ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.id...Metode penyelesaian SPL, antara lain: 1. Eliminasi Gauss-Jordan...
Transcript of ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.id...Metode penyelesaian SPL, antara lain: 1. Eliminasi Gauss-Jordan...
08/11/2015
1
ALJABAR LINIER
Anita T. Kurniawati,M.Si.
APA ALJABAR LINIER?
Berkembang dari ide untuk menyelesaikan dan
menganalisa sistem persamaan linier
Teori dari matriks dan determinan
Konsep abstrak dari Ruang vektor
Akan kita lihat transformasi linier, nilai eigen,….
08/11/2015
2
Mengapa Aljabar Linier sangat
menarik?
Banyak aplikasinya diberbagai bidang (komputer
grafik, kimia, persamaan diferensial, ekonomi, bisnis,
dll)
Hubungannya antara teori dan komputasi
Dapat menggunakan Matlab atau Maple
Apa Persamaan Linier?
Persamaan Linier adalah suatu persamaan yang disajikan dalam
bentuk:
Suatu penyelesaian dari persamaan linier adalah sederetan n
angka sedemikian sehingga persamaan tersebut
terpenuhi jika kita mensubstitusikan
nsss ,...,, 21
nn sxsxsx ,...,, 2211
bxaxaxa nn ...2211
08/11/2015
3
Apa sistem dari persamaan Linier?
Sistem Persamaan Linier (SPL) adalah himpunan
dari persamaan linier.
Secara umum bentuknya:
mnnmmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,22,11,
2,222,211,2
1,122,111,1
...
.
.
.
...
...
Penyelesaian dari SPL adalah nilai dari variabel yang
memenuhi semua persamaan linier tersebut.
Jika SPL tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai
tak konsisten.
Jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka SPL
tersebut disebut konsisten.
08/11/2015
4
Sistem Homogen
Jika dari persamaan, nilai b=0, maka dinamakan Spl
homogin
Selalu konsisten
Penyelesaian trivial/tunggal jika
Selain itu disebut non trivial /tidak tunggal
x 3y 4
2x y 1
CONTOH:
SPL ini konsisten, karena
mempunyai penyelesaian
x=1, y=1.
x y 2
x y 4
SPL ini tidak konsisten,
MENGAPA?
08/11/2015
5
Dapatkan penyelesaian dari SPL berikut:
x 3y 4
2x 6y 8
Berapa banyak penyelesaian dari SPL?
Kita lihat grafik dari Matlab
Kita lihat, SPL dapat tidak mempunyai penyelesaian, satu
penyelesaian, atau tak terhingga penyelesaian.
Kita dapat menemukan penyelesaian dari SPL dengan
melihat grafik
Hal ini sulit dilakukan jika variabelnya lebih dari tiga.
08/11/2015
6
Grafik:
Penyelesaian SPL secara aljabar, dengan
prosedur matematis:
2x 3y z 5
y z 1
z 3
Penyelesaiannya?
08/11/2015
7
SPL tersebut dalam bentuk eselon baris.
Dua SPL (persamaan) ekivalen jika keduanya mempunyai
penyelesaian sama.
Metode penyelesaian SPL, antara lain:
1. Eliminasi Gauss-Jordan baris eselon tereduksi
2. Eliminasi Gaussian baris eselon
Sebuah matriks harus mempunyai sifat-sifat sbb:
1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, makaangka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah angka 1 (utama 1)
2. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris ini dikelompokkan bersama dibagian bawahmatriks
3. Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidakseluruhnya terdiri dari nol, utama 1 dalam baris yang lebihbawah terletak disebelah kanan utama 1 dalam baris yang lebih atas
4. Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama 1 mempunyai nol ditempat lain.
Jika 4 tidak terpenuhi, maka matriks tersebut disebutmempunyai bentuk eselon baris
08/11/2015
9
Latihan soal:
1
1I
III
IV
Review : MATRIKS
Definisi
Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan
real yang tersusun atas baris dan kolom
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
m baris
n kolom
di katakan matriks A berukuran m x n
08/11/2015
10
Baris ke-i dari A adalah :
• Kolom ke-j dari A adalah :
• Matriks A dapat juga ditulis :
A = [aij]
• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar(b.s), dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengandiagonal utama
)1(21 miaaa inii
)1(2
1
nj
a
a
a
mj
j
j
Jenis – jenis Matriks
1. Matriks Diagonal
Matriks b.s. dengan elemen diluardiagonal utama adalah nol, yaitu
aij = 0 untuk i j
2. Matriks Skalar
Matriks diagonal dengan elemen padadiagonal utama adalah sama, yaitu
aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i j
3. Matriks Segitiga Atas
Matriks b.s. dengan elemen dibawahdiagonal utama adalah nol
08/11/2015
11
Jenis – Jenis Matriks4. Matriks Segitiga Bawah
Matriks b.s. dengan elemen diatas
diagonal utama adalah nol
5. Matriks Identitas
Matriks diagonal dengan elemen pada
diagonal utama adalah 1 , yaitu
aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i j
6. Matriks Nol
Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.
Operasi Matriks
Persamaan Dua Matriks
Penjumlahan Matriks
Perkalian Skalar dan Matriks
Transpose Matriks
Perkalian Matriks
08/11/2015
12
Persamaan Dua Matriks
Definisi
Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :
aij = bij, 1 i m, 1 j n
yaitu, elemen yang bersesuaian dari duamatriks tersebut adalah sama.
• Contoh :
Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5
zy
x
w
BdanA
4
42
21
540
432
121
Penjumlahan Matriks
Definisi
Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks ukuran m x n, makajumlahan A dan B adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dengan
cij = aij + bij
Contoh
Diberikan Matriks A dan B adalah
maka
312
421A
131
421B
423
001BA
08/11/2015
13
Perkalian Skalar & Matriks
Definisi
Jika A = [aij] ukuran m x n dan r adalah sebarangskalar real, maka perkalian skalar rA adalahmatriks B = [bij] ukuran m x n dengan
bij = r aij
• Contoh
Jika r = -3 dan
maka
421 A
1263 rA
Transpose Matriks
Definisi
Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n, maka transpose
dari A adalah matriks
At = [aijt] ukuran n x m dengan
aijt = aji
• Contoh
maka
250
324A
23
52
04tA
08/11/2015
14
Perkalian Matriks Definisi
Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dimana
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
Ilustrasi
rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij
mpmm
ipii
p
p
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
22221
11211
rowi(A)
pnpjpp
nj
nj
bbbb
bbbb
bbbb
21
222221
111211
Colj(B)
mnmm
ij
n
n
ccc
c
ccc
ccc
21
22221
11211
Latihan Soal
1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:
Jika mungkin, maka hitunglah
a. AB d. CB + D g. BA + FD
b. BA e. AB + DF h. A(BD)
c. A(C + E) f. (D + F)A
204
321A
51
42
13
B
211
543
132
C
21
32D
243
512
301
E
14
32F
08/11/2015
15
INVERS MATRIKS
Definisi
Matriks A berukuran n x n disebut invertible jika
ada matriks B berukuran n x n sedemikian hingga :
AB = BA = In
Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak
invertible.
Matriks B disebut invers dari A, dinotasikan A-1
Contoh :
22
32A
11
123
B
Sifat invers matriks
1. Jika A invertible maka A-1 juga invertible, dan
(A-1)-1 = A
2. Jika A dan B invertible, maka AB juga invertible
dan (AB)-1 = B-1 A-1
3. Jika A invertible, maka
(At)-1 = (A-1)t
4. Jika A1,A2,…,Ak adalah matriks – matriks invertible,
maka A1A2…Ak juga invertible dan
(A1 A2…Ak)-1 = Ak
-1 Ak-1-1…A1
-1
08/11/2015
16
Bagaimana mendapatkan Invers
Matriks?
1.
2. Operasi baris Elementer (OBE)
3.
IAA 1.
)(11 AadjA
A
DETERMINAN
Cara mendapatkan determinan:
1. Determinan tingkat dua
2. Determinan tingkat tiga Ekspansi Laplace (Perluasan
Kofaktor) atau Sarrus.
3. Determinan tingkat empat, dstEkspansi Laplace
(Perluasan Kofaktor).
08/11/2015
17
Sifat-Sifat Determinan () :
1. Nilai = nilai
2. Jika baris ke i = 0 (kolom ke-i = 0) maka nilai = 0.
3. Jika baris ke i ditukar dengan baris ke-j (kolom i ditukardengan kolom ke j) diperoleh det. Baru dengan nilai baru= -.
4. Jika baris ke i = baris ke j (kolom ke i = kolom ke j) makanilai = 0
5. Nilai det menjadi k kali jika semua elemen pada sebuah baris(kolom) digandakan dengan k≠0.
6. jika ada 2 baris (2 kolom) yang sebanding maka nilai = 0.
7. Nilai sebuah det. tetap tidak berubah, jika setelah semuaelemen-elemen sebuah baris (kolom) di gandakan dengankemudian ditambahkan (dikurangkan) pada elemen-elemenyang bersesuaian dari baris (kolom) lainnya.
T
Contoh 2: