ALJABAR ABSTRAK
description
Transcript of ALJABAR ABSTRAK
![Page 1: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/1.jpg)
LOGO
ALJABAR ABSTRAK
Dosen Pembimbing
Gisoesilo Abudi
![Page 2: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/2.jpg)
Materi Pokok
OPERASI BINER
G R U P
SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP
SUB GRUP
GRUP SIKLIK
ALJABAR ABSTRAK
![Page 3: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/3.jpg)
Tujuan Instruksional Umum
Setelah mempelajari materi ini, Anda dapat memahami tentang operasi
biner, grup dan sifat-sifat sederhana dari grup, subgrup
serta tentang grup siklik
![Page 4: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/4.jpg)
Pertemuan Kedua
G r u pG r u p
Ke Materi KetigaKe Materi Ketiga
1. Definisi 2. Teorema3. Contoh Soal
4. Latihan / Tugas
![Page 5: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/5.jpg)
Grup Siklik
Pada sub pokok bahasan ini akan dijelaskan suatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positif atau negetif) atau perkalian dari suatu unsur tetap dari Grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan Grup Siklik.
![Page 6: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/6.jpg)
Definisi (Terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a G ∈sedemikian hingga G ={an | n Z}. Elemen a ∈disebut generator dari grup siklik tersebut.
(Terhadap penjumlahan)
Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a G ∈sedemikian hingga G ={na | n ∈ Z}.
![Page 7: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/7.jpg)
Definisi Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, ∈
maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a] dinamakan Subgrup Siklik dari (G,*).
Jadi yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu suatu Subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur.
Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, ∈maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a] dimana [a] = G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.
![Page 8: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/8.jpg)
Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur.
Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.
![Page 9: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.
Penyelesaian :
Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1
[-1] = {(-1)n | n Z}∈= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}
= {-1, 1}
![Page 10: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/10.jpg)
[1] = {(1)n | n Z}∈= {(1)0, (1)1, (1)2, …}
= {1}
generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [-1] = {-1, 1}
generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [1] = {1}.
![Page 11: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh
Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.
Penyelesaian
Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3
[0] = {n(0) | n ∈ Z}
= {0}
[1] = {n(1) | n ∈ Z}
= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …}
= {0, 1, 2, 3}
![Page 12: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/12.jpg)
Penyelesaian
[2] = {n(2) | n ∈ Z}
= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, …}
= {0, 2}
[3] = {n(3) | n ∈ Z}
= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, …}
= {0, 3, 2, 1}
generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [1] = [3] = {0, 1, 2, 3}
generator 0 dan 2 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [0] = {0} dan [2] = {0, 2}
![Page 13: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh
Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangun oleh 1.
Penyelesaian :
[1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …}
= {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.
![Page 14: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh
Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah Grup bilangan kompleks terhadap perkalian (I4, .). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.
Penyelesaian :
Generator dari I4 = {1, -1, i, -i} adalah 1, -1, i dan -i
[1] = {(1) n | n ∈ Z}
= {(1)0, (1)1, (1)2 , …}
= {1}
[-1] = {(-1) n | n ∈ Z}
= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}
= {-1, 1}
![Page 15: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/15.jpg)
[i] = {(i) n | n ∈ Z}
= {(i)0, (i)1, (i)2, (i)3, (i)4, …}
= {1, i, -1, -i}
[-i] = {(-i) n | n ∈ Z}
= {…, (-i)-2, (-i)-1, (-i)0, (-i)1, (-i)2, …}
= {1, -i, i, -1 }
generator i dan -i adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [i] = [-i] = {1, -1, i,-i}
generator 1 dan -1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [1] = {1} dan [-1] = {1, -1}
![Page 16: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/16.jpg)
Definisi Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian.
Bukti :
Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari
G, sehingga G = {an | n Z}.∈
![Page 17: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/17.jpg)
Ambil x, y G, sehingga x = a∈ m dan y = an, untuk m, n Z.∈
x . y = am . an = am+n = an+m = an . am = y . x
Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.
Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n Z}.∈
Ambil x, y G, sehingga x = na dan y = ma, untuk ∈m, n Z.∈
x + y = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = y + x
Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.
![Page 18: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/18.jpg)
Latihan
1. Diketahui matriks
adalah suatu grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (M, .) merupakan suatu grup siklik.
2. Diketahui matriks
adalah suatu grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (N, .) merupakan suatu grup siklik.
01
10,01
10,10
01,10
01M
10
01,10
01,10
01,10
01N
![Page 19: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/19.jpg)
Latihan3. Buktikan dengan contoh bahwa Subgrup dari
Grup Siklik merupakan juga Grup Siklik.
![Page 20: ALJABAR ABSTRAK](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/56813696550346895d9e24c5/html5/thumbnails/20.jpg)
LOGO
Selamat Belajar