NUMEROS VECTORES FUNCIONES - Universidad … · 2012-05-09 · 3.3.5 la hiperbola 258 ejercicos 265...
Transcript of NUMEROS VECTORES FUNCIONES - Universidad … · 2012-05-09 · 3.3.5 la hiperbola 258 ejercicos 265...
NUMEROS
VECTORES
FUNCIONES
Universidad Nacional de Colombia / Seccional Manizales Facultad de Ciencias y Administración Departamento de Ciencias Manizales - 1992
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SECCIONAL MANIZALES
FACULTAD DE CIENCIAS Y ADMINISTRACION DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
NUMEROS, VECTORES Y FUNCIONES
BERNARDO ACEVEDO FRIAS OMAR EVELIO OSPINA ARTEAGA
MANIZALES, DICIEMBRE 1992
Autores: Ornar Evelio Ospina Arteaga Matemático Ms. Se. Profesor Asociado Bernardo Acevedo Frías Matemático Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia Seccional Man Ízales
Revisado por: Profesor Fernando Pfo Betancourt López, Ing. Electricista. Profesor Nelson Puerta García, Ing. Civil
Diseño Portada: Jorge Echeverri González
impreso por: Centro de Publicaciones Universidad Nacional de Colombia Seccional Manizales
Diciembre de 1992 Primera Edición
PROLOGO
La transición del bachillerato a la Universidad, conlleva naturalmente un cambio en el estilo de trabajo de los estudiantes, que en nuestro medio es frecuentemente traumático, reforzado por la creencia de que las Instituciones de Educación Superior no deben asumir responsabilidad por las deficiencias en la enseñanza media, exhibida por los recién admitidos; esta posición está siendo abandonada por una más realista y es así como se ha volcado la atención, en el campo específico de las matemáticas, hacia los textos de lo que se ha dado en llamar Precálculo.
El texto: Números Vectores y Funciones que han elaborado los profesores Asociados Ornar Evelio Ospina y Bernardo Acevedo, responde a esta necesidad con sobresalientes cualidades pedagógicas, entre las cuales se destacan el desarrollo detallado de los temas y la proliferación de ejercicios resueltos, lo cual genera un diálogo directo con el lector que puede así aprovechar totalmente su lectura. El material presentado es el fruto de un cuidadoso análisis de los autores, sobre las experiencias de los cursos similares que se han dictado en la Seccional, frente a las necesidades actuales de los estudiantes y se constituye en un texto excelente, de consulta obligada para nuestros profesores y estudiantes.
NELSON PUERTA GARCIA Director Departamento de Ciencias
Presentación
El presente material ha sido elaborado con la idea de que sea
útil para los estudiantes que se preparan para iniciar un
primer semestre universitario, pues, en él se presentan los
elementos necesarios para cursar los temas de cálculo
diferencial e integral. Además de esto puede utilizarse como
material de apoyo para cursos de matemáticas fundamentales e
introducción a la geometría vectorial.
La presentación de los temas se hace en una forma
constructiva, tratando de motivar in ic ia lrnen te la razón per-
la cual es necesario introducir los conceptos, ilustrando
después éstos con ejemplos ciaros y proponiendo después de
cada sección ejerciciios que pretenden no solamente que el
lector adquiera habilidad en la part mecánica, sino además
adquiera destreza en el manejo del concept--.
Agradecemos la colaboración que tuvimos de compañeros de
trabajo, y especialmente del grupo de estudio sobre
integración de matemática y física del cual recogimos ideas
valiosas que tratamos de transmitir en este texto. Sobra
decir que cualquier sugerencia o crítica será bien recibida.
OMAR EVEI.IO 05PINA ARTEAGA
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
TABLA DE CONTENIDO
CAPITULO I
NUMEROS 1
1-1 NÚMEROS NATURALES 2
1.1.1 CARACTERÍSTICAS 2
EJERCICIOS 10
1.1.2 SUMATORIA 11
1.1.3 FACTORIAL 18
EJERCICIOS 20 •
1.1.4 NÚMEROS COMBINATORIOS 21
EJERICIOS 22 LHJ'IMO* OflHMUM MU H(I A-JÍ -lAH J • '
1 1.5 EL TEOREMA DEL BINOMIO 25
EJERCICIOS 30 0LH.I4M00 OnaMUM wU H'¡ "JUAI 'J i'fi4- '
1.2 NUMEROS ENTEROS 31
EJERCICIOS 33
1.3 NÚMEROS RACIONALES 35
EJERCICIOS 39
1.4 NÚMEROS IRRACIONALES 41
EJERCICIOS 43 1.5 NÚMEROS REALES 44
1.5.1 PROPIEDADES FUNDAMENTALES 44
1.5.2 OTRAS PROPIEDADES 46
1.5.3 INTERVALOS 50
EJERCICIOS 61
1.5.4 VALOR ABSOLUTO 63
EJERCICIOS 75
1.5.5 LA COHPLETEZ DE LOS NÚMEROS REALES 76
EJERCICIOS 80
1.5.6 EL CONJUNTO R2 81
EJERCICIOS 83
1.5.7 REPRESENTACIÓN EN COORDENADAS POLARES 84
EJERCICIOS 91
1.6 NUMEROS COMPLEJOS 92
EJERCICIOS 98
1.6.1 CONSTRUCCION Y OPERACIONES 98
1.6.2 REPRESENTACION GRAFICA DE UN NUMERO COMPLEJO ...99
EJERCICIOS 102
1.6.3 CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO 103
EJERCICIOS 105
1.6.4 PROPIEDADES 106
EJERCICIOS 107
CAPITULO II
VECTORES 110
2.1 EL ESPACIO R3 111
EJERCICIOS 113
2.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 114
EJERCICIOS H"7
2.3 CONCEPTO DE VECTOR 118
EJERCICIOS 121
2.4 IGUALDAD DE VECTORES 122
EJERCICIOS 129
2.5 PRODUCTO POR ESCALAR 130
EJERCIOOS 135
2.6 SUMA DE VECTORES 137
EJERCICIOS 145
2.7 NORMA DE VECTORES 147
EJERCICIOS 151
2.8 PRODUCTO INTERNO 152
EJERCICIOS 162
2.9 DETERMINANTE DE TERCER ORDEN 165
2.10 PROPIEDADES 171
EJERCICICOS 160
2.11 PRODUCTO VECTORIAL Y PRODUCTO MIXTO 182
EJERCICIOS 200
CAPITULO III
FUNCIONES 202
3.1 INTRODUCCION 203
EJERCICIOS 2 1 7
EJERCICIOS 113
2.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 114
EJERCICIOS 117
2.3 CONCEPTO DE VECTOR 118
EJERCICIOS 121
2.4 IGUALDAD DE VECTORES 122
EJERCICIOS 129
2.5 PRODUCTO POR ESCALAR 130
EJERCIOOS 135
2.6 SUMA DE VECTORES 137
EJERCICIOS 145
2.7 NORMA DE VECTORES 147
EJERCICIOS 151
2.8 PRODUCTO INTERNO 152
EJERCICIOS ..162
2.9 DETERMINANTE DE TERCER ORDEN 165
2.10 PROPIEDADES 171
EJERCICICOS 180
2.11 PRODUCTO VECTORIAL Y PRODUCTO MIXTO 182
EJERCICIOS 200
CAPITULO III
FUNCIONES 202
3.1 INTRODUCCION 203
EJERCICIOS 217
3.2 OPERACIONES ENTRE FUNCIONES 221
3.3 ESTUDIO DE ALGUNAS RELACIONES Y FUNCIONES 225
EJERCICIOS 228
3.3.2 LA CIRCUNFERENCIA 232
EJERCICIOS 234
3.3.3 LA PARABOLA 237
EJERCICIOS 238
3.3.4 LA ELIPSE 248
EJERCICIOS 255
3.3.5 LA HIPERBOLA 258
EJERCICOS 265
3.3.6 FUNCIONES CON VALOR ABSOLUTO 267
EJERCICOS . 271
3.3.7 FUNCION COMPUESTA 273
EJERCICIOS 277
3.3.8 POLINOMIOS Y FUNCIONES POI.INOMIALES 280
3.3.8.1 ALGORITMO DE LA DIVISION 283
3.3.8.2 TEOREMA DEL RESIDUO 285
3.3.8.3 TEOREMA DEL FACTOR 286
3.3.8.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA 287
3.3.8.5 TEOREMA DE LAS RAICES RACIONALES 289
EJERCICIOS 293
3.3.9 FUNCION CUADRATICA 296
EJERCICIOS 301
3.3.10 FUNCIONES RACIONALES 303
EJERCICIOS 306
3.3.11 DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES 307
EJERCICIOS 316
3.3.12 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 318
3.3.12.1 MEDIDA DE ANGULOS 320
EJERCICIOS 321
3.3.12.2 CONSTRUCCION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 322
EJERCICIOS 335
3.3.12.3 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 338
EJERCICIOS 346
3.3.12.4 FUNCIONES INVERSAS 349
3.3.12.5 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 357
EJERCICIOS 367
3.3.12.6 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 369
EJERCICIOS 376
3.3.13 FORMAS TRIGONOMETRICAS DE NUMEROS COMPLEJOS ...382
3.3.13.1 RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO 385
EJERCICIOS 389
3.3.13.2 SOLUCION DE TRIANGULOS 391
EJERCICIOS 397
3.3.14 FUNCION EXPONENCIAL 398
3.3.14.1 CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES 401
,3.3.15 FUNCION LOGARITMO 405
3.3.15.1 OTRAS PROPIEDADES 408
3.3.15.2 ECUACIONES EN LOGARITMOS 411
EJERCICIOS 414
3.3.15.3 ALGUNAS DESIGUALDADES 417
EJERCICIOS 422
3.3.16 FUNCIONES HIPERBOLICAS 426
3.3.16.1 FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS 433
EJERCICIOS 435
CAPITULO X NUMEROS
El objetivo de este capítulo, es presentar una visión general
de los diferentes sistemas numéricos, prefiriendo el proceso
intuitivo al axiomático, aprovechando que los estudiantes se
encuentran ya familiarizados con las principales propiedades
de los números.
Se estudiarán las propiedades que caracterizan los sistemas
numéricos representados en el siguiente diagrama:
f
Reales Complejos (R)
(C) Irracionales (I)
Imaginarios
1
1.1. HUMEROS NATURALES
1.1.1. CARACTERISTICAS
Los números Naturales son lo que se emplean para contar:
1,2,3,4, De la construcción de este conjunto se pueden
apreciar las siguientes características:
El conjunto tiene un primer elemento, (el uno); cada elemento
tiene un sucesor, (el sucesor del 1 es el 2, el sucesor del
20 es el 21,...), lo que implica que el conjunto tiene
infinitos elementos.
Otra característica importante de los Números Naturales, es
el llamado principio de inducción matemática, que dice, que
si una proposición cualquiera se satisface para el número
Natural 1 y que si además siempre que se satisfaga para el
número Natural R, se satisface para el número Natural k+1;
entonces el conjunto de los números que satisface esta
propiedad es el conjunto de los números Naturales. Esta
propiedad se puede utilizar para demostrar que determinadas
proposiciones se cumplen para todos los números Naturales o
para todos los números Naturales a partir de un número
Natural fijo n Q.
El principio de inducción matemática se puede ilustrar de la
forma siguiente: Imagínese que una persona desea subir todos
los escalones de una escalera infinita; si a esta persona se
le garantizan dos cosas: Primero, que la dejen subir al
escalón número uno y segundo, que siempre que se encuentre en
el escalón K, lo dejarán subir al escalón k+1, es evidente
que esa persona podrá subir todos los escalones. Observe que
si una de las dos condiciones no se da, entonces no se puede
garantizar que la persona recorra todos los escalones.
Un error frecuente que se comete cuando se pide demostrar que
determinada propiedad es válida para todos los números
Naturales, es verificar que ésta se cumple para el 1, el 2,
hasta un número fijo no. Con esto se garantiza realmente sólo
que la propiedad se cumple para el número 1, 2, hasta no,
pero no para todos los números Naturales como se puede
apreciar en el siguiente ejemplo:
Ejenplo 1
Se quiere ver la validez de la proposición: Para todo número
Natural n, n 2-n+41 es un número primo.
Se verifica para n=l; 1-1+41=41 es un número primo.
3
para n=2; 4-2+41=43 es un número primo.
para n=40; 402-40+41=1601 es un número primo
pero para n=41; (41 ) 2-41+41=41 2, que no es un número primo.
Con lo anterior se muestra que si con los resultados, de por
ejemplo los primeros 30 casos (que siempre dan primos), se
hubiese sacado la conclusión de que la proposición es válida
para todos los números Naturales, se hubiese cometido un
error.
Algunas fórmulas de uso frecuente, se pueden demostrar
utilizando el principio de inducción matemática como se
ilustra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 2
Demostrar que para todo número Natural n, se verifica que:
n(n+l) 1+2+3+ +n = .
2
4
1) Se verifica que la propiedad se cumple para n=l„ haciendo
n=l en los dos lados de la ecuación:
1 ( 1 + 1 ) 1= = 1
2) Se supone que la proposición se cumple para n=k, es decir,
k( k+1) se supone que 1+2+3+....+k = (Hipótesis de
inducción ) .
3) Se verá que la proposición se cumple para n=k+l, es decir,
que :
(k+1) (k+2) 1+1+3+....+k+(k+1) = , usando la hipótesis
2
inducción. En efecto:
k(k+l) k2+3k+2 (k+1}(k+2)
1+2+3+....+k+(k+i)={1+2+3+...+k)+(k+l) = +(k+l) = =
2 2 2
De lo anterior se concluye que la proposición es válida
para todo número Natural.
Ejemplo 3
Demostrar que para todo número Natural n, se verifica que:
5
a ( l _ r n + l ) a+ar+ +arn = r*l.
1-r
1) Se verifica que la propiedad se cumple para n=l, haciendo
n=l en ambos lados de la ecuación:
a(l_ ri+i) a(1-r 2) a+ar = = = a(l + r) = a+ar.
1-r 1-r
2) Se supone que la proposición se cumple para n=k, es decir,
que:
a( l-r k +i) a+ar+...+ark = (Hipótesis de inducción).
1-r
3) Se verá que la proposición se cumple para n=(k+l), es
decir, que:
a(1-r k + 2) a+ar+.. .+ar k+ar k + 1 = , usando la hipótesis de
1-r
inducción. En efecto:
a+ar+ar2+ +ar k+ar k + 1 = (a+ar+ar 2+...+ar k)+ar k + 1
a d - r ^ 1 ) a(l-r k + 1)+ar k + 1(l-r) + a r k + 1 =
1-r 1-r
6
a( i-rit+i+rk+i_rkH-2 ) a( l-r k + z )
1-r 1-r
De lo anterior se concluye que la proposición es válida para
todo número Natural.
Bjenplo 4
Demostrar que' si x - P+Jq > c o n P y q números Racionales y si
n es un número Natural, entonces x" - o+Py^g para algunos a y 0 números Racionales. En efecto:
1) Se verifica que la propiedad se cumple para n=l, pues, x 1 - (p+Jq) -p+Jqt a -p, p-1
2) Se supone que la proposición se cumple para n=k; es decir, se supone que x
k - (p+Jq) k-A+Bjq , con A y B números Racionales. (Hipótesis de inducción).
3) Se verá que la proposición se cumple para n=k+l, es decir, que - (p+y/q) - a + Pv^T > c o n a V P números Racionales.
En efecto: - xx k-x(A+Bjq) = (P+v/g) (A+By/q) -
PA+PR/q+Ajq+Bq- (PA+Bq) + (PB+A)</q • Ahora, como P, A, B, q son números Racionales, entonces PA+Bq es un número
racional y PB+A es un número racional, luego llamando PA+Bq=a y PB+A=£, entonces = a + Py'g.
7
Como se puede apreciar en el ejemplo 1, cump 1 ie'ndose la
primera condición, pero no la segunda, se llega a
resultados erróneos. En el ejemplo siguiente se ilustrará
como se llega a resultados erróneos, si se satisface la
segunda condición, más no la primera; es decir; siempre es
necesario verificar que se satisfagan las dos condicones.
Ejenplo 5 1
Para todo número Natural n, l+2+3+...+n = - (2n+l)2. 8
Se supone que es cierto para n=k, es decir:
1 1+2+3+..+k = — (2k+l)2, y se verifica para n=k+l, es decir,
8
1 1 que : 1+2+3+...+k+(k+1) = - (2(k+l)+l)2 - _ (2K+3)2.
8 8
1 En efecto: 1+2+...+k+(k+1)=(1+2+...+k)+(k+1)= - (2k+l)2+k+l
8
1 1 1 1 = - ((2K+1)2 + - (8k+8) = - (4k2+4k+l+8k+8) = - (4k2+12k+9)
8 8 8 8
1 = - (2k+3)2.
8
8
Es decir la segunda condición se cumple. Observese que no se
cumple para k=l, tampoco para los otros valores de k, por
1 49 ejemplo k=3; 1+2+3=6; pero - (2*3+l)2= — , en forma análoga
8 8
para k=5, etc.
9
EJERCICIOS
Demostr ar que para todo número Natural n, se cumple qué:
1. (ab) n=a nb n con a,b números
2. 4 2 n - l es divisible por 5
n(n+l) (2n+1) 3. 12+22+...+n2 =
6 4. 13+23+. . .+n3 = (l+2+3+. .,+n)2. Indicación: Recuerde que
n(n+l) l+2+3+...+n = .
2
1 1 1 n 5. + + . . . + =
1*2 2*3 n(n+1) n+1
6. 2 n>n.
7. Demostrar que para todo número Natural n, n>2 se cumple
que a(xi+x2+...+Xn)=axi+ax2+...+axn, donde
a, xi,X2f ...,Xn son números.
10
8. Cuestiónese la siguiente afirmación: Todo subconjunto de
los números Naturales tiene primer elemento. ¿Será esto
cierto para cualquier conjunto numérico?.
1.1.2. SUMATORIA
Con el fin de comprimir la suma de un número finito de
términos, que de alguna forma están relacionados entre sí, se
introduce un símbolo que se llamará sumatoria y es
representado por la griega Sigma ) , la cual se define
como: 1 a+X a E a* - y E Q " a*> +a«n >
donde ak es cualquier expresión m a t e m á t i c a <3ue depende de k.
Observe que de la definición :
2 i E a * " < E a * > +aJ-a1+a2
*-l Jc-l 3 2 ^ a*" fJE + a3" ai+a2) +a3-a1+aa+a3
a n-l E a*" < E a*> + aB" • • • +afl-i) +an-a1+a2+.. . +afl Jt-l Jc-l
En una forma más general :
11
a
jjC a*"ap+ap+i+« • • +an# donde p, k, n son números naturales y -p pSn.
Ejemplos
4 i) Ulc+l)-(2*1+1)+(2*2+1)+(2*3+1)+ (2*4+1)-3+5+7+9-24
SkSea (Í2L) =3 Sen-^- +4 S e n - Ü = 2 2 2 2
(3)(-1)+4(0)+5(1)-2 iii) El ejemplo 2 de la sección anterior con el símbolo de
sunatoria quedará : y^ jc. n{n+l) y e l e j e m p i 0 3 de la
" a(l-rn+M misma sección quedará ar *- ^ — - con r*l .
Cuando se trabaja con el símbolo de sumatoria es necesario
conocer algunas propiedades de él, las cuales facilitarán su
manipulación:
1) Al cambiar el símbolo k, en toda parte donde se presente
con una sumatoria por otro símbolo, el valor de la a n a
sumatoria no varía, es decir: a¿"]C ai ' x-p t~p tt
12
Ejemplo 1
s s s g 3*-32+3a+34+35-360-g 3*
a a
2) ^ Cat-C*Tl donde C es una constante.
En efecto: a j
g Ca j c-Ca 1+Ca 2+Ca 3+— +caa-c(a1+a2+... +an) -cj
Ejemplo 3 3
21ca-2Y * a«2 <l+22+32) =2*14=28
3) ¿ < a W > * > - ¿ a * + í > * jt-i jt-i *-i
Demostración Ejercicio.
Ejemplo
g V*+6Jc-g 6lc-¿ Je
a a
4) g 1«J3 ; en efecto : g 1=1+1+1+...+l=n
Ejempio «
»1+1+1+1+1+1-6 S1"3
13
5 > F3 k-p+l
Demostración Ejercicio
Ejemplo
10 6
u p a 6> £ ak~j2 a*+ £ a* p < n ' p >
E3 £S *-p+l
Demostración Ejercicio.
Ejemplo 6
10 S 10
£ * a - £ * 2 + £ * 2 M R M
a 7) E ajE-aJC_1-aa-a0 (propiedad telescópica).
En efecto: n JC ak~ak-i" + (aa
_ai) + (a3~a2) + (a4-a5) +.... + (an_t-an_2) + ( a ^ a ^ i
En la anterior expresión se puede observar que el primer
término de cada paréntesis, se cancelan con el segundo
término del paréntesis, por tanto solo quedan, el segundo
14
término del primer paréntesis y el primer término del último , 230
Paréntesis; es decir: ¿
Ejemplo
330
i ) £ 2*,-2*~1»2230 -21"1-2230-l 230
£
100
(*>1) ~~3Jc" 3(100+1) "3TT o b s e r v e que 100
ü ) ¿ — - i - X . 1 i Sí 3<Jc+l) 3J
a * " T T K i T y 730
,1,5
EJERCICIOS
1) Establezca a que son iguales las sumatorias siguientes:
Ü) g u-2-3)
19 1 1 í ü ) y ( i — i ) fcf ¿ +4 i+3
2) Enuncie las propiedades de las sumatorias haciendo
variar k desde otro número diferente de 1.
3) Explicar las propiedades de las sumatorias con los
siguientes ejemplos.
ao
i) g (3(i-1)3-3i3+i)
ü ) |(Jcj-j*)
4) Cuáles de las siguientes sumatorias se puede expresar como
sumas telescópicas. a
i) E <a*-i-a*> »-i a
ii) g (aJt+l-ai:)
16
m > s a
(2JC+1) -2k
iv) y (JL-^ 2k 2k-l}
20 V) y ( ± i
éí (3ÍC+1) (3Jc+2)
io vi) V h 22k '
17
1.1.3. FACTORIAL (!)
Se plantea el siguiente problema: ¿De cuántas formas se
pueden acomodar 5 personas en una mesa de 5 sillas?.
Para la primera persona a sentarse tiene cinco opciones; por
cada opción de esta persona, la segunda persona tiéne
solamente cuatro opciones, (pues ya hay una silla ocupada);
por cada opción anterior la tercera persona tiene tres
opciones; por cada opción anterior; la cuarta persona tiene
dos opciones y por cada opción anterior; la quinta persona
tiene una opción, por lo tanto en total el número de formas
en que se pueden acomodar las cinco personas en la mesa es
5*4*3*2*1. En la solución de problemas análogos al anterior y
otros tipos de problemas, aparece el producto de un número
Natural por todos los que le preceden. Esto se llama el
factorial de este número Natural y se denota n!, es decir :
n!=n*(n-l)*(n-2)*...2*1.
De esta definición se puede concluir que:
n!=n(n-l)(n-2 )*..,*2*1 = n[(n-1) (n-2 )*...2*2]=n(n-1)!.
18
Ejemplo 1
8! =8*7*6*5*4*3*2*1 = 8(7*6*5*4*3*2*1) = 8*7!=40320.
Observe como el factorial de un número crece rápidamente,
pues si se tuviera solamente 8 personas para sentarlas
alrededor de una mesa, existirían 40320 formas posibles de
hacerlo.
Resulta conveniente en la condensación de algunas
expresiones, definir el factorial del número cero, el cual se
define como 1, es decir 0!=1. Esto se justifica si se tiene
en cuenta que de ní=(n-l)!n, para n=l se tiene 1!=0!1
entonces 1=0 i.
Ejemplo 2
D • ! ! X 101 »61»31 . Para simplificar la expresión : 7|»51»6»2 ' s e p r o c e " e a
descomponer los factoriales de los números más grandes en
términos del factorial de los números más pequeños con el
objeto de cancelarlos así:
=10*9*8*3=2160 (7 !) » (51) *6»2 (7 !) *(5!) *6*2
19
EJERCICIOS
1) ¿De cuántas formas acomodaría 10 personas en una fila?
2) Simplificar las expresiones siguientes:
. , (10»).31 (81).21
• j \ (201).(301) ; (181).(32!)
20
1.1.4. NÚMEROS COMBINATORIOS
Considérese un conjunto A con 7 elementos, se trata de hallar
el número de subconjuntos diferentes con 3 elementos que
tiene A. Para el primer elemento se tiene siete opciones,
para el segundo elemento se tienen seis opciones, por cada
opción del primero. Para el tercer elemento se tiene cinco
opciones, por cada opción anterior y por lo tanto el número
de subconjuntos con tres es 7*6*5 . Pero estos subconjuntos
no son todos diferentes, ya que aparece por ejemplo el
subconjunto {a,b,c} y también los subconjuntos {b,c,a},
{a,c,b}, {c,b,a}, {c,a,b},y {b,a,c} que son iguales como
conjuntos; es decir, cada subconjunto de tres elementos apa
rece 3! veces, (pues el número de acomodar tres elementos en
una fila es 3!); luego el número de subconjuntos diferentes
de tres elementos es (7*6*5)/3!, lo cual se puede
7*6*5 7*6*5*(4*3*2*1) 71 71 expresar así: = = = = 35.
,31 31(4*3*2*1") 31(4! ) 31(7-3)1
Generalizando, se tiene que el número de subconjuntos
diferentes con k elementos que se puede extraer de un
conjunto con n elementos (n>k) es , . , . . JeI (JI-Jc) I
21
Esta expresión aparece en algunos problemas similares y s
llama el número combinatorio n,k el cual se nota por
i) De cuántas•formas diferentes le pueden repartir a una
persona siete fichas de un dominó (28 piezas). Este
problema es equivalente a hallar el número de subconjunto
con siete elementos que se puede extraer de un conjunto
con 28 elementos, luego la solución es :
es decir : k\ (n-k) I
ni
Ejemplo
7 I . (28-7) I 7I .211 281 281
28*27*26*25*24*23*22*21! 9*26*23*11*5*4 = 1184040.
7*6*5*4*3*2*21!
ii) Hallar el valor de:
5121 Este es
un caso particular de la siguiente propiedad:
ya que:
(n-k)I(n-(n-k))\ n I
(n-k) 1*1
22
iii) Hallar el valor de
ni (ni 01) •i y
12! <n!(n-k)) =1
iv) La siguiente propiedad resulta útil en el trabajo con
números combinatorios, por ejemplo en la construcción del
conocido triangulo de Pascal, como se verá más adelante:
(jcHjc-lH"*1) • En efecto:
("W n U ni + ni \kf\k-lj k\(n-k)\ (Je-1) ! (n-Jc+l) I
ni + nj Jc(Jc-l) I (n-k) I (Jc-1) ! (n-k) ! (n-k+1) ~
n\ (n-k+1)+n\k k(k-l) !(n-k)!(n-k+1) "
nI (n+1) _ (n+1) I ln+1\ k\ (n-k+1) l J e ! ( i j + 1 —Je) ! \ J e /
23
EJERCICIOS
i) Dar una interpretación de
ii) Hallar el valor de los combinatorios
(S)'(SM'.)'(T,) • iii) Verifique con un ejemplo que | " j+| Z1^ J
iv) ¿De cuántas formas es posible extraer de un grupo de 15
personas una comisión de 7 personas? Y una de 8?.
24
1.1.5. EL TEOREMA DEL BINOMIO
Recuerde que la expresión (a+b)n se expande como la suma de
an, a n _ 1 b , a n _ 2b 2,...,b n, multiplicando cada uno de estos
elementos por un coeficiente que se determina mediante el
conocido triángulo de Pascal.
(a+b)n Coeficientes de: an, a n - 1b, a n - 2b 2,...,b n en este
Una vez ubicadas las dos primeras filas, este triángulo se
construye fila por fila así: A partir de una fila conocida,
la siguiente se formará sumando los términos consecutivos de
esta fila conocida y colocando como primero y último elemento
el 1 respectivamente.
Asi por ejemplo (x+y) 5=x 5+5x 4y+10x 3y 2+10x 2y 3+5xy 4+y 5. Si se
escriben los unos de los das primeras filas del triángulo de
Pascal como
orden
(a+b)0 (a+b ) 1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
25
(0) *
El término que ocupa la posición * será (o)*(l) q U e c'e
acuerdo a la propiedad del ejemplo iv de combinatoria es
(1)
Teniendo en cuenta que j^j-l; (^j* 1 ' l a s t r e s primeras
filas del triángulo de Pascal se pueden expresar como:
(o)
(o) (i)
(o) (?) [D
El término que ocupa la posición de * es [o)+(l)"(l) y e l
término ocupado por X será (i)"^^)"!^) ' l u e g o l a c u a r t a
fila será j^j j^) (3)' a s í l a s P r i m e r a s cuatro filas
del trángulo de Pascal se pueden expresar como:
26
(o)
(o1) (i)
(o) (?) (2)
(o) (i) (a) (l)
* * * * *
como
El término que ocupa la posición * será, ( o)*( 1)"{ 1) ' e l d e
(lH3HS) elde (DilHS)
y
; entonces las cinco primeras filas del triángulo
de Pascal se pueden expresar como :
( ! )
U) U) (í) l í ) ( í)
(o) (?) (J) (J)
U) (í) (S) (í) (i) generalizando este resultado, se tiene que la fila que
corresponde a (a+b)n en el triángulo de Pascal es:
(o) (l) (2) (3) (í) (n) p o r t a n t o l a expresión (a+b)n
se puede expresar como { £ Ja ^ Ja-1^ °)an"a¿>a +. . . » , i a
cual condensada con el símbolo de sumatoria queda:
27
(a+b)| ^ * , que se conoce con el nombre de Teorema
Del Binomio, del cual se dará una demostración rigurosa,
usando la inducción matemática: (Justificar todos los pasos).
Demostración
i) Para n=l; ( a + f c ) | * Ja1"1*)Jjai»0*! * )a°fc-a+i> .
ii) Se supone cierto para n = k; es decir (a+i>) ( ¿ ja*_ii>i y
se demostrará que es válida para n=(k+l), es decir que:
(a+2>) | "^t1 Ja*4-1"*/» 1 . En efecto:
(a+i>)(a+jb) (a+Jb)*- (a+jb) g |
(?)«'-*'"»Si i)«"*
Í l - ^ ' í
i o)a""t ( 'í (A K1-1* i 28
Ejemplo
i ) (a+3i>) a « g ( 2 ja2-i 0 b ) ^ 2 jaa+j 2 Ja (3jb) 2 I {3i)) a,
aa+6ab+9i>a.
ii) <*-ya) »-g ( 5 (.ya) 5 j ^ j 5 Jx< (_ y l ) 1+| 5 (_yî) 2 +
*5-5x4ya+10x3y4-10x2y6+5xys-y10.
2?
EJERCICIOS
1) Hallar (x-5y)4; (3+2x)4; (1+1)", aplicando el teorema el
Binomio.
2) Dado un conjunto con 5 elementos, cuántos subconjuntos
tiene sin elementos, cuántos con 1, 2, 3, 4, 5 y cuántos
subconjuntos tiene el conjunto.
3) Cuántos subconjuntos tiene un conjunto con n elementos
(Relacione los ejercicios anteriores).
30
1.2. NÚMEROS ENTEROS (Z)
Además de los números Naturales, es necesario introducir un
símbolo que indique ausencia total de elementos, este símbolo
es el número cero (0).
Aparte de los aspectos del mundo físico que se pueden
describir usando los números Naturales, hay otros que
demandan nuestra atención. Muchas de las situaciones
cotidianas envuelven la idea de magnitud con sentido, es
decir de magnitudes que dependiendo si se toman a la derecha
ó a la izquierda de un punto de referencia dado, se les
asigna un valor positivo o negativo. Considerando el número
cero como punto de referencia, al igual que existen
temperaturas superiores a los cero grados centrígrados
también las hay inferiores. Considerando que a nivel del mar
se tiene altitud cero, asi como hay alturas sobre el nivel
del mar, también las hay bajo el nivel del mar. Considerando
como nivel "0" a la estabilidad de precios, asi como hay
subida de precios, también hay caída de precios, etc.
Estas situaciones se manejan más fácilmente introduciendo
unos números opuestos a los númetos Naturales, tomando cero
como punto de referencia, que se llamará números enteros
31
negativos (Z -) los cuales junto con los números Neturales y
el cero forman el conjunto de los números enteros (Z).
Entre los números enteros existe una relación de orden, que
tiene en cuenta el orden obvio de los números Naturales y la
ubicación de cada entero negativo -k, simétrico al número
Natural k; respecto al cero, como se ilustra a continuación
< » — 1 • • • , > -k - 2 - 1 0 1 2 k
32
EJERCICIOS
1. Cuestione la validez de los siguientes enunciados:
i) ¿La suma, resta y producto de dos números Naturales es
un número Natural?.
ii) ¿La suma, resta y producto de dos números enteros es
un número entero?.
iii) ¿Todo subconjunto de números enteros tiene un primer
elemento?.
2. Un número entero se dice que es par si es de la forma 2k
para algún entero k y se dice que es impar si es de la
forma 2k+l para algún k entero.
Demuestre:
i) La suma de dos enteros pares es par, la suma de dos
enteros impares es par. I,..
ii) Si a€Z, a 2 es par sí y sólo sí a es par y a 2 es impar
sí y sólo sí a es impar.
33
3. Revise para números enteros sus conocimientos sobre
números primos, divisibilidad, Máximo común divisor,
Minimo común múltiplo y primos relativos.
34
1.3. HUMEROS RACIONALES (9>
En las actividades del hombre, además de contar objetos, es
necesario medirlos; por ejemplo, decir que tamaño (medida)
tiene una cuerda o decir que cantidad (medida) de agua tiene
una cubeta, etc. Es evidente que para dar solución a
cualquiera de estos problemas es necesario partir de un
patrón por ejemplo un metro para la longitud de la cuerda o
un litro para la cantidad de agua de la cubeta. Una vez
determinado este patrón se establecerá cuantos de estos
patrones caben en el objeto a medir y es claro que
generalmente el número de veces que este patrón cabe en dicho
objeto no será exacto, sobrará una parte que no alcanza a
medir un metro o un litro, sino una fracción de él; es decir,
se hace necesario recurrir a números no enteros que
representen una parte de un entero, estos números junto con
los enteros se llaman números Racionales (Q)
Los números Racionales se representan en la forma p/q, con p
y q enteros y q*0.
El número \ indica que el patrón o unidad se dividió en dos
partes (denominador) y de ella se tomó una (Numerador); el
número 7/3 indica que la unidad se dividió en tres pedazos
35
(denominador) y se tomaron siete pedazos con ese tamaño
(numenador), etc.
Con el objeto de caracterizar de otra forma los números
Racionales, se analizará el cociente que resulta de efectuar
la división entre el numerador y el denominador.
Observando los siguientes ejemplos:
i) 4 ? ! - 4 ' 8 1 6 0 0 - . . ü ) 4-0,33...
125 3
i i i) -^--3,41414141... iv) -^=37,58333... y v) -y-0,142857 142857 142857 ... .
Se puede apreciar, que a partir de algún número en la parte
decimal, se empieza a repetir indefinidamente un bloque de
números: El cero en el primer ejemplo, el 3 en el segundo
ejemplo; el 41 en el tercer ejemplo, el 3 en el cuarto y el
142856 en el quinto ejemplo. Y esto sucedará siempre que se
realice la división entre el numerador y el denominador de un
número Racional. A estos bloques de números que se repiten se
llama la parte periódica del número racional y se dice que el
número racional siempre tiene una representación decimal
periódica.
36
Recíprocamente, siempre que se tenga una representación
decimal periódica, ésta representa un número Racional, es
decir, se puede escribir de la forma p/q, con p, q€Z y q#0.
El proceso para conseguir esta presentación es un poco
artificioso y se ilustrará con el siguiente ejemplo:
Sea a = 32,273535....
Primero se cuentan los dígitos que aparecen en la parte
decimal hasta donde termina la primera parte periódica, en
este caso cuatro, y se considera el número
104a=322735,3535...., luego se considera el número a
multiplicado por 10 elevado a la potencia que indique el
número de dígitos que hay en la parte decimal antes de
empezar el bloque periódico, en este caso 2. Por último se
hace la diferencia entre estos dos resultados así:
104«»322735,3535... 10*«* 3227,3535... > l u e g Q
104«-102«-319508
a (104-10a) -319508, asi Que «.J2^.3|||££ que es
número de la forma p/q, con p y q€Z, q*0.
un
El lector ya se encuentra familiarizado con las operaciones
entre números Racionales y puede recordar que la suma y el
producto de dos números Racionales es un número Racional y
que el cociente de dos números Racionales es un número
37
Racional siempre y
divide no sea cero
cuando el número Racional por
(0).
el que se
Por lo tanto si a y 0 son dos números Racionales distintos,
con a<0, el número (a+0)/2 es también otro número Racional y
además se encuentra entre ambos, es decir a<(a+£S)/2<0, pues
en efecto: Cpmo ct<íJ, si se suma a a ambos lados de la
desigualdad se tiene que a+a<0+a, es decir, 2a<£+a; en forma
análoga se suma 0 y se tiene que a+0<2£, es decir, se tiene
que 2a<fc+a y a+B<2B, luego se puede concluir que 2a<É5+a<2$ y
así a<(a+0)/2<&.
Asi se puede concluir que entre dos números Racionales dados,
siempre habrá otro número Racional, además aplicando este
resultado sucesivamente entre el número Racional hallado y
uno de los números Racionales dados, se puede concluir que
entre dos números Racionales, no importa que tan cerca esté
el uno del otro, hay infinitos números Racionales, es decir,
los números Racionales se encuentran suficientemente
"amontonados".
38
EJERCICIOS
1. Expresar en forma decimal periódica los siguientes números
Racionales:
i) 2/3. ii) 5/4. i i i) 15/12. iv) 8/3.
2. Expresar en la forma p/q las siguientes expresiones
decimales periódicas:
i) 2,345345,... ii) 13,023491491...
3. Si p y q son números enteros, con p>q y q#0, ¿Cómo
hallaría números enteros s, r tales que p=sq+r? ó
P r — = s + — e ilustrarlo con un ejemplo. q q
4. ¿Qué significa que un número Racional de la formna p/q sea
irreducible? Ilustrarlo con un ejemplo.
5. ¿Todo subconjunto de los números Racionales tiene un
primer elemento?.
39
Dado a un número
Racional que sea
Racional, ¿Puede encontrar un número
el anterior a a ?
40
1.4. HUMEROS IRRACIONALES (I)
No siempre que se hace una medida, el resultado de ello es un
número Racional, por ejemplo, si se trata de medir la
hipotenusa de un trángulo rectángulo cuyos dos catetos miden, uno (1), de acuerdo alTeorema DePitágoras, esta m e d i d a será
y como se demostrará a continuación, yfí no es un número Racional. En efecto:
Si se supone que y^ es Racional; entonces v^"-^»
considerando irreducible, o sea con p y q sin divisores q comunes. Si se elevan al cuadrado ambos términos de la
2 igualdad , se tiene que, y de esto se tiene
Q q2
que 2q2*>p2, lo que implica que p 2 es par, de donde se deduce que p es par, es decir p=2k para algún k Natural, así
que; p 2=(2k) 2=4k 2=2q 2, (pues p 2=2q 2) luego 2k 2=q 2 lo que
indica que q 2 es par, por tanto q es par, es decir tanto p
como q son números pares, lo que implica que tienen al 2 como
divisor común, lo que contradice el supuesto de que p/q era irreducible, entonces fó no puede ser Racional.
Pero no es solamente , sino también es posible demostrar que existen otros números que no son Racionales, por ejemplo
J5, 3^2, n, etc. .
41
A estos números que no son Racionales, se les llama números
Irracionales y se caracterizan porque su representación
decimal no es periódica, por ejemplo: 414213562...
*=3,141592654... Números que por más que se representen con muchas cifras
decimales nunca se repetirán en forma periódica. De igual
forma que los números Racionales, los números Irracionales se
encuentran también "amontonados", en el sentido de que entre
dos números Irracionales cualesquiera existen infinitos
números Irracionales y también infinitos números Racionales y
entre dos números Racionales existen infinitos números
Irracionales.
42
EJERCICIOS
1 ¿Todo subconjunto de números Irracionales tiene un primer
elemento?
2 Dado un número Irracional a. ¿Puede existir un número
Irracional que sea el siguiente de a ?
3. ¿Es la suma y el producto de números irracionales un
número Irracional?
4. ¿Que clase de número es la suma de un número Racional con
un número Irracional?
43