Aleksandras Krylovas - techmat.vgtu.ltakrl/Medziaga/Konspektai/... · 1.1.2. Formulės ... Šios...

ii

DISKREIOJI MATEMATIKA

Aleksandras Krylovas

Vilniaus Gedimino technikos universitetas

negalutinis variantas

2008 03 16

Vilnius, 2008

Turinys

Pratarm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixymenys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

1 Logika 11.1. Propozicins formuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. vadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Formuls apibrimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3. Formuls gylis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4. Rekursinis formuls apibrimas . . . . . . . . . . . . 51.1.5. Prefiksinis ir postfiksinis formuls pavidalas . . . . . . 7

1.2. Teigini algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. Teiginio svoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2. Logins operacijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3. Teigini algebros formuls . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Logikos formuli semantika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1. Tautologijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2. Teisingumo lentels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.3. Logikos dsniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.4. Konjunkcijos ir disjunkcijos savybs . . . . . . . . . . 201.3.5. Implikacijos savybs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.6. Tautologij nustatymo taisykls . . . . . . . . . . . . . 211.3.7. Loginis ivedamumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4. Formalizuotas teigini skaiiavimas . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.1. Teising samprotavim taisykls . . . . . . . . . . . . 251.4.2. Aksiominis metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3. Formaliosios teorijos savybs . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5. Predikat logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.1. Kvantoriai ir predikatai . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.2. Operacijos su predikatais . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.3. Termai ir formuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iii

iv TURINYS

1.5.4. Suvarytieji ir laisvieji kintamieji . . . . . . . . . . . . 361.5.5. Predikat skaiiavimo dsniai . . . . . . . . . . . . . . 371.5.6. Aksiomins teorijos svoka . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.7. Formalioji aritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.5.8. Matematins indukcijos principas . . . . . . . . . . . . 431.5.9. Giodelio nepilnumo teoremos . . . . . . . . . . . . . . 45

Klausimai ir uduotys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Pastabos ir komentarai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Bulio funkcijos 492.1. Bendrosios svokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.1. Bulio funkcijos apibrimas . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.2. Vieno kintamojo Bulio funkcijos . . . . . . . . . . . . 502.1.3. Dviej kintamj Bulio funkcijos . . . . . . . . . . . . 512.1.4. Funkcij reikimas formulmis . . . . . . . . . . . . . 52

2.2. Dualumo principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.1. Dualioji funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.2. Dualumo principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3. Normaliosios formos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.1. Disjunkcins ir konjunkcins formos . . . . . . . . . . 592.3.2. Tobuloji disjunkcin normalioji forma . . . . . . . . . 602.3.3. Tobuloji konjunkcin normalioji forma . . . . . . . . . 622.3.4. Logins schemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.5. Karno diagramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4. Pilnosios funkcij sistemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.1. Pilnj sistem pavyzdiai . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.2. Udarosios funkcij klass . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.3. Svarbiausios Bulio funkcij udarosios klass . . . . . 702.4.4. Sistemos pilnumo btinos ir pakankamos slygos . . . 79


3 Aibs 873.1. Aibs ir poaibiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.1.1. Aibs svoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.2. Aibs poaibiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2. Veiksmai su aibmis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.1. Operacij su aibmis apibrimai . . . . . . . . . . . . 933.2.2. Veiksm su aibmis reikimas predikatais . . . . . . . 943.2.3. Operacij su aibmis savybs . . . . . . . . . . . . . . 96

TURINYS v

3.2.4. Aibi Dekarto sandauga . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.3. Aibs galia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3.1. Ekvivaleniosios aibs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3.2. Skaiiosios aibs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.3. Kontinuumo galios aibs . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


4 Sryiai 1094.1. Pagrindiniai apibrimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.1.1. Sryi pavyzdiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.1.2. Binarij sryi savybs . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.1.3. Veiksmai su sryiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.1.4. Sryi sjunga ir sankirta . . . . . . . . . . . . . . . 1214.1.5. Sryi kompozicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.1.6. Sryio tranzityvumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.2. Ekvivalentumo sryiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.2.1. Apibrimai ir pavyzdiai . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.2.2. Ekvivalentumo klass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.3. Tvarkos sryiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.3.1. Apibrimai ir pavyzdiai . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.3.2. Sutvarkytosios aibs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.4. Funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.4.1. Injekcija. Siurjekcija. Bijekcija . . . . . . . . . . . . . 1354.4.2. Perstatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.5. Asimptotiniai sryiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.5.1. Skaii sekos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.5.2. Sryis O didioji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.5.3. Asimpotinio ekvivalentumo sryis . . . . . . . . . . 1434.5.4. Sryis o maoji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.5.5. Asimptotins aproksimacijos . . . . . . . . . . . . . . 147


5 Kombinatorika 1535.1. Baigtini aibi element kombinacijos . . . . . . . . . . . . . 153

5.1.1. Baigtini aibi poaibiai . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.1.2. Perstatos ir lotynikieji kvadratai . . . . . . . . . . . . 155

5.2. Permanentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.2.1. Permanento apibrimas . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

vi TURINYS

5.2.2. Permanento savybs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.2.3. Inversij skaiius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.3. Aibi skaidinai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.3.1. Aibs skaidinys blokus . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.3.2. Aibs skaidinys ciklus . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.4. Kombinatoriniai principai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.4.1. Kombinacij daugybos taisykl . . . . . . . . . . . . . 1725.4.2. Sudties taisykl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.4.3. dties paalinimo principas . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.5. Generuojaniosios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.5.1. Generuojanij funkcij pavyzdiai . . . . . . . . . . 1775.5.2. Generuojanij funkcij savybs . . . . . . . . . . . . 1815.5.3. Fibonaio skaiiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.5.4. Skaii skaidiniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.6. Rekureniosios lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.6.1. Homogenins lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.6.2. Nehomogenin lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189


6 Grafai 1936.1. Pagrindiniai apibrimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.1.1. Multigrafas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.1.2. Paprastasis grafas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.1.3. Neorientuotasis grafas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.1.4. Grafo virni laipsniai . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.2. Graf jungumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.2.1. Marrutai ir grandins . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.2.2. Grafo jungiosios komponents . . . . . . . . . . . . . . 2016.2.3. Jungumo sryys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.2.4. Grafo metrins charakteristikos . . . . . . . . . . . . . 204

6.3. Operacijos su grafais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.3.1. Graf sjunga ir sankita . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.3.2. Pografis ir papildinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.3.3. Grafo virns paalinimas . . . . . . . . . . . . . . . 2086.3.4. Grafo briaunos paalinimas . . . . . . . . . . . . . . . 2096.3.5. Grafo virni sutapatinimas . . . . . . . . . . . . . . 209

6.4. Graf skaidumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.4.1. Grafo sujungimo takai . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.4.2. Grafo blokai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

TURINYS vii

6.4.3. Skirianioji aib ir kirpis . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.5. Grafo ciklai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.5.1. Karaliauiaus tilt udavinys . . . . . . . . . . . . . . 2186.5.2. Oilerio grafas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.5.3. Oilerio ciklo konstravimas . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.5.4. Hamiltono grafas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.5.5. Briauninis grafas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.5.6. Grafo nepriklausomi ciklai . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.5.7. Grafo ciklomatinis skaiius . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.6. Grafo stabilieji poaibiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.6.1. Vidinis stabilumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.6.2. Iorinis stabilumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.7. Graf izomorfizmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.7.1. Izomorfizmo apibrimas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.7.2. ymtieji ir neymtieji grafai . . . . . . . . . . . . . . 2386.7.3. Graf teorijos invariantai . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.7.4. Graf skaiius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.8. Planarumas ir nuspalvinimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.8.1. Planarieji grafai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.8.2. Planarumo kriterijus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.8.3. Grafo taisyklingas nuspalvinimas . . . . . . . . . . . . 2456.8.4. Grafo chromatinis skaiius . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.8.5. Planarij graf nuspalvinimas . . . . . . . . . . . . . 247

6.9. Graf matricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.9.1. Gretimumo matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.9.2. Incidencij matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

6.10. Orientuotieji grafai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.10.1. Pusmarrutis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.10.2. Stiprumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.10.3. Branduolys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.10.4. Srautas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254


7 Algoritmai 2597.1. Algoritmo svoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

7.1.1. Euklido algoritmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.1.2. Bendrieji algoritmo parametrai . . . . . . . . . . . . . 260

7.2. Tiuringo maina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.2.1. Tiuringo mainos apraymas . . . . . . . . . . . . . . 261

viii TURINYS

7.2.2. Rekursyviosios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657.2.3. Rekusryvij funkcij skaiiavimas Tiuringo maina . 267

7.3. Pseudokodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.3.1. Algoritm uraymas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.3.2. Pseudokodo operatoriai . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

7.4. Algoritm sudtingumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.4.1. Sudtingumo svoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.4.2. Polinominis sudtingumas . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.4.3. Sunkieji udaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Klausimai ir uduotys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Pastabos ir komentarai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

TURINYS ix

Pratarm

Pavadinimas diskreioji matematika (lotynikas odis discretus reikiaatskiras) skam-

ba lyg ir provokuojaiai, tarsi nurodant jos prieprie kit matematik, ne diskreij,tolydij. Ir toks i odi suvokimas nra klaidingas, nors vadinti matematik to-lydija kiek neprasta. Bet neprasta tik dl istorikai susiformavusi termin auktojimatematika, matematin analiz, diferencialinis ir integralinis skaiiavimai. O vis idalyk pagrind, branduol formuoja btent tolydumo prielaida. Vis pirma, nepriklau-somas kintamasis gyja ne tik atskirsias, diskreisias reikmes, bet, daug svarbiau, kadtokios reikms aplinkoje kintamasis gyja ir visas jai artimas reikmes itisai, nenutrks-tamai, tolydiai. Prisiminkime, kad realij skaii tiess atkarpoje [0, 1] egzistuoja begalo daug skaii (tarp bet kuri dviej skirting skaii x < y visada yra kitas jiemsnelygus skaiius z : x < z < y): j yra tiek daug, kad realiaisiais skaiiais upildomivisi ios atkarpos takai bet kur jos tak vienareikmikai galima nurodyti realiuojuskaiiumi ir atvirkiai realj skaii taip pat vienareikmikai vaizduojame atkarpostaku. Toks nepriklausomo kintamojo nenutrkstamumas leidia padaryti kit ingsn irapibrti priklausomo kintamojo funkcijos rib ir kai ji sutampa su funkcijos reik-me, pastaroji vadinama tolydija. Tolydiosios funkcijos reikms fiksuotame take irjos reikmi artimuose takuose skirtumas vadinamas funkcijos pokyiu ir nyksta, kainagrinjama vis maesn tako aplinka (pereinama prie ribos). Taigi funkcij rib teori-jai, kaip ir ant jos pamat

statomiems diferencialiniam ir integraliniiam skaiiavimams,

visikai pagrstai tinka pavadinimas tolydioji matematika. domu pastebti, kad iemsabiem skaiiavimams vystytis ir susiformuoti iuolaikiniu pavidalu nepaprast vaidmensuvaidino Leibnico1 darbai, kuri esm buvo pagrsti perjim nuo baigtini (diskreij)prie begalini (tolydij) struktr. ios struktros yra algebros matematikos dalies,nagrinjanios vairiausi reikini pertvarkius, veiksmus, formas, objektas.

Antra vertus, pertvarkom algebrini reikini prigimtis antraeilis klausimas. Taisreikiniais gali bti ir tolydiosios funkcijos polinomai, ir abstraktieji operatoriai, ir na-tralieji skaiiai. Pastarj diskretikumas akivaizdus, taiau juos nagrinjanti skaiiteorija yra tradicinis, klasikinis algebros skyrius. Kiti rykiai diskreiojo pobdio ma-tematiniai udaviniai atsiranda gerai inomoje kombinatorikoje, nagrinjanioje daiktpasirinkim i tam tikro rinkinio ir j skirting dstini kombinacijas.

Taigi ir klasikinje matematikoje yra srii, kurioms bdingas diskretikumas ir todlreikalaujani atitinkam tyrimo metod. ios sritys atsirado senovs matematikoje, buvojos dalimi, vystsi kartu su matematikos mokslu. Taiau XX amiaus viduryje diskreiojimatematika formuojasi kaip savarankika matematikos sritis. atsiskyrim, vis pirma,paskatino nauj moksl kibernetikos ir informatikos atsiradimas. Antra, kompiuterinstechnikos pltra sudar prielaid praktini udavini sprendimui. O tai slygojo algoritm,duomen saugojimo ir perdavimo, informacijos apdorojimo tyrimus.

Diskreija matematika arba diskreija analize vadinama matematikos sritis, tyrin-janti matematikos diskreisias struktras ir realij reikini diskreiuosius matematiniusmodelius. Nagrinjamos diskreiosios struktros gali bti ne tik baigtins, bet ir begali-ns, taiau skaiiosios2 aibs. Taigi baigtines struktras tyrinjanti baigtin matematika

1Gottfried Wilhelm Leibniz (16461716) vokiei filosofas ir matematikas2Toki aibi elementai gali bti sunumeruoti, t. y. kiekvienam aibs elementui pri-

skiriamas natralusis skaiius bei skirtingiems elementams priskiriami skirtingi skaiiai(r. 3.3.2. 101 psl.)

x TURINYS

yra tik siauresn diskreiosios matematikos dalis.Diskreiosios matematikos sritys, be mintosios kombinatorikos, yra graf teorija ir

matematin logika. Vienas i svarbiausi matematins logikos klausim yra udaviniisprendiamumas, tiriamas algoritm teorijos metodais. Diskreiosios matematikos ypa-tumas yra tas, kad baigtini struktr udavini isprendiamumas danai bna akivaiz-dus, ir sprendinys teorikai randamas vis variant perrinkimu. Taiau dl milinikovariant skaiiaus tai praktikai nemanoma. Todl svarbu inoti, ar egzistuoja efekty-vesni udavinio sprendimo algoritmai. iuos klausimus nagrinja udavini sudtingumoteorija.

Ivardykime ir kitus diskreiosios matematikos skyrius: informacijos kodavimas, baigti-niai automatai, formaliosios gramatikos ir kt. Praplsdami diskreiosios matematikosobjekt, galtume jai priskirti ir kai kuriuos skaii teorijos, skaiiavimo matematikos,tikimybi teorijos, matematinio programavimo klausimus.

Kol moksliniai tyrimai apsiribodavo teoriniais algoritm teorijos klausimais, prakti-nio udavinio sprendimo laikas, naudojam kompiuteri atmintis ir kiti panas dalykainebuvo aktuals. Kompiuterins technikos pltra suteik praktines galimybes realiemsdiskreiojo pobdio udaviniams sprsti ir paskatino matematik domjimsi diskre-iosios matematikos problemoms. Todl pastaraisiais metais diskreiosios matematikoskursas vis daniau traukiamas auktj mokykl mokymo programas, ruoiant ne tikmatematikus ir informatikus, bet ir ininierius.

Palyginus su tradiciniais auktosios matematikos kursais, diskreioji matematika yranaujas ir dstymo metodikos poiriu dalykas, nepakankamai aprpintas didaktine me-diaga. Matematikams skirtuose vadovliuose dstomi atskiri diskreiosios matematikosskyriai: matematin logika, Bulio funkcijos, kombinatorin analiz, aibi, sryi, graf,informacijos kodavimo, algoritm ir kitos teorijos. Tai primena auktosios matemati-kos palyginim su atskirai dstomais analizins ir diferencialins geometrijos, algebrosir skaii teorijos, diferencialinio ir integralinio skaiiavim, diferencialini lygi ir lyg-i dalinmis ivestinmis kursais. Auktosios matematikos kurs turinio, formuluojamteorem bendrumo, rodym grietumo lygio, teikiam pavyzdi bei tipini udavinisunkumo didaktini klausim paprastai nekyla, ir nauj mokomj knyg bei vadovliautoriai laikosi maiausiai per 6 7 pastaruosius deimtmeius susiklosiusi tradicij.Taiau diskreioji matematika toki tradicij dar neturi net dalyko turinio atvilgiu irivardyti didaktikos klausimai neisprsti ne tik lietuvi, bet ir kitomis kalbomis paray-toje diskreiosios matematikos mokomojoje literatroje. Pastebkime, kad lietuvi kalbaileistas tik vienas (Kauno technologijos universitete) diskreiosios matematikos vadovlis[1], kur pagrindinis dmesys skirtas diskreiosios matematikos, daugiausiai graf teori-jos udavini sprendimo algoritm sudarymui. Vilniaus universitetas ileido dvi mokymopriemones: 1989 m. [2] ir 2003 m. [3] (elektroniniu pavidalu3 ). Mums inomas tik vienaslietuvi kalba ileistas diskreiosios matematikos udavinynas [4] ir jo antrasis papildytasvariantas [5].

Paminkime kelet inom autoriui diskreiosios matematikos vadovli angl [6], [7],[8][9] ir rus [10], [11] kalbomis. Daugiau literatros nuorod ir komentar pateikiama

3Daug mediagos galima rasti Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakul-teto dstytoj elektroniniuose konstektuose:http://www.mif.vu.lt/katedros/ttsk/bylos/man/man.html;http://www.mif.vu.lt/katedros/cs/Staff/VisiI.htm;http://www.mif.vu.lt/katedros/matinf/asm/vs/vs0.htm.Taip pat autoriaus studij puslapyje: http://inga.vgtu.lt/ akrl/

TURINYS xi

kiekvieno vadovlio skyriaus pabaigoje.Autorius daug met dsto diskreiosios matematikos ir algoritm teorijos kursus Vil-

niaus Gedimino technikos universiteto Fundamentinio mokslo fakulteto studentams, odiskreij matematik dar ir Elektronikos fakultete. ios patirties taka vadovliui yradidel. 2003 m. buvo ileisti autoriaus diskreiosios matematikos dstomo kurso konspek-tai [12], [13], o 2004 m. j pertvarkytas variantas [14]. ie konspektai sudar 2005 m.ir 2006 m. ileist mokomj knyg [15], [16] pagrind. Vadovlis kartoja i mokymopriemoni mediag, taiau j turinys yra smarkiai praplstas, papildytas naujais skyriais,pavyzdiais ir udaviniais, dstymo stilius yra gerokai detalesnis.

Diskreiosios matematikos udavini sprendimo algoritm krimas, analiz, taikymypatumai sudaro pakankamai savarankik objekt ir mokslo, ir mokymo prasme. Todlalgoritm dalies apimties ir dstymo stiliaus pasirinkimo klausimai diskreiosios matema-tikos vadovliuose sprendiami gana vairiai. Kartais algoritm tekstai uima labai didel,vos ne pagrindin knygos dal (pvz. [1], [17]), kartais j vieta gerokai kuklesn. iamevadovlyje algoritmams skirtas paskutinis skyrius. Minjome, kad kombinatorikos, grafteorijos, kit diskreiosios matematikos skyri udavinius teorikai galima isprsti varian-t perrinkimu, taiau praktikoje tai yra nemanoma dl j didelio skaiiaus. Tuo tarpugeri sprendimo algoritmai danai apskritai nra inomi, ir todl svarbu ne tik sudaryti irrealizuoti udavinio sprendimo algoritm, bet ir gebti j tirti. Autoriaus ilgiamet diskre-iosios matematikos dstymo patirtis rodo, kad gilesnio poirio algoritmus btinumasne visada pakankamai suprantamas ir tai yra rimta diskreiosios matematikos metodtaikytoj ini spraga. Todl pagrindinis dmesys skiriamas bendriems algoritm teorijosklausimas, o konkrei algoritm nagrinjima nedaug. Atkreipkime skaitytojo dmes netpenki algoritmams skirt prof. R. iegio vadovli serij. Bet kurio, ypa skaiiavimomatematikos, udavinio sprendimo algoritmas numato atliekamo darbo diskretizavim iskaidym atskirus veiksmus. Todl R. iegio skaiiavimo matematikos vadovliuose[18], [19] nemaai dmesio skiriama algoritmams, o jo vadovliai [20], [21], [22] tiesiogskirti algoritm teorijai ir j taikymams.

Vadovlyje daug dmesio skiriama pai udavini formulavimui ir teisingam suprat-imui, detaliai nagrinjami ma dimensij atvejai, kai udavinys sprendiamas tiesioginiuvariant perrinkimu. Teisingai suprasti udavin pads kiekvieno skyriaus pabaigoje pa-teikiamos uduotys ir ini pasitikrinimo testai. Visi test klausimai turi pateiktus atsa-kym variantus, i kuri teisingas yra tik vienas. Skaitytojas juos ras vadovlio 279 284puslapiuose. Skaitytojui pravers ir surayti lentel ymjimai, detali dalykin rodykl.Kiekvieno vadovlio skyriaus pabaigoje pateikti cituotos ir papildomos literatros komen-tarai. Kad palengvinti literatros paiek, nurodme knyg ISBN. Turdami galvoje, kadvadovlio skyriai bus skaitomi nebtinai j pateikimo tvarka, mes danai naudojame va-dovlio nuorodas kitas teksto vietas. Vis dlto rekomenduojame pirma susipainti supirmojo matematins logikos skyriaus mediaga, kuria nuolat remiams dstydamikitus vadovlio skyrius.

Vadovlis parengtas parmus Lietuvos valstybiniam mokslo ir studij fondui

Autorius

xii TURINYS

TURINYS xiii

ymenys

ymenys Paaikinimai Puslapiai4

neigimas login operacija;tekste naudojama kaip sutrumpinimas:A

netiesa, kad A

11

&konjunkcija login operacija;sutrumpinimas: A & B

A ir B;

kartu A ir B

11

disjunkcija login operacija;sutrumpinimas: A B

A arba B;

bent vienas i A, B

11

implikacija login operacija;sutrumpinimas: A B

jei A, tai ir B;

i A iplaukia B

11

ekvivalentumas login operacija;sutrumpinimas: A B

A tada

ir tik tada, kai B;

A ir B arba karu teisingi,

arba kartu klaidingi

11

sudtis moduliu du login operacija 13

egzistavimo kvantorius;keiia odius

yra,

egzistuoja

31

!egzistuoja vienintelis; 31

bendrumo kvantorius;keiia odius

kiekvienas,

bet kuris

31

P+ predikato P teisingumo aib; 32

4Vadovlio puslapiai, kuriuose aikinamos svokos ir j ymenys.

xiv TURINYS

ymenys Paaikinimai Puslapiai

:===! =

:= priskyrimo operacija;mes paprastai laikoms C + + notacijos(r., pavyzdiui, [23]) irymime priskyrim lygybs enklu =;palyginimo operacijos ymimos taip:==

lygu,

! = nelygu

259

:= grietoji disjunkcija;kitas pavadinimas Bulio funkcijos sudtis moduliu du

13

|= tautologija(tapaiai teisinga login formul)

16

= ekvivalenijformuli ymjimas

16

1 skyrius

Logika

1.1. Propozicins formuls

1.1.1. vadas

Diskreiosios matematikos dstym pradedame nuo abstrakios ir tik-riausiai negirdtos propozicins1 formuls svokos. i svoka turt parodytiskaitytojui, kad diskreioji matematika beveik nereikalauja ankstesni (pa-vyzdiui, mokyklins) matematikos kurs konkrei ini. Taiau diskreiojimatematika gali pasirodyti ir pakankamai sunkiu dalyku dl kiek neprastoabstraktaus poirio studijuojamus klausimus. Norime, kad skaitytojasneisigst abstrakcij ir pradt i karto teisingai mstyti. Paaikinsimekas yra propozicin formul. Prisiminkime, kad aritmetikoje, algebroje, taippat, ir fizikoje, chemijoje, ekonomikoje raomos vairios, labai skirtingos sa-vo pavidalu bei turiniu formuls. Formulmis vadiname, pavyzdiui, tokiusreikinius x+ y = z, A B, w3. Raids x, y, z,A,B,w gali reikti ir skaiius,ir matricas, ir, tarkime, cheminius elementus. Vietoje zenkl +, , . . .3 galibti , :, . . .5, arba kiti, pavyzdiui, , , , kuri prasms galime ir neinoti.Mes norsime isiaikinti kas yra formul paiu bendriausiu, abstrakiuoju,kur tik galime sivaizduoti, atveju, kai svarbs tik bendrieji formuli suda-rymo principai ir nenurodoma jokia i formuli interpretacija (turinys).

Supratus, kad abstrakioji propozicin formul yra savotikasindas,

1Lotynikas odis propositio turi daug reikmi: vaizdis, vyriausiasis dsnis, tema,tikslas, trumpas dstymas. Mes vadiname formules propozicinmis nordami pabrti,kad svarbi tik bendroji formuls struktra, jos pavidalas, sudedamj dali (simboli) vie-tos (pozicijos). staius vietoje abstraki simboli konkreius operacij enklus, suteikusabstrakioms raidms gyjani inomas reikmes kintamj prasm, gausime konkretes-nes formules, pavyzdiui, aritmetines, algebrines, logines ir pan.

1

2 1 SKYRIUS. LOGIKA

galsime nesunkiai suprasti ir konkretesndt t ind turin. Tai bus

ms antrasis ingsnis, kai mes pritaikysime propozicini formuli sudarymoprincipus loginms formulms konstruoti: pirma teigini algebros formulms,po to predikat skaiiavimo. Propozicini formuli turin, taip pat, galisudaryti formalij gramatik, dirbtini kalb, abstrakij automat, kitteorij udaviniai.

Mes pamatysime, kad propozicins formuls apibrimas bus kelios vie-nareikmikai aprayt veiksm taisykls arba, kitaip tariant, algoritmas kitas labai svarbus diskreiosios matematikos objektas, kurio vairias pusesnagrinsime visuose vadovlio skyriuose.2 Apibr propozicin formul, pa-bandysime pairti, kiek skirting formuli galsime surayti, jei paimti,pavyzdiui, tik kelias raides ir kelis operacij enklus. Pamatysime, kad tformuli kiekis ne tik didelis, jis auga tiesiog miliniku greiiu. Tai yra svar-biausias diskreiosios matematikos ypatumas teorikai bt galima vienkart perirti visus atvejus ir visiems laikams surayti juos koki duo-men baz. Tada ir teoriniai klausimai nebt doms pakakt tinkamaisuformuluoti uklaus bazei ir suinoti atsakym. Deja, tokiai bazei patal-pinti neutekt ne tik vis egzistuojani pasaulyje kompiuteri atmintiesnet ir tuo atveju jei i atmintis bt milijonais ir milijardais kart didesn.Btent todl reikia suprasti, kad diskreioji matematika nagrinja i pirmovilgsnio paprastus objektus ir j kombinacijas, kuri pradioje yra nedaug.Taiau svarbs kombinacij sudarymo procesai, kurie turi didel pagreit irkuriems analizuoti btini algoritmai.

Taigi ia mes panagrinsime kiek daugiau svok negu tiesiogiai reikskitiems matematins logikos klausimams idstyti, kadangi tai leidia i kar-to paaikinti mintas diskreiosios matematikos problemas.

1.1.2. Formuls apibrimas

1.1 apibrimas. Formaliosios teorijos abcle A vadinami ie sim-boliai

propozicins raids: x, y, z, u, v, w;

propozicins jungtys: ir ;

skliaustai: ( ir ).

2Pastebkime, kad vadovlyje mes danai grtame prie kai kuri svok, nagrinjamekitus j aspektus, rodome naujus taikymus. Tokiais atvejais nurodome atitinkamus vado-vlio puslapius. Skaitytojas kartais gali rasti nuorodas ir vliau nagrinjamus vadovlyjeklausimus. Tada paprastai i karto teikiama btina klausimo supratimui informacija,taiau nurodoma ir kur paminta svoka bus nagrinjama plaiau.

1.1. PROPOZICINS FORMULS 3

Bet kuri apibrtos abcls A simboli seka vadinama odiu.Pavyzdiui, z1 = x(y)uw ir z2 = ((xz)) yra odiai. Kaip ir natralio-

je kalboje ne visi urayti raidmis odiai turi prasm. Formalioje teorijojeiskiriami odiai, sudaryti pagal apibriamas taisykles. Tokie odiai va-dinami formulmis.

1.2 apibrimas. Formulmis vadinami tokie odiai

(1) propozicins raids x, y, z, u, v, w yra formuls;

(2) jei F yra formul, tai (F ) irgi yra formul;

(2) jei F1 ir F2 yra formuls, tai (F1F2) irgi yra formul;

(3) nra formuli, gaut ne pagal (1), (2) arba (2) taisykl.

Taigi z1 = x(y)uw yra odis, bet nra formul, o odis z2 = ((xz))yra formul. Pastebkime, kad odis z3 = (xz) formaliai irgi nra formul,kadangi taisykl (2) reikalauja rayti skliaustus. Taiau patogu susitar-ti nerayti iorini skliaust, kadangi jie neteikia jokios informacijos.Todl susitarkime, kad odis z3 irgi yra formul.

1.1 pastaba. Propozinins formuls 1.2 apibrime galima pakeistiraidi ir jungi kiek bei ymenis.

1.1 pavyzdys. Paimkime tokias propozines jungtis +, , , :ir gausime gerai inomas aritmetines operacijas:

x+yzuvw2

= ((x+ y) : (z u)) : ((v : (w w))) .

Paymkime vienvietes3 aritmetines operacijas, pavyzdiui, taip: z2 =2z, z3 = 3z, z4 = 4z. Tada aritmetin reikin galima perrayti:

x2y3w4 = (((2x) (3y)) (4w)).Pastebkime, kad jei paymti (klimo laipsniu) operecij kitaip, galima tpai formul perrayti x2 y3 w4 arba x2 y3 w4. Tai yra susitarimo reika-las! Taigi propozicins formuls apibrime (F ) yra kakokios abstrakios(mums visai nerikia inoti kok veiksm i operacija atlieka) unariosios ope-racijos ymuo.

3Vienviets (unariosios) operacijos atliekamos su vienu operandu, dviviets (binario-sios) su dviem, triviets (ternariosios) su trims ir t. t.

4 1 SKYRIUS. LOGIKA

1.2 pastaba. Atkreipkime dmes, kad lygybs enklas (=) nraoperacija, o reikia kit tos paios formuls ymjim, t. y. keiiaodius

Susitarkime, kad t pai formul raysime (ymsime) dar

ir taip.

1.1.3. Formuls gylis

1.3 apibrimas. Formuls dalis, kuri irgi yra formul, vadinamapoformuliu.

Formul F = ((xy)) turi tris poformulius:F1 = x, F2 = y propozicins raids. Jos yra formuls pagal (1) formuls1.2 apibrimo taisykl;F3 = (F1F2) (2) taisykl;F = (F3) (2) taisykl.

rodykime, kad odis z = ((xy)((uv))) yra formul. Iskiriame for-muls z poformulius: F1 = x, F2 = y, F3 = u, F4 = v, F5 = (F1F2),F6 = (F3F4), F7 = (F6), z = (F5F7). Taigi formul z gauta pagal (1),(2) ir (2) taisykles.

Matome, kad analizuodami formul, galime iskirti tokius poformulius

(F 0) propozicins raids;

(F 1) formuls, gautos i propozicini raidi, vien kart pritaikius (2)arba (2) taisykl;

(F 2) formuls, gautos i propozicini raidi arba i gaut pagal (F1), vienkart pritaikius (2) arba (2) taisykl (jei, jos dar nebuvo gautos F 0

ir F 1 ingsniais);

(Fn) formuls, gautos i vis anksiau gaut (F 0) (Fn1) formuli, vienkart pritaikius (2) arba (2) taisykl (jei jos dar nebuvo gautos).

Taigi bet kuri formul gausime atlikus tam tikr ingsni skaii n:(F 0), (F 1), . . ., (Fn).

1.4 apibrimas. Formuls F gyliu vadinamas maiausias skaiius n, kaiatlikus ingsnius (F 0), (F 1), . . ., (Fn) gaunama formul F .


Raskime formuls F = ( (( (x y) ) ( (u v) )) ) gyl.Uraykime visus formuls F poformulius, kai virutinis indeksas reikia po-formulio gyl:

(F 0) F 01 = x, F02 = y, F

03 = u, F

04 = v;

(F 1) F 15 = (F01 F

02 ), F

16 = (F

03 F

04 );

(F 2) F 27 = (F15 ), F

28 = (F

16 );

(F 3) F 39 = (F27 F

28 );

(F 4) F = (F 39 ).

Taigi formuls F gylis lygus keturiems.

1.3 pastaba. Itirtos formuls F gylis atsitiktinai sutapo su raidi x, y,u, v skaiiumi 4.

Tai nesunku patikrinti tokiais pavyzdiais (neraome iorini skliaust).Vis si formuli gylis lygus trims.

( (x1 x2)) ( (x3 x4) );

( (x1 x2)) ( (x1 x2) );

( ( (x1 x2)) (x1 x2) ).

1.1.4. Rekursinis formuls apibrimas

Apibrkime formul algoritmikai, t. y. nurodykime atliekam veiksmtvark, kad gauti formuli aib.4 Tarkime, kad turime propozicines raides,kurias paymkime x1, x2, . . ., ir dvi propozicines jungtis: , . Visas galimasformules F gauname teorikai be galo daug kart taikydami taisykles (X)ir (Y Z). ia X, Y , Z bet kurios jau sukonstruotos formuls. Taigi turimenulinio gylio formules F0 = {x1, x2, . . .}, o vis auktesni gyli formulesgauname taip: imame visas jau gautas formules ir taikome taisykles (X),(Y Z). Jei gauname nauj formul, tai jos gylis bus vienetu didesnis neguiki iol turimas maksimalus gylis.

4ia mes suprantame aib kaip j sudarani formuli sras. enklas reikia aibisjung (r. 3.2.1. 93 psl.): A B visos formuls, kurios buvo aibje A, aibje B, arbair ten, ir ten. T pai aibs element (formuli) du kartus neraome.

6 1 SKYRIUS. LOGIKA

1.2 pavyzdys. Suraykime visas nulinio ir pirmojo lygio formules irdal antrojo gylio formuli, kai turime tik dvi raides x1, x2 ir dvioperacijas , :

F0 = {x1, x2};F1 = F0 {(x1), (x2), (x1x1), (x1x2), (x2x1), (x2x2)};

F2 = F1{((x1)), ((x2)), ((x1x1)), ((x1x2)), ((x2x1)), ((x2x2)),((x1)x1), ((x1)x2), (x1(x1)), (x2(x1)),

((x2)x1), ((x2)x2), (x1(x2)), (x2(x2)), . . .

. . . , ((x2x2)(x2x2))}

Teorikai galime konstruoti bet kurio gylio formules ir kai turime be galodaug kintamj (raidi). Suformuluokime rekursin formuli sudarymoalgoritm kaip formal apibrim. Pradioje turime nulinio gylio formules(raidi aib). Tarkime, kad padarme n insni ir pagaminome visas n-ojogylio formules. Tada galime atlikti n+1-j ingsn ir gaminame visas n+1-ojo gylio formules. Vis formuli (begalin) aib gaunama kaip vis gyliformuli aibi sjunga.

1.5 apibrimas. (rekursinis) F0 = {x1, x2, . . .};

Fn+1 = Fn {(X), X Fn} {(Y Z), Y, Z Fn};

F = n=0,1,...

Fn;

Formuls F F gyliu vadinamas skaiius n0 = minFFn

n.

Tarkime, kad turime deimt propozicini raidi x1, x2, . . ., x10 ir dvipropocines jungtis: vienviet (unarij) ir dviviet (binarij) . Tadaturime deimt nulinio gylio formuli

F0 = {x1, x2, . . . , x10}.

Raome |F0| = 10. Pirmojo ir nulinio gylio formuli tursime jau 120:

F1 = {(x1) , . . . , (x10) , (x1 x1) , (x1 x2) , . . . , (x10 x10)} F0.

Taigi turime |F1| = 120 ir kartodami samprotavimus gauname |F2| 1, 4 104. Akivaizdu, kad |F3| 2, 0 108, |F4| 4, 0 1016. Matome,kad formuli skaiius labai greitai auga ir jau penktojo arba etojo gylio


formuli skaiius yra milzinikas, nors ir baigtinis. Todl praktikai nema-noma nustatyti formuls gyl vis pagamint formuli F0, F2, F3, , Fntiesioginiu perrinkimu, nors taip isprsti udavin teorikai galima. Taip patpastebkime, kad nemanoma ir patalpinti tiek formuli bet koki kom-piuteri atmint. Tai yra tipin diskreiosios matematikos problema, kaiudavinys teorikai isprendiamas perrinkus visus variantus, taiau prakti-koje toks sprendimo bdas beprasmis, kadangi i variant labai daug. Dlneaprpiamo variant skaiiaus sprsti panaius udavinius tiesioginiu per-rinkimu nepads ir informacini technologij pltra. Todl vienintel ieitis konstruoti efektyvesnius udavini sprendimo algoritmus! Apie algorit-mus kalbsime beveik visuose vadovlio skyriuose, taiau dar daugiau d-msio skirsime tam, kad udaviniai bt teisingai formuluojami ir teisingaisuprantami. Juk sprsti nesuprast udavin yra beprasmikas usimimas,o teisingai suprasti udavin nemaa jo sprendimo proceso dalis.

1.1 testas

1 Formuls u w gylis yra1 trys; 2 vienas; 3 nulis; 4 keturi; 5 du.

2 Formuls x t gylis yra1 nulis; 2 trys; 3 vienas; 4 du; 5 keturi.

3 Formuls v z gylis yra1 nulis; 2 keturi; 3 du; 4 vienas; 5 trys.

1.1.5. Prefiksinis ir postfiksinis formuls pavidalas

Jau buvome pastebj (r. 3 psl.), kad galima susitarti nerayti ioriniskliaust. Parodykime, kad galime rayti formules ir visai be skliaust!Tarkime, kad x1, x2, . . . propozicins raids, , vienviets propozicinsjungtys, , , dviviets. Tada formules uraome prefiksiniu pavidalu:

(X) = X, (X) = X;(Y Z) = Y Z, (YZ) = Y Z, (YZ) = Y Z.

8 1 SKYRIUS. LOGIKA

Lygybs enklas (=) reikia kit tos paios formuls ymjim. Taigi galimetaip perrayti uraytus prastiniu (infiksiniu) pavidalu formules:

(x1) (x2) = x1x2;(x3)(x4) = x3x4;

((x1) (x2)) = x1x2; ((x3)(x4)) = x3x4;

( ( ((x1) (x2))) ( ( (x3)(x4))) ) == x1x2x3x4.

1.3 pavyzdys. Perraykime formul

: + xy zv wu

infiksiniu pavidalu. Atliekamus pertvarkius rodome skliaustais:

: + xy zv wu =: + xy zv (wu) =

: + xy zv (w u) =: + xy (zv) (w u) =

: + xy (z v) (w u) =: (+xy) (z v) (w u) =

: (x+ y) (z v) (w u) =: ((x+ y) (z v) ) (w u) =

((x+ y) (z v) ) : (w u)

Panaiai apibriamas postfiksinis formuli pavidalas:

(X) = X, (X) = X;(Y Z) = Y Z, (YZ) = Y Z, (YZ) = Y Z.

Taigi bet kuri formul galime parrayti infiksiniu (operacijos tarp ope-rand; reikia skliaust), prefiksiniu (operacijos prie operandus; skiaustnereikia) arba postfiksiniu pavidalu (operacijos po operandu; skliaust ne-reikia).

Pavyzdiui, gerai inom aritmetin formul galma perrayti taip:

(x+ y) z = + xyz = xy + z


Pastebkime dar, kad

xyz + = x (y + z) = x+ yz, xyz + = x+ (y z) = +x yz

Taiau nepamirkime, kad enklai + ir gali reikti ne tik aritmetinius veiks-mus. Jie gali turti ir visai kit prasm, kuri, kai kalbama apie propozicinesformules, visai nesvarbi. Taip pat atkreipkime dmes, kad propozicini (t. y.turini formulje savo vietas pozicijas) raidi eils tvarka visais atvejaisnesikeiia.

1.2 testas

1 w&s x t =

1 w&(s(xt));2 ((w&s)x)t;3 (w&(sx))t;4 (w&s)(xt);5 w&((sx)t).

2 v t&r q =

1 (v(t&r))q;2 ((vt)&r)q;3 v(t&(rq));4 v((t&r)q);5 (vt)&(rq).

3 |u qv = 1 uqv|; 2 uqv|; 3 uqv|; 4 uq|v.

4 & guq = 1 guq&; 2 guq&; 3 guq&; 4 gu&q.

5 (q r) s = 1 sqr; 2 sqr; 3 qrs; 4 qrs.

6 g (w z) = 1 wzg; 2 gwz; 3 gwz; 4 gwz.

10 1 SKYRIUS. LOGIKA

1.2. Teigini algebra

1.2.1. Teiginio svoka

Logika nagrinja mstymo dsnius, utikrinanius jo taisyklingum, t. y.apibrtum, neprietaringum, nuoseklum, pagrstum. Viena pagrindi-ni, bazini, pirmini logikos svok yra teiginys toks sakinys, tvirti-nimas, reikimas, kuris visada yra arba teisingas, arba klaidingas. Pa-vyzdiui, sakinys

2>5 klaidingas ir todl yra teiginys. Sakiniai

mokykis

arbanerkyk nra teiginiai. Sakinys

= irgi nra teiginys, kadangi

jis gali bti ir teisingas, ir klaidingas, priklausomai nuo ir reikmi.5

Pateiksime kitus teigini pavyzdius:T1 =

Kaunas nra Lietuvos sostin.T2 =

Vasaris yra iemos mnuo.T3 =

yra iracionalusis skaiius.T4 =

Jonas Petraitis nra technikos universiteto studentas.

Nagrinjam logikoje samprotavim turinys nra svarbus: logika domisiteising samprotavim sudarymo formomis. Todl svarbios yra tik teiginireikms: tiesingas arba klaidingas, kurios ymimos

TRUE,

FALSE,

T,

F,

t,

k,

1,

0, . . . ir vadinamos loginmis konstantomis.

Abstraktieji teiginiai ymimi raidmis su indeksais arba be j: A,B, . . .,c, d, e, . . ., f1, h2, . . . ir vadinami loginiais kintamaisiais.

1.6 apibrimas. Tarkime, kad kintamasis x gyja dvi reikmes t tiesa arba k klaida (raome6 x {t, k}). Tada x vadiname loginiukintamuoju.

Taigi teigini T1, T2, T3 reikm yra tiesa, o teiginio T4 reikms mes

galime ir neinoti. Todl tokius teiginius kartais patogiau laikyti loginiaiskintamaisiais.

1.2.2. Logins operacijos

Matematin logika nagrinja matematini samprotavim formas ir pla-iai naudoja simbolius bei formules. I teigini, kuriuos galima pavadintipirminiais, elementariais arba loginiais kintamaisiais, sudaromi nauji, sud-tiniai teiginiai. Naujiems teiginiams sudaryti apibriamos logins opera-

5Tokio pavidalo sakiniai vadinami predikatais ir bus nagrinjami vliau (r. 1.5.1.)31 psl.

6Skaitomex priklauso aibei {t, k} arba

x yra aibs

{t, k} elementas; r. 3.1.1.

87 psl.

1.2. TEIGINI ALGEBRA 11

cijos, kurios formalizuoja matematini teorem rodymus. Tarkime, kad xir y yra teiginiai (loginiai kintamieji). Atliekant su x ir y logines operacijas(veiksmus), gaunami nauji teiginiai.

1.7 apibrimas. Teiginio T neigimu vadinamas naujas teiginys,kur ymime T arba T ir skaitome

ne T,

netiesa, kad T. Kai

loginio kintamojo T reikm yratiesa, tai kintamojo T reikm yra

klaida, ir atvirkiai, kai T

klaida T

tiesa.

neigimo operacijos apirim patogu urayti tokia lentele

T T

k tt k

Pavydiui, kai T1 =Kaunas nra Lietuvos sostin, teiginys T 1 skaito-

masnetiesa, kad Kaunas nra Lietuvos sostin ir yra klaidingas.

Neigimo operacija atliekama su vienu kintamuoju. Priminsime (r. 3 psl.),kad tokia operacija vadinama unarija arba vienviete. Kitos logins ope-racijos atliekamos su dviem kintamaisiais ir vadinamos binariosiomis arbadvivietmis.

Apibrimai (binariosios logins operacijos):

disjunkcija ymima (skaitomax arba y): teiginys x y yra teisingas,

kai teisingas bent vienas i teigini x, y (t. y. teisingas yra bent kurisnors i x, y, taiau jie gali bti teisingi ir abu);

konjunkcija ymima & (skaitomax ir y): teiginys x & y yra teisingas,

kai teisingi abu teiginiai x, y (t. y. teisingas ir x, ir y);

implikacija ymima ( skaitomajei x, tai y arba

i x iplaukia y):

teiginys x y yra klaidingas tik tuo atveju, kai teiginys x yrateisingas, o y klaidingas (t. y. implikacija klaidinga kai i tiesosiplaukia melas, o visais kitais avejais implikacija yra teisinga 7);

7Paaikinkime implikacijos gyjam reikmi pagrstum tokiu pavyzdiu. Tvas paa-djo snui studentui:

Jei ilakysi diskreiosios matematikos egzamin, padovanosiu tau

nauj kompiuter. paad (P ) galime urayti implikcijos pavidalu: P = E K.Galimi tik tokie keturi atvejai.(1) E = k, K = k: snus neilaik egzamino; tvas jam nenupirko kompiuterio;


ekvivalentumas ymima (skaitomax tada ir tik tada, kai y): teiginys

x y yra teisingas, kai abu teiginiai x, y yra teisingi arba abuklaidingi (dar sakome, kad slyga x yra btina ir pakankama8 slygaiy.

Suraykime apibrtas logines operacijas lentel.

x y x y x & y x y y x x y

k k k k t t t

k t t k t k k

t k t k k t k

t t t t t t t

Taigi jei raide J paymtas teiginysJonas yra studentas, P

Petras

yra studentas, tai teiginys J P skaitomasJonas arba Petras yra stu-

dentas ir reikia, kad kuris nors i j, arba jie abu yra studentas. T. y.studentas bent vienas i j. Todl login operacija

arba disjunkcija

() neprietarauja operacijaiir konjunkcijai (&). Teiginys J & P skai-

tomasJonas ir Petras yra studentai ir reikia, kad jie abu (t. y. ir vienas,

ir kitas) yra studentai. Teiginys J P skaitomasjei Jonas yra studentas,

tai ir Petras studentas, t. y. i prielaidos, kadJonas yra studentas gali-

ma padaryti ivad, kad irPetras yra studentas. Teiginio J P prasm:

Jonas ir Petras arba abu yra, arba abu nra studentai.

Dar kart pastebkime, kad teigini turinys visai nesvarbus ir gali ne-turti prasms. Pavyzdiui, teiginys

Jei Kaunas Lietuvos sostin, tai visi

(2) E = k, K = t: snus neilaik egzamino; tvas jam vis dlto nupirko kompiuter;(3) E = t, K = k: snus ilaik egzamin; tvas, nors ir adjo, taiau nenupirko jamkompiuterio;(4) E = t, K = t snus ilaik egzamin; tvas, kaip ir adjo, nupirko jam kompiuter.Matome, kad treiuoju (3) atveju tvas pasak neties ir P = k. Akivaizdu, kad ket-virtuoju (4) atveju jis sak ties ir P = t. Pirmuoju (1) atveju tvo paadas irgi buvotiesa (P = t), kadangi jis adjo nupirkti kompiuter, jei snus ilaikys egzamin, bet tasneilaik. Todl jis kompiuterio ir nenupirko ir jo paadas nebuvo melas. Svarbu suprasti,kad tvo paadas nra melas ir antruoju (2) atveju, kadangi jis nupirko kompiuter, ne-irdamas snaus neskm egzamine. Juk jis gi adjo nupirkti kompiuter, jei snusilaikys egzamin, bet nesak, kad nepirks kompiuterio, jei tas neilaikys. Taigi antruoju(2) atveju P = t.

8Jei turime implikacij x y, tai sakome, kad slyga y yra btina slygai x (kitaipx negali bti teisinga), o slyga x yra pakankama slygai y (jos pakanka, kad teiginys ybt teisingas).


skaiiai yra neigiami uraomas matematins logikos simboliais k k iryra teisingas.

Antra vertus, konkrei samprotavim login analiz ne tik turi pras-m, bet ir padeda rasti klaidas. Inagrinkime tokius samprotavimus.

Jei

studentas lankys diskreiosios matematikos paskaitas ir atliks privalomasuduotis, tai jis ilaikys egzamin. Studentas X lank diskreiosios mate-matikos paskaitas, taiau neatliko uduoi. Todl jis neilaikys egzamino.Raskime i samprotavim klaid. Paymkime P teigin

Studentas X

lank diskreiosios matematikos paskaitas, U teiginStudentas X atliko

privalomas diskreiosios matematikos uduotis, E=Studentas X ilaikys

egzamin. Tada pirmj sakin uraome tokios implikacijos pavidalu

P & U Eir laikome teisinga9 samprotavim schema (arba teisingu slyginiu teiginiu).Tada inome kintamj P , U reikmes P = t, U = k ir turime samprotavi-mu schem: (t&k E) = t. Bet i ia neiplauka, kad E = k, kadangiimplikacija bus teisinga ir kai E = t. Tai ir rodo samprotavim login ne-pagrstum. Samprotavimai klaidingi ir turinio prasme, kadangi studentaskartais gali ir atsitiktinai ilaikyti egzamin.

1.4 pastaba. Disjunkcija kartais yra vadinama logine suma, o kon-junkcija logine sandauga. Jei logines konstantas k ir t paymti 0ir 1 bei simbolius 0 ir 1 irti kaip skaiius, tai x & y = x y,x y = x yx y. Operacija vadinama sudtimi moduliu du:0 0 = 0, 1 1 = 0, 0 1 = 1 0 = 1. Sudtis moduliu dukartais vadinama grietja disjunkcija ir ymima .

1.5 pastaba. Implikacij galima apibrtiiomis ivedim taisyklmis:a) i teisingos prielaidos (antecedento) iplaukia tik teisinga ivada(konsekventas);b) klaidinga ivada iplaukia tik i klaidingos prielaidos.

1.6 pastaba. Logins operacijos literatrojegali bti paymtos ir kitaip:, (neigimas), (konjunkcija), , (implikacija), , , = (ekvi-valentumas).

9Dar kart pabrkime, kad logika nenagrinja teigini teisingumo turinio prasme.Urayta formul suprantama, kad i teisingos prielaidos iplaukia teisinga prielaida ir ne-taikoma teigini turinio analizei. Pavyzdiui, pats paskait lankymo faktas dar nereikia,kad studentas gavo pakankamai informacijos ir j teisingai suprato.


1.3 testas

1

Kuri login operacija () apibrta lentele?x z x zk k tk t tt k kt t t

1 x z ;2 x z ;3 x z ;4 x&z .

2

Kuri login operacija () apibrta lentele?v r v rk k tk t kt k kt t t

1 v&r ;2 v r ;3 v r ;4 v r .

31. implikacija A. 2. disjunkcija B. &3. konjunkcija C.

1 ABC; 2 BCA;3 CBA; 4 ACB;5 BAC; 6 CAB.

41. A. ekvivalentumas2. B. neigimas3. C. implikacija

1 CBA; 2 ACB;3 ABC; 4 BAC;5 CAB; 6 BCA.

1.2.3. Teigini algebros formuls

Panaiai kaip nagrinjome propozicines formules (r. 1.1 apibrim2 psl.) apibriame logikos formules. Kadangi propozini jungi ymnysir j kiekis i esms nekeiia apibrimo (r. 1.1 past. 3 psl.), paimkimejau inagrint logini operacij simbolius: , &, , , . Taiau mesnereikalaujame, kad ios operacijos bt kaip nors apibrtos. Todl iasoperacijas bus galima apibrti (kai norsime palyginti dviem skirtingaisbdais konstruojamas teorijas; r. 1.6 teorem 30 psl.) taip, kaip anksiau(12 psl. lentel), bet tai nra btina. Pavyzdiui, galima nagrinti dau-giareikm logik (1.10 pavyzdys 30 psl.). Pakartokime, kad propozicins


formuls apibriamos nesiremiant jokia j interpretacija.

1.8 apibrimas. Teigini algebros abcle vadinama aib

A = {a, b, . . . , A,B, . . . , x1, , Y2, ,

, &, ,, ,

( , ) }.Aibs A elementai loginiai kintamieji, logins operacijos bei skliaus-tai vadinami raidmis.

1.9 apibrimas. Formuls apibriamos j sudarymo taisyklmis:(1) a, b, . . . , A,B, . . . , x1, , Y2, yra formuls;(2) jei A yra formul, tai (A) formul;(3) jei A ir B yra formuls, tai

(A&B), (A B), (A B), (A B) formuls;(4) kit formuli nra.

odis z1 = A&B nra sudarytas pagal (1)-(4) taisykles ir todl n-ra formul. Nordami j pataisyti, turime rayti papildomus skliaustus:z1 = (A&(B)). Taiau i skliaust prasm akivaizdi ir jie yra praktikainereikalingi. Todl galima susitarti nerayti iorini skliaust (r. 3 psl.)Tada z1 = A&(B) yra formul.

Dar svarbesnis yra susitarimas dl logini operacij prioriteto (pirme-nybs10). Operacijos , &, , , suraytos prioriteto majimo tvarka,t. y. neigimas () turi aukiausi prioritet, o ekvivalentumas () e-miausi. Tada, jei A&(B) yra formul, tai ir A&B yra ta pati formul.Jei (A&B) C yra formul, tai A&B C irgi yra ta pati formul.

Atkreipkime dmes, kad operacij prioritet nustatymas neleidia visaiatsisakyti skliaust. Pavyzdiui, formul AB&C reikia tik antr i dvieji esms skirting formuli: x = (AB)&C arba y = A (B&C). Formuliuraymas be skliaust pavidalu

operacija operandai vadinamas prefik-

siniu, o kitas pavidalas operandai operacija postfiksiniu (tradicinis

pavidalas su skliaustais infiksinis). Prefiksinis bei postfiksinis formulipavidalai leidia visai nerayti skliaust. Pavyzdiui, prefiksiniu pavidaluurayt formul x = & ABC galima perrayti taip: x = &wC = w&C.

10Prisiminkime, kad aritmetin skaii daugybos () operacija turi didesn prioritet,negu sudties operacij (+). Todl paprastai neraome skliaust, kai x y + z = (x y)+ z.Taiau x y + z 6= x (y + z) ir iuo atveju skaliaustai yra btini.


ia paymta w = AB = A B. Taigi perraome formul infiksiniu pa-vidalu: x = (A B)&C. T pai formul uraome postfiksiniu pavidalu:x = w&C = wC& = AB C&. (ia buvo paymta w = A B). Panaiaiuraome formules:

A&BC = ABC& = A (B & C),p&(x y z) = &p xyz = pxyz &.

Ir vl nepamirkime (r. 1.2 pastab 4 psl.), kad lygybs enklas (=) rei-kia tik kit tos paios formuls pavidal (susitarim kitaip t pai formulymti) ir nra teigini algebros abcls elementas. Kitame paragrafe mesapibrime logini formuli lygiavertikumo arba ekvivalentumo (=) svok.

1.3. Logikos formuli semantika

1.3.1. Tautologijos

Tarkime, kad X = (x1, x2, . . . , xn) yra logini kintamj rinkinys,F (X) login formul.

Apibrimai

Logini kintamj xj reikmi {t, k} rinkin = (1, 2, . . . , n) vadi-name logini kintamj interpretacija. Pavyzdiui, (1) = (k, t, k)ir (2) = (t, k, t) yra dvi kintamj (x, y, z) interpretacijos.

Formul F vadinama vykdomja, jei egzistuoja tokia interpretacija, kad F () = t.Pavyzdiui, formul f(x, y) = x & y yra vykdomoji, kadangi egzis-tuoja interpretacija = (t, t) ir f() = f(t, t) = t.

Formul F vadinama tautologija (tapaiai teisinga), jei ji gyjareikm t, esant bet kuriai interpretacijai. Tautologijas ymime enklu|=.

Formul F vadinama prietara (tapaiai klaidinga), esant bet ku-riai interpretacijai : F () = k. Pastebkime, kad F yra prietaratada ir tik tada, kai F tautologija.

Formuls F ir G vadinamos ekvivaleniosiomis, jei esant visomsinterpretacijoms : F () = G(). Ekvivalenisias formules ymimeenklu =.

1.3. LOGIKOS FORMULI SEMANTIKA 17

Pastebkime, kad ekvivaleniosios formuls turi tris savybes11:refleksyvumo (F = F );simetrikumo (jei F1 = F2, tai F2 = F1);tranzityvumo (jei F1 = F2 ir F2 = F3, tai F1 = F3).

1.1 teorema. Formuls F ir G yra ekvivaleniosios tada ir tik tada,kai formul (F G) yra tautologija. Arba trumpiau, F = G tada, irtik tada, kai |= F G.rodymas. Btinumas. Tarkime, kad F (X) = G(X). Reikia ro-dyti, kad tada |= F G. Esant bet kuriam kintamj X =(x1, . . . , xn) reikmi rinkiniui (interpretacijai) X = = (1, . . . , n)turime F () = G(). Todl turime vien i dviej atvej: F () =G() = t arba F () = G() = k. Bet tada F () G() = t t = tarba k k = t ir F (X) G(X) yra tautologija(ymime |= F G.)Pakankamumas Tarkime, kad |= F G. Tada esant bet kuriamX: F (X) G(X) = t. mame bet kuri interpretacij X = irgauname (i ekvivalentumo operacijos apibrimo 12 psl.) vieni dviej atvej: F () = G() = t arba F () = G() = k. Todlformuls F (X), G(X) gyja tas paias reikmes ir pagal apibrimyra ekvivaleniosios (raome F = G). Teorema rodyta.

1.7 pastaba. Vietoje oditada ir tik tada, kai bt galima ray-

ti kur nors ekvivalentumo enkl (,,). Tada pastarasis teiginysuraomas taip: F1 = F2 |= F1 F2. Tokiu atveju reikia su-sitarti, kad () reikia predikat kalbos ekvivalentumo operacij, oenklas () ms paaikinim kalbos metateorijos ekvivalen-tum, t. y. teigin

tada ir tik tada, kai.

Pateiksime ekvivalenij formuli pavyzdius.

F = F ;F G = G F ;F G = F G;

11Ekvivalentumas yra bendroji matematikos svoka, kuri mes detaliai nagrinsime4.2.1. paragrafe 130 psl.


F F = F ;F&F = F ;

F G = F G;F G = (F&G);

F t = t;F&t = F ;F k = F ;F&k = k.

Visas formules galima rodyti tiesioginiu patikrinimu. Pavyzdiui, formulsF ir F & t visada gyja t pai reikm (lygybs enklas reikia konkreiformuls reikm esant konkreiai realizacijai):kai F = t, turime F & t = t & t = t;kai F = k, turime F & t = k & t = k.Taigi rodyta, kad F & t = F .

1.3.2. Teisingumo lentels

inodami einani login formul logini kintamj reikmes, atliekamelogines operacijas (r. 12 psl.) ir surandame formuls reikmes. Visas for-muls reikmes raome teisingumo reikmi lentel. Taigi teisingumolentel teikia piln informacij apie login formul.

1.4 pavyzdys. Formuls

f(x1, x2, x3) = (x1 x2) & (x1 x3)

reikmes bei j skaiiavimo eig nusako i teisingumo reikmi lentel.

x1 x2 x3 x1 x2 x1 x2 x1 x3 f(x1, x2, x3)

k k k t t t k k

k k t t t t t t

k t k t k t k k

k t t t k t t t

t k k k t t t t

t k t k t t t t

t t k k k k t k

t t t k k k t k


1.8 pastaba. Formuls teisingimo lentele vadinama tik dalis pateik-tos lentels: trys pirmieji stulpeliai x1, x2, x3 ir paskutinis stulpelisf(x1, x2, x3). Taiau, kad nekartoti pirmj trij stulpeli, teisingu-mo lenteles raome ir tarpinius skaiiavimus.

1.3.3. Logikos dsniai

Tapaiai teisingos formuls tautologijos dar vadinamos logikos ds-niais. Suraykime svarbiausius i j lentel.12

Pavadinimas Formul

negalimo treiojo dsnis x x

dvigubasis neigimas x x

prietaravimas x & xtapatybs dsnis x xmodus ponens x & (x y) ymodus tollens (x y)& y xsilogizmas (x y) & (y z) (x z)kontrapozicija x y y x

de Morgano dsniaix & y x yx y x & y

Visos formuls rodomos, sudarant j teisingumo reikmi lenteles.rodykime, pavyzdiui, pirmj de Morgano13 dsn:

x y x y x & y x & y x y x & y x y

k k t t k t t t

k t t k k t t t

t k k t k t t t

t t k k t k k t

12Atkreipkime dmes, kad ekvivalentumo enklas yra login operacija. Vis lentelsformuli reikm lygi t, t. y. jos visos yra tautologijos. Taikydami 1.1 teorem (17 psl.),formules F G galime perrayti pavidalu F = G. Pavyzdiui, x x = t ir x = x.

13Augustus de Morgan (1806 1871) kot matematikas ir logikas.


I lentels matome, kad formul x & y xy yra tautologija, kuri galimaperrayti ir taip: x & y = x y.

1.3.4. Konjunkcijos ir disjunkcijos savybs

Kaip ir anksiau, visos pateikiamos tautologijos rodomos tiesioginiu patik-rinimu. Taigi vis formuli teisingumo lentels deinysis stulpelis bus upil-dytas logine konstanta t.

Pavadinimas Formul

idempotentumas x x xx & x x

konjunkcijoskomutatyvumas(perstatomumas)

x & y y & x

disjunkcijoskomutatyvumas(perstatomumas)

x y y x

konjunkcijosasociatyvumas(jungiamumas)

(x & y) & z x & (y & z)

disjunkcijosasociatyvumas(jungiamumas)

(x y) z x (y z)

distributyvumas(skirstomumas)

x & (y z) x & y x & zx y & z (x y) & (x z)

absorbcijios(sugerties)dsniai

x & (x y) xx x & y x

1.3.5. Implikacijos savybs

Suraykime lentel dar kelias nesunkiai patikrinamas tautologijas.


Pavadinimas Formul

vedimo irpaalinimoschemos

x (y x)(x y) ((x (y z)) (x z))x (y x y)x & y x(x y) (x y)

distributyvumo(skirstomumo)dsniai

x (y z) x y x zx y & z (x y) & (x z)x y z (x y) (x z)x (y z) (x y x z)

1.3.6. Tautologij nustatymo taisykls

Teisingumo reikmi lentels metodas yra universalus, taiau reikalaujan-tis daug darbo. Kartais rodyti, kad formul yra tautologija galima greiiau,taikant atskyrimo (modus ponens) taisykl.

1.2 teorema. Tarkime, kad formuls F ir F G yra tautologijos.Tada formul G irgi yra tautologija, t. y. i |= F ir |= F G iplau-kia |= G.rodymas. Jei is teiginys nra teisingas, t. y. G(X) nra tautologija,egzistuoja tokia logini kintamj interpretacija (rinkinys X = ),kuriai esant formul G(X) gyja reikm k klaida: G() = k. Ka-dangi F yra tautologija, gauname kad esant iai interpretacijai :t k = k ir tada formul F G nra tautologija. Tai prietaraujateoremos prielaidai, kad |= F G.

Taigi jei turime tautologij X Y , stat vietoje X bet kuri kittautologij, gauname nauj tautologij.

1.5 pavyzdys. I |= X Y X ir |= X X gauname|= (X X) Y (X X).

1.6 pavyzdys. I |= X Y X ir |= X & Y Y gauname|= (X & Y Y ) Y (X & Y Y ).

Suformuluokime dar vien tautologij rodymo taisykl. Tarkime, kad xyra formuls F poformulis. Jei formulje F poformul x pakeisime formuleH, gausime nauj formul, kuri ymsime SHx F . Jei formul F buvo tauto-logija, tai jos visos reikms lygios t ir nepriklauso nuo x. Todl ir pakeitus


x H reikms nepasikeis ir formul liks tautologija. Trumpiau, i |= Fiplaukia |= SHx F .

1.7 pavyzdys. I |= x x gaunameSxyx (x x) = |= x y x y;Sz&wyx (x x) = |= z & w y z & w y;S

(xz)&wyx (x x) = |= (x z) & w y (x z) & w y.

Kartais tautologijai rodyti patogu taikyti prietaros bei ekvivalen-ij pertvarki metodus.

1.8 pavyzdys. rodykime prietaros metodu, kad formul F = (A(B A)) yra tautologija. Sprendiame login lygt14 F (X) = k. Imp-likacija () gyja klaiding reikm (r. 12 psl.) tik kai t k. Taigituri bti A = t, (B A) = k. Gauname, kad turi bti (B t) = k,bet implikacija toki reikmi neturi, nepriklausomai nuo B. Todllygtis F (X) = k neturi sprendini ir visais atvejais gauname F = t, t.y. formul F yra tautologija.

1.9 pavyzdys. Ekvivalenij pertvarki metodu rodykime,kad formul

A & B (A B)yra tautologija. Taikome dvigubo neigimo dsn:A & B = A & B. Reikiniui A & B taikome de Morgano dsn:A & B = A B. Taigi taikydami negalimo treiojo dsn, gaunameA B (A B) = t.

1.3.7. Loginis ivedamumas

1.10 apibrimas. Formul H(x1, x2, . . . , xn) vadinama logini for-muli F1(x1, x2, . . . , xn), F2(x1, x2, . . . , xn), . . ., Fm(x1, x2, . . . , xn)logine ivada, kai H gyja reikm t, jei visos formuls Fj gijo reik-m t.

Taigi teisingumo lentelje

14Isprsti lygt F (X) = k reikia rasti toki kintamj reaizacij X = , kad F () =k. Pastebkime, kad mes rodome formul bedruoju atveju, kai A ir B bet kurios loginsformuls. rodomi neinome ne tik kaip jos priklauso nuo kintamj X = (x1, . . . , xn),bet ir kiek t kintamj yra.


x1 x2 xn F1 F2 Fm Hnegali bti toki eilui

x01 x02 x0n t t t k

I ia gauname, kad jei ivedimo (rodymo) prielaidos F1, F2, . . ., Fmyra tautologijos, tai login ivada H irgi yra tautologija.

Formuli F1, . . . , Fm login ivad ymsime taip:

F1, F2, . . . , Fm |= H.

1.3 teorema. (Logins ivados poymis.) Formul H yra formuls Flogin ivada tada ir tik tada, kai implikacija F H yra tautologi-ja. Kitaip sakant slyga F |= H yra btina ir pakankama, kad bt|= F H).rodymas. Btinumas. I F |= H pagal ivados apibrim turimet t = t (negalimas atvejis t k = k). Kai F = k, pagalimplikacijos apibrim, k H = t. Taigi F H = t visaisatvejais yra tautologija.Pakankamumas. Kai implikacija F H yra tautologija, teisingu-mo lentelje (F,H,F H) negali bti eiluts t, k, t. Todl lentelje(F,H) nra eluts (t, k) ir H yra formuls F ivada.

Panaiai galima rodyti ir kitus logins ivados poymius:F1, F2, . . . , Fm |= H tada ir tik tada, kai F1 & F2 & & Fm |= H;F1, F2, . . . , Fm |= H tada ir tik tada, kai |= F1 & F2 & & Fm H.

1.4 testas

1I dsnioiplaukia, kadp&s =

A p sB silogizmoC de MorganoD p s

1 BA;2 CA;3 CD;4 BD.

2I dsnioiplaukia, kadg u

A kontrapozicijosB g uC u gD de Morgano

1 DB;2 AB;3 AC;4 DC.


31. ((y g)&r) ((y&r) (g&r)) A. komutatyvumas2. ((y&g)&r) (y&(g&r)) B. distributyvumas3. (y&g) (g&y) C. asociatyvumas1 BAC; 2 ABC; 3 BCA; 4 CAB; 5 CBA; 6 ACB.

41. s&s A. negalimas treiasis2. s s B. prietaravimas3. s s C. dvigubas neigimas1 ABC; 2 CBA; 3 BAC; 4 CAB; 5 ACB; 6 BCA.

5Kuri login formul yra tautologija?(G) r r;(H) r r;

1 abi funkcijos;2 (G);3 n viena;4 (H).

6Kuri login formul yra prietara?(Q) w w;(R) w w;

1 n viena;2 (R);3 abi funkcijos;4 (Q).

71. y y A. x&y2. y y B. t3. y&x C. y

1 CAB; 2 ABC;3 ACB; 4 CBA;5 BAC; 6 BCA.

81. r r A. r2. r r B. t3. r r C. r

1 ACB; 2 BAC;3 ABC; 4 CBA;5 BCA; 6 CAB.

9 p (k p) = 1 p; 2 p; 3 k; 4 t.

10 t y = 1 y; 2 t; 3 y; 4 k.

1.4. FORMALIZUOTAS TEIGINI SKAIIAVIMAS 25

1.4. Formalizuotas teigini skaiiavimas

1.4.1. Teising samprotavim taisykls

Kai kurios tautologijos leidia iskirti teising samprotavim struktr,t. y. atsakyti klausim kas i ko iplaukia. Inagrinkime tautologij|= F & (F G) G. I logins ivados poymio 1.3.7. teoremos (23 psl.)gauname F,F G |= G, t. y. jei turime dvi formules F ir F G,tai gauname dar vien formul G. i samprotavim schema ivedimotaisykl vadinama modus ponens taisykle ir uraoma taip

F, F G G

Taisykl reikia, kad jei turime teising teoremos prielaid F ir rodmeimplikacij (teorem) F G bus teisinga ir teoremos ivada G. Taigimodus ponens yra ivados atskyrimo nuo prielaidos taisykl.

Kita teising samprotavim taisykl pagrsta tokia tautologija((F G) & G) F ir vadinama

modus tollens:

F G, G F

Taigi jei esame rod implikacij (teorem) ir teoremos ivada yra klaidinga,tai bus klaidinga ir teoremos prielaida. Kitaip tariant turime prielaidosatskyrimo nuo ivados taisykl.

Suraykime lentel dar kelias ivedimo taisykles.

Tautologija Ivedimo taisykl

(1) x x y x x y

(2) x & y x x & y x

(3) ((x y) & (z w)) & (x y)&(z w), x z y w

(x z) y w


(4) (x y) (y x) x y y x

(5) (x y) & (y z) x y , y z x z

(x z)

(6) x (y z) x (y z) y (x z)

y (x z)

(7) x (y z) x (y z) x & y z

x & y z

(8) (x & y z) x & y z x (y z)

(x (y z))

ios taisykls vadinamos taip:(1) disjunkcijos vedimo;(2) konjunkcijos paalinimo;(3) konstrukcin dilema;(4) kontrapozicija;(5) silogizmas;(6) prielaid perstata;(7) prielaid sujungimas;(8) prielaid atskyrimas.

1.4.2. Aksiominis metodas

Nagrinsime kit logikos dsni rodymo metod. Pirma pasirinksimekelis pradinius dsnius aksiomas, leidianias gauti kitus logikos dsnius.Toliau suformuluosime taisykles, pagal kurias galima rodyti logikos dsnius teoremas. Vis i aksiom, taisykli ir teorem aib sudaro formalijarba aksiomin teorij. Kaip tokios teorijos pavyzd, mes inagrinsimeformalizuot teigini skaiiavim L.

(S) Teorijos L simboliai yra dvi logins operacijos ir (kitos ope-racijos bus apibrtos vliau), loginiai kintamieji x, y, A1, A2, . . . irpagalbiniai simboliai ( , ) (skliaustai ir kablelis).


(F) Teorijos L formuls sudaromos pagal tokias taisykles:(a) kintamieji yra formuls;

(b) jei X yra formul, tai ir (X) formul;(c) jei X ir Y yra formuls, tai (X Y ) irgi yra formul;(d) nra kitaip (ne pagal (a)(c)) sudaryt formuli.Kaip ir anksiau (r. 1.2 pastab 4 psl.) susitarkime nerayti ioriniskliaust.

(A) Kokios bebt formuls A, B, C, formuls

(A1) A (B A);(A2) (A (B C)) ((A B) (A C));(A3) (B A) ((B A) B).

yra teorijos L aksiomos.

(MP) Teorijos L ivedimo taisykl yramodus ponens: formul B yra

tiesiogin ivada i A ir A B (trumpiau raysime MP(A, A B).

Pastebkime, kad reikiniai (A1) (A3) yra aksiomos, kai vietoje A, B,C raomos konkreios formuls, pavyzdiui, propoziciniai kintamieji. Todlkiekvienas i i reikini apibria be galo daug formuli ir jos visos vadi-namos aksiomomis, o reikiniai (A1) (A3) vadinami aksiom schemomis.

1.11 apibrimas. Formuls F ivedimu i formuli aibs (rinki-nio) (raome F ) vadinama tokia baigtin formuli seka F1, F2,. . ., Fs, kad kiekviena formul Fj yra

arba aksioma,

arba formul i ,

arba formul, gauta i ankstesnij formuli Fk, Fl (k, l < j), pritaikiusMP taisykl;

arba paskutinioji ivedimo formul Fs sutampa su F .

Rinkinio formuls vadinamos hipotezmis (ivedimo prielaidomis).Kai toki prielaid nra, t. y. aib yra tuioji15 = , formulF vadinama teorijos L teorema ir ymima F . Kai reikia pabrti,kad kalbama apie teorij L raoma L F

15Tuija vadiname aib (ymime ), kuri neturi n vieno elemento (r. 89 psl.)


1.4 teorema. A A.rodymas. statome (A2) B = (A A) ir C = A.Trumpiau raome SA,AA,AA,B,C (A2). Taigi(F1) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)).Raydami (A1) formulje A A vietoje B (t. y. SA,AAA,B (A1)), gau-name(F2) A ((A A) A).Taikome gautoms formulms ivedimo taisykl MP(F1,F2):(F3) ((A (A A)) (A A).Vl taikome aksiom SA,AA,B(A1):(F4) A (A A).Galutinai pagal MP(F3,F4) taisykl gauname(F5) A A.

1.5 teorema. (Dedukcijos teorema; Erbranas16, 1930)Jei yra formuli rinkinys, A formul ir , A F , tai A F .rodymas. Tarkime, kad F1, F2, . . ., Fs yra formuls F ivedimas ihipotezi ir formuls A. Taigi Fs = F .

Pirma inagrinkime atvej s = 1. Tada F1 yra arba aksioma, arbaformul i , arba F1 = A = F . Pastaruoju atveju jau rodyta kad F F . Pirmaisiais dviem atvejais turime aksiom SF1,AA,B (A1):F1 (A F1) (A1) ir taikome taisykl MP(F1,A F1).

Bendruoju atveju (s > 1) taikome matematins indukcijos princip(r. 1.5.8. 43 psl.) Darome prielaid, kad A Fk, kai k < i 6 s.Reikia rodyti teigin A Fi. Formul Fi visada yra vien i iketuri: 1) Fi yra aksioma, arba 2) Fi yra formul i , arba 3) Fisutampa su A arba 4) Fi gauta pritaikius taisykl MP(Fj , Fj Fi),(j < i). Pirmieji trys atvejai nagrinjami, kaip jau inagrintas atvejiss = 1.

Ketvirtuoju atveju turime indukcin prielaid A Fj ; (P1) A (Fj Fi). (P2)Taikome S

A,Fj,FiA,B,C (A2):

(A (Fj Fi)) ((A Fj) (A Fi)). (A2).Pagal MP(P2, A2):(A Fj) (A Fi). (R).Ir vl taikome MP(P1,R). Taigi gavome A Fi ir, pagal indukcij,

16Jacques Herbrand (1908 1931) prancz matematikas.


teiginys A Fi teisingas su visais i. Todl jis teisingas, kai i = sir turime Fs = F arba A F . Teorema rodyta.

Pastebkime, kad formuli aib gali bti tuioji ( = ). Tada idedukcijos teoremos gauname, kad i A F iplaukia A F , t. y.ivesta (rodyta) implikacija A F yra teorijos L teorema.

rodykime dar, kad bet kurioms formulms A, B, C galioja ivedimas:A B, B F A F .Sukonstruokime tok formuls F ivedim:A B, B F , A, B, F .ia pirmosios trys formuls yra hipotezs, formulB gauname pagal MP(A,AB), o formul F pagal MP(B, B F ). Taigi turime A B, B F ,A F ir taikome dedukcijos teorem. Gaut rezultat galima uraytiimplikacijos vedimo taisykls pavidalu:

, A F A F

1.9 pastaba. Aksiomose (A1) (A3) panaudotos tik dvi logins ope-racijos: neigimas () bei implikacija (). Todl teigini algebrosformules galima apibrti nenaudojant kit operacij. Konjunkcijos,disjunkcijos bei ekvivalentumo operacijos apibriamos taip:

(D1) (A & B) paymta ((A B));(D2) (A B) paymta ((A) B));(D3) (A B) paymta ((A B) & (B A)).

Galima rodyti tokias logini operacij vedimo ir paalinimo taisykles:

F, G F & G

, G F, ,H F , G H F

F F G

F & G F

1.4.3. Formaliosios teorijos savybs

Teorijai L apibrti nebuvo joki reikalavim operacijoms ir . Tar-kime, kad jos apibrtos taip, kaip ir ankiau (12 psl.)


A B A B A B B Ak k t t t tk t t k t kt k k t k tt t k k t t

Esant taip apibrtoms operacijoms visos aksiomos formuls gautospagal (A1) (A3) schem gyja reikm t, todl yra tautologijos (ymime|=). Kai A ir A F yra tautologijos, F irgi tautologija. Taigi pagal MP(A,A F ) taisykl i tautologij gauname tik tautologijas. Tarkime, kad Fyra teorijos L teorema ( F ). Tai reikia, kad egzistuoja ivedimas F1,F2, . . ., Fs F ir visos formuls Fj yra arba aksiomos arba gautos pagalMP(Fk,Fk Fj), (k < j) taisykl. Matome, kad visos formuls Fj yratautologijos. Todl rodytas toks teiginys.

1.6 teorema. Jei F , tai |= F .

Teisingas ir atvirktinis teiginys: jei |= F , tai F .Taigi teorijos L formul yra teorema tada ir tik tada, kai ji yra

teigini algebros tautologija. i teorijos savyb vadinama pilnumu.Kita svarbi formaliosios teorijos savyb jos neprietaringumas: ne-

egzistuoja tokia teorijos formul A, kad ir A, ir A yra teoremos. I tauto-logijos apibrimo iplaukia, kad teorija L neprietaringa.

Pateiktos lentelje logini operacij reikms gali bti ir kitos. Tai jaunebus teigini skaiiavimas, bet visos teorijos L formuls gali bti apska-iuotos. Inagrinkime daugiareikms logikos pavyzd.

1.10 pavyzdys.A B A A B B (A B)k k n k kk n n t kk t n t kn k n t tn n n t kn t n k kt k k k kt n k k tt t k k k

1.5. PREDIKAT LOGIKA 31

Pastebkime, kad deinysis teisingumo lentels stulpelis yra aksioma(A1). Jei suskaiiuoti formuli (A2) ir (A3) reikmes, gausime vien kons-tant k. Tokios, gyjanios t pai reikm k, formuls vadinamos iskir-tosiomis. Taigi visos (A2), (A3) aksiomos yra iskirtosios, o (A1) nra.Pagal taisykl MP(A, A F ) i iskirtj formuli A ir A F gaunameiskirtj formul F . I ia iplaukia, kad formul (A1) negali bti ivesta iformuli (A2) ir (A3) pagal MP taisykl. Todl aksioma (A1) nepriklausonuo kit aksiom.

1.5. Predikat logika

1.5.1. Kvantoriai ir predikatai

Kai kuri logini samprotavim nepavyksta ireikti teiginiaias. Pavyz-diui, sakiniai

Realusis skaiius x > ,

=

nra teiginiai, kadangi jie gali bti ir teisingi, ir klaidingi, priklausomainuo x, , reikmi.

Inagrinkime iuos samprotavimus:

Visi Jono draugai yra studentai. Petras yra Jono draugas.

Todl Petras yra studentas.

Kai kuri ali sostins yra miestai. Todl yra sostins, kurios yra kaimai.

J teisingumui nustatyti reikia ne tik inoti ar teisingi atskiri i sud-tini samprotavim teiginiai, bet ir teisingai suprasti tokius reikinius, kaip

visi,

kai kurie,

kiekvienas ir pan.

Apibrkime dar dvi logines operacijas, kurios vadinamos egzistavimo(ymimas ) ir bendrumo () kvantoriais.17 Egzistavimo kvantorius nu-rodo, kad yra, galima rasti, egzistuoja tam tikras objektas: p() skaitomayra tokia (tokios) , kuri turi savyb p. Bendrumo kvantorius nurodo, kad

savyb p turi visi objektai : p() skaitomavisoms (kokia bebt) ,

galioja slyga p.17Egzistavimo kvantoriaus ymjimas angliko odio Exist (egzistuoti, bti) pirmo-

sios raids veidrodinis atvaizdas. Bendrumo kvanroriaus ymjimas angliko odio Any(bet koks, bet kuris) apversta pirmoji raid. Kvantoriaus (nuo lotyniko odio

quantum

kiek) termin 1885 m. pasil Pyrsas (r. ?? psl.) ymjimas ! reikia, kad egzistuojavienintelis objektas.


Nordami nagrinti tokius sakinius, kaip = turime pasitikslinti

kintamj , prigimt: tai gali bti skaiiai, matricos, funkcijos ir t. t. To-kius kintamuosius vadiname dalykiniais (individiniais) kintamaisiais arbatiesiog kintamaisiais ir ymime x, y, z, . . . , x1, y2, . . . Dalykini kintamjreikmes vadiname konstantomis ir ymime , , . . . , 1, 2, . . .. FunkcijaP (x1, x2, . . . , xn) vadinama predikatu, jei esant bet kuriai dalykini kinta-mj x1, x2, . . . , xn realizacijai 1, 2, . . . , n, P (1, 2, . . . , n) yra teiginys.

Pavyzdiui, kai x ir y yra realieji skaiiai, galime nagrinti tokius predi-katus:

P (x, y) =x2 > y ,

G(x) =sinx > cos x ,

R(y) =y2 = ey.

Tada P (1, 0) yra teisingas teiginys, G(0) klaidingas. Teiginys R() gyjateising reikm (t), kai y = yra lygties y2ey = 1 aknis.

Taikydami kvantorius ir predikatus, galime sudaryti tokius teiginius:xyP (x, y), xG(x) teisingi teiginiai; yR(y) klaidingas teiginys.

Paymkime D(x, y) sakinx ir y yra draugai . Sakin

y yra studentas

paymkime S(y), J Jonas, P Petras. Tada samprotavimus, kad,jei

visi Jono draugai yra studentai, o Petras yra Jono draugas, tai ir Petras yrastudentas galime urayti taip

y (D(J, y) S(y)) ,D(J, P ) S(P )

Taigi ia D(x, y) ir S(y) yra predikaitai, x, y dalykiniai kintamieji,J , P dalykins konstantos.

1.5.2. Operacijos su predikatais

Predikatas P (x1, x2, . . . , xn) gyja reikmes t ir k, priklausomai nuo kinta-mj x1, x2, . . . , xn reikmi. Kiekvienas kintamasis xj priklauso tam tikraiaibei Mj ir

18 (x1, x2, . . . , xn) M1M2 Mn. i aib vadiname predi-kato apibrimo sritimi. Priklausomai, nuo apibrimo srities, predikatosavybs gali i esms pasikeisti. Pavyzdiui, predikatas

x2 +y2 = 1 gyja

reikm k, kai (x, y) RR = R2. Taiau, io predikato reikm gali btiir t, jei x ir y yra kompleksiniai skaiiai.

1.12 apibrimas. Predikato P (x1, x2, . . . , xn), apibrto srityjeM1M2 Mn, teisingumo aibe vadinama aib P+ M1 Mn,

18ymjimas reikia, kad kiekvienas kintamasis xj kinta savo srityje Mj nepriklausomainuo kit kintamj; r. 3.2.4. paragraf 97 psl.


jei predikatas P gyja reikm t su visais x1, . . ., xn i aibs P+ ir gyja

reikm k, kai (x1, . . . , xn) / P+, t. y.{

P (x) = t, kai x P+P (x) = k, kai x / P+.

Pavyzdiui, predikato P (x, y) =x2 + y2 = 1 apibrimo sritis yra aib

R2 = RR (taip ymime vis realij skaii por aib; r. 97 psl.), jo tei-singumo aib P+ apskritimas su centru koordinai pradioje ir spinduliu1.

1.13 apibrimas. Predikatas P (x1, . . . , xn) vadinamastautologija (tapaiai teisingu), kai P+ = M1 Mn;prietara (tapaiai klaidingu), kai P+ = ;vykdomuoju, kai P+ 6= ;paneigiamuoju, kai P+ 6= M1 Mn.

1.14 apibrimas. Du predikatai P (x1, x2, . . . , xn) irQ(x1, x2, . . . , xn)vadinami lygiaveriais (ekvivaleniais, raome P = Q ), kai1) jie apibrti toje paioje srityje M1 M2 Mn;2) j teisingumo aibs sutampa: P+ = Q+.

Pavyzdiui, predikataix y = 9 ir x y = 9 yra lygiaveriai (ekviva-

lentieji), jei x > 0 ir y > 0, taiau jie nra lygiaveriai, jei pirmj nagrinti,kai x y > 0.

Tarkime, kad predikatai P , Q turi bendr apibrimo srit ir fiksuotastakas (x01, x

02, . . . , x

0n) dalykini konstant rinkinys priklauso iai sriiai

(aibei). Tada P 0 = P (x01, x02, . . . , x

0n), Q

0 = Q(x01, x02, . . . , x

0n) yra teiginaiai

ir todl jiems apibrtos visos mums inomos (r. 12 psl.) logins operacijos:

P 0, Q0, P 0 Q0, Q0 R0, P 0 Q0, P 0 & Q0, P 0 Q0.

Taigi P = Q tada ir tik tada, kai naujas predikatas (P Q) yra tautologija.

1.15 apibrimas. Predikatas Q(x1, . . . , xn) vadinamas predikatoP (x1, . . . , xn) logine ivada (raome P |= Q), jei predikato P reikmlygi t su visais tais x1, . . . , xn, kai Q gyja reikm t.

Login ivad galima apibrti ir kitaip19 P+ Q+.19ymjimas reikia, kad visi aibs P+ elementai yra ir aibs Q+ (arba kitaip: aib P+

yra aibs Q+ poaibis (dalis)); r. 3.1.2. 89 psl.


Pavyzdiui, natralij skaii aibje apibrti predikataiD3(n) =

n dalus i 3 ir D6(n) = n dalus i 6 .

Tada D6(n) |= D3(n) jei skaiius n dalus i 6, tai jis dalus ir i 3. Taippat galioja: D+6 = {6, 12, 18, . . .} D+3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, . . .}.

Pastebkime dar, kad P |= Q tada ir tik tada, kai P Q yra tautologija.I ia gauname, kad du predikatai P ir Q yra lygiaveriai (P = Q ), tada

ir tik tada, kai P Q ir Q P yra tautologijos. (Predikatas P R irgibus tautologija.) Dar pastebkime, kad iuo atveju predikat teisingumosritys lygios: P+ = Q+.

Tarkime, kad predikatai P ir Q apibrti toje paioje aibje M1M2 Mn ir predikatas Q yra tautologija. Tada koks bebt predikatas P ,turime P |= Q.

Tarkime, kad P Q ir P yra tautologijos. Tada predikatas Q irgi yratautologija.

1.16 apibrimas. Predikatas P vadinamaspredikato P neiginiu, jei1) jis turi t pai apibrimo srit;2) gyja reikm k, kai P lygus t ir gyja reikm t, prieingu atveju.

1.11 pavyzdys. P (x) =x > 0 , P (x) =

x < 0 .

1.12 pavyzdys. L(f) =f(x) yra lygin realiojo kintamojo x funk-

cija , L(f) =f(x) nra lygin realiojo kintamojo x funkcija .

Pastebkime, kad L(f) nra predikatasN(f) =

f(x) yra nelygin realiojo kintamojo x funkcija .

1.17 apibrimas. Predikat P (x1, x2, . . . , xn) ir Q(y1, y2, . . . , ym),apibrt aibse M1 Mn ir K1 Km, konjunkcija, va-dinamas predikatas

P (x1, x2, . . . , xn) & Q(y1, y2, . . . , ym),

apibrtas srityje M1 MnK1 Km ir gyjantis reikmt tik ir tik tuo atveju, kai abu predikatai P ir Q lygs t.Predikat P ir Q disjunkcija, vadinamas predikatas

P (x1, x2, . . . , xn) Q(y1, y2, . . . , ym),apibrtas srityje M1 MnK1 Km ir gyjantis reikmt tik ir tik tuo atveju, kai bent vienas predikatas P ir Q lygus t.


1.13 pavyzdys. Tarkime, kad atkarpoje [1, 1] R apibrti predi-katai: P (x) =

|x| < 1 , Q(x) =

x 6= 0 . Tada

(P & Q)+ = (1, 0) (0, 1); (P Q)+ = [1, 1].

1.5 testas

11. 8 = 7 A. kvantorius2. B. teiginys3. g = w C. predikatas

1 BAC; 2 CBA;3 ACB; 4 CAB;5 ABC; 6 BCA.

21. y < r A. konstanta2. sin > 7 B. teiginys3. 1 C. predikatas

1 BAC; 2 CBA;3 CAB; 4 ABC;5 BCA; 6 ACB.

31. A. predikatas2. sin > 2 B. kvantorius3. t > w C. teiginys

1 ACB; 2 BCA;3 CBA; 4 ABC;5 CAB; 6 BAC.

1.5.3. Termai ir formuls

Predikat logika formalizuojama pagal t pai schem kaip ir teigi-ni logika: apibriama abcl, formuli sudarymo taisykls, aksiomos beiivedimo taisykls.

Veiksmams su dalykiniais kintamaisiais paymti naudojamos funkci-ns raids. Pavyzdiui, dviej skaii x1, x2 sum x1 + x2 galima ireiktifunkcine raide p21(x1, x2). Taigi ymime visus leistinus dalykini kintamjbei konstant reikinius f, g, . . . , f1, g2, . . . ir vadiname juos funkcinmisraidmis. Tai gali bti, pavyzdiui, aritmetins operacijos arba trigonomet-rins funkcijos. Toliau nagrinjame visus reikinius, kuriuos galima sudaryti,taikant tas operacijas arba funkcijas.

1.18 apibrimas. Termais vadiname reikinius, kuriuos galima gau-ti pagal ias taisykles:(a) kiekviena konstanta arba kintamasis yra termas;(b) jei f yra funkcin raid ir t1, t2, . . . , tn termai,tai f(t1, t2, . . . , tn) yra termas;(c) nra term, gaut ne pagal (a), (b) taisykles.


Predikat kalbos abcl apibriama kaip i element aib:1) logini operacij: , &, , , ;2) pagalbini simboli: skliaust

( ,

) bei kablelio

, ;

3) kvantori: , ;4) kintamj;5) konstant;6) funkcini raidi;7) predikatini raidi (predikat).

Jei t1, t2, . . . , tn yra termai, o P yra predikatas, tai P (t1, t2, . . . , tn) va-diname elementarija formule (atomine formule).Predikat skaiiavimo formuls apibriamos iomis taisyklmis:(a) elementariosios formuls yra formuls;(b) jei A ir B yra formuls, x kintamasis, tai(A), (A&B), (A B), (A B), (A B), (xA), (xA)yra formuls;(c) nra formuli, gaut ne pagal (a), (b) taisykles.

1.5.4. Suvarytieji ir laisvieji kintamieji

1.19 apibrimas. Kintamojo eitis formul nusakoma io kinta-mojo simboliu bei jo vietos formulje numeriu. Vietos, kur prie kin-tamj yra kvantorius, neskaiiuojamos.

1.14 pavyzdys. Formulje P (x, z) (z(Q(y, z) (y z))) yraviena kintamojo x eitis;dvi kintamojo y eitys;trys kintamojo z eitys.

Kaip ir teigini algebros formulse (r. 1.9 apibrim 15 psl.) galimaiskirti predikat skaiiavimo formuli poformulius. Inagrinto pavyzdioformulje turime poformulius y z, Q(y, z), Q(y, z) (y z) ir t. t.

Kintamojo x eitis formul F vadinama laisvja, jei ji nepriklauso jo-kiai formuls F daliai (poformuliui), prasidedaniai x arba x. Prieinguatveju kintamojo x eitis vadinama suvarytja formulje F . Kintama-sis vadinamas laisvuoju formulje F , jei jis turi bent vien laisvj eit.Formul vadinama udarja, jei ji neturi laisvj kintamj.

Kai visi formuls F kintamieji x1, x2, . . . , xn yra laisvieji, raomeF (x1, x2, . . . , xn).

Susitarkime, kad formuls F , xF ir xF yra ekvivalenios, kai F ne-priklauso nuo x.


1.5.5. Predikat skaiiavimo dsniai

Egzistavimo ir bendrumo kvantori reikimas vienas kitu

xP (x) xP (x)

xP (x) xP (x)

ios formuls dar vadinamos de Morgano dsniais predikatams.rodykime pirmj formul. Tarkime, kad x0 tokia dalykinio kintamojo

reikm, kad P (x0) = t. Tada xP (x) = t ir io teiginio neiginys lygus k.Galimi du atvejai: 1) egzistuoja kitas x1, kad P (x1) = k, tada P (x1) = t irteiginys xP (x) yra klaidingas, t. y. gauname k = k; arba 2) tokio x1 nrair P (x) = t arba P (x) = k su visais x: (xP (x)) = k, t. y. vl gaunamek = k.

Dabar tarkime, kad tokio x0, kad P (x0) = t pasirinkti negalima. TadaxP (x) = xk = t. I kitos puss, teiginys xP (x) nuo x nepriklauso (yratapaiai klaidingas), o jo neiginys lygus t. Taigi gauname t = t.

Kvantori sveika su konjunkcija ir disjunkcija

x(P (x)&Y ) (xP (x))&Y

x(P (x) Y ) (xP (x)) Y

x(P (x)&Y ) (xP (x))&Y

x(P (x) Y ) (xP (x)) Y

x(P1(x)&P2(x)) (xP1(x)) & (xP2(x))

x(P1(x) P2(x)) (xP1(x)) (xP2(x))

((xP1(x)) (xP2(x))) x(P1(x) P2(x))

((xP1(x)) & (xP2(x))) x(P1(x) & P2(x))

Pastebkime, kad bendrumo kvantorius neturi distributyvumo savybsdisjunkcijos atvilgiu: bendru atveju nra ekvivalenios formuls x(P1(x)P2(x)) ir (xP1(x)) (xP2(x)).

Egzistavimo kvantorius neturi distributyvumo savybs konjunkcijos at-vilgiu: nra ekvivalenios formuls x(P1(x)&P2(x)) ir (xP1(x)) & (xP2(x)).


Kvantori sveika su implikacija

x(P (x) Q) (xP (x)) Q

x(P (x) Q) (xP (x)) Q

x(Q P (x)) Q (xP (x))

x(Q P (x)) Q (xP (x))

rodykime, pavyzdiui, pirmj formul. Ji nebus tautologija, jei ekvivalen-tumo operandai gyja skirtingas reikmes, t. y. turime du atvejus:

x(P (x) Q) = k, (xP (x)) Q = t, (1)

x(P (x) Q) = t, (xP (x)) Q = k. (2)

Pirmuoju atveju turi bti P (x) = t ir Q = k. Todl xP (x) = t ir(xP (x)) Q = t k = k. Taigi atvejis (1) nemanomas. Antruojuatveju turi bti xP (x) = t ir Q = k. Tada kairje (2) formuls pusjeturi bti P (x) Q = k k = t su visais x. Bet tai prietarauja, kadxP (x) = t. Taigi atvejis (2) irgi yra negalimas ir pirmoji formul rodyta.

Kvantori paalinimo ir vedimo dsniai

xP (x) P (y)

P (y) xP (x)

Kvantori komutatyvumas

xyP (x, y) yxP (x, y)




1.6 testas

rodykite predikat teorijos dsn wR(w) R(u) (F )

1Paymkime L predikato

(A) teisingumo(B) apibrimo(C) reikmi

srit ir R+ jo(A) apibrimo(B) reikmi(C) teisingumo

srit.

1 CA; 2 BC; 3 AC;4 CB; 5 BB; 6 BA;7 AA; 8 CC; 9 AB.

2

(1) Tarkime, kad L 6= ir R+ = L. Tada(A) wR(w) = t(B) wR(w) = k ir

(A) R(u) = t(B) R(u) = k

.

ia u (A) loginis(B) dalykinis

kintamasis

Taigi turime t t ir (F ) = t.1 AAA; 2 BBB; 3 BAA; 4 BBA;5 BAB; 6 AAB; 7 ABB; 8 ABA.

3(2) Tarkime, kad L 6= ir R+ 6= L. Tada

(A) wR(w) = t(B) wR(w) = k ir

(A) (F ) = (t R(u))(B) (F ) = (k R(u))

Taigi iuo atveju (A) (F ) = k(B) (F ) = t

.1 BAB; 2 BBB; 3 BBA; 4 AAA;5 ABA; 6 BAA; 7 ABB; 8 AAB.

4(3) Tarkime, kad L = . Tada

(A) R+ 6= (B) R+ = ir

(A) wR(w) = k(B) wR(w) = t

Taigi turime (A) antrj (2)(B) pirmj (1)

atvej.1 BAA; 2 AAB; 3 BAB; 4 BBB;5 ABA; 6 ABB; 7 AAA; 8 BBA.

Didesni u 2 natralij skaii aibje apibrti predikatai:F (x) "x yra pirminis skaiius",E(x) "x yra lyginis skaiius",W (x) "x yra nelyginis skaiius".


5 Sakinys "visi pirminiai skaiiai yranelyginiai arba nra lyginiai" ireikiamas taip:1 xF (x)W (x)E(x); 2 xW (x)F (x)E(x);3 xF (x)W (x)E(x); 4 xW (x)F (x)E(x);5 xE(x)F (x)W (x); 6 xF (x)W (x)E(x);7 xF (x)W (x)E(x); 8 xE(x)F (x)W (x).

6Kuris teiginys yra teisingas?(T1) xF (x)W (x);(T2) xW (x) F (x).1 (T2); 2 abu teiginiai; 3 n vienas; 4 (T1).

1.5.6. Aksiomins teorijos svoka

Teorijos K simboliai yra logins operacijos, kvantoriai, pagalbiniai sim-boliai, dalykiniai kintamieji ir predikatins raids. Dar teorija gali turtifunkcini raidi ir dalykini konstant. Taigi skirtingos teorijos skiriasisimboli abclmis, taiau pagrindin abcls dalis yra btina.

Teorijos K aksiomas sudaro dvi aksiom grups: logins aksiomos irtikrins teorijos aksiomos (nelogins). ios formuls yra teorijos K loginsaksiomos:

(A1) A (B A);

(A2) (A (B C)) ((A B) (A C));

(A3) (B A) ((B A) B);

(A4) (xF (x)) F (y);

(A5) F (x) (xF (x)).

Kaip ir teigini skaiiavimas, teorija K turi ivedimo taisykles:

(MP) modus ponens taisykl:A, A B

B;

( taisykl) A B(x) A (xB(x)) ;

( taisykl) A(x) B (xA(x)) B .


Tikrins teorijos K aksiomos apibria konkrei teorij. Jei teorija K api-brta tik loginmis aksiomomis bei ivedimo taisyklmis, turime formali-zuot predikat skaiiavim.

Parodykime, kaip rodomos predikat skaiiavimo teoremos.

1.15 pavyzdys. x(A B(x)) A (xB(x)):(a) x(A B(x)) hipotez;(b) x(A B(x)) (A B(x)) (A4);(c) A B(x) (a), (b) ir (MP);(d) A (xB(x)) (c) ir ( taisykl);

Parodykime, kaip gali bti apibrtos teorijos tikrins aksiomos. Tarki-me, kad teorija neturi funkcini raidi bei dalykini konstant ir turi tikvien predikatin raid P . Teorija apibriamia dviem tikrinmis aksiomo-mis

(a) x(P (x, x));

(b) xyz(P (x, y) & P (y, z) P (x, z)).

Tarkime, kad predikatas P (x, y) turi toki prasmx < y. Tada predikato

P (x, x) prasm yrax x ir aksiomos (a), (b) vadinamos antireflek-

syvumu bei tranzityvumu. Taigi turime aksiomin dalins tvarkos teorij(r. 4.3.1. paragrf 132 psl.)

Kitas aksiomins teorijos pavyzdys yra grupi teorija. Turime

Aleksandras Krylovas - techmat.vgtu.ltakrl/Medziaga/Konspektai/... · 1.1.2. Formulės ... Šios...

Documents

Transcript of Aleksandras Krylovas - techmat.vgtu.ltakrl/Medziaga/Konspektai/... · 1.1.2. Formulės ... Šios...