Alineamiento Horizontal 1
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APUNTES DE VIAS.
Prof. Ing. José Tomás López F. Página 1
ALINEAMIENTO HORIZONTAL
Luego de obtenida o precisada topográficamente la poligonal abierta, que servirá
para el trazado de la Carretera, se elaboran con estos datos planos de: Planta,
Perfil Longitudinal y de Secciones Transversales.
La Planta de una Carretera es la proyección de ésta sobre un Plano Horizontal.
El Plano de Planta u Horizontal, como también se le conoce, es un sistema de
coordenadas rectangulares, siendo uno de sus ejes la línea Norte (N) – Sur (S)
geográfica de uno de sus puntos, tomado como origen.
La carretera la definimos, generalmente, sobre el Plano Horizontal, por medio de
su Eje Central.
La proyección de este eje sobre el Plano Horizontal es lo que se conoce como
ALINEAMIENTO HORIZONTAL.
El Alineamiento Horizontal de una Carretera, consta de una poligonal abierta
(rectas), cuyas deflexiones o cambios de direcciones son suavizadas por curvas.
Ver Fig. 1
En este capítulo estudiaremos lo referente a los tramos rectos del Alineamiento
Horizontal.
V-3
Δ1
V-1
E
D
V-4
Δ2
N
D
Fig.1
V-0
Siendo:
V-0; V-1; V-2 y V-3: vértices o Puntos de Intersección de los Alineamientos.
∆1 y ∆2: Deflexiones del Alineamiento en cada vértice.
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COORDENADAS, RUMBOS Y
AZIMUT
Para representar una poligonal en el Plano Horizontal, es necesario conocer sus
Coordenadas, bien sea rectangulares o polares.
Veamos el siguiente grafico.
Según lo expresado en el gráfico anterior el punto A está representado por sus
Coordenadas Norte (NA) y Este (EA), de igual manera los demás puntos que representan
los vértices de la poligonal y que a su vez la definen, de esta manera los vértices
quedarían representados de la siguiente manera:
A: (NA, EA);
B: (NB, EB) y
C: (NC, Ec).
Por lo general en un Levantamiento Topográfico, se conocen las Coordenadas del punto
de partida, en nuestro ejemplo A, bien sea por Determinación Astronómica Directa, por
deducción a partir de las coordenadas conocidas de dos (2) postes de triangulación o por
el uso adecuado y exacto de GPS (en menor proporción).
Se necesita, por tanto el cálculo de las coordenadas de los otros puntos (vértices), que
componen la poligonal.
NA
NB
NC
EC EB
EA
C
A
B
N
E
C
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Ello lo realizaremos a través del uso de las coordenadas polares, que no son más que el
conocimiento de la distancia que une a dos puntos, el ángulo de referencia de la línea
que une esos dos puntos y de las coordenadas de uno de esos puntos.
Veamos:
Siendo:
Para la Semirecta AB
∆NAB = (NB - NA)
dAB = Distancia entre los puntos A y B
α1 = Angulo formado entre la línea Norte y la recta AB
Para la Semirecta BC
∆NABC = (NC - NB)
dBC = Distancia entre los puntos B y C
α2 = Angulo formado entre la línea Norte y la recta CB.
Los levantamientos topográficos nos dan los valores de los ángulos α1 y α2 , de las
distancias dAB, dBC y de las coordenadas del punto A (NA; EA).
Conocidos estos datos y con simples funciones trigonométricas podemos hallar los
Coordenadas de los demás vértices de la poligonal
NA
NB
NC
EC EB
EA
C
A
B
N
E
C
∆NAB
∆NBC
∆EAB ∆EBC
α1
α2
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CALCULO DE COORDENADAS DE UN PUNTO :
NB = NA + (dAB) * cos (α1) NC = NB + (dBC) * cos (α2)
EB = EA + (dAB) * cos (α1) EC = EB + (dBC) * cos (α2)
Los ángulos (α1 y α2) son conocidos como Rumbo o Azimut de la Línea o recta de
estudio, cuyos conceptos veremos a continuación.
AZIMUT
El Azimut de una dirección AB (AzAB), es el ángulo formado por la dirección Norte
(N), y la Semirecta AB.
Se mide desde la dirección Norte (N) hacia el Este (E), en sentido horario, siendo esta
dirección considerada positiva (+).
Su valor está comprendido entre 0° y 360°
y
E
N
E B
E
A
AB en I C
0° < AzAB ≤ 90°
AzAB
AzAB
AzAB
180° < AzAB ≤ 270°
E
N
E
B
E
A
AB en III C
AzAB
E
N
E B
E
A
AB en IV C
270° < AzAB ≤ 360°
AzAB
E
N
E
B
E
A
AB en II C
90° < AzAB ≤ 180°
AzAB
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RUMBO
El Rumbo de una dirección AB es el ángulo siempre agudo (< 90°), formado por la
Línea Norte (N) – Sur (S) que pasa por A y la Semirecta AB
Se mide siempre desde la línea Norte (N) o Sur (S) hacia el Este (E) u Oeste (W), hasta
la Semirecta AB
Se denota anteponiendo al valor del ángulo, la inicial de la línea de donde se sale, Norte
(N) o Sur (S) y por último la inicial de la línea hacia donde se dirige el ángulo, Este (E)
u Oeste (W), como se señala en las siguientes figuras.
E
N
E B
E
A
AB en IV C
RAB = N (α) W
α
E
N
E B
E
A
AB en I C
RAB = N (α) E
α
E
N
E
B
E
A
AB en III C
RAB = S (α) W
α
E
N
E
B
E
A
AB en II C
RAB = S (α) E
α
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CONTRA - RUMBO (CR):
En las figuras anteriores todos los rumbos se midieron desde el punto A. Cuando se
trata del rumbo de la misma línea, pero observado desde el extremo opuesto (B), se
habla de Rumbo Inverso o Contra-Rumbo. Convertir rumbos a contra-rumbos es muy
sencillo, pues los ángulos son ángulos alternos-internos (recordar el teorema de ángulos
congruentes en una secante que corta dos líneas paralelas), entonces el único trabajo que
resta es cambiar las letras que indican el cuadrante por las contrarias, es decir N por S (y
viceversa) y E por W (y viceversa). Igualmente el Contra - Rumbo es el Rumbo visto
desde el otro punto.
Veamos el siguiente ejemplo:
E
N
E
B
E
A
RAB = N (40°)
E
40
E
N
E
40
CRAB = S (40°) W
RBA = S (40°) W
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CONVERSIONES:
Al analizar los conceptos de Rumbo y Azimut, nos damos cuenta que una línea ubicada
en cualquier cuadrante posee indistintamente las dos direcciones, Rumbo y Azimut, por
lo que no es muy difícil deducir que debe existir entre ambas algo que las relacione, esta
relación la estaremos analizando a continuación:
Resumiendo:
Cuadrante
Dirección I II III IV
RAB AzAB 180° - AzAB AzAB – 180° 360° - AzAB
AzAB RAB 180° - RAB 180° + RAB 360° - RAB
E
N
E B
E
A
AB en I C
RAB = AzAB
AzAB = RAB
AzAB
RAB
E
N
E
A
AB en II C
AzAB
RAB
RAB = 180° - AzAB
AzAB = 180° - RAB
B
E
E
N
E
A
AB en III C
AzAB
RAB
RAB = AzAB - 180°
AzAB = 180° + RAB
B
E
B
E
A
RAB
E
N
E
AB en IV C
AzAB
RAB = AzAB - 180°
AzAB = 180° - RAB
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Supongamos, que de una Semirecta AB conocemos las coordenadas de sus
vértices
Si hacemos que siempre, α < 90°, éste se convierte en el Rumbo de la línea AB, no
importando el cuadrante en que la línea se encuentre, por lo que, haciendo uso del
Teorema de Pitágoras y la fórmula para el cálculo de la tangente de una recta tenemos:
Y
La fórmula del cálculo del Rumbo AB (RAB) nos da el valor del ángulo, no así, la
direccionalidad de la recta, es decir su nomenclatura, partiendo del hecho que:
Visto de otra manera
Cuad.
∆ I II III IV
∆NAB (+) (-) (-) (+)
∆EAB (+) (+) (-) (-)
NA
NB
EB EA
A
B
N
E
C
∆NAB
∆EAB
α dAB
dAB = √ (∆NAB)2 + ∆EAB)
2 RAB = arctg ∆EAB
∆NAB
E
N
E I C
∆NAB (+)
∆EAB (+)
II C
∆NAB (-)
∆EAB (+)
III C
∆NAB (-)
∆EAB (-)
IV C
∆NAB (+)
∆EAB (-)
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Podemos deducir que:
Revisemos nuevamente el gráfico que se muestra a continuación, y consigamos las
fórmulas para calcular las coordenadas de un punto (B), conocidas las Coordenadas de
un punto anterior (A), la distancia que une esos dos (2) puntos (dAB)y el Rumbo que
direcciona la línea AB (RAB), haciendo uso de funciones trigonométricas conocidas:
Sen (RAB) = (∆EAB) / (dAB) => (∆EAB) = (dAB) * Sen (RAB)
Sabiendo que: (∆EAB) = (EB - EA) Y que puede tener signos positivo (+) o negativo
(-), según el cuadrante donde esté ubicada la línea AB, nos queda:
Será (+) si (∆EAB) es Positivo y viceversa
Cos (RAB) = (∆NAB) / (dAB) => (∆NAB) = (dAB) * Cos (RAB)
Sabiendo que: (∆NB) = (NB - NA) Y que puede tener signos positivo (+) o negativo
(-), según el cuadrante donde esté ubicada la línea AB, nos queda:
Será (+) si (∆NAB) es Positivo y viceversa
∆
Direc. (+) (-)
RAB N S
RAB E W
NA
NB
EB EA
A
B
N
E
C
∆NAB
∆EAB
α dAB
EB = EA ± (dAB) * Sen (RAB)
NB = NA ± (dAB) * Cos (RAB)
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Ejemplos:
1.- Calcule la distancia y Rumbo en los siguientes casos, dibuje la línea AB:
a.) A (100,50); B (125, 100)
b.) A (100,50); B (75,75)
c.) A (100,50); B (50,25)
d.) A (100,50); B (150,15)
Solución:
Fórmulas a utilizar:
a.) A (100,50); B (125, 100)
A 100 50
B 125 100
DISTANCIA
(D)
RUMBO
(R)
55,90 E63° 26' 05,87"N
∆E
25 50
VERTICENORTE
(N)
ESTE
(E)∆N
dAB = √ (∆NAB)2 + ∆EAB)
2 RAB = arctg ∆EAB
∆NAB
E
N
E
B
E
A
RAB
(dAB)
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b.- A (100,50); B (75,75)
A 100 50
B 75 75
∆E
-25 25
VERTICENORTE
(N)
ESTE
(E)∆N
DISTANCIA
(D)
RUMBO
(R)
35,36 E45° 00' 00"S
c.) A (100,50); B (50,25)
A 100 50
B 50 25
∆E
-50 -25
VERTICENORTE
(N)
ESTE
(E)∆N
DISTANCIA
(D)
RUMBO
(R)
55,90 W26° 33' 54,18"S
E
N
E
A
RAB
B
E
(dAB)
E
N
E
A
RAB
B
A
(dAB)
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d.) A (100,50); B (150,15)
A 100 50
B 150 15
DISTANCIA
(D)
RUMBO
(R)
61,03 W34° 59' 31,27"N
∆E
50 -35
VERTICENORTE
(N)
ESTE
(E)∆N
2.) Calcule Las Coordenadas faltantes y el Rumbo, dado los siguientes datos:
A: (500, EA).
B: (NB, 100).
AzAB = 135°
dAB = 200m
Solución:
Se necesitan hallar las Coordenadas EA y NB, tenemos la distancia AB (dAB) y el Azimut
AB (AzAB), que debemos convertir en Rumbo para utilizar las fórmulas que conocemos,
a.) Cálculo del Rumbo AB (RAB).
Tenemos el AzAB = 135° lo que nos dice que está en el II Cuadrante por tanto:
RAB = 180° - 135°
RAB
E
N
E
(dAB )
A
B
RAB = 180° - AzAB
RAB = S 45° E
RAB
E
N
E
A
AzAB
B
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b.) Calculo de la Coordenada Norte de B (NB)
Para Calcular: NA: 500,00
“NB” Necesito dAB = 200m
RAB: S 45° E
Tenemos todos los datos que necesitamos, por lo que:
NB = 500 - (200) * Cos (45°) (es negativo al ser el Rumbo AB: Sur)
c.- Cálculo de la Coordenada Este de A (EA)
Para Calcular: EB: 100,00
“EA” Necesito dAB = 200m
RBA: ¿?
Para calcular la Coordenada Este de A (EA) debo pararme en B y visualizar A, por lo
que necesito es el Rumbo de B hacia A (RBA), que es igual al Contrarumbo AB (CRAB)
Quedando:
RBA = N 45° E
Usando la fórmula:
EA=100 + (200) * Sen (45°)
Será (+) al ser el Rumbo AB: Este
NB = NA ± (dAB) * Cos (RAB)
NB = 358,58
E
N
E
A
B
RAB
RBA
E
N
E
EA = EB ± (dAB) * Sen (RBA)
EA = 241, 42