Temas de Álgebra AbstractaProf. Elba I. Rivera

Héctor Miranda OrtizM00362515

Sea a, b ε ℕ. Entonces existen enteros q, r tal que

a = bq + r con 0 ≤ r < b.

Sea a, b ε ℕ y sea S = {a – bk : k ε ℤ, a – bk ≥

0}.

Notamos que S ≠ Ø ya que a = a – b·0 ε S.

Por el principio del buen ordenamiento, sabemos que S tiene un elemento mínimo, decimos que r = a – bq.

Entonces, r es un entero y a = bq + r, así que todo lo que nos queda demostrar que 0 ≤ r < b.

Por definición de S, r ≥ 0 si r ≥ b, entonces a – b(q +1) = r – b ≥ 0 ,

Así que r – b es un elemento de S. Pero r > r - b, lo que implica una contradicción; por lo tanto, debemos tener r < b.

Sea a = -53 dividido por b = 7-53 = (-7) * 7 – 4, pero el residuo no puede

ser negativo. En vez, escribiremos -53 = (-8) * 7 + 3Por lo tanto r ≥ 0