parametri: possono comparire/sparire punti di equilibrio (biforcazioni), oppure modificarsi le condizioni di stabilità, etc. Questo comporta la necessità di analisi specifiche caso per caso.
Esempi
( ) ( )( ) ( )txtx
txtx
22
211 1
−=−=
&
&
ile stabxx
eq
eq
01
2
1
=+=
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x1
x 2 eq. Stabile p.to Sella
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x1
x 2
( ) ( )( ) ( ) ( )212
21
sgn3.0sgn xxtxtxtx
+−==
&
&
instabile xx
eq
eq
00
2
1
==
selladi punto xx
eq
eq
01
2
1
=−=
Esempi
( )ili stabx
kkx
eq
eq
0,1,02
2
1
==±= Kπ
( ) ( )( ) ( ) 2212
21
sin xmlbx
lgtx
txtx
−−=
=
&
&
( ) ( )instabili x
kkx
eq
eq
0,1,012
2
1
==+±= Kπ
x1
mg
l
m
b
-2 0 2 4 6 8-6
-4
-2
0
2
4
6
x1
x 2 π
Esempi
( ) ( )( ) ( )22
21
sgn3.0 xtxtxtx
−==
&
&
ile stabxRx
eq
eq
02
1
=∈
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x 2
Stabilità dell’equilibrio
( ) ( ) nRt ∈= xxfx&Dato un sistema autonomo non lineare
un suo punto di equilibrio xeq si definisce stabile secondo Lyapunov se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 ,,00 tt RBtrBt che tale Rr R eqeq ≥∀∈⇒∈>∃>∀ xxxx
essendo B(X,ρ)={x∈Rn: ||x-X||≤ ρ} la bolla di raggio ρ centrata in X
xeq
R
r
Il valore di R può essere preso arbitrariamente piccolo, ed il punto di equilibrio sarà stabile solo se esiste un intorno, di raggio r, del punto di equilibrio tale che per qualunque perturbazione entro tale intorno la traiettoria nel sistema rimane sempre confinata ne l’intorno di raggio R
Esempio
ile stabxx
eq
eq
00
2
1
==
( ) ( )( ) ( )12
21
sin xlgtx
txtx
−=
=
&
&
x1
mg
l
m
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Considerata una qualunque circonferenza di raggio R, è sempre possibile definire una circonferenza di raggio r<R, interna al dominio delimitato dalla linea azzurra tale che la traiettoria perturbata periodica sia interna alla circonferenza di raggio R.
1,1 == ml
Esempio
instabile xx
eq
eq
02
1
== π
( ) ( )( ) ( )12
21
sin xlgtx
txtx
−=
=
&
&
x1
mg
l
m
Qualunque sia la circonferenza di raggio R, è sempre possibile definire un intorno del punto di equilibrio, di raggio r<R, tale che la traiettoria perturbata esca dalla circonferenza di raggio R.
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x1
x 2 (π,0)
1,1 == ml
Stabilità dell’equilibrio
Il punto di equilibrio xeq si definisce asintoticamente stabile se è stabile ed inoltre risulta
( ) 0lim =−∞→ eqt
t xx
La traiettoria perturbata a partire da un punto interno alla circonferenza di raggio r, oltre a non uscire mai dalla circonferenza di raggio R, tende a convergere verso il punto di equilibrio al passare del tempo
xeq
R
r
Esempi
ile stabxx
eq
eq
00
2
1
==
( ) ( )( ) ( ) 2212
21
sin xmlbx
lgtx
txtx
−−=
=
&
&
x1
mg
l
m
b
5.0,1,1 === bml
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x1
x 2
La presenza dell’attrito b rende l’origine un punto di equilibrio asintoticamente stabile, anche a partire da alcune condizioni iniziali non interne al dominio individuato dalla linea rossa
Esempi
instabile xx
eq
eq
00
2
1
==
( )( )( )( )12
222
5212
211
2xxtxxxxxtxx
−=+−=
&
&
Tutte le traiettorie convergono verso l’origine, però qualunque perturbazione con punto iniziale nei quadranti pari, anche piccola, genera una traiettoria che rimane esterna ad un dominio i cui limiti sono prossimi alle traiettorie verdi.L’origine è un punto di equilibrio instabile, ma anche un punto di attrazionedel sistema.
( ) 00lim =−∞→
tt
x
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x1
x 2
Stabilità dell’equilibrio
Il punto di equilibrio xeq si definisce esponenzialmente stabile se è stabile ed inoltre risulta
( ) ( ) 00 0, tt ett teqeq >∀>−≤− − λαα λxxxx
La traiettoria perturbata a partire da un punto interno alla circonferenza di raggio r, oltre a non uscire mai dalla circonferenza di raggio R, tende a convergere verso il punto di equilibrio, con un tasso di convergenza superiore a quello di un esponenziale decrescente. Un punto di equilibrio esponenzialmente stabile è anche asintoticamente stabile, ma non viceversa.
xe
qR
r
0 2 4 6 8 10-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
x 1
t0
2*exp(-0.45(t-t0))
Esempi
le stabi0x =+∈−=R
2
xxx&
Il sistema è asintoticamente stabile ma non esponenzialmente stabile
( ) 00lim =−∞→
tt
x
Le soluzioni dell’equazione differenziale nel dominio di validità sono del tipo
( ) ( ) 00
11 ttx
ata
tx −=+
=
Tali soluzioni non sono sommabili, e quindi non maggiorabili da una funzione esponenziale decrescente, in quanto risulta
( ) ( )
∫
∫
∞→+
≥+−+=+
∞→
t
tt
t
t
dtta
atatadtta
0
0
1lim
0lnln10
Esempi
( ) ( )tt Axx =&
Un sistema lineare autonomo stabile è anche esponenzialmente stabile
( ){ } { } 0,,1, <=ℜ=ℜ nieig i KλA
Dalla relazione su riportata risulta anche che un sistema lineare autonomo al limite di stabilità è stabile secondo Lyapunov. Infatti, la relazione tra i raggi R ed r risulta
( ) ( ) ∑∑= =
−==s
i j
tjji
ti
ietRet1 1
1,0
νλxx A
( ) ( )
{ }isj
ts
i j
tjji
t eetReti
i
λλα
α λν
λ
ℜ≤<>
≤==
=
−
= =
−∑∑
,,1
01 1
10,0
min00K
xxxx A
( )R
t
RRr t
xx
max0 =≤=
Stabilità della traiettoria
( ) ( ) nRt ∈= xxfx&Dato un sistema autonomo non lineare
una sua traiettoria x*(t), a partire dal punto x*(t0), si definisce stabile secondo Lyapunov se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0*
0*
000 tt Rttrtt che tale Rr R ≥∀≤−⇒≤−>∃>∀ xxxx
Ad ogni istante di tempo la distanza tra i punti della traiettoria di riferimento e di quella perturbata devono distare non più di R, se i gli stati iniziali non distavano più di r.R può essere arbitrariamente piccolo.
Rr
t0
R
t1 t2
R
t3
Stabilità della traiettoria
La “sovrapposizione spaziale” della traiettoria perturbata con quella di riferimento non ne garantisce la stabilità
Pur partendo da condizioni iniziali praticamente coincidenti la traiet-toria perturbata (rossa) viene percorsa con velocità differente da quella di riferimento (azzurra), che quindi non è stabile.
Rr
t0
R
t1 t2
R
t3
t2
t3
Un sistema caratterizzato da traiettorie stabili garantisce che piccole perturbazioni non generino comportamenti estremamente differenti (approssimabilità).
EsempioI sistemi caotici sono tipicamente caratterizzati da traiettorie instabili
(circuito di Chua con non linearità cubica)
Pur in presenza di una minima variazione dello stato iniziale si nota una divergenza temporale ma con simile occupazione spaziale.
143.0,16,10
23
3212
31211
−===−=
+−=−+−=
cba bxx
xxxxaxaxacxx
&
&
&
0 20 40 60 80 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
tempo
Erro
re d
i sta
to
x1 -x1*x2-x2*x3-x3*
[ ][ ]T
T
00001 1.01.01.01.01.01.0
0
*0
==
xx
-0.4-0.2
00.2
0.40.6
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2-0.5
0
0.5
x1x2
x 3
Stabilità dell’equilibriosistemi non autonomi
( ) ( ) nRtt ∈= xxfx ,&Dato un sistema non lineare i suoi punti di equilibrio xeq sono definiti dall’equazione Il punto di equilibrio xeq si definisce stabile secondo Lyapunov se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 ,,0,0 tt RBtrBt che tale tRr R eqeq ≥∀∈⇒∈>∃>∀ xxxx
essendo B(X,ρ)={x∈Rn: ||x-X||≤ ρ} la bolla di raggio ρ centrata in X
xeq
R
r(t0) Il valore di r dipende non solo dal valore di R, ma anche dall’istante iniziale t0.
( ) 0eq tt t ≥∀= 0,xf
-15 -10 -5 0 5 10 15-15
-10
-5
0
5
10
15
x1
x 2
t0=10 t0=0
Esempio
Affinché due traiettorie restino interne ad un dominio partendo in istanti differenti, le condizioni iniziali devono essere diverse
( )( )
212
1
11 1
sin5.0
xxxx
xtx
−=+
+−=
&
&
ile stabxx
eq
eq
00
2
1
==
Si estendono ai sistemi non autonomi anche le definizioni di stabilità asintotica ed esponenziale.
Condizioni aggiuntive a quella di stabilità:
Le definizioni e le condizioni di stabilità sono simili a quelle per i sistemi autonomi, ma è presente il parametro t0, ovvero non è possibile prescindere dalla variabile tempo.
a) Stabilità asintotica: ( ) 0lim =−∞→ eqt
t xx
b) Stabilità esponenziale: ( ) ( ) ( )00 0,0 tt ett tt
eqeq >∀>−≤− −− λαα λxxxx
Stabilità dell’equilibriosistemi non autonomi
Una proprietà che rende i sistemi tempo varianti simili ai sistemi autonomi è quella di stabilità asintotica uniforme.Un punto di equilibrio del sistema tempo variante è asintoti-camente uniformemente stabile se:
Un sistema caratterizzato da un punto di equilibrio uniformemente stabile mantiene un tasso di convergenza minimo verso il punto di equilibrio, a prescindere dall’istante iniziale t0.
Stabilità dell’equilibriosistemi non autonomi
( ) ( ) nRtt ∈= xxfx ,&
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 ,,00 tt RBtrBt che tale Rr R eqeq ≥∀∈⇒∈>∃>∀ xxxx
( ) ( )( ) ( ) ( )210210
211221
,
0,0,
RRTtt RtxRtx
che tale RRT RRR RR
eqeq +≥∀<−⇒<−
>∃<<<∀
xx
( ) 0lim =−∞→ eqt
t xx
Il dominio di convergenza, D, di un punto di equilibrio asintoticamente stabile è costituito dall’insieme dei punti da cui il sistema tende verso il punto di equilibrio
Se D coincide con tutto la spazio di stato, il punto di equilibrio è globalmente asintoticamente stabile, ed il sistema ha un solo punto di equilibrio.
In questo caso si può parlare di stabilità del sistema e non solo del punto di equilibrio.
Stabilità dell’equilibrioDominio di convergenza
( ) ( ) eqt
n tDt xxx∞→
→⇒⊆∈ R0
Es.: il punto di equilibrio inferiore di un pendolo con attrito è un punto di equilibrio asintoticamente stabile ma il suo dominio di convergenza è limitato.
l’origine è un punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile per un sistema lineare con autovalori tutti a parte reale negativa.
Una approssimazione lineare di un sistema non lineare, nelle vicinanze di un punto di funzionamento, può essere ottenuta mediante sviluppo in serie di Taylor fermata al primo ordine.
La dinamica delle variazioni δx,δu,δy è approssimata da una dinamica lineare caratterizzata dalle matrici A(nxn), B(nxq), C(pxn), e D(pxq) definite tramite gli Jacobiani delle funzioni vettoriali f ed h rispettivamente, valutati in (x*, u*).
Linearizzazione di un sistema non lineare
( )( )
qpn RRR ∈∈∈==
uyxuxhyuxfx,,&
Si consideri una condizione di funzionamento stazionario x*, u* tale che ( ) 0uxf =**,
** uuuxxx −=−= δδ
( ) ( )
( ) ( ) uu
uxhxx
uxhy
uu
uxfxx
uxfx
uxux
uxux
δδδ
δδδ
**,**,
**,**,
,,
,,
∂∂
+∂
∂≅
∂∂
+∂
∂≅&
Permette la verifica della stabilità/instabilità di un punto di equilibrio di un sistema autonomo non lineare utilizzando un sistema lineare approssimante
Il metodo indiretto non fornisce alcuna informazione sul dominio di stabilità, è un criterio locale.
Metodo indiretto di Lyapunov
( ) nR∈= xxfx&
Linearizzazione attorno al punto di equilibrio
eqxxx −=δ
( ) 0=eqxfPunto di equilibrio xeq
( ) ( ) xxJxxxfx
x
δδδ ⋅=∂
∂≅ eq
eq
&
• Se la matrice J(xeq) ha tutti gli autovalori a parte reale negativa, allora xeq è un punto di equilibrio stabile.
• Se la matrice J(xeq) ha un autovalore a parte reale positiva, allora xeq è un punto di equilibrio instabile.
Esempio
( ) ( )( ) ( ) 2212
21
sin xmlbx
lgtx
txtx
−−=
=
&
&
x1
mg
l
m
b
I punti di equilibrio corrispondenti a valori pari o nulli di k sono stabili in quanto gli autovalori dello jacobiano calcolato in tali punto sono tutti a parte reale negativa, mentre quelli corrispondenti a valori dispari di k sono instabili in quanto hanno almeno un autovalore a parte reale positiva.
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
22
2
2
1
2
2
1
1
1
1cos10
mlb
lg
xf
xf
xf
xf
xxfxJ
( )0
,1,0
2
1
==±=
eq
eq
xkkx Kπ
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=±2
2
100,2
mlb
lghπJ ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
=+±2
2
100,12
mlb
lgh πJ
Una traslazione rigida dell’origine dello spazio di stato non modifica le proprietà dinamiche del sistema
La stabilità di un punto di equilibrio può essere studiata come la stabilità dell’origine, a seguito di una traslazione rigida.
Traslazione rigida dello stato
( ) nRt ∈= xxfx ,&
Traslazione dell’origine tale che essa coincida con un punto di equilibrio
eqxxx −=δ
( ) 0, =teqxfPunto di equilibrio xeq
( ) ( ) ( )ttRt eqn ,,, xxfxfxxfx +=′∈′= δδδδδ&
( ) ( ) 0xxxfxf =⇔=+=′ eqeqeqeq tt δδδ 0,,
Punto di equilibrio δxeq
Una funzione scalare di una variabile (vettoriale) x è detta definita positiva se assume valori positivi per qualunque valore di x, tranne che per x = 0 in cui si annulla.
Convenzionalmente una funzione definita positiva (negativa) si indica con la notazione V(x)>0 (V(x)<0 ), mentre per una semi-definita positiva (negativa) si utilizza la notazione V(x)≥0 (V(x)≤0 ),
Funzioni definite positive
( ) ( )( )
VV
: se positiva definita V n
⎩⎨⎧
==∈>
⊆∈∀0xx
0xxxx
0\X0
RX
Analoghe definizioni si possono dare per funzioni definite e semi-definite negative
( ) ( )( )
VV
: se positiva definita- semiV n
⎩⎨⎧
==∈≥
⊆∈∀0xx
0xxxx
0\X0
RX
Una forma quadratica di un vettore x può essere definita mediante una matrice Q.
Una forma quadratica dello stato x viene solitamente definita attraverso una matrice simmetrica.
Funzioni definite positive
( ) Qxxx TV =
La matrice Q si dice definita positiva se lo è la forma quadratica da essa definita.
( ) ( ) sssTTTT QQQQQQQQQQ +=−++=−+= 2
121
21
21
Una qualunque matrice Q può essere decomposta nella sua parte simmetrica Qs e nella sua parte skew-simmetrica Qss.
xQxQxxxQxQQ sTTT
ssT
ssTss ==⇒−= ,0
Una matrice simmetrica Q è una matrice definita positiva se e solo se ha tutti i minori principali positivi, ovvero, se ha tutti gli autovalori positivi.
Una matrice Q definita positiva deve avere tutti gli elementi della diagonale positivi.
B0 appartiene al dominio di convergenza dell’origine
Metodo diretto di Lyapunov
Se sono invece verificate le seguenti condizioni (più restrittive):
• V(x)>0 ∀ x ∈ B0
•
allora l’origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile.
( ) 0B V ∈∀< xx 0&
Dato il sistema autonomo , se esiste una funzione scalare V(x), con derivate parziali continue, e sono verificate le seguenti condizioni:
• V(x) è definita positiva in un intorno B0 dell’origine dello spazio di stato
• è semi-definita negativa in B0
allora l’origine è un punto di equilibrio stabile.
( )xV&
( ) nR∈= xxfx&
L’intorno dell’origine in cui si verifica ciò definisce il dominio di attrazione del punto di equilibrio.
Metodo diretto di Lyapunov
Se il prodotto scalare tra il gradiente di V ed il vettore della dinamica dello stato f è negativo, lo stato evolve verso valori di Vdecrescenti, ovvero verso l’origine
( ) ( ) ( ){ } ( )xfxxxxx ⋅=⋅
∂∂
= VgraddtdVV&
x1
x2
grad{V}f(x)
V1<V2<V3
V(x)
V1
V2
V3
Il metodo fornisce anche indicazioni sul dominio di convergenza del punto di equilibrio, nonché sulla convergenza asintotica o meno.
Metodo diretto di Lyapunov
Se non si riesce a definire una funzione di Lyapunov, non è detto che l’origine non sia un punto di equilibrio stabile.
Se lo stato rappresenta l’energia interna del sistema, ed un stato stabile implica che l’energia interna tenda a non aumentare, una via per trovare una funzione di Lyapunov è quello di definire V(x) come l’energia interna totale.
Nel caso l’annullarsi di definisca una curva chiusa, questa è un ciclo limite del sistema
( )xV&
Esempio
( ) ( )( ) ( ) 2212
21
sin xmlbx
lgtx
txtx
−−=
=
&
&
x1
mg
l
m
b
Se b>0 l’origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile.Nei punti in cui x2=0 e x1≠0 risulta anche dx2/dt ≠0.Se b=0, l’origine è un punto di equilibrio stabile ma non asinto-ticamente stabile.
00
2
1
==
eq
eq
xx
( ) ( )( ) 2
2
122
221 cos1bxV
EEExmglxmlV totpotcin
−==+=−+=
xx
&
x1
x2
V(x)
Il dominio di convergenza è tutto lo spazio di stato e l’origine è l’unico punto di equilibrio.Si può dire che il sistema è asintoticamente stabile nell’origine.
Metodo diretto di Lyapunov
Se esiste una funzione scalare V(x), con derivate parziali continue, e sono verificate le seguenti condizioni:
•
•
•
allora l’origine è un punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile.
( ) 0B V ∈∀< xx 0&
( ) 0B V ∈∀> xx 0
( ) 0 V ∞→∞→x
x
Esempio
( ) ( )( ) 22
31
21
12
21
xxmbx
mkx
mktx
txtx
−−−=
=
&
&
Se b>0 l’origine è un punto di equilibrio globalmente asintoti-camente stabile.Nei punti in cui x2=0 e x1≠0 risulta anche dx2/dt ≠0.Se b=0, l’origine è un punto di equilibrio stabile ma non asinto-ticamente stabile.
00
2
1
==
eq
eq
xx
( ) ( )( ) 2
22
2122
11
212
1222
1
xbxVEEExkkxmxV totpotcin
−==+=++=
xx
&
x1
k1, k2
b
m
x1
V(x)
x2
Se la derivata totale della funzione V(x) non è né definita/semi-definita negativa né definita positiva non si può dire niente sulla stabilità o meno dell’origine.
Metodo diretto di LyapunovCriterio di instabilità
Dato il sistema autonomo , se esiste una funzione scalare V(x), con derivate parziali continue, e sono verificate le seguenti condizioni:
• V(x) è definita positiva in un intorno B0 dell’origine dello spazio di stato
• è definita positiva in B0
allora l’origine è un punto di equilibrio instabile.
( )xV&
( ) nR∈= xxfx&
EsempioOscillatore di Van der Pool
( ) ( )( ) ( ) 2
2112
21
1 xxxtxtxtx
−+−==
&
&
L’origine è un punto di equilibrio, l’unico, instabile.Le traiettorie del sistema convergono verso un ciclo limite stabile individuato dalla curva verde.La ricerca dei cicli limite, e l’analisi della loro stabilità, richiede procedure più com-plesse che non la ricerca e l’analisi di stabilità dei punti di equilibrio.
00
2
1
==
eq
eq
xx ( ) ( )
( ) ( ) ( ) { }1:R1R
122
122
2222
1212
1
<∈∈∀>−=∈∀>+=
x 0VxxV 0VxxV
xxxxxxx
&
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x1
x 2
Se la matrice A ha autovalori tutti a parte reale negativa e la matrice Q è definita positiva, allora l’unica soluzione P dell’equazione di Lyapunov è definita positiva.
Metodo diretto di LyapunovApplicazione ai sistemi lineari
L’equazione matriciale ATP+PA=-Q è detta equazione di Lyapunov ed ammette una sola soluzione nell’incognita P, una volta fissato Q.Solitamente si sceglie Q=I e quindi si verifica che la soluzione P sia una matrice definita positiva.
Axx =& ( ) 0>= PPxxx TV
( ) ( )0>−=+
+=+=+=QQPAPA
xPAPAxPAxxPxAxxPxPxxxT
TTTTTTTV &&&
Forma normale di un sistema non lineare
Si calcolino le derivate totali dell’uscita finché la variabile di ingresso non compaia esplicitamente.
( )( )( ) RRR
tyttu n ∈∈∈
==
uyxxhxfx
,,,&
( ) ( )( )
1,,2,10;,, −==∂
∂= ri
uytuy
ir Kxϕ
Se r = n, allora il sistema non lineare può essere ricondotto alla forma canonica di Brunowsky, che è analoga ad una forma compagna controllabile di un sistema lineare senza zeri, in cui le variabili di stato sono le variabili di fase.
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )tutuyyyytu TnGG ,,,,,,,,,,;,, 1 yyyxyyByAy Ψ=′Ψ==′+= − ϕϕϕ K&&&&
Sotto opportune ipotesi, la funzione Ψ è una funzione bi-univoca, e tale che Ψ(0) = 0. Stabilizzare y è completamente equivalente a stabilizzare x.
Forma normale di un sistema non lineare
Se r < n, allora il sistema non lineare può essere ricondotto ad una forma canonica comprendente la dinamica dell’uscita y e la dinamica interna w.
( )[ ]( ) [ ]
( ) ( )( )( )tu
twwwtuyyyy
TrnGG
Tr
,,,,,,,
,,,;,,,,,,,,
21
1
wywyxwyw
wwyByAyy
Θ=′Θ==
=′+==
−
−
ϕϕψ
ϕ&
K&
K&&&
Sotto opportune ipotesi, la funzione Θ è una funzione bi-univoca, e tale che Θ(0,0) = 0. Stabilizzare y ed w è completamente equivalente a stabilizzare x.
Se la dinamica interna non ha un comportamento esplosivo ed è stabile quando l’uscita y=0 (zero-dinamica), allora stabilizzare y è completamente equivalente a stabilizzare x.Molti problemi di controllo non lineare vengono ricondotti a problemi di stabilizzazione di una uscita disponibile, od opportunamente costruita.
Forma normale di un sistema non lineare
La legge di controllo può essere basata solo sulle variabili di uscita, eventualmente in forma dinamica mediante osservatori di stato - output feedback, oppure mediante retroazione dello stato – state feedback
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )tut
tGG
,,,,,,
,,;,,
ywyywyw
wyxwyByAy
κϕϕκψ
ϕ
Θ=′′==
Θ=′′+=&
&
La variabile di controllo u non compare più in forma esplicita nella dinamica dello stato, che quindi non è autonoma solo per la eventuale presenza del tempo.
Output feedback
( ) ( )( ) ( )( )tt
ut
,,,;,
xxfxfx
xfxκ
κ=′′=
′′=& State feedback
I sistemi stazionari con controllo in retroazione vengono solitamente ricondotti a sistemi autonomi per cui è possibile applicare le tecniche di analisi precedentemente descritte.
Forma normale di un sistema non lineare
La forma canonica con esplicitazione delle dinamiche ingresso-uscita ed interna, è solitamente utilizzata in quanto permette una più semplice definizione della legge di controllo
( ) ( ) ( )∑−
=
−=′=1
0,,
r
i
ii yatu,che tale,u wywy ϕκ Feedback linearization
In presenza di sistemi perfettamente noti la legge di controllo tende a “cancellare” parte della dinamica del sistema.In presenza di incertezze: tecniche di controllo robusto (high-gain, slidingmodes, etc)
( )[ ]( ) [ ]
( ) ( )( )( )tu
twwwtuyyyy
TrnGG
Tr
,,,,,,,
,,,;,,,,,,,,
21
1
wywyxwyw
wwyByAyy
Θ=′Θ==
=′+==
−
−
ϕϕψ
ϕ&
K&
K&&&
( ) ( ) ( )ywywy φϕκ =′= tu,che tale,u ,, Lyapunov approach