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SISTEMAS DE CONTROLE II
- Algumas situações com desempenho problemático
1) Resposta muito oscilatória
2) Resposta muito lenta
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3) Resposta com erro em regime permanente
4) Resposta pouco robusta a perturbações
5) Resposta muito susceptível a ruídos de medição
Exemplo:
ε.sen(ω.t) Sinal Ondulado
Utilizando um controlador PID (parte Derivativa), a resposta fica:
ε. ω.cos(ω.t) isso mostra que os ruídos são amplificados.
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A resposta adequada é aquela resposta sem oscilações (ou poucas oscilações), rápida,
sem erro em regime permanente (ou com erro em regime permanente nulo), robusta a
perturbações e pouco susceptível a ruídos de medição.
- Regulação x Rastreamento
Regulação
Regulação consiste no problema de levar o sistema de volta ao ponto de operação
x1 = x1-x10
x2 = x2-x20
Regulação (no novo sistema de coordenadas) consiste em levar o sistema para a origem.
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Rastreamento
O rastreamento consiste em levar o sistema a acompanhar um sinal de referência
qualquer.
- Sequência de projeto
1) Escolha do controlador
2) Sintonia inicial
a) Métodos de Ziegler-Nichols
b) Método polinomial
c) Método do lugar das raízes (roots-locus)
d) Método frequencial (Diagrama de Bode)
e) Método por variáveis de estado
3) Sintonia fina (ajuste intuitivo)
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- Índice de desempenho
r Referência
y Saída da planta
yfinal lim𝑡→∞ 𝑦 𝑡
P.O. (Porcentagem de Overshoot)
P.O. = 𝑦𝑚 á𝑥−𝑦𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑦𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙.100%
Ts (Tempo de acomodação ou tempo de estabilização) é o tempo necessário para
a resposta ficar dentro de um percentual em relação ao valor final.
- Critérios para o percentual
Ts5% (Tolerância de 5%)
Ts2% (Tolerância de 2%)
Erro
e = r – y
Erro em regime permanente
e. r. = lim𝑡→∞ 𝑒(𝑡)
- Controlador Proporcional (P)
U(s) = Kc.E(s) => u(t) = Kc.e(t)
Em geral, o erro em regime não é nulo e o ganho é proporcional ao erro.
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Em geral:
Kc pequeno
P.O. baixo
Tempo de acomodação alto
Erro em regime alto
Kc intermediário
Essa é a situação mais adequada para porcentagem de overshoot, tempo de acomodação
e erro em regime. Nos projetos utilizamos o Kc intermediário.
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Kc grande
P.O. alto
Tempo de acomodação alto
Erro em regime baixo
- Controlador Proporcional-Integrativo (PI)
U(s) = 𝐾𝑐 + 𝐾𝑖
𝑠). 𝐸(𝑠) => u(t) = 𝐾𝑐. 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑖 𝑒 𝑡 . 𝑑𝑡
𝑡
0
Veja que em u(t), temos uma parte proporcional e outra parte integrativa.
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A parte proporcional age no início e a parte integrativa age no final.
Vamos mostrar porque a saída y não pode ficar abaixo nem acima da referência em
regime permanente.
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Agora vamos ver um exemplo acima do nível da referência em regime permanente.
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- Conclusão geral: Com o controlador PI consegue-se um e. r. = 0 para r(t) tipo degrau.
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Ki pequeno
Porcentagem de overshoot baixa
Tempo de acomodação alto
Ki grande
Porcentagem de overshoot alto
Tempo de acomodação alto
Ki intermediário
Respostas adequadas para porcentagem de overshoot e tempo de acomodação.
- Controlador Proporcional Integrativo Derivativo (PID)
U(s) = 𝐾𝑐 + 𝐾𝑖
𝑠+ 𝐾𝑑. 𝑠 . 𝐸(𝑠) => u(t) = 𝐾𝑐. 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑖 𝑒 𝑡 . 𝑑𝑡 + 𝐾𝑑.
𝑑
𝑑𝑡𝑒(𝑡)
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Conclusão: a parte derivativa se opõe as outras duas componentes e faz isso com mais
intensidade quando o módulo da variação do erro é maior.
Como o Kd é mais relacionado a porcentagem de overshoot, vamos analisá-lo com Kc e
Ki constante.
Kd grande
Porcentagem de Overshoot baixo
Kd pequeno
Porcentagem de Overshoot alto
Kd intermediário
Resposta adequada para a porcentagem de overshoot
Conclusão final: Com um controlador PID é possível obter um desempenho transitório
adequado.
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- Controlador PID
Efeito de cada componente
As componentes proporcionais, derivativa e integrativa atuam em momentos distintos.
A parte proporcional P mais importante no início do transitório.
A parte proporcional I mais importante em regime permanente.
A parte proporcional D mais importante quando a saída da planta está variando mais
rapidamente.
Parametrizações do PID
Gc(s) = 𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
Gc(s) função de transferência do controlador
Gc(s) = 𝐾𝑐 + 𝐾𝑖.1
𝑠+ 𝐾𝑑. 𝑠 (mais intuição)
Gc(s) = 𝐾𝑐(1 + 1
𝜏𝑖 .𝑠+ 𝜏𝑑. 𝑠) (melhor para projeto)
Ki = 𝐾𝑐
𝜏𝑖
Kd = Kc. 𝜏𝑑
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- Sistemas de 1ª Ordem
qi vazão de entrada
qi > 0 bomba está colocando líquido no
reservatório
qi < 0 bomba está retirando líquido do
reservatório
qi = Ki.u
u tensão aplicada na bomba
q0 vazão de saída
q0 =
𝑅
h nível
R resistência de restrição
V = A.h
V volume
A área da seção reta
𝐴.𝑑
𝑑𝑡 = 𝑞𝑖 − 𝑞0 ⇒ 𝐴.
𝑑
𝑑𝑡 = 𝐾𝑖. 𝑢 −
𝑅 ⇒
𝑑
𝑑𝑡 = −
1
𝑅. 𝐴. +
𝐾𝑖
𝐴. 𝑢 → 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜
u entrada
y = h saída
- Aplicando a transformada de Laplace (C. I. nulas)
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𝑠. 𝐻 𝑠 = −1
𝑅. 𝐴. 𝐻 𝑠 +
𝐾𝑖
𝐴. 𝑈 𝑠
𝑠 + 1
𝑅. 𝐴 . 𝐻 𝑠 =
𝐾𝑖
𝐴. 𝑈 𝑠 ⇒
𝐻(𝑠)
𝑈(𝑠)=
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)= 𝐺 𝑠 =
𝐾𝑖. 𝑅
𝑅. 𝐴. 𝑠 + 1=
𝐾
𝜏𝑠 + 1
K = Ki.R ganho estático
Τ = R.A constante de tempo
G(s) = 𝐾
𝜏𝑠+1 função de transferência
Para u(t) = C1, C1 ≠ 0, U(s) = 𝐶1
𝑠 (u é um degrau)
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 =𝐾
𝜏𝑠 + 1.𝐶1
𝑠=
𝐾𝑠
𝑠 + 1𝜏
.𝐶1
𝑠 =
𝐾1
𝑠 + 1𝜏
+ 𝐾2
𝑠
𝐾1 =𝐾. 𝐶1
𝜏
−1𝜏
= −𝐾. 𝐶1
𝐾2 =𝐾. 𝐶1
𝜏
1𝜏
= 𝐾. 𝐶1
y(t) = £-1
{Y(s)} = −𝐾. 𝐶1. 𝑒−𝑡
𝜏 + 𝐾. 𝐶1 = 𝐾. 𝐶1(1 − 𝑒−𝑡
𝜏 )
t Y erro(%)
𝜏 0,63.K.C1 37
2𝜏 0,86.K.C1 14
3𝜏 0,95.K.C1 5
4𝜏 0,98.K.C1 2
5𝜏 > 0,99.K.C1 < 1
Ts5% = 3 𝜏 (tempo necessário para y ficar dentro de uma tolerância de 5% em relação ao valor final)
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Ts2% = 4 𝜏 (tempo necessário para y ficar dentro de uma tolerância de 2% em relação ao valor final)
Regime permanente na pratica: t ≥ 5 𝜏
Ex.
𝐺 𝑠 =𝐾
1 + 1𝜏
Pólo(s): −1𝜏 < 0 Sistema estável
Zero(s): -x-
𝜏1 Grande ⇒ 1
𝜏1 pequeno, pólo próximo do eixo imaginário ⇒ sistema lento
𝜏2 Pequeno ⇒ 1
𝜏2 grande, pólo afastado do eixo imaginário ⇒ sistema rápido
-Planta de 2ª Ordem
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f=u Força
x=Y Deslocamento
K Constante da mola
B Coeficiente de atrito viscoso
𝑀. 𝑥 = 𝑓 − 𝐾. 𝑥 − 𝐵. 𝑥
⟹ 𝑀. 𝑥 + 𝐾. +𝐵. 𝑥 = 𝑓
Descrição por variáveis de estado
𝑥1 = 𝑥 𝑥 1 = 𝑥2
x2=𝑥 𝑥 2= −𝐾
𝑀. 𝑥1 –
𝐵
𝑀. 𝑥2+
1
𝑀. 𝑓
𝑦 = 𝑥1
𝑥 = 𝑥1
𝑥2
𝑥 1𝑥 2
= 0 1
−𝐾
𝑀−
𝐵
𝑀
. 𝑥1
𝑥2 +
01
𝑀
.u
𝑦 = 1 0 . 𝑥1
𝑥2
𝑥 = 𝐴. 𝑥 + 𝐵. 𝑢 (B é uma matriz)
𝑦 = 𝐶. 𝑥 + 𝐷. 𝑢 D só aparece quando a saída influencia diretamente na entrada
𝐴 = 0 1
−𝐾
𝑀−
𝐵
𝑀
; 𝐵 = 01
𝑀
; 𝐶 = 1 0
Aplicando a Transformada de Laplace e considerando Condições Iniciais nulas, temos:
𝑀. 𝑠2. 𝑋 𝑠 + 𝐵. 𝑠. 𝑋 𝑠 + 𝐾. 𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 ⇒
𝑀. 𝑠2 + 𝐵. 𝑠 + 𝐾 . 𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 ⇒
⇒𝑋 𝑠
𝐹 𝑠 =
𝑌 𝑠
𝑈 𝑠 = 𝐺 𝑠 =
1
𝑀. 𝑠2 + 𝐵. 𝑠 + 𝐾=
1𝑀
𝑠2 + 𝐵𝑀 +
𝐾𝑀
⇒
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⇒ 𝐺 𝑠 = 𝐾
𝑠2 + 2. 𝜉. 𝜔𝑛 . 𝑠 + 𝜔𝑛2
Onde:
K = 1
𝑀
2. 𝜉. 𝜔𝑛 = 𝐵
𝑀
𝜔𝑛2 =
𝐾
𝑀
𝜔𝑛 Frequência natural
𝜉 Fator de amortecimento
𝐺 𝑠 = 𝐾
𝑠2 + 2. 𝜉. 𝜔𝑛 . 𝑠 + 𝜔𝑛2
Zeros: -x-
Pólos: 𝑠2 + 2. 𝜉. 𝜔𝑛 . 𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0 ⇒
⇒ 𝑠 = −2. 𝜉. 𝜔𝑛
2 ±
4. 𝜉2. 𝜔𝑛2 − 4. 𝜔𝑛
2
2
𝑠 = − 𝜉. 𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1
1º Caso: 𝜉 > 1 Pólos reais, distintos e negativos
𝑠1 = − 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1
𝑠2 = − 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1
O efeito de s1 é muito lento, o efeito de s2 é muito rápido.
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Para 𝑢 𝑡 = 1 ⇒ 𝑈 𝑠 = 1
𝑠
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 = 𝐾
(𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1). 𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1 . 𝑠 ⇒
⇒ 𝐾1
𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1)+
𝐾2
𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1)+
𝐾3
𝑠
𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌 𝑠 = 𝐾1. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2− 1)𝑡 + 𝐾2. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2− 1)𝑡 + 𝐾3 , 𝑡 ≥ 0.
Coeficiente de atrito grande deixa o ξ > 0
Caso Sobre-Amortecido
lim𝑡→∞
𝑦(𝑡) = lim𝑠→0
𝑠. 𝑌(𝑠) = lim𝑠→0
𝑠.𝐾
𝑠2 + 2ξ. ωn . s + ωn2
.1
𝑠=
𝐾
ωn2
2º caso: ξ=1 pólos reais iguais e negativos
s1 = s2 = -ωn
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 =𝑘
𝑠 + ωn 2.1
𝑠=
𝑘1
𝑠 + ωn 2+
𝑘2
𝑠 + ωn +
𝑘3
𝑠
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𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌(𝑠) = 𝐾1. 𝑒− ωn .t + 𝐾2. 𝑒− ωn .t + 𝐾3
3º caso: 0 < ξ < 1
𝑠1,2 = ξ. ωn ± j. ωn 1 − ξ2
𝑎2 = ξ. ωn2 + ωn
2. 1 − ξ2
𝑎 = ωn
cos Θ =ξ. ωn
ωn
ξ = cos Θ
Para 𝑢 𝑡 = 1, 𝑈 𝑠 = 1
𝑠
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠
= 𝐾
𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 . 𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 . 𝑠 ⇒
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⇒ 𝐾1
𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 +
𝐾2
𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 +
𝐾3
𝑠
𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌 𝑠 = 𝐾1. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 + 𝑗 .𝜔𝑛 . 1− 𝜉2)𝑡 + 𝐾2. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 − 𝑗 .𝜔𝑛 . 1− 𝜉2)𝑡 + 𝐾3 , 𝑡
≥ 0.
𝑦 𝑡 = 𝐾
𝜔𝑛2
. [1 − 𝑒−𝜉 .𝜔𝑛 .𝑡
1 − 𝜉2. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2. 𝑡 + 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜉 ]
P.O. (Porcentagem de Overshoot)
P.O. = 𝑦𝑚 á𝑥− 𝐾
𝜔𝑛2
𝐾𝜔𝑛
2 . 100 = 100. 𝑒
−𝜋 .𝜉
1−𝜉2
Para:
𝜉 = 0,7 ⇒ 𝑃. 𝑂. = 5%
𝜃 = 45º
Para:
𝜉 = 0,5 ⇒ 𝑃. 𝑂. = 16,3%
𝜃 = 60º
Ts5% = 3.τ = 3
𝜉 .𝜔𝑛, τ valor para a exponencial ficar -1.
Ts2% = 4.τ = 4
𝜉 .𝜔𝑛
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Regime permanente na prática t ≥ 5
𝜉 .𝜔𝑛
Ex.: Deseja-se
P.O. ≤ 5%
Ts2% ≤ 4s
P.O. = 5% ⇒ ξ = 0,7 ⇒ 𝜃 = 45º
Ts2% = 4 = 4
𝜉 .𝜔𝑛 ⇒ 𝜉. 𝜔𝑛 = 1
Pólos: -1 + j, -1 – j.
Obs: para 𝜉 = 0, temos:
𝑦 𝑡 =𝐾
𝜔𝑛2
. 1 − sin 𝜔𝑛 . 𝑡 + 90𝑜 =𝐾
𝜔𝑛2
. 1 − cos 𝜔𝑛 . 𝑡
0,1,-1
P.O=100%
Ts2% ∞
Ts5% ∞
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-Sistemas de ordem maior
Aproxima-se por um sistema de 1ª ordem Aproxima-se por um sistema de 2ª ordem
|Real de um pólo dominado| ≥ 5*.|Real de um pólo dominante |
* boa aproximação
Sistema aproximadamente de 1ª ordem
- Estabilidade
Ex.:
𝑢 𝑡 = 1 Degrau unitário
𝑈 𝑠 = 1
𝑠
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𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 = 1
𝑠 − 2.1
𝑠=
𝐾1
𝑠 − 2+
𝐾2
𝑠
𝐾1 = 1
𝑠|s=2 =
1
2
𝐾2 = 1
𝑠−2|s=0 = -
1
2
𝑦 𝑡 = 1
2. 𝑒2.𝑡 −
1
2 ∀ 𝑡 ≥ 0
yh(t) = 1
2. 𝑒2.𝑡
Componente homogênea
yp(t) = −1
2 Componente particular
lim𝑡→∞ 𝑦 (𝑡) ∞ Sistema instável
Pólo: 2
Pólo com parte real positiva, sistema instável.
Ex.:
𝑢 𝑡 = 1 Degrau unitário
𝑈 𝑠 = 1
𝑠
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 = 1
𝑠 + 2.1
𝑠=
𝐾1
𝑠 + 2+
𝐾2
𝑠
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𝐾1 = 1
𝑠|s=-2 = -
1
2
𝐾2 = 1
𝑠+2|s=0 =
1
2
𝑦 𝑡 = −1
2. 𝑒−2.𝑡 +
1
2 ∀ 𝑡 ≥ 0
yh(t) = −1
2. 𝑒−2.𝑡
Componente homogênea
yp(t) = +1
2 Componente particular
Pólo: -2
Pólo real negativo, sistema estável.
-Critério algébrico para a estabilidade (critério de Routh-Hurwitg)
𝐺 𝑠 =𝑁 𝑠
𝑎3𝑠3 + 𝑎2𝑠2 + 𝑎2𝑠 + 𝑎0
1º passo: a0, a1, a2,e a3 com mesmo sinal (nenhum pode se anular)\
2º passo: s3 a3 a1
s2 a2 a0 𝑏0 =
𝑎2 .𝑎1−𝑎3 .𝑎0
𝑎2
s1 b0 0
s0 a0
Coeficientes da 1ª coluna com o mesmo sinal (nenhum pode se anular)
1º passo + 2º passo sistema estável
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-Zeros e pólos
𝐺 𝑠 =𝑠 + 𝑎
𝑠 + 2 (𝑠 + 3)
Zero: -a
Pólos: -2,-3
𝑢 𝑡 = 1 𝑡 ⟹ 𝑈 𝑠 =1
𝑠
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 =𝑠 + 𝑎
𝑠 + 2 𝑠 + 3 𝑠=
𝐾1
𝑠 + 2+
𝐾2
𝑠 + 3+
𝐾3
𝑠
𝐾1 =𝑠 + 𝑎
𝑠 + 3 |𝑠=−2 =
𝑎 − 2
−2=
2 − 𝑎
2
𝐾2 = 𝑠+𝑎
𝑠+2 𝑠|𝑠=−3 =
𝑎−3
3
𝐾3 = 𝑠+𝑎
𝑠+2 . 𝑠+3 |𝑠=0 =
𝑎
6
𝑦 𝑡 = 2−𝑎
2. 𝑒−2.𝑡 +
𝑎−3
3. 𝑒−3.𝑡 +
𝑎
6, t ≥ 0.
yh(t) = 2−𝑎
2. 𝑒−2.𝑡 +
𝑎−3
3. 𝑒−3.𝑡
yp(t) = 𝑎
6
𝑒−2.𝑡
Modos do sistema (Determinado pelos pólos)
𝑒−3𝑡
Pólo em -2 modo 𝑒−2.𝑡
Pólo em -3 modo 𝑒−3.𝑡
O efeito do pólo pode ser atenuado pelo zero reduz o efeito do pólo com o
zero próximo a ele. Zero em –a pondera os modos do sistema.
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- Desempenho em regime permanente
Supor o sistema em malha fechada estável
r Referência (Comportamento desejado para y).
y Saída da planta.
𝐸 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝑌 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐺 𝑠 . 𝐸 𝑠 ⟹
⇒ 𝐸 𝑠 = 1
1 + 𝐺 𝑠 . 𝑅(𝑠)
e.r. erro em regime permanente
e.r. = lim𝑡→∞ 𝑒 𝑡 = lim𝑠→0 𝑠. 𝐸 𝑠
e.r. = lim𝑡→∞ 𝑒 𝑡 = lim𝑠→0𝑠
1+𝐺 𝑠 . 𝑅(𝑠)
1º caso: 𝑟 𝑡 = 𝐶1 , 𝑡 ≥ 0 (degrau)
𝑅(𝑠) =𝐶1
𝑠
e.r. = lim𝑠→0𝑠
1+𝐺 𝑠 .𝐶1
𝑠=
𝐶1
1+𝐾𝑃
Kp constate de erro ao degrau
Kp = lim𝑠→0 𝐺 𝑠
2º caso: 𝑟 𝑡 = 𝐶2. 𝑡 , 𝑡 ≥ 0 (rampa)
𝑅 𝑠 =𝐶2
𝑠2
e.r. = lim𝑠→0𝑠
1+𝐺 𝑠 .𝐶2
𝑠2 =𝐶2
𝐾𝑣
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𝐾𝑣 = lim𝑠→0
𝑠. 𝐺 𝑠 constante de erro à rampa
-Planta tipo 0
𝐺 𝑠 = 𝐾1 . 𝑠+𝑍1 𝑠+𝑍2 …
𝑠+𝑃1 𝑠+𝑃2 𝑠+𝑃3 …
𝐾𝑝 = lim𝑠→0
𝐺(𝑠) =𝐾1. 𝑍1. 𝑍2
𝑃1. 𝑃2. 𝑃3 ≠ 0
e.r ≠ 0
𝐾𝑣 = lim𝑠→0
𝑠. 𝐺 𝑠 = 0 e.r. → ∞
Planta tipo 1
𝐺 𝑠 =𝐾1 𝑠 + 𝑍1 (𝑠 + 𝑍2)
𝑠 𝑠 + 𝑃1 𝑠 + 𝑃2 𝑠 + 𝑃3 …
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𝐾𝑝 = lim𝑠→0
𝐺(𝑠) → ∞ ⇒ 𝑒. 𝑟. = 0
𝐾𝑣 = lim𝑠→0
𝑠𝐺 𝑠 =𝑍1 . 𝑍2. 𝑍3 …
𝑃1. 𝑃2 . 𝑃3 …≠ 0 ⇒ 𝑒. 𝑟. ≠ 0
Efeito de perturbações
r Referência
p Perturbação
Se G1(s) = 1, perturbação na entrada da planta
Se G2(s) = 1, perturbação na saída da planta
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Se G1(s) ≠ 1 e G2(s) ≠ 1, perturbação em um ponto intermediário da planta
- Efeito de R(s)
Considera-se P(s) ≡ 0
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐺1 𝑠 . 𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 . 𝐺2(𝑠)= 𝐺𝑇𝐶 𝑠 ⟶ 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜
Efeito de P(s)
Considera-se 𝑅(𝑠) ≡ 0
𝑌(𝑠)
𝑃(𝑠)=
𝐺2(𝑠)
1+𝐺1(𝑠).𝐺2(𝑠)= 𝐺𝑡𝑝 𝑠 → função de transferência de perturbação
𝑌 𝑠 = 𝐺𝑡𝑐 𝑠 . 𝑅 𝑠 + 𝐺𝑡𝑝 𝑠 . 𝑃 𝑠
Influência da referência Influência da perturbação
Teorema do valor inicial e valor final
Teorema do valor inicial
lim𝑡→0
𝑓 𝑡 = lim𝑠→∞
𝑠. 𝐹 𝑠
Teorema do valor final (função estável)
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lim𝑡→∞
𝑓 𝑡 = lim𝑠→0
𝑠. 𝐹 𝑠
-Efeito de ruídos
Supor r = constante = c | r referência
Na prática, a medida de y vem contaminada por ruídos, em geral, na forma de
oscilações.
𝑦𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 = 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 + 𝜀. sin 𝜔𝑡
Se houver necessidade de uti lização da componente derivativa (D) nos
controladores do tipo PID (controlador PD e controlador PID), ocorrerá uma
amplificação do ruído.
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𝑒 = 𝑟 − 𝑦 = 𝑟 − 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 + 𝜀. sin 𝜔𝑡
𝑑
𝑑𝑡𝑒 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡{ 𝑟 − 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 + 𝜀. sin 𝜔𝑡 }
Em regime permanente, lim𝑡→∞ 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝐶 (supor e.r. = 0)
lim𝑡→∞𝑑
𝑑𝑡𝑒 𝑡 = − 𝜀. 𝜔. sin 𝜔𝑡, há uma amplificação de 𝜔 vezes
Obs.: no caso de ruídos causados pela fonte de alimentação, temos:
f = 60 Hz
𝜔 = 2.𝜋.f = 377 rad/s
Um sistema com grande ruído não usamos controladores.
- Introdução de um filtro
Ex: Filtro passivo de 1ª Ordem
Análise em aberto:
𝑉𝑖 = 𝑅. 𝑖 + 𝑉𝑜
𝑖 = 𝐶.𝑑
𝑑𝑡𝑉𝑜
𝑉𝑖 = 𝑅. 𝐶.𝑑
𝑑𝑡𝑉𝑜 + 𝑉𝑜
Aplicando a transformada de Laplace
𝑉𝑖 𝑠 = 𝑅. 𝐶. 𝑠. 𝑉𝑜 𝑠 + 𝑉𝑜(𝑠)
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𝑉𝑜(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠)=
1
𝑅. 𝐶. 𝑠 + 1=
1
𝜏′. 𝑠 + 1→ 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎
𝜏′ = 𝑅. 𝐶
- Introdução de um filtro na parte derivativa dos controladores PID
Teoria 𝜏𝑑 . 𝑠
Pratica 𝜏𝑑 .𝑠
1+𝜏𝑑′ .𝑠
introdução de um filtro
Projeto sem filtro
o Projeto mais simples
o Sintonia fina mais trabalhosa
Projeto com filtro
o Projeto mais complexo
o Sintonia fina menos trabalhosa
No caso do projeto sem filtro, como a implementação sempre é feita com filtro,
calcula-se a constante do filtro como:
𝜏𝑑′ =
𝜏𝑑
𝑁 , 3 ≤ N ≤ 10 constante N sempre é números inteiros
N=10
o Comportamento próximo do caso teórico
o Amplificação significativa dos ruídos
N=3
o Comportamento distante do caso teórico
o Amplificação pequena dos ruídos
Valor mais usado na pratica: N=5
*Na parte integrativa, atenua-se o ruído, pois 𝜀. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡) → 𝜀
𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔. 𝑡 → 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎
- Projeto de controladores
Controlador tipo relé
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Seja r = c
u=M, para e ≥ 0
u=-M, para e ≤ 0
Supor: 𝐺 𝑠 = 𝐾
𝑠+𝑎 .(𝑠+𝑏), K,a,b > 0
Para u=M ⇒ 𝑈 𝑠 = 𝑀
𝑠
Para 𝑌 𝑠 = 𝐾
𝑠+𝑎 .(𝑠+𝑏).𝑀
𝑠
lim𝑡→∞
𝑦 𝑡 = lim𝑠→0
𝑠. 𝑌 𝑠 = lim𝑠→0
𝑠.𝐾
𝑠 + 𝑎 . (𝑠 + 𝑏).𝑀
𝑠=
𝐾. 𝑀
𝑎. 𝑏
Se 𝐾.𝑀
𝑎 .𝑏 < c, temos:
Se 𝐾.𝑀
𝑎 .𝑏 = c, temos:
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Para 𝑢 = −𝑀 ⇒ 𝑈 𝑠 = −𝑀
𝑠
lim𝑡→∞
𝑦 𝑡 = lim𝑠→0
𝑌 𝑠 = −𝐾. 𝑀
𝑎. 𝑏
Se 𝐾.𝑀
𝑎 .𝑏 > c, temos:
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M↑
o Resposta atinge a referência mais rapidamente
o Oscilações maiores amplitude das oscilações maiores
o Tempo de estabilização maior
M↓
o Resposta atinge a referência mais lentamente
o Oscilações menores
o Tempo de estabilização menor
Problema: alta freqüência de chaveamento
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Solução: introdução de histerese
u = M , para :
e ≥ ∆
−∆ < e < ∆ e 𝑑
𝑑𝑥 𝑒 𝑡 < 0
u = -M , para :
e ≤ -∆
−∆ < e < ∆ e 𝑑
𝑑𝑥 𝑒 > 0
∆→largura da histerese
𝐾𝑀
𝑎𝑏> 𝑐
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Resposta oscilatória com pequena freqüência de chaveamento
∆↑
o Oscilações ↑
o Freqüência de chaveamento ↓
∆↓
o Oscilações ↓
o Freqüência de chaveamento ↑
Obs:
PI melhora o erro a parte integrativa ajuda a proporcional
PID melhora o transitório a parte derivativa se opõem as partes P e I
Ex: 𝐺 𝑠 = 1
𝑠+2 𝑠+3
r=1
- Controlador PID
Método de sintonia inicial
o Ziegler-Nichols
o Polinomial
o Lugar das raízes
o Frequencial
Método da sensibilidade malha fechada
Método da curva de reação malha aberta
- Método de Ziegler-Nichols
1) Sintonia inicial pelo método da sensibilidade
2) Sintonia inicial pelo método da curva de reação
𝐺 𝑠 = 𝐾𝑐 1 +1
𝜏𝑖 . 𝑠+ 𝜏𝑑 . 𝑠 ⟹ 𝐾𝑐
𝜏𝑖 . 𝜏𝑑 . 𝑠2 + 𝜏𝑖 . 𝑠 + 1
𝜏𝑖 . 𝑠
⟹ 𝐾𝑐 . 𝜏𝑖 . 𝜏𝑑
𝜏𝑖
𝑠2 +1𝜏𝑑
. 𝑠 +1
𝜏𝑖 . 𝜏𝑑
𝑠 ⟹ 𝐾𝑐 . 𝜏𝑑
𝑠2 +1𝜏𝑑
. 𝑠 +1
𝜏𝑖 . 𝜏𝑑
𝑠
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𝑠2 +1
𝜏𝑑. 𝑠 +
1
𝜏𝑖 .𝜏𝑑 = 0 ⟹ 𝑠 =
−1
𝜏𝑑±
1
𝜏𝑑2 +
4
𝜏𝑖 .𝜏𝑑
2
⟹ s =
−1τd
± τi − 4τd
τi . τd2
2
Caso mais simples: zeros reais iguais
𝜏𝑖 − 4𝜏𝑑 = 0 ⟹ 𝜏𝑖 = 4𝜏𝑑
Zeros reais e iguais são: - 1
2𝜏𝑑
- Método polinomial
o Oferece a melhor sintonia inicial
o Método que faz mais cálculos controladores mais sofisticado.
4
𝑠(𝑠+1)=
𝑏(𝑠)
𝑎(𝑠)
𝑛𝑝 = 0
𝑛𝑎 = 2
Projetar o controlador mais simples de forma que o sistema em malha fechada
apresente:
P.O ≤ 5%
Ts2% ≤ 4s
e.r ≤ 0,01 para r(t) = 2
Projete o controlador mais simples
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Planta tipo 1 e.r = 0 , para r(t) = 1
P.O ≤ 5% ⟹ 𝜉 = 0,7 ⟹ 𝜃 = 45º
Ts2% = 4
𝜉 .𝜔𝑛= 4 ⟹ 𝜉. 𝜔𝑛 = 1
Pólos de malha fechada:
𝑎∗ 𝑠 = 𝑠 + 1 − 𝑗 𝑠 + 1 + 𝑗 = 𝑠 + 1 2 + 1 = 𝑠2 + 2𝑠 + 2 ⟹ 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑎∗ = 2
Grau 𝑎∗ tem que ser maior ou igual ao grau da planta.
𝐺 𝑠 =𝑝(𝑠)
𝑙 𝑠
Se p(s) e l(s) forem coprimos; podemos escrever da seguinte forma:
np < na ⟹ np < 2 𝑛𝑝 = 0 → 𝑝 𝑠 = 𝑝0 → 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑛𝑝 = 1 → 𝑝 𝑠 = 𝑝1 → 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑛𝑙 ≤ max(𝑛𝑎∗ − 𝑛𝑎 , 𝑛𝑏 − 1) ⟹ 𝑛𝑙 max(0, −1)
𝑛𝑙 ≤ 0 ⟹ 𝑙 𝑠 = 𝑙0