UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

PUNO

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

ELECTRICA, ELECTRONICA, Y SISTEMAS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE

SISTEMAS

MONOGRAFIA

ALGORITMO DE FLEURY

PRESENTADO POR:

COAQUIRA PINTO, WILBER

MAMANI QUISPE, EDWIN

DOCENTE:

Mg. COYLA IDME, ELMER

PUNO- PERÚ

2011

Pág. 2

Dedicatoria

A mis padres, Goyo y Leonarda

quienes son fuente de mi vida; a

Fredy W., N. Yohana quienes

siempre me han brindado el apoyo

moral e incondicional, su

comprensión y cariño durante mi

formación profesional.

Edwin

Quiero dedicar este trabajo, a la persona más

importante de mi vida, mi madre, quien cuyo

esfuerzo ha hecho este logro, también a mi

padre y mis hermanos, por el apoyo que me

brindaron, por su cariño, por su compresión,

pero sobre todo por haberme ayudado a formar

me como profesional.

Wilber

Pág. 3

INTRODUCCIÓN

Una de las partes de la teoría de grafos, es esta teoría que permite modelar

de forma simple cualquier grafo conexo de grado par, ciclo y circuito euleriano;

y es por esto que su ámbito de aplicación es muy general y cubre áreas que

van desde la misma matemática.

En la teoría de grafos y algoritmo de Fleury podemos decir: Si una gráfica

conexa tiene exactamente dos vértices de grado impar, entonces sabemos por

los teoremas de Euler que no tiene un circuito Euler pero si tiene al menos una

trayectoria de Euler que empieza y termina en dichos vértices.

El algoritmo de Fleury (Grafos eulerianos) que permite encontrar una

trayectoria o circuito de Euler. Y un puente es una arista tal que al quitarla del

grafo, el grafo se convierte en un grafo disconexo.

Y también Podemos encontrar una trayectoria de Euler usando una versión

modificada del algoritmo de Fleury.

Entonces decimos que el Algoritmo de Fleury nos permite construir un camino

euleriano en un gráfico de Euler dado combinando ciclos.

Pág. 4

PRESENTACIÓN

El presente monografía es el producto de un revisión bibliográfica

consecuentemente en la redacción del presente trabajo de investigación,

con el fin que el estudiante de ingeniería de sistemas sea haga familiar los

temas que se tratan en el presente trabajo de investigación

El presente monografía consta de los siguientes capítulos:

CAPÍTULO I: En este capítulo, trabajaremos las nociones básicas de la

teoría de grafos. Nuestra intención en este capítulo no es hacer un estudio

extenso de la teoría de grafos, sino más bien una introducción a la teoría

de gráficas. Se da conocer algunos conceptos y resultados mínimos para

destacar su gran utilidad para una óptima comprensión del algoritmo de

Fleury.

CAPÍTULO II: En este capítulo se da a conocer sobre circuito de Euler y

sus definiciones básicas de diferentes fuentes bibliográficas se define sobre

un circuito que contiene todas las aristas de G recibe el nombre de circuito

euleriano ha tratarse más adelante.

CAPÍTULO III: En este capítulo consideramos algunos problemas que

involucran el hallazgo un camino con alguna propiedad especial en un

gráfico dado. Y así mismo se desarrolla el algoritmo de Fleury por encontrar

un camino euleriano en un gráfico de Euler dado explicado con ejemplo; a

tratarse más adelante en sección correspondiente.

Pág. 5

PROLOGO

Los circuitos de Euler y una de sus áreas principales como el algoritmo de

Fleury ocupan hoy en día un lugar muy importante en los conocimientos

básicos que deben adquirir las personas que se dedican al estudio de las

ciencias de la computación e ingenierías y las matemáticas aplicadas a la

computación.

Además la Teoría de Grafos puede servir para el modela miento de sistemas,

la simulación, la estructuración de datos y el análisis y diseño de algoritmo.

El presente trabajo de investigación (monografía) pretende ser una guía

introductoria para que esta pueda ser comprendida de una forma satisfactoria.

El tema central de esta monografía es una introducción al algoritmo de Fleury,

considerando los grafos y los circuitos eulerianos como una estructura

dinámica que pretende explicar el camino euleriano con el algoritmo de Fleury

aplicadas en la vida real.

Los autores

Pág. 6

CAPÍTULO 1

Introducción a Grafos

En este capítulo, trabajaremos las nociones básicas de la teoría de grafos.

Nuestra intención en esta sección no es hacer un estudio extenso de los

grafos. Lo que corresponde a una materia conocida como Teoría de Grafos

y que es tan amplia como la propia Programación matemática. Nuestra

intención es dar unos conceptos y resultados mínimos para destacar su

gran utilidad para una óptima comprensión del algoritmo de Fleury.

A si mismo se hará una introducción a los conceptos básicos de la teoría

de grafos con el fin de entender el algoritmo de Fleury.

Pág. 7

1.1 Teoría de grafos

Los grafos son una estructura de datos no lineal, la cual se puede usar

para modelar diversas aplicaciones Es una parte importante de la

Matemáticas aplicadas en la computación, lo que le da un carácter

bastante amplio y complejo.

Figura Nº 01

Los grafos se presentan con frecuencia en la vida real, tal es el caso de

una red de carreteras que enlace un cierto grupo de ciudades aquí los

nodos de la red o ciudades representan los vértices de grafo. Las

carreteras que unen las ciudades representan los arcos o arista, así a cada

arco se asocia una información tal como la distancia entre ciudades,

consumo de gasolina, costo de mantenimiento, etc.

1.2 ¿Qué es un grafo?

MICHA (2003)1. Una grafo es un diagrama que consiste de puntos

(llamados vértices) unidos por líneas (llamadas aristas). Cada arista

conecta a dos vértices.

´

1

MICHA, Elías. (2003). Matemáticas discretas, México D.F. pág. 18.

Pág. 8

SALAZAR (2001)2.Los grafos tratan de dotarnos de herramientas gráficas

que facilitan el estudio de algunos problemas que aparecen frecuentemente

en la práctica. Fundamentalmente hay dos tipos de grafos, orientados y no

orientados.

BORREGO y RECIO (2006)3.Un grafo G es un conjunto finito, no vacío de

vértices V (G) y un conjunto de aristas E (G) que puede ser vacío formado

por pares no ordenados de elementos pertenecientes a V (G). Solo se

establecerá un orden cuando hablemos de grafos dirigidos y a las aristas

se las denomina arcos.

En conclusión podemos afirmar que un grafo G consiste de un conjunto

finito no vacío de objetos llamado vértices y de un conjunto de parejas no

ordenadas de vértices llamadas aristas. Denotaremos por V (G) al conjunto

de vértices de una gráfica G y por A (G) al conjunto de aristas.

1.2.1 Elementos

MARTINES y QUIROGA (2010)4. Un grafo consiste de nodos y

arcos. En general, cada nodo puede contener más de un valor, sin

embargo, el caso particular es que almacene una única llave, de

tal forma que por esta se identifique a cada elemento.

1.2.2 Estructura

MARTINES y QUIROGA (2010)5. Posee una estructura de red.

Cada arco establece una relación uno a uno entre dos nodos. Un

par de nodos puede estar conectado por un único arco. Pero cada

nodo puede conectarse a cualquier conjunto de nodos.

2

SALAZAR GONZALES, J. Pablo. (2001).Programación Matemática, Madrid-España. pág. 259. 3

BORREGO R., R. y RECIO D., D. (2006). MANUAL DE ALGORÍTMICA, Proyecto fin de carrera Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática Departamento Matemáticas Aplicadas I, universidad de

Sevilla-España. pág. 8 4

MARTINES, Román y QUIROGA, Elda. (2010). Estructuras De Datos (Referencia Practica Con

Orientación a Objetos), Armenia. pág. 221 5

MARTINES, R. y QUIROGA, E. (2010). pág. 221

Pág. 9

EJEMPLO

Este ejemplo se conoce como el problema de los servicios públicos, y se

refiere a la necesidad de conectar tres casas A, B y C a tres servicios públicos:

gas, agua y electricidad. Por razones de seguridad es necesario que las

conexiones no se crucen entre sí. ¿Es posible conectar los servicios?

Gráfica Nº 02

1.3 Grafos orientados

SALAZAR (2001)6. El grafo orientado (o dirigido) a una pareja de conjuntos

G = (N, A) donde N es un conjunto finito de elementos, y A es un conjunto

finito de pares ordenados a = (i, j), siendo i y j elementos de N. A cada

elemento de N se le llama nodo, y a cada elemento de A se le llama arco.

Al primer nodo de un arco a = (i, j) A, es decir, a i, se le llama origen de a

y al segundo nodo, es decir, a j, se le llama destino de a.

6 SALAZAR G. Ob. Cit. pag.260.

Pág. 10

Ejemplo de grafo dirigido.

Gráfica Nº 03

1.4 Grafos no orientados

SALAZAR (2001)7.Dado un grafo orientado G = (N, A), si sucede que (i, j)

implica cine (j. i) A, entonces en muchas aplicaciones conviene que

cada una de estas parejas de arcos sea sustituida por un único par no

ordenado, simplificando así el grafo. Aparecen así los grafos no orientados.

Se llama grafo no orientado (o no dirigido) a una pareja de conjuntos G =

(N, E) donde N es un conjunto finito de elementos, y E es un conjunto finito

de pares no ordenados e = [i, j] = [j,i], siendo i y j elementos de N. A cada

elemento de A* se le llama nodo, y a cada elemento de E se le llama arista.

Cuando una arista e está formada por los nodos i y j. entonces se dice que

la arista e es incidente al nodo i (y al nodo j), y que i y j son los nodos

extremos de e8.

7 SALAZAR G. Ob. Cit. pag.263.

Pág. 11

Ejemplo de grafo ponderado no dirigido.

Gráfica Nº 04

Pág. 12

CAPÍTULO 2

Circuito Euleriano

En este capítulo se da a conocer sobre circuito de Euler y sus

definiciones básicas .Entonces podemos decir que un circuito que

contiene todas las aristas de G recibe el nombre de circuito euleriano.

Es decir que un circuito euleriano es una trayectoria que empieza y

termina en el mismo vértice, pasa por cada vértice al menos una vez

y sólo una vez por cada arista.

Pág. 13

2 . 1 C I R C U I T O E U L E R I AN O

Cuando se posee una red no dirigida conexa se puede disertar un circuito

que recorra todos SIJS nodos, partiendo de un nodo especifico Y regresando

a ÉL, pero sin pasar más de una vez por cada arco, además escogiendo el

circuito de forma tal que el recorrido sea mínimo. Este tipo de problema se

resuelve hallando un circuito euleriano de longitud mínima.

2.2 Definiciones básicas

2.2.1 Grado

SEYMOUR (2007)9. El grado de un vértice es el número de

aristas que se encuentran en ese vértice. En un sentido más

formal El grado de un vértice v en un grafo g, se escribe grd (v),

es igual al número de aristas en G que contienen a v; es decir,

que inciden sobre v. puesto que cada arista se cuenta dos veces

al contar lo grados de los vértices de G.

MARTINES y QUIROGA (2010)10. Grado de un grafo es el

máximo grado de sus nodos. Donde este se define como la

cantidad de aristas que inciden en ese nodo. En el caso de

dígrafos se distingue entre el grado_entrada y el grado_salida. El

primero define la cantidad de arcos en los que el nodo es el

destino y el segundo es la cantidad de arcos donde es el origen.

2.2.2 Vértices adyacentes

MICHA (2003)11. Dos vértices son adyacentes si comparten una

sola arista.

2.2.3 Trayectoria

MICHA (2003)12. Una trayectoria es una sucesión de vértices con

la propiedad de que cada vértice es adyacente al siguiente y tal

que en la correspondiente sucesión de aristas; todas las aristas

9

SEYMOUR LIPSCHUTE, Marc L. (2007). Matemáticas Discretas, Tercera Edición, México. pág. 157. 10

MARTINES, R. y QUIROGA, E. (2010). Ob. Cit. pág. 221. 11

MICHA, E. (2003). Ob. Cit. pág. 26. 12

MICHA, E. (2003). Ob. Cit. pág. 26.

16 MARTINES, R. y QUIROGA, E. (2010). Ob. Cit. pág. 221.

Pág. 14

son distintas. Es decir que un vértice si puede aparecer en una

Trayectoria más de una vez.

2.2.4 Camino

SALAZAR (2001)13Se llama camino a una secuencia de aristas

donde cada par de aristas consecutivas son ambas incidentes con

un mismo nodo. Los nodos no necesariamente comunes de la

primera y de las últimas aristas se llaman extremos Del camino,

mientras que los comunes se llaman intermedios.

Un camino se dice simple si sus nodos intermedios son todos

diferentes, se dice elemental si sus aristas son todas diferentes,

se dice ciclo si sus extremos son un mismo nodo. Obviamente

todo camino simple es elemental, pero no recíprocamente.

SCHEINERMAN (2001)14.Es una sucesión de lados que van de

un vértice x aun vértice w (dichos lados pueden repetir) pero no

se puede repetir vértices.

2.2.5 Ciclo

SCHEINERMAN (2001)15.Un ciclo es una caminata de longitud

mínima de vértices, en la que el primero y el último vértice son el

mismo, pero no se repiten otros vértices. El termino ciclo también

se refiere a un sub (gráfica) formada por los vértices y aristas de

la caminata. En otras palabras, un ciclo es un gráfica de forma

G= (V,E).

MARTINES y QUIROGA (2010)16. En un grafo dirigido, el ciclo es

un camino donde el nodo de inicio y el nodo de terminación son el

mismo.

13

SALAZAR G. Ob. Cit. pág. 264-265. 14

SCHEINERMAN R. Edward (2001). Matemáticas discretas, México. p. 371. 15

SCHEINERMAN R. (2001). Ob. Cit. pág.377.

Pág. 15

2.2.6 Circuito

MICHA (2003)17. Un circuito es una trayectoria que inicia y

termina en el mismo vértice.

2.2.7 Grafo conexo

MICHA (2003)18. Un grafo es conexo si cualesquiera dos de sus

vértices se pueden unir por una trayectoria. Si una gráfica no es

conexa, se dice que es disconexa.

SEYMOUR (2007)19.Un grafo G es conexo si existe un camino

entre dos de sus vértices. En términos formales, en el supuesto

que cualquier v este unido consigo mismo, la relación “v esta

unido con u” es una relación de equivalencia sobre el conjunto de

vértices de un grafo G y las clases de equivalencia de la relación

constituyen los componentes conexos de G.

2.2.8 Gráfica disconexa

MICHA (2003)20. Una gráfica disconexa está formada de varios

pedazos, cada uno de los cuales es una gráfica conexa. A los

pedazos se les llama componentes de la gráfica.

2.2.9 Circuito Euleriano

SEYMOUR (2007)21. En una red conexa un circuito que recorra

todos los nodos y todos los arcos pasando una vez por cada arco,

se llama circuito euleriano. Si la red no es conexa puede

ocurrir que no exista un circuito euleriano.

17 MICHA, E. (2003). Ob. Cit. pág. 27.

18 MICHA, E. (2003). Ob. Cit. pág. 26. 19 SEYMOUR LIPSCHUTE, Marc L. (2007). Matemáticas Discretas, Tercera Edición, México. p.160. 20 MICHA, E. (2003). Ob. Cit. pág. 26. 21 SEYMOUR, M (2007). Ob. Cit. pág.169.

Pág. 16

2.2.10 Trayectoria Euleriana

BERNARD, KOLMAN y SHARRON (1997)22. Una trayectoria en

una gráfica G es una trayectoria de Euler si incluye a cada una de

las aristas solo una vez. Un circuito de Euler es una trayectoria de

Euler que es a la vez un circuito.

CALCEDO y DE GARCIA (2010)23. el problema de determinar un

circuito euleriano de longitud mínima de una red conexa, también

es llamado El Problema del Cartero o Problema Chino del cartero

el cual apareció formulado por primera vez por M. K. Kwan en el

Chínese Mathematical Journal. Sus orígenes remontan a 1736

cuando Léonard Euler estudió el problema de los puentes de

Konigsberg.

2.3 Puentes de Konigsberg

MALVA, VIVIANA Y YANINA. (2005)24.La ciudad de Konigsberg. Situada

en Prusia Oriental, en la época de Euler (1707-1783) y hoy perteneciente a

Rusia con el nombre de Kaliningrado es atravesada por el río Pregel o

Pregolia. La parte central de la ciudad se encuentra sobre una isla del rio

llamada Kniphof que se une a las dos orillas por cuatro puentes, dos a lado:

un quinto puente une a Kniphof con otra Isla que también está unida a las

orillas por dos puentes, uno hacía cada orilla.

VALIENTE, G. (2001)25. El origen de la teoría de grafos se asocia a

menudo con la resolución que dio Euler del llamado problema de los

puentes de Kiinigsberg (1736). Esta antigua ciudad prusiana. Dividida per

el rio Progel, que bordea la isla de Kneiphof, tenía siete puentes dispuestos

como indica la figura 7.1. Los habitantes de esta ciudad se planteaban la

cuestión siguiente: es posible, paseando. Hacer un recorrido que pase una

22 BERNARD Robert, KOLMAN Busby y SHARRON Ross. (1997).Estructuras De Matemáticas Discretas

Para La Computación, México. p. 204. 23 CALCEDO B., Alfredo, W. DE GARCIA G. y M. P. R. María (2010). Introducción a la teoría de

grafos, primera Edición, pág. 45. 24 MALVA A., S. I. C. Viviana y F. Yanina. (2005).Matemática Discreta con aplicaciones a las

ciencias de la programación y de la computación. Universidad nacional de Litoral, Santa fe-

Argentina. pág. 332 25 VALIENTE, Gabriel. (2001). Matemática Discreta, Barcelona-España. pág. 142.

Pág. 17

única vez por cada uno de los siete puentes La resolución que dio Euler de

este problema no solamente respondía a esta cuestión, sino que introducía

la noción de grafo y resolvía al mismo tiempo un problema de carácter mis

general.

Gráfica Nº 05

Pág. 18

CAPÍTULO 3

Algoritmo de Fleury

En este capítulo nosotros consideramos algunos problemas que

involucran el hallazgo un camino con alguna propiedad especial en un

gráfico dado o dígrafos. Primero, nosotros describimos el algoritmo de

Fleury por encontrar un camino euleriano en un gráfico de Euler dado.

Y luego algunos ejemplos de algoritmo de Fleury de la cual describimos

un algoritmo por encontrar un camino más corto de cualquier vértice

dado a otro. Con algunos ejemplos didácticos.

Pág. 19

3.1 TRAYECTORIAS Y CIRCUITOS EULERIANOS CON FLEURY

Una Trayectoria de Euler es una trayectoria que recorre todas las aristas de un

grafo conexo. Análogamente, un Circuito de Euler es un circuito que recorre

todas las aristas de un grafo conexo. En las secciones anteriores se dejaron

abiertas preguntas, como la de los puentes de Konigsberg y la firma del diablo,

es claro que todas estas preguntas se resumen a encontrar un circuito de Euler

en los grafos correspondientes, esto motiva a una pregunta un poco más

general.

¿Para qué grafos existe un circuito de Euler?

¿Para qué grafos existe una trayectoria de Euler?

Los dos siguientes teoremas dan respuesta a esto.

3.1.1 TEOREMA 1.- Existencia de trayectorias de Euler. .

1. Si un grafo tiene más de dos vértices de grado impar, entonces no

puede tener una trayectoria de Euler.

2. Si un grafo conexo tiene exactamente dos vértices de grado impar,

entonces tiene por lo menos una trayectoria de Euler. Cualquier

trayectoria de Euler debe iniciar en uno de los vértices de grado

impar y terminar en el otro.

Una explicación sencilla del anterior teorema es la siguiente. Euler observó que

para encontrar una trayectoria en un grafo que cruce una sola vez cada arista

es necesario que cada vez que la trayectoria tome una arista para llegar a un

vértice, debe haber otra arista distinta que permita abandonarlo para poder

continuar con el recorrido.

De esta manera si un vértice tiene grado impar existe una arista más que llega

al vértice que las que salen de él, o viceversa, esto convierte al vértice en un

punto final o punto inicial. Por tanto para que exista una trayectoria de Euler es

necesario que exista a los más dos vértices de grado impar.

Pág. 20

La existencia de la trayectoria cuando el grafo es conexo se verá mas adelante

con el algoritmo de Fleury.

Ahora, sino se desea una trayectoria sino un circuito de Euler es necesario que

el punto final coincida con el punto inicial, por tanto el grafo no puede tener

vértices de grado impar como lo muestra el siguiente teorema.

3.1.2 TEOREMA 2. Existencia de circuitos de Euler.

1. Si en un grafo algún vértice tiene grado impar, entonces no puede

tener un circuito de Euler.

2. Si todos los vértices de un grafo conexo tienen grado par, entonces

hay por lo menos un circuito de Euler.

3.2 ALGORITMO DE FLEURY

Definición.- El algoritmo de Fleury permite determinar un circuito de Euler, y

un circuito de Euler es aquel ciclo que recorre todos los vértices pasando

por todos los lados solamente una vez.

Un grafo tiene un circuito de Euler si y solo si es conexo y todos sus vértices

tienen valencia par.

Por lo que definiremos sobre el algoritmo de Fleury que define diferentes

autores que se describe en ello.

Según MICHA (2003) 26, en su libro “Matemáticas Discretas” define algoritmo

de Fleury.

Los teoremas de Euler nos proporcionan criterios muy simples para decidir si

una gráfica posee una trayectoria o un circuito de Euler. Desafortunadamente

los teoremas de Euler no nos ayudan a encontrarlos en el caso de que si

26 MICHA, E. (2003). Ob. Cit. pág. 37.

Pág. 21

existan. Ya vimos el caso de gráficas sencillas podemos reconstruir las

trayectorias o circuitos de Euler por medio de ensayo y error.

Por ejemplo, si nos dan una gráfica con solo 6 vértices, todo de grado par, es

muy probable que sea tan fácil construir un circuito de Euler por medio de

ensayo y error como por medio de la aplicación de un procedimiento

sistemático. Sin embargo, la mayoría de las gráficas que surgen de situaciones

prácticas pueden tener cientos o miles de vértices. Para este tipo de gráficas es

necesario usar un algoritmo. Ya vimos que en una gráfica conexa, un puente

es una arista tal a la, la gráfica se vuelve disconexa.

El algoritmo de Fleury nos instruye que viajemos por un puente solo como

último recurso. Es decir, solamente podemos usar un puente cuando este sea

la única arista que se pueda usar para continuar el recorrido. En un lenguaje

coloquial podemos resumir la regla fundamental del algoritmo de Fleury en la

siguiente frase:

“No cruces un puente a menos que no te quede otro remedio”

GRIMALDI (1994) 27, en su libro “Introduction to Graph Theory”,en donde

señala sobre el algoritmo de Fleury para hallar un circuito euleriano en un grafo

simple G= (V, E) euleriano:

Comenzamos de un vértice cualquiera v, elegimos una arista e1 = {v, u},

entonces formamos la cadena v, u. Y luego en u, elegimos una arista e2 = {u,

w}

y formamos la cadena v,u,w y así sucesivamente.

Para que la cadena obtenida al final del proceso sea euleriana en cada paso i

debemos elegir para continuar la cadena, una nueva arista ei tal que si

quitamos esta arista en el grafo G [ E- { e1, ...., ei-1 } ] se obtenga un grafo

conexo.

27 RALPH GRIMALDI. Addison Wesley. (1994).Introduction to Graph Theory.

Editorial Prentice Hall. pág. 115

Pág. 22

SÁEZ, Alfonso28, en su texto “Matemática discreta” de la Universidad de

Valladolid, en donde señala sobre el algoritmo de Fleury (Grafos eulerianos)

que permite encontrar una trayectoria o circuito de Euler. Y un puente es una

arista tal que al quitarla del grafo, el grafo se convierte en un grafo disconexo.

Los pasos a seguir en el algoritmo de Fleury para encontrar una trayectoria de

Euler son:

1. Verificar que el grafo cumpla con los criterios de grafos eulerianos

(todos los vértices deben tener grado par, salvo dos como mucho).

2. Escoger un vértice de grado impar. En caso de que no exista, se

puede escoger cualquier vértice.

3. En cada paso, recorre cualquier arista disponible, eligiendo un puente

solo cuando no haya alternativa. Al recorrer la arista borrarla y

continuar el proceso hasta que todos los vértices tengan grado cero.

M. ALDOUS, Joan, ROBIN J. Wilson (2000)29. En el Capítulo 3señala

sobre El Algoritmo de Fleury, en donde describe cómo construir un camino

euleriano en un gráfico de Euler dado combinando ciclos. Otra manera de

construir un camino euleriano es usar el siguiente algoritmo.

Algoritmo de Fleury

Paso 1.- Se comienza en un vértice cualquiera .

(O en un impar si hay dos vértices impares)

Paso 2.- Si se ha construido el camino ... con

aristas distintas, se elige la arista siguiente con las

condiciones:

28 POBLACIÓN SÁEZ, Alfonso Jesús, Matemática discreta (Universidad de

Valladolid). pág. 40. 29

M.ALDOUS, Joan, ROBIN J. Wilson (2000) Graph and Aplications.Editorial Springer, Londres.pág. 202

Pág. 23

(1) incidente con

(2) no ser puente en el grafo G−{ … }

(Salvo que no haya alternativa).

Paso 3.- Se sigue hasta que el camino contenga todas las aristas.

RAMOS, S. y SARAVIA 30,en su libro” Investigación Operativa Teoría de

Grafos o Redes” de la Universidad pontificia Comillas, España. En desarrolla

sobre el Algoritmo de Fleury.

Si una red es conexa y tal que todos sus vértices son de grado par es

posible recorrer todas sus aristas de un solo trazo sin necesidad de corregir el

trayecto según el siguiente esquema:

Salir de un vértice cualquiera.

Cada vez que recorramos una arista procedemos a tacharla.

Cuando todas las aristas que inciden en un vértice han sido

“tachadas”, “tachamos” dicho vértice.

No utilizar nunca una arista que, en el momento considerado, sea

un itsmo.

Ross y C. Wright (1990) 31 en su texto “Matemáticas Discretas” en donde

señala sobre los pasos de algoritmo de Fleury.

Paso 1. Empiece en cualquier vértice V de valencia impar si es que lo

haya. Si no lo haya empiece en cualquier vértice V. Sea Vs = [ V

] y sea Es= [ ].

Paso 2. Si no hay ninguna arista que pase por V, pare.

30 RAMOS A., L. Pedro, SÁNCHEZ P., SARAVIA A., V. Begoña. Investigación Operativa Teoría

de Grafos o Redes. Universidad pontificia Comillas, España. . pág. 69. 31 K. Ross y C. Wright (1990) Matemáticas Discretas, pág. 423

Pág. 24

Paso 3. Si hay exactamente una arista que pase por V, digamos arista

(E, [V, W]), entonces sustraiga a arista E del grafo A (G) y a V

sus vértices V(G) y siga con el paso 5.

Paso 4. Si hay más de una arista en V, elija una de ellas, digamos E, tal

que arista (E, [V, W] ), de tal modo que su eliminación no

desconecte la gráfica; quite entonces a E de A(G).

Paso 5. Añada W al final de , añada E al final de Es, reemplace V por

W y regrese al paso 2.

Según el autor MICHA (2003) 32

, define las reglas básicas del algoritmo de

Fleury para encontrar circuitos de Euler.

Regla 1. Cerciórate que la gráfica sea conexa y que todos sus vértices

tengan grado par.

Regla 2. Elige un vértice inicial (de manera arbitraria).

Regla 3. En cada caso paso, recorre cualquier arista disponible,

eligiendo un puente solo cuando no haya alternativa.

Regla 4. Después de recorrer cualquier arista, borrarla y recorre otra

arista disponible. Borra los vértices de grado cero que resulten.

Regla 5. Cuando ya no puedes seguir el recorrido, para.

(¡Habrás encontrado un circuito de Euler!)

BORREGO R., Rafael y R. DOMÍNGUEZ. Daniel 33 en el Proyecto fin de

carrera de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática Departamento

Matemáticas Aplicadas I.

1. “El algoritmo de Fleury trata de buscar una trayectoria euleriana en un

grafo conexo y en el que no existen más de dos vértices de grado impar.

2. La implementación del algoritmo se ha realizado mediante

técnicas de programación dinámica combinada.

32 MICHA,E;(2004) Ob. Cit. Pág. 38.

33 BORREGO R., Rafael y R. D. Daniel, Proyecto fin de carrera Escuela Técnica Superior de

Ingeniería Informática Departamento Matemáticas Aplicadas I.pag. 174.

Pág. 25

3. La heurística seguida para encontrar la trayectoria euleriana es

la siguiente. Se comprueba que previamente que el grafo

satisface las condiciones para que exista dicha trayectoria.

4. Seguidamente no situamos en unos de los vértices impares si

existen o en caso contrario uno cualquiera de grado par.

5. A continuación de todos los vértices adyacentes respecto al que

estamos situados escogemos el primero según orden existente en la

matriz de adyacencias y al ser posible que no sea una arista puente

salvo que no exista ninguna otra alternativa.

6. Una vez seleccionada la arista, esta no vuelve a tenerse en cuenta

por lo que es como si la hubiéramos eliminado del grafo.

7. Repetimos este proceso hasta recorrer todas las aristas del grafo,

pudiendo repetir vértices.

Según SARAVIA (1996)34El algoritmo de Fleury permite obtener los ciclos

eulerianos para algunas redes particulares. Así, si A es una red conexa,

múltiple v tal que todos sus vértices son de grado par podemos recorrer

todas las aristas de un solo trazo, sin que tengamos que corregir nuestro

trayecto, si seguimos la siguiente regla:

salir de un vértice cualquiera,

cada vez que recorramos una arista procederemos a tacharla.

no utilizaremos nunca una arista que, en el momento considerado,

sea un istmo; es decir, cuya supresión genere dos componentes co-

nexas cada una de las cuales tenga al menos una arista.

Gracias a los teoremas de Euler es posible saber si un grafo dado tiene

trayectorias o circuitos de Euler, lastimosamente estos teoremas no indican la

manera de encontrar dicho recorrido. En esta sección se mostrarán una serie

de instrucciones muy sencillas conocidas como El algoritmo de Fleury las

cuales permitirán encontrar una trayectoria o circuito de Euler en caso de que

este exista. Una definición preliminar necesaria es la de puente. Un puente es

una arista tal que al quitarla grafo se convierte en un grafo disconexo.

34 SARAVIA V. Ángel (1996).Investigación Operativa, editorial Ortega, España .pág. 28.

Pág. 26

Los pasos a seguir en El Algoritmo de Fleury para encontrar una trayectoria

de Euler son los siguientes:

1. Verificar que el grafo cumpla con las hipótesis expuestas en los

teoremas trayectorias de Euler.

2. Escoger un vértice de grado impar. En caso de que no exista, se

puede escoger cualquier vértice.

3. En cada paso, recorre cualquier arista disponible, eligiendo un puente

solo cuando no haya alternativa. Al recorrer la arista borrarla y

continuar el proceso hasta que todos lo vértices tengan grado cero.

3.3 EJEMPLOS DE ALGORITMO DE FLEURY

Ilustraremos el uso del algoritmo del Fleury considerando algunos ejemplos.

que a continuación se explica con el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 01:

B F

A C E G

D H

La gráfica de la figura tiene todo sus vértices de grado para, y por tanto tiene al menos un circuito de Euler.

Inicio: Elegimos el vértice A.

Pudimos haber elegido cualquier vértice

Pág. 27

Paso 1: Elegimos la arista AB.

Desde a hay tres aristas disponibles. La arista AB, la arista BC y la arista

AD.como ninguna es puente, se puede elegir cualquier.

B

A

Paso 2: Elegimos la arista BC.

No hay alternativa. B

A C

Paso 3: Elegimos la arista CA.

Desde C hay dos aristas disponibles. La arista CA y la arista CD.

B

A C

Paso 4: Elegimos la arista AD.

Desde A hay dos aristas disponibles. La arista AD y la arista AG.

B

A C

D

Pág. 28

Paso 5 y 6: Elegimos la arista DC Y CE.

No hay alternativa en cada paso.

B

A C

B

Paso 7: Elegimos la arista EG.

Desde E hay tres aristas disponibles. La arista EG, la arista EF y la arista

EA. Como ninguna es un puente, se puede elegir cualquiera.

A

E C E G

B

Paso 8: Elegimos la arista GF.

Desde C hay tres aristas disponibles. La arista GF y GH no son puentes

y se puede elegir cualquier de ellas. La arista GA no se puede elegir

porque es puente.

B F

A C

E G

D

Paso 9, 10 11 y 12: Elegimos la arista FE, EH, HG y GA.

No hay alternativa en cada caso.

B F

A C E G

D H

Como ya no podemos seguir, ¡hemos terminado! El circuito de Euler que

obtuvimos es: A, B, C, A, D, C, E, G, F, E, H, G, A que es uno de

los varios circuitos posibles.

EJEMPLO 02:

A B

E C D F

La gráfica tiene de la figura tiene un circuito de Euler. Sabemos esto porque

todo los vértices tiene grado par .aunque esta gráfica es muy simple y

podemos encontrar a un circuito de Euler por ensayo y error, lo encontraremos

usando el algoritmo de Fleury para entender cómo funciona

Inicio: Elegimos el vértice F.

Paso 1: Elegimos la arista FC. A B

E C D F

Pág. 29

Pág. 30

Paso 2: Elegimos la arista CD.

A B

E C D F

Paso 3: Elegimos la arista DA.

A B

E C D F

Paso 4: Elegimos la arista AC.

A B

E C D F

Pág. 31

Paso 5: Elegimos la arista CE.

A B

E C D F

Paso 6, 7,8 y 9: Elegimos la arista EA, AB, BD, y DF.

A 7 B

6 3

4 8

9 E

5 C 2 D F

1 Como ya no podemos seguir, ¡hemos terminado! El circuito de Euler que

obtuvimos es: F, C, D, A, C, E, A, B, D, F que es uno de los varios circuitos

posibles.

3.4 ALGORITMO DE FLEURY PARA ENCONTRAR CIRCUITO DE EULER

Nos preguntamos ¿Qué pasa en el caso de trayectoria de Euler?

MICHA (2003)35, sostiene Si una gráfica conexa tiene exactamente dos vértices

de grado impar, entonces sabemos por los teoremas de Euler que no tiene un

circuito Euler pero si tiene al menos una trayectoria de euler que empieza y

termina en dichos vértices. Podemos encontrar una trayectoria de euler usando

una versión modificada del algoritmo de Fleury.

35 Micha, E. (2004) ob. cit. pág. 42-43.

Pág. 32

Esta modificación consiste:

Regla 1 modificada: cerciórate que la gráfica sea conexa y que tenga

exactamente dos vértices de grado impar.

Regla 2 modificada: elige como vértice inicial uno de los vértices de

grado impar.

¡Cuando se apliquen estas reglas, el recorrido terminara en el otro vértice de

grado impar!

3.4.1 EULERIZACION Y SEMI- EULERIZACION DE GRÁFICAS

Supongamos que necesitamos diseñar una ruta eficiente para un camión

recolector de basura que debe recorrer todas las calles del mapa de la

siguiente gráfica

A B c

D

E F G

En donde cada arista representa una calle y cada intersección de calles está

representada por un vértice, constituye un modelo matemático para el

problema.

En términos del gráfica se puede diseñar la ruta más eficiente para camión

recolector de basura en:

Entonces la pregunta es ¿podemos encontrar un circuito de Euler o una

trayectoria de Euler en la gráfica?

Pág. 33

Como la gráfica tiene cuatro vértices de grado impar (A, B, F y G),la respuesta

es no.

¿Cómo encontrar una ruta que cubra todas las calles y en la que el número de

calles que tenga que volver a recorrer sea el menor posible?

En la siguiente gráfica se muestra que se obtiene al agregarle una copia de

cada de las aristas AB y FG a la gráfica anterior.

A 1 B 6 c

7

2

8 12 D 5

3 11

10

E 9 F 4 G

El efecto agregar dos aristas al gráfica es el de eliminar los cuatro vértices de

grado impar. Todos los vértices de la gráfica son de grado par y por tanto tiene

un circuito de Euler.

En este recorrido estamos viajando a lo largo de todas las aristas de la

gráfica, pero pasando dos veces por las aristas AB y FG. A pesar de que éste

no es un circuito de Euler para la gráfica original, es un circuito que describe el

recorrido más eficiente (con menor de aristas duplicadas)que cubre toda la

gráfica y que inicia y termina en el vértice A.

Pág. 34

3.5 PSEUDOCODIGO DEL ALGORITMO DE FLEURY.

Bondy 36 en “Graph Theory”,donde da sobre programación de el Algoritmo

de Fleury.

1: nodo = SeleccionarNodo( ConjuntoNodos) (La función

“SeleccionarNodo” elegirá un nodo de grado impar si es posible)

2: WHILE (ConjuntoNodos ≠ VACÍO ) DO

arista = SeleccionarAristaAdyacenteNodo(nodo) (La función

“SeleccionarAristaAdyacenteNodo” elegirá una arista puente

solamente como último recurso)

3: ConjuntoAristas = ConjuntoAristas – arista

ConjuntoNodos=QuitarVercicesCardinalidadCero(ConjuntoNodos)

IF ConjuntoNodos ≠ VACÍO THEN

nodo = SeleccionarNodoAdyacenteArsita( arista, ConjuntoNodos)

END IF

END WHILE

4: FIN DEL ALGORITMO.

3.6 COLORACIÓN DE GRAFO CON EL ALGORITMO DE FLEURY

La Coloración de Grafo con el Algoritmo de Fleury 37. Para un camino de

euleriano:

1. Escoge uno de los dos vértices de grado impar como el arranque el

punto.

2. Viaje encima de cualquier borde en cuyo levantamiento no irrumpirá

el gráfico los componentes desconectados.

3. Color que el borde simplemente cruzó, y entonces viaja encima de

cualquier borde de quien el levantamiento no romperá el subalterno-

gráfico restante en los componentes desconectados.

4. Repite hasta que todos los bordes estén coloreados (es decir cruzó).

36

J. A. Bondy, U. S. R. Murdy.Graph Theory. Pag. 87 37

Eulerian Paths and Circuits, Reading: Lecture Notes x9.3; Epp x11.2 (mayo 2011) slide 14.

Pág. 35

3.7 PROBLEMA DEL CARTERO

3.7.1 ALGORITMO DEL CARTERO CHINO

Es una aplicación de la solución de redes de flujo con arcos dirigidos. Hay un

número de rutas que se pueden trazar uniendo una serie de vértices de tal

manera de visitarlos a todos al menos una vez.38

Euler planteó el problema de trasladar un desfile militar atravesando los

siete puentes de su ciudad natal. Estudiando la configuración de los puentes y

las calles encontró que no existía solución factible y propuso una serie de

leyes matemáticas para hallar todos los recursos existentes en una red. Así se

ha definido como un circuito Euler a toda ruta que, sea continua, que cubra

cada arco de la red al menos una vez y que regrese a su punto de partida.

Si los arcos no son unicursivos, (en una sola dirección) se pueden

utilizar reglas muy sencillas para saber si hay una solución de ruta Euler.

Si el número de vértices en la red es un número impar, existe una solución tipo

Euler; de ser un número par, no existe dicha solución y algunos arcos deben

ser trazados más de una vez.

Fue una revista china de matemáticas donde se planteó por primera vez

una solución óptima a un circuito Euler. Describiendo las actividades de un

cartero en caminar su ruta postal (en otras palabras "la ruta del cartero chino").

En este problema la ruta buscada es la que reduce la distancia viajando a lo

largo de las calles (arcos) un sentido único y de regreso a su central de

correos.

Suposiciones en que se basan estos algoritmos.

38Curso de Investigaciones de operaciones II (2007-I), Facultad de Ingeniería Industrial y de

Sistemas. Universidad Nacional de Ingeniería.pag.9.

39 Curso de Investigaciones de operaciones II (2007-I). Ob. Cit. Pág. 17.

Pág. 36

1. Los costos unitarios de transportación son independientes de la cantidad

de residuos sólidos transportados.

2. Se cuenta con un número óptimo de sitios de disposición final o de

estaciones de transferencia.

3. La generación de residuos sólido es fija, no variable y siempre fijada en

un sitio.

4. No existen restricciones de capacidad en el sitio de disposición final o

estación de transferencia al aceptar los residuos sólidos recolectados.

5. El tiempo en que la solución óptima es aplicable es limitado (o en otras

palabras no está incluido el factor tiempo en la formación del algoritmo).

3.7.2 APLICACIÓN UTILIZANDO EL ALGORITMO DEL CARTERO.

Hallar la ruta optima de entrega de correspondencia partiendo del punto A

abarcando todos los nodos y regresando al punto de partida, utilizando un

tiempo y costo óptimo.39

En el diagrama adjunto mostramos el circuito de recorrido del cartero.

40 Curso de Investigaciones de operaciones II (2007-I). Ob. Cit. Pág. 24.

Pág. 37

Solución:

3.8.3 DIAGRAMA DEL ALGORITMO DEL CARTERO CHINO

Este diagrama muestra que existe otra alternativa para resolver el algoritmo del

cartero utilizando otros algoritmos, como el de Fleury, Edmonds, Diestra, Euler,

etc.40

Pág. 38

Pág. 39

CONCLUSIONES

Luego de entender la teoría presentada en las secciones anteriores es posible

argumentar una respuesta a los teoremas de Euler sobre el algoritmo de

Fleury se concluye que:

Los teoremas de Euler nos proporcionan criterios muy simples para decidir si

una gráfica posee una trayectoria o un circuito de Euler. Desafortunadamente

los teoremas de Euler no nos ayudan a encontrarlos en el caso de que si

existan.

El algoritmo de Fleury nos instruye que viajemos por un puente solo como

último recurso. Es decir, solamente podemos usar un puente cuando este sea

la única arista que se pueda usar para continuar el recorrido.

Gracias a los teoremas de Euler es posible saber si un grafo dado tiene

trayectorias o circuitos de Euler.

El algoritmo de Fleury las cuales permitirán encontrar una trayectoria o circuito

de Euler en caso de que este exista. Una definición preliminar necesaria es la

de puente.

Pág. 40

RECOMENDACIONES

Se sugiere a los docentes del curso de estructuras discretas a seguir

fomentando la investigación, y a que ello ayuda al estudiante de

ingeniería de sistemas y áreas a fines a su formación profesional.

Así mismo a los docentes de la escuela profesional de ingeniería de

sistemas, que tiene en sus cursos respectivamente que desarrollan en

las aulas pedagógicas; se hagan las investigaciones para que el

estudiante pueda adecuarse a la competitividad y a la excelencia.

Se sugiere a la dirección de estudios incorporar el curso de

investigación científica, y se realice talleres de investigación.

Pág. 41

BIBLIOGRAFÍA

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de algorítmica, Proyecto fin de carrera Escuela Técnica Superior de Ingeniería

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de santos, Madrid-España.

SARAVIA VIEJO, Ángel (1996).Investigación Operativa. Universidad pontificia

comillas, Editorial Ortega, España

Pág. 43

INDICE

Dedicatoria……………………………………………………………………. Presentación…………………………………………………………………. Introducción……………….…………………………………………………. Prologo …….………………………………………………………………….

CAPITULO I: INTRODUCCIÓN A GRAFOS

1.1 Teoría de grafos ………………………………………………………. 1.2 ¿Qué es un grafo?........................................................................ 1.3 Elementos……………………………………………………………… 1.4 Estructura……………………………………………………………… 1.5 Grafos orientados ……………………………………………………. 1.6 Grafos no orientados …………………………………………………

CAPITULO II: C I R C U I T O E U L E R I AN O

2 . 1 Definiciones básicas……………………………………………… 2.2 Definiciones básicas………………………………………………. 2.2.1 Grado…………………………………………………………… 2.2.2 Vértices adyacentes…………………………………………… 2.2.3 Trayectoria……………………………………………………… 2.2.4 Camino…………………………………………………………. 2.2.5 Ciclo……………………………………………………………. 2.2.6 Circuito……………………………………………………. 2.2.7 Grafo conexo……………………………………………… 2.2.8 Gráfica disconexa…………………………………………….. 2.2.9 Circuito Euleriano…………………………………………….. 2.2.10 Trayectoria Euleriana……………………………………….. 2.3 Puentes de Konigsberg…………………………………………..

CAPITULO III: ALGORITMO DE FLEURY 3.1 Trayectorias y circuitos eulerianos con Fleury …………………….. 3.1.1 Teorema 1.- existencia de trayectorias de Euler………………….. 3.1.2 Teorema 2. Existencia de circuitos de Euler………………………

3.2 Algoritmo de Fleury (definiciones bibliogarficas).…………………. 3.3 Ejemplos de algoritmo de Fleury……………………………………… 3.4 Algoritmo de Fleury para encontrar circuito de Euler……………….. 3.4.1 Eulerizacion y Semi- Eulerizacion de gráficas……………………… 3.5 Pseudocódigo del algoritmo de Fleury……………………………….. 3.6 Coloración de grafo con el algoritmo de Fleury ……………………. 3.7 Problema del cartero …………………………………………………. 3.7.1 Algoritmo del cartero chino…………………………………………. 3.7.2 Aplicación utilizando el algoritmo del cartero…………………….. 3.7.3 Diagrama del algoritmo del cartero chino…………………………. Conclusiones………………………………………………………………… Recomendaciones…………………………………………………………… Bibliografía……………………………………………………………………

Pág. 2 Pág. 3 Pág. 4 Pág. 5

Pág. 7 Pág. 7 Pág. 8 Pág. 8 Pág. 9 Pág.10

Pág.13 Pág. 13 Pág.13 Pág.13 Pág.13 Pág.14 Pág.14 Pág.15 Pág.15 Pág.15 Pág.15 Pág.16 Pág.16 Pág.19 Pág.19 Pág.20 Pág.20 Pág.26 Pág.31 Pág.32 Pág.33 Pág.34 Pág.35 Pág.35 Pág.36 Pág.37 Pág.39 Pág.40 Pág.41