Álgebra e Geometria. Em uma partida de vôlei disputada em duplas, Raul e Felipe marcaram 20 pontos...
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Álgebra e Geometria
Álgebra e Geometria
Em uma partida de vôlei disputada em duplas, Raul e Felipe marcaram 20 pontos juntos em um jogo.
Exemplo:
Pontos de Raul: xPontos de Felipe: y
Portanto: então: x + y = 20
Equações do 1o grau com duas incógnitas
Uma equação é do 1o grau com duas incógnitas, x e y, quando pode ser escrita na forma ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0.
Exemplo:
4x – 5y = 6, pois é equivalente a 4x + (–5)y = 6 (a = 4, b = –5 e c = 6)
2
Álgebra e GeometriaDeterminação de soluções de equações do 1o grau com duas incógnitasExemplo:
Veja como podemos determinar pares ordenados que são soluções daequação 5x – 2y = 4.
Fazendo x = 25 . (2) – 2y = 4
10 – 2y = 4
– 2y = 4 – 10
– 2y = – 6
(– 1) . – 2y = – 6 . (– 1)
2y = 6
y = = 3
Logo, o par ordenado é (2, 3).(x, y)
Fazendo y = 0
5x – 2 . (0) = 4
5x + 0 = 4
5x = 4
Logo, o par ordenado é .
x =
3
Álgebra e GeometriaGráfico de uma equação do 1o grau com duas incógnitas
Exemplo: vamos determinar alguns pares ordenados de números racionaisque são soluções da equação 2x + y = 1 e representá-los graficamente.
Os pontos correspondentes às soluções de uma equação do 1o grau comduas incógnitas estão sempre alinhados, isto é, estão todos sobre umamesma reta.
x = 2, temos y = – 3 (2, – 3)
x = 1, temos y = – 1 (1, – 1)
x = 0, temos y = 1 (0, 1)
x = – 2, temos y = 5 (–2, 5)
eixo y
eixo x
(−2, 5)
(0 ,1)
(1 ,−1)
(2 ,−3)
4
Álgebra e Geometria
Resolver um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitassignifica procurar as soluções comuns às duas equações.
Na partida de vôlei, Raul e Felipe marcaram 20 pontos juntos, porém
Raul marcou o triplo dos pontos de Felipe.
Pontos de Raul: xPontos de Felipe: y
Portanto: x + y = 203x = y
Como as duas equações fazem parte de um mesmo sistema, entãopodemos escrever:
x + y = 203x = y
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Álgebra e GeometriaResolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas: método da substituição
2x + y = 2703x + 2y = 460
2x + y = 270y = 270 – 2x
y = 270 – 2x
3x + 2y = 460 3x + 2(270 – 2x) = 4603x + 540 – 4x = 460
3x – 4x = 460 – 540– 1x = – 80
x = 80
y = 270 – 2 . 80
III
I
II
y = 270 – 160y = 110
isolamos y
I em II
substituindo em I
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Álgebra e GeometriaResolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas: método de comparação
y = 5 – xy = 2x – 4
x + y = 52x – y = 4
III
y = 5 – xy = 2x – 4
III
III
5 – x = 2x – 4–2x – x = – 4 – 5
–3x = – 93x = 9substituímos em I ou II
y = 5 – 3 y = 2
isolamos o y nasduas equações
comparamos asequações
x = = 3
7
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Álgebra e Geometria
As desigualdades que contêm letras que representam números desconhecidos são chamadas de inequações.
Exemplos:
• x + y ≠ 8
• x > 2 • 2y < 25
Soluções de uma inequação
S = {0, 1, 2, 3, 4}
S = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}
S = {x racional, tal que x ≤ 4}
Inequações
Vamos resolver, por exemplo, a inequação x ≤ 4 nos conjuntos dos , , .
Nos racionais :Nos inteiros :
Nos naturais :
• n2 ≤ • x ≥ 5
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Álgebra e Geometria
Resolução das inequações do 1o grau com uma incógnita noconjunto dos números racionais
Inequações do 1o grau com uma incógnita
Chamamos de inequações do 1o grau com uma incógnita a toda inequaçãoque pode ser escrita, com a ≠ 0, em uma das seguintes formas: ax > b ouax < b ou ax ≥ b ou ax ≤ b.
Exemplo:3 + 5(– 4 – x) ≤ x – 1 + 2x
3 – 20 – 5x ≤ x – 1 + 2x
– 5x – x – 2x ≤ – 1 + 20 – 3
(– 1) . – 8x ≤ + 16 . (– 1)
8x ≥ – 16
x ≥ – 2
– 3 – 2x < 11
+ 3 – 3 – 2x < 11 + 3
– 2x < 14
(– 1) . – 2x < 14 . (– 1)
2x > – 14
x > – 7
x ≥ –> –
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Álgebra e GeometriaSistemas de inequações do 1o grau com uma incógnita
10
Exemplo:
Perímetro = 2x + (x + 8) + 15 = 3x + 23
Quais são os valores de x para que esse perímetro seja maior do que 32 me menor do que ou igual a 41 m ?
32 < 3x + 23 ≤ 41 ou3x + 23 > 323x + 23 ≤ 41
2xx + 8
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Álgebra e GeometriaResolvemos cada inequação separadamente e depois procuramos assoluções comuns.
3x + 23 > 323x + 23 ≤ 41
3x + 23 > 32
3x > 32 – 23
3x > 9
x > 3
3x + 23 ≤ 41
3x ≤ 41 – 23
3x ≤ 18
x ≤ 6
Devemos ter, ao mesmo tempo, x > 3 e x ≤ 6
3 < x ≤ 6
0 3 6
> ≤
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Álgebra e Geometria
A ideia de ânguloÂngulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas são seus lados, e o ponto de origem das duas semirretas é seu vértice.
Exemplo:
Ângulo: ou ou .
Lados: e
Vértice: R
Ângulos
P
R
MU
SE
LMA
N /
F1 O
NLI
NE
/ D
IOM
ED
IA
PE
TR J
ILE
K /
SH
UTT
ER
STO
CK
/ G
LOW
IMA
GE
S
12
Álgebra e GeometriaTipos de ângulos
Ângulo raso
Ângulo reto
Ângulo nulo
Ângulo obtuso
Ângulo agudoCA
SA D
E TI
POS
/ AR
QU
IVO
DA
ED
ITO
RA
B
P
R
B C
A
B
E
F
Q
PR
B
O
A
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Álgebra e GeometriaPosições relativas de duas retas em um plano
a e b são retasparalelas (a // b)
r e s são retasconcorrentesperpendiculares(r s)
p e q são retasconcorrentesoblíquas (p q)
a b
s
r p
q
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Álgebra e GeometriaMedida de ângulo
1 volta completa
Ao dividirmos a circunferência em 360 partes iguais, dizemos que a medida da abertura desse ângulo é de um grau e indicamos essa medida por 1º.
volta
de volta de volta
de volta
de volta
15
Álgebra e GeometriaSubmúltiplos do grau: minuto e segundo
1º = 60’1’ = 60’’
Portanto:
Exemplos:
• 0,5º = 30’ • 50,5º = 50º + 0,5º = 50º 30’
• 72’’ = 60’’ + 12 = 1’12’’
1 minuto corresponde a do grau. Representamos 1’.
1 segundo corresponde a do minuto. Representamos 1’’.
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Álgebra e GeometriaOperações com medidas de ângulosAdição de medidas de ângulos:
28º 11’ 35’’+ 10º 40’ 21’’
56”51’38º
3º 11’ 5’’+ 5º 55’ 57’’
62”66’8º8º 67’ 2’’ Trocamos 60’’ por 1’9º 7’ 2’’ Trocamos 60’ por 1º
Subtração de medidas de ângulos:
12º 54’ 59’’– 7º 2’ 30’’
29”52’ 5º
Exemplos:
Exemplos:90º – (2º 10’) 90º 0’
– 2º 10’
60’’89º
87º 50’
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Álgebra e GeometriaMultiplicação de número natural por medida de ângulo:
7º 2’ 20’’ × 2
2º 30’ 32’’ × 2
4º 61’ 4’’14º 4’ 40’’ 64’’60’4º
5º 1’ 4’’
Exemplos:
Exemplos:
Divisão de medida de ângulo por um número natural diferente de zero:
(12º 54’ 50’’) : 2 = 6º 27’ 25’’ (34º 3’ 15’’) : 3Como 34 não é múltiplo de 3, fazemos34º 3’ 15’’ =
(33º 63’ 15’’) : 3 =
33º 63’ 15’’
11º 21’ 5’’
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Álgebra e GeometriaÂngulos congruentes
Dizemos que dois ângulos são congruentes quando eles têm a mesmamedida.
m( ) = 20º m( ) = 20º
Dizemos:
Ângulos adjacentes
Dizemos que eles são adjacentes, pois têm um lado comum ( ), e as regiões determinadas por eles não têm mais pontos comuns.
A
B
C
O
B
CA
E
G
F
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Álgebra e GeometriaÂngulos complementares e ângulos suplementares
Quando a soma das medidas de dois ângulos é 90º, dizemos que eles são ângulos complementares.
Quando a soma das medidas de dois ângulos é 180º, dizemos que eles são ângulos suplementares.
40º + 50º = 90º
70º + 110º = 180º
50º A
40ºB
110º
C
70º
D
20
Álgebra e GeometriaÂngulos adjacentes e suplementares
Adjacentes pela posição de um em relação ao outro. Suplementares porque a soma de
suas medidas é 180º.
A B
C
O
Ângulos adjacentes e suplementares têm um lado comum e os outros dois lados são semirretas opostas, ou seja, formam uma reta.
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Álgebra e GeometriaÂngulos opostos pelo vértice
Conclusão: duas retas com um só ponto comum formam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.
=
=
CA
SA
DE
TIP
OS
/ A
RQ
UIV
O D
A
ED
ITO
RA
22
Álgebra e GeometriaBissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice que determina, com os lados do ângulo, dois ângulos congruentes, ou seja, de medidas iguais.
B C
A
M
A
B
C
M
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Álgebra e GeometriaÂngulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal
As medidas de , , e são mantidas pelos correspondentes , , e ,isto é, a = e, b = f, c = g, d = h.
CA
SA
DE
TIP
OS
/ A
RQ
UIV
O D
A
ED
ITO
RA
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Álgebra e Geometria
Polígonos e seus ângulos
Vamos analisar os seguintes polígonos:
Polígono: Quadrilátero (ABCD)
Ângulo interno é formadopor um lado e pelo prolongamento do outro.
Polígono: Triângulo (EFG)
Polígonos
A B
CD
EE F
G
H
: um dos ângulos externos.
, , e :ângulos internos
: um dos ângulos externos.
Ângulos internos: , e .
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Álgebra e GeometriaTriângulo – soma das medidas de seus ângulos internos
Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180º.
C
A B
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Álgebra e GeometriaQuadrilátero convexo – soma das medidas de seus ângulos internos
Em todo quadrilátero convexo, a soma das medidas dos quatros ângulos internos é igual a 360º.
D
C
A
B
A
B
C
A
C
D
m( ) + m( ) + m( ) + m( ) = 360º
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Álgebra e GeometriaPolígono convexo – soma das medidas de seus ângulos internosObserve:
Triângulo Quadrilátero Pentágono
3 lados 4 lados 5 lados
Soma das medidasdos ângulos internosé 1 . 180º
Soma das medidasdos ângulos internosé 2 . 180º
Soma das medidasdos ângulos internosé 3 . 180º
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por: (n – 2) . 180º
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Álgebra e GeometriaParalelogramo – propriedades de seus ângulos internos
É todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
Em qualquer paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes (têmmedidas iguais) e dois ângulos não opostos são suplementares (soma 180º).
a + b = 180ºc + d = 180ºa = c
b + c = 180ºd + a = 180ºb = da
b c
d
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Álgebra e GeometriaPolígonos regularesRecebem esse nome porque têm todos os lados com medidas iguais (congruentes) e também todos os ângulos internos com medidas iguais (congruentes).
Triângulo regular ou triângulo equilátero
Quadrilátero regular ou quadrado
Pentágono regular
Hexágono regular
Octógono regular
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