Algebraische Kurven Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Reisen in ein vergessenes...
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Algebraische Kurven
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt
2 2 2 2 2( ) ( )x y y a k y
Reisen in ein vergessenes und
unerforschtes Land
Algebraische Kurven
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt
Reisen in ein vergessenes und
unerforschtes Land
Wer reist?
Vergessen?
Unerforscht?
Womit?Antworten bei den
Beispielen
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt
Algebraische Kurven, vergessenes, unerforschtes Land
Erste Forschungsreise
zur Hundekurveund anderen Konchoiden
Nikomedes lässt grüßen
Einführungsbeispiel: Die Hundekurve
Handeln
Beobachten
Geometrisch
erfassenProf. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt
Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Realisierenim DGS
Ortskurve erzeugen
Zeichnen
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Handeln, sehen, systematisieren
Euklid pur
Euklid Hundekurve
Die Hundekurve, Parameter verändern
Die Hundekurve gibt es
in drei Typen. Die Form hängt von der Leinenlänge im
Vergleich zur
Baumentfernung ab.
Einflussgrößen
verändern
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Algebraische Kurven ab Kl. 9, Sek II oder Studium
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2 2 2 2 2( )( )x y y a k y
• Aus Strahlensatz
• und Pythagoras-Satz
• folgt in zwei Schritten
• die Gleichung der Hundekurve
Algebraische Kurven 8. Klasse bis 8. Semester
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2 2 2 2 2( )( )x y y a k y
•
• Jedenfalls:
•Einbau eines Koordinaten-Systems
• Was macht man aber bei den „Kleinen“ ?!?!
• Beschaffung der Gleichung „irgendwoher“
Algebraische Kurven, St. Andrews, t.w. erforschtes Land
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2 2 2 2 2( )( )x y y a k y • Beschaffung der Gleichung aus „Internet u.a.“
Passen Geometrie und Gleichung zueinander?
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2 2 2 2 2( )( )x y y a k y
•
2 20k ay a Einsetzen, ergibt:
Bei „vernünftigen“ Hundekurven nicht erfüllbar. y aAsymptote kann also die Gerade sein:
Was bedeuten
a und k in der
Gleichung ??????
Wie zeichnet man Kurven nach impliziten Gleichungen?
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2 2 2 2 2( )( )x y y a k y • Beschaffung der Gleichung aus „Internet u.a.“
Derive
•Zeichnen impliziter Gleichungen•Alle Computer-Algebra-Systeme, CAS
•Derive•MuPAD•Mathematica•Maple…
•Bis zum 2. Grad (Kegelschnitte)•GeoGebra•Cabri-Geomètre•Z.u.L •Cinderella 2
MuPAD
GeoGebraHundekurve
ganz
Sagen ihre Gleichungen mehr als ihre Geometrie?
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2 2 2 2 2( )( )x y y a k y
Nanu?
Wo kommt eigentlich der obere Ast her?
Warum ist der in der Konstruktion nicht gekommen?
Was wusste Nikomedes von der Konchoide?
Konchoiden-Zirkel Nikomedes (200 v. Chr.)
Nikomedes kannte nur diesen Ast der Konchoide.
Er nannte die Kurve Muschellinie = Konchoide.Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt
Zweiter Ast der Hundekurve
Der Leinen-Kreis schneidet zweimal
die Gerade BQ.
Der furchtsame
Fiffi hat auch seinen Weg.
Pluto strebt zum Baum,
Fiffi ist furchtsam.
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Allgemeine Kreis-Konchoiden
ErsteVerallgemeinerung
Die Straße, auf der Quo Vadis geht,
kann ein Kreis sein.
….weitere
Pascalsche Schnecken
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Kardioide
….und andere
Exoten
Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Realisierenim DGS
Ortskurve erzeugen
Zeichnen
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Handeln, sehen,systematisieren
Euklid pur
Euklid Hundekurve
Allgemeine Konchoiden
Kosinus-Straße
Die Straße, auf der Quo Vadis geht,
kann jede beliebige Kurve sein.
Zweite Verallgemeinerung
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( ) ( ) Straßer r k Polardarstellung aller
Konchoiden
Erkundungen, Parametervariation, „Termsensibilisierung“
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Unterrichtsgang
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AusführlichIm
Internet
Algebraische 3D-Flächen
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Verschiedene Darstellungsweisen und Weiterführungen
2 2( , ) ( ) ( ) F x y x c y y c y
Strophoiden ( , ) 0F x y
Ganze Familien erhält man, wenn man nicht in der Höhe 0 schneidet.
Derive
Forschung
Algebraische 3D-Flächen
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Verschiedene Darstellungsweisen und Weiterführungen
2 2( , ) ( ) ( ) F x y x c y y c y
Strophoiden ( , ) 0F x y
Ganze Familien erhält man, wenn man nicht in der Höhe 0 schneidet.
MuPAD
Forschung
Produkte aus algebraischen Kurven
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Verschiedene Darstellungsweisen und Weiterführungen
Produkte ( , ) ( , ) 0F x y G x y
Durch Produktbildung öffnet sich ein ganzes Reich weiterer algebraischer Kurven.
(Felix Klein, ohne Visualisierung)
Evaluation aus Schülersicht
• Bemerkungen eines Schülers Klasse 8:
Als wir dann am Ende der 8. Klasse doch noch zu den Geraden kamen, war es sehr einfach, denn eine Gerade ist ja der simpelste Fall einer Kurve.
....Mathematikunterricht noch nie solch einen Spaß gemacht. Wir hätten auch gern noch weitergemacht,doch sind Schuljahre oft kürzer als man denkt..
4 Jahre später:Für mich waren das, was sonst so in Mathe kam, in den folgenden Jahren nicht nur Formeln und irgendwelche Punkte auf dem Papier.
.....ganz anderer Blick auf MatheJohannes Härke [Abi 2003]
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Evaluation aus Sicht der Studierenden (anonym)
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Gute Reise!
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Algebraische Kurven, vergessenes, unerforschtes Land
…und alles steht im Internet
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