Chamim Nurhuda, S.Pd.

Telaah Matematika Sekolah 1

ALJABAR

SK:Memahami Bentuk AljabarKD: 2.1 Mengenali Bentuk Aljabar dan Unsur-unsurnya2.2 Melakukan Operasi pada bentuk aljabar2.3 Menentukan operasi pecahan pada bentuk

Aljabar2.4 mengetahui peggunaan Aljabar dalam

kehidupan sehari-hari

2.1 Pengertian bentuk Aljabar Variabel adalah lambang yang nilainya

dapat berubah ( tidak konstan ) dan dinyatakan dengan huruf.

Koefisien adalah faktor yang berupa bilangan dari suku.

Konstanta adalah lambang sebuah ide tertentu yang bernilai pasti.

Contoh;3a berarti 3 a atau ( a + a + a ) suku 12ab berarati 2 a b atau ( ab + ab )(3a)² berarti 3a 3a atau 3 a 3 a atau 3 ² a²5x + 6 suku 2

2.2 Faktor Perkalian, Koefisien, Konstanta, Suku, dan Suku SejenisA. Pengertian Faktor PerkalianBentuk Aljabar 3a= 3 x a, maka 3a memiliki faktor-faktor 3 dan a.. Faktor 3 disebut faktor angka atau faktor numerik, sering

disebut koefisien dari a.. Faktor a disebut faktor huruf atau faktor alfabetikContoh: a. 3p²q = 3 x p x p x q b. 2a( b+3c)= 2xax(b+3c)Keterangan:3 adalah faktor numerik 2 adalah faktor numerikP² adalah faktor huruf a adalah faktor huruf q adalah faktor huruf (b+3c) adalah faktor aljabar

Jadi, a. faktor dari 3p q² adalah 3, p², dan q. Pada p² , bilangan 2 disebut eksponen atau pangkat.b. faktor dari 2a( b+3c)= 2x a x(b+3c) adalah 2, a, dan (b+ 3c)

B. Pengertian Suku dan Suku Sejenis^ Perhatikan bentuk –bentuk aljabar

3a + 6a ² dan 6p – 8.Maka:. 3a ² dan 6a disebut suku-suku dari 3a + 6a ². 6p dan – 8 disebut suku-suku dari 6p – 8^ Perhatikan bentuk –bentuk aljabar 3a, 4a + 7b, dan 3p-2q-r.Maka: 3a disebut suku tunggal4a + 7b disebut suku dua, 3p-2q-r disebut suku tiga

^ Perhatikan bentuk-bentuk aljabar berikut ini !

a. p dan 6p adalah suku-suku sejenis, karena: p = 1 p 6p = 6 p b. 4x + 3a + 6x mempunyai suku-suku 4x, 3a, 6x. Suku-suku 4x dan 6x memuat variabel sama, yaitu x, suku-suku tersebut diberi nama suku –suku sejenis. Sedangkan 4x dan 3a disebut suku-suku tidak sejenis.

C. Pengertian Koefisien dan KonstantaPerhatikan bentuk Aljabar 3a4 + 6a3 + 5a2 + 7a +8Bilangan –bilangan 3, 6, 5, 7, 8 disebut koefisien dari bentuk aljabar. Dapat dijelaskan sebagai berikut: 3a4 mempunyai koefisien 3 7a mempunyai koefisien 7 6a3 mempunyai koefisien 6 8 merupakan konstanta 5a2 mempunyai koefisien 5Contoh:Tentukan Koefisien dari 9x - 3x + 1²Jawab : 9x - 3x + 1 ² diubah menjadi 9x +(- 3x) + 1²

Jadi , koefisien dari 9x - 3x + 1 ² adalah 9, -3, 1Untuk menentukan koefisien suatu bentuk aljabar dapat mengikuti aturan berikut ini.a. Bentuk Aljabar harus diubah sehingga masing-masing

suku dipisahkan oleh tanda penjumlahan.b. faktor yang berupa bilagan dari masing-masing suku

merupakan koefisien dari bentuk aljabar tersebut.

Operasi Hitung Bentuk AljabarSebelum membahas operasi hitung bentuk aljabar, mari kita ingat kembali sifat-sifat dasar aritmetika yang juga berlaku pada bentuk Aljabar, seperti berikut ini:

Sifat komutatif

Contoh Bentuk Aljabar

3 + 5 = 5 + 33 5 = 5 33 – 5 ≠ 5 – 3 3 : 5 ≠5 : 3

a + b = b + aab = baa – b ≠ b – aa : b ≠ b : a

Sifat Asosiatif

Contoh Bentuk Aljabar

( 3+5 ) + 2 = 3 + ( 5+2 )( 35 ) x 2 = 3 ( 52 )( 3-5 ) – 2 ≠ 3 – ( 5-2 )( 3 : 5 ) : 2 ≠ 3 : ( 5 : 2 )

( a+b ) + c = a + ( b+c )( ab ) c = a ( bc )( a-b ) – c ≠ a – ( b-c )( a:b ) : c ≠ a : ( b:c ) Sifat Distributif

Contoh Bentuk Aljabar

3 ( 5+2 ) = 35 + 32 ( 3+5 ) 2 = 32 + 523 ( 5-2 ) = 35 – 32( 3-5 ) 2 = 32 – 52

a( b+c ) = ab + ac( a+ b )c= ac + bca( b-c ) = ab – ac( a-b ) c = ac - bc

A. Perkalian Konstanta dengan Bentuk Aljabar Bersuku Dua Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan ataupun pengurangan pada bilangan bulat dapat diterapkan untuk operasi perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar bersuku dua atau lebih.Perhatikan Contoh berikut!a. 6 ( a + 3 ) = 6a + 18 d. -3( 2a-3b-4c ) = -6a + 9b + 12cb. -7 ( a-b ) = -7a + 7b e. -6( 2-x-x ) = -12 + 6x + 6x² ²

c. x ( 2x-3y )= 2x - 3xy² f. –k( 2k-3l+7m )= -2k + 3kl -²7km

B. Menjumlahkan Dan Mengurangkan Suku- suku SejenisSuatu bentuk Aljabar yang mengandung suku-suku Sejenis dapat disederhanakan dengan cara menjumlahkan dan mengurangi suku-suku sejenis yang ada. Proses ini dilakukan dengan sifat distributif.

Perhatikan contoh-contoh berikut ini!Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini!

a. 5x + 2x b. b + 2ab -3b + 5ab² ²Jawab:a. 5x + 2x = ( 5+2 )x, sifat distributif

= 7xb. b +2ab-3b +5ab² ² = ( b -3b )+(2ab+5ab)² ²

= ( 1-3) b + ( 2+5 ) ab² , sifat distrbutif

= -2b + 7ab²

C.Perkalian dan Pembagian Antarbentuk Aljabar

Pada saat kita melakukan perkalian dan pembagian antarbentuk aljabar, terlebih dahulu lakukan pengelompokan koefisien, kemudian kelompokkan variabel-variabel yang sama. Tuliskan variabel dalam urutan abjad dan pangkat dalam urutan kecil ke besar. Untuk diingat : operasi dalam variabel harus diselesaikan terlebih dahulu.

Contoh: jjoiijjjijij

Berikut ini akan kita uraikan bentuk-bentuk aljabar di atas satu persatu

Bentuk I: (a + b) ²

bentuk di atas dapat dijabarkan sebagai berikut: (a + b) ² = (a + b) x (a + b)

=a x (a + b) + b x (a + b) =(a x a) + (a x b) + (b x a) + (b x b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Kesimpulan: (a + b) ² = a² + 2ab + b²

Bentuk II: (a - b) ²

bentuk di atas dapat dijabarkan sebagai berikut: (a - b) ² = (a - b) x (a - b)

=a x (a - b) - b x (a - b) =(a x a) - (a x b) - (b x a) - (b x -

b) = a² - ab - ba +

b² = a² - 2ab + b²

Kesimpulan: (a - b) ² = a² - 2ab +b²

Bentuk III: (a + b)(a – b)

bentuk di atas dapat dijabarkan sebagai berikut:

(a + b)(a – b) = a x (a – b) + b x (a – b) = (a x a) – (a x b) + (b x a) – (b x b)

= a² - ab + ba - b²

= a² - b²

Kesimpulan: (a + b)(a – b) = a² - b²

Bentuk IV: (a + b)(p + q + r)Penjabaran bentuk di atas dapat dipaparkan sebagai berikut:

(a + b)(p + q + r) = a x (p + q + r) + b x (p + q + r)

= (a x p) + (a x q) + (a x r) + (b x p) + (b x q) + (b x r)

= ap + aq + ar + bp + bq + br

kesimpulan:(a + b)(p + q + r) = ap + aq + ar + bp + bq + br

VISUALISASI SIFAT DISTRIBUTIF

Sifat Distributif antara Suatu Bilangan dengan Suku Dua.

Perhatikan gambar dibawah ini:

a

b c

= + a

b c

a

Luas = (b+c)a

Luas = (ab) + (ac)

Dari data di atas disimpulkan:

Luas = (b+c)a = (ab) + (ac) = ab + ac

Suku Dua dengan Suku Dua

a

b

d

a

a

b

b

cc

d

dd

c

= +

a

b

a b

Luas = (a+b)(c+d)

Luas = (ac)+(ad)+(bc)+(bd) = ac+ad+bc+bd

= +

+ + +=

a

cc

dd

b

Luas = (a+b)c + (a+b)d

Luas = a(c+d) + b(c+d)

c

Kesimpulan dari data di atas:

Luas = (a+b)(c+d) = (a+b)c + (a+b)d= a(c+d) + b(c+d)=(ac)+(ad)+(bc)+(bd)= ac+ad+bc+bd

Mensubstitusikan Bilangan pada Variabel dalam Suku Banyak

Dalam suku banyak misalnya 2x2 + 6x - 1, jika huruf x dan y diganti berturut-turut dengan bilangan 2 dan 3 maka suku banyak itu menjadi 2.22 + 6.3 – 1 = 8 + 18 – 1 = 25. Proses mengganti variabel dengan bilangan disebut proses substitusi.Contoh:Apabila p = 3 dan q = 2, tentukan nilai dari:a. p2 + q2 c. 2p2 + 3q2 + 6b. (4p + q)2

Jawab:a. p2 + q2 = 32 + 22 = 9 + 4 = 13b. (4p + q)2 = (4.3 + 2)2 = 142 = 196c. 2p2 + 3q2 + 6 = 2.32 + 3.22 + 6 = 18 + 12 + 6 = 36

2.3 Menentukan Operasi Pecahan Pada Bentuk Aljabar

1. KPK dan FPB Bentuk Aljabar Suku Tunggal KPK (Kelipatan Persekutuan Kecil) merupakan hasil

perkalian dari faktor yang berbeda dengan pangkat tertinggi.

FPB (Faktor Persekutuan Besar) merupakan hasil perkalian dari faktor yang sama dengan pangkat terendah.

Contoh: Tentukanlah KPK dan FPB dari 9𝑥3𝑦2𝑧5, 12𝑥2𝑦4𝑧3 dan 21 𝑥5𝑦2!

Penyelesaian: 9𝑥3𝑦2𝑧5 = 32 𝑥3𝑦2𝑧5 12𝑥2𝑦4𝑧3 = 22 . 3 𝑥2𝑦4𝑧3 21 𝑥5𝑦2 = 3 . 7 𝑥5𝑦2 KPK dari 9𝑥3𝑦2𝑧5, 12𝑥2𝑦4𝑧3 dan 21 𝑥5𝑦2 = 32. 22.7 𝑥5𝑦4𝑧5

= 252 𝑥5𝑦4𝑧5 FPB dari 9𝑥3𝑦2𝑧5, 12𝑥2𝑦4𝑧3 dan 21 𝑥5𝑦2 = 3𝑥2𝑦2

2. Menyederhanakan Operasi Pecahan Bentuk Aljabar

Suatu pecahan dapat disederhanakn jika pembilang dan penyebut memiliki faktor perseketuan yang sama. Pecahan dikatakan telah disederhanakan jika pembilang dan penyebutnya tidak memiliki faktor persekutuan kecuali 1. Agar maksud ini tercapai, maka pembilang dan penyebut pecahan semula dibagi dengan FPB - nya sebelum menyederhanakan. Contoh:

a.

b.

3. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal

a.Penjumlahan dan Pengurangan Jika dua pecahan yang memiliki penyebut sama

maka hisil operasi aljabar tersebut dapat dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan pembilang-pembilangnya.

Contoh:

Jika dua pecahan penyebutnya tidak sama maka

penyebutnya harus disamakan dengan menggunakan KPK dari penyebut-penyebutnya. Kemudian dapat dikerjakan seperti kasus penyebutnya sama.

Contoh:

b. Perkalian

Perkalian dua pecahan sama dengan suatu pecahan yang pembilangnya merupakan hasil kali pembilang-pembilangnya semula dan penyebutnya merupakan hasil kali penyebut-penyebut pecahan semula. Contoh:

Hasil bagi dua pecahan adalah suatu pecahan yang pembilangnya dibentuk oleh hasil bagi pembilang-pembilangnya semula dan penyebutnya dibentuk oleh hasil bagi penyebut-penyebut pecahan semula.

Dari operasi diatas berlaku pula bahwa “membagi dengan suatu pecahan berarti mengalikan dengan kebalikannya”. Dirumuskan:

Contoh:

c. Pembagian

2.4 mengetahui peggunaan Aljabar dalam kehidupan sehari-hari

Contoh :1. Panjang suatu persegi panjang pada gambar di bawah ini adalah (2x-3) cm dan lebarnya (x+2) cm.

(x+2)

(2x+3) cm

a. Tulilah keliling persegi panjang tersebut dinyatakan dalam x.

b. Untuk X = 10, hitunglah kelilingnya.

c. Tulislah luas persegi panjang tersebut dinyatakan dalam x.

d. Hitunglah luasnya untuk X = 10.

Jawab :a. Misalkan : P = (2x – 3) cm dan l = (x+2)

cmkeliling persegi panjang = 2p + 2l

= 2(2x-3) + 2(x+2)= 4x-6+2x+4= 6x-2

b. Untuk X = 10, maka keliling = 6 (10) – 2 = 60 -2 = 58.

jadi kelilingnya adalah 58 cm,c. Luas persegi panjang = pl

= (2x-3) (x+2)= 2x(x+2) – 3(x+2)=2x2 +4x-3x-6= 2x2 + x - 6

d. Untuk X = 10, maka luas = 2(10)2 + 10 – 6= 2 (100) + 4 = 204

jadi, luasnya adalah 204 cm2 .2. Tabungan Larasati di sekolah berjumlah Rp. 40.000. Jika dua kali tabungan Wita ditambah Rp. 10.000 sama dengan besar tabungan Larasati. Berapakah tabungan Wita?

Jawab:Misalkan : tabungan Larasati = x

tabungan Wita = ydiketahui : x = 40.000 dan 2y +10.000 = xmaka : 2y + 10.000 = 40.000

Berarti :2y = 40.000 – 10.000 = 30.000y = 30.000 : 2 = 15.000

Jadi, tabungan Wita adalah Rp 15.000.

3. Ibu Sari membelim15 ekor ayam dengan harga Rp 15.000/ekor. Kemudian dijual dengan keuntungan Rp 2.000/ekor. Berapa harga penjualan seluruh ayam?Jawab:Misalkan: harga beli seekor ayam = x

harga jual seekor ayam = yDiketahui: jumlah ayam yang dibeli = jumlah ayam yang dijual = 15

x = 15000y = x + 2000

Maka: y = 15000 + 2000 = 17000Sehingga, harga jual seluruh ayam = jumlah ayam yang dijual y

= 15 17000= 255000

Jadi, harga jual seluruh ayam adalah Rp 255.000,00

TERIMA KASIH

SEKIAN