Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3
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Instituição Credenciada pelo MEC – Portaria 4.385/05
Unis - MG
Centro Universitário do Sul de Minas
Unidade de Gestão de Pós-graduação – GEPÓS
Av. Cel. José Alves, 256 - Vila Pinto
Varginha - MG - 37010-540
Mantida pela
Fundação de Ensino e Pesquisa do Sul de Minas – FEPESMIG
Varginha/MG
Todos os direitos desta edição reservados ao Unis-MG.
É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou parte do mesmo, sob qualquer meio, sem
autorização expressa do Unis-MG.
3
ALVES, Alessandro Ferreira
Guia de Estudo – Fundamentos da Educação
– Administração Financeira E Orçamentária.
Varginha: GEPOS- UNIS/MG, 2010.
102 p.
3. Fundamentos de Matemática Financeira. I. Título.
4
Reitor
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola
Gestão de Pós-graduação
Prof. Ms. Guaracy Silva
Design Instrucional e Diagramação
Prof. Celso Augusto dos Santos Gomes
Rogério Martins Soares
Núcleo Pedagógico
Profª. Ms. Terezinha Nunes Gomes Garcia
Profª. Drª. Gleicione Aparecida Dias Bagne de Souza
Revisão Ortográfica / Gramatical
Gisele Silva Ferreira
Autor
Alessandro Ferreira Alves
Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia (1996) e Mestrado em
Matemática Pura pela Universidade Estadual de Campinas: UNICAMP (1999). Atualmente está em
fase final de co Curso de Doutorado também pela UNICAMP, no Departamento de Telemática da
FEEC - Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, com previsão de término para o primeiro
semestre de 2011. Atua como professor titular no Centro Universitário do Sul de Minas: UNIS-MG,
desde o ano de 2001, como professor em diversos Cursos de Graduação, bem como Pós-graduação,
nas Modalidades Presencial (GEDUP) e a Distância (GEaD). Além disso, é Coordenador do Curso
de Licenciatura Plena em Matemática na Modalidade a distância desde o segundo semestre de 2007,
bem como, coordenador dos cursos de Pós-graduação MBA em Finanças Corporativas (GEDUP)
desde 2007 e MBA em Gestão Empresarial (GEaD) desde o ano de 2008, do Centro Universitário
do Sul de Minas Gerais: UNIS-MG. Além do mais, coordenou os cursos de Pós-graduação em
Matemática Empresarial (turmas 2004, 2005 e 2006) e Matemática e Ensino (turmas 2002 e 2003).
Atua como professor titular de disciplinas em diversos cursos, como por exemplo, Engenharia
Mecânica, Engenharia de Produção, Engenharia Civil, Matemática, Física, Comércio Exterior,
Sistemas de Informação e Ciência da Computação, relacionadas à Matemática, Estatística e
Computação. Além disso, atua como professor nos Cursos de Pós-graduação do UNIS-MG: MBA
em Finanças Corporativas, MBA em Gestão Estratégica e Inteligência em Negócios, MBA em
Gestão Empresarial, MBA em Gestão de TI, MBA em Logística Empresarial e Pós-graduação em
Qualidade e Produtividade, nas disciplinas de Matemática Financeira, Métodos Quantitativos,
Engenharia Econômica, Simulação de Sistemas Gerenciais e Estatística Aplicada..
Acesso aos
dados
5
ÍCONES
REALIZE. Determina a existência de atividade a ser realizada.
Este ícone indica que há um exercício, uma tarefa ou uma prática para ser
realizada. Fique atento a ele.
PESQUISE. Indica a exigência de pesquisa a ser realizada na busca por mais
informação.
PENSE. Indica que você deve refletir sobre o assunto abordado para responder a
um questionamento.
CONCLUSÃO. Todas as conclusões, sejam de ideias, partes ou unidades do curso
virão precedidas desse ícone.
IMPORTANTE. Aponta uma observação significativa. Pode ser encarado como
um sinal de alerta que o orienta para prestar atenção à informação indicada.
HIPERLINK. Indica um link (ligação), seja ele para outra página do módulo
impresso ou endereço de Internet.
EXEMPLO. Esse ícone será usado sempre que houver necessidade de
exemplificar um caso, uma situação ou conceito que está sendo descrito ou
estudado.
SUGESTÃO DE LEITURA. Indica textos de referência utilizados no curso e
também faz sugestões para leitura complementar.
APLICAÇÃO PROFISSIONAL. Indica uma aplicação prática de uso profissional
ligada ao que está sendo estudado.
CHECKLIST ou PROCEDIMENTO. Indica um conjunto de ações para fins de
verificação de uma rotina ou um procedimento (passo a passo) para a realização
de uma tarefa.
SAIBA MAIS. Apresenta informações adicionais sobre o tema abordado de forma
a possibilitar a obtenção de novas informações ao que já foi referenciado.
REVENDO. Indica a necessidade de rever conceitos estudados anteriormente.
6
Sumário
EMENTA ................................................................................................................................................... 7
META ........................................................................................................................................................ 8
OBJETIVOS DA UNIDADE ................................................................................................................... 8
PRÉ-REQUISITOS .................................................................................................................................. 8 3. Fundamentos de Matemática Financeira ......................................................................................... 9 3.1 Aspectos Introdutórios: Qual a importância da Matemática Financeira? .................................... 9 3.2 Hoje ou Amanhã? A Noção de Liquidez .................................................................................... 11 3.3 Os Termos Centrais da Matemática Financeira: Tempo e Dinheiro ......................................... 13 3.4 Uma Ferramenta Indispensável para a Análise Financeira: O Diagrama de Fluxo de Caixa
(DFC) 18 3.5 Algumas Aplicações Práticas envolvendo os Regimes de Capitalização ................................. 26 3.6 Estabelecimento das Notações ................................................................................................. 27 3.7 Capitalização Contínua e Descontínua ..................................................................................... 28 3.8 O Regime Linear de Juros: Conceito, Utilização e Fórmulas Características ........................... 29 3.8.1 Taxa e Período .......................................................................................................................... 34 3.8.2 Future Value (ou Valor Futuro ou Montante) ............................................................................. 36 3.8.3 Estudo de Taxas: Taxa Proporcional e Taxa Equivalente ......................................................... 40 3.8.4 Equivalência Financeira a Juros Simples .................................................................................. 42 3.9 Juros Compostos ....................................................................................................................... 52 3.9.1 Aspectos Introdutórios dos Juros Compostos ........................................................................... 53 3.9.2 As Fórmulas Características no Regime Exponencial .............................................................. 54 3.9.3 Extensões ao Uso das Fórmulas ............................................................................................... 62 3.9.4 A Noção de Taxas Equivalentes nos Juros Compostos ............................................................ 64 3.9.5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva ..................................................................................................... 68 3.10 Implementação Numérica na HP 12 .......................................................................................... 74 3.10.1 Exercícios Resolvidos Envolvendo o Regime de Capitalização Simples na HP 12 ............. 74 3.10.2 Exercícios Resolvidos Envolvendo o Regime de Capitalização Composto na HP 12 .......... 82 3.10.3 Exercícios Resolvidos Envolvendo Taxas Equivalentes, Taxas Nominais e Taxas Efetivas 87 3.11 Guia Resumo da Implementação na HP 12C ............................................................................ 97 3.12 Resumo da Unidade ................................................................................................................ 101 3.13 Diretrizes sobre a próxima Unidade ........................................................................................ 101 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................... 102
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Administração Financeira E Orçamentária
EMENTA
Regimes de Capitalização. Séries de Pagamentos. Valor Presente Líquido e Taxa Interna
de Retorno. Equivalência de Fluxos de Caixa. Sistemas de Amortização. Fluxos de Caixa e
Inflação. Métodos de Análise de Investimentos.
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Administração Financeira E Orçamentária
META
Nesta terceira unidade é de nosso interesse apresentar os principais conceitos,
resultados e métodos da matemática financeira, que nos auxiliem para uma tomada de
decisão confiável em operações financeiras de caráter pessoal ou empresarial,
procurando sempre a maximização de resultados empresariais. além disso,
apresentamos os dois regimes de capitalização praticados no mercado financeiro
brasileiro, bem como implementamos diversos problemas simulados envolvendo os
aspectos discutidos na unidade na hp 12C.
OBJETIVOS DA UNIDADE
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta unidade, você seja capaz de:
- Reconhecer a importância da matemática financeira para a tomada de decisão
em problemas de finanças em geral;
- Estar plenamente familiarizado com os elementos básicos da matemática
financeira para a tomada de decisão empresarial;
- Interpretar e reconhecer a importância do diagrama de fluxo de caixa (DFC) para
a resolução de problemas simulados na área financeira;
- Reconhecer os dois regimes de capitalização presentes no mercado financeiro;
- Estar plenamente familiarizado com a teoria envolvendo os diagramas de fluxo
de caixa;
- Reconhecer os diversos tipos de taxas que temos no mercado financeiro;
- Implementar numericamente diversas situações na área financeira na calculadora
hp 12c envolvendo os aspectos discutidos na unidade.
PRÉ-REQUISITOS
Em verdade, para se ter um bom aproveitamento desta unidade, é importante você
relembrar alguns tópicos discutidos na parte de Matemática Elementar (Fundamentos de
Matemática), bem como das Unidades anteriores do guia de estudos.
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Administração Financeira E Orçamentária
3. Fundamentos de Matemática Financeira
3.1 Aspectos Introdutórios: Qual a importância da Matemática
Financeira?
Nosso objetivo aqui é apresentar os aspectos introdutórios da Matemática
Financeira1 e seus principais elementos de trabalho. Sabemos que nos dias atuais, a
parte mais sensível de uma empresa e do nosso corpo, sem dúvida nenhuma é o bolso,
desta maneira, sempre devemos estar atentos a nossa saúde financeira, bem como das
empresas as quais conduzimos.
Figura 01: A parte mais sensível das empresas e do nosso corpo.
Entendemos a Matemática Financeira como sendo um ramo da Matemática
Aplicada que estuda as operações financeiras de uma forma geral. Todos os dias, de
uma forma ou de outra nos deparamos com tópicos relacionados à Matemática
Financeira propriamente dita.
1 O estudo da Matemática Financeira é todo feito em função do crescimento do capital aplicado com o
tempo. Definiremos capital como qualquer quantidade de moeda ou dinheiro.
Fundamentos de Matemática
Financeira
10
Administração Financeira E Orçamentária
Ressaltamos, também, a importância do entendimento do Diagrama de Fluxo de
Caixa (DFC) – uma representação fácil e simples das movimentações financeiras e que
ajuda no entendimento dos principais problemas financeiros.
Figura 02: Diagrama de Fluxo de Caixa: representação fundamental para o estudo de
situações financeiras do nosso dia-a-dia.
Além disso, trabalharemos a fundo com a equivalência financeira no regime de
capitalização simples.
Ou ainda, podemos reescrever a relevância do estudo das técnicas da Matemática
Financeira como segue.
DFC
RepresentaçãoGráfica
Fundamentalpara ainterpretaçãode problemasfinanceiros
Resumindo: Definimos de modo simples a Matemática Financeira
como sendo uma parte da Matemática Aplicada que trata, em
essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, sendo
que o seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos
vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificado em
diferentes momentos.
Importância! A Matemática Financeira é de extrema importância para a
tomada de decisões em finanças em geral, tanto de caráter pessoal,
quanto empresarial, nos auxiliando no processo de maximização de
resultados empresariais.
11
Administração Financeira E Orçamentária
3.2 Hoje ou Amanhã? A Noção de Liquidez
De outra forma, devido ao longo de tempo em que a sociedade brasileira tem
convivido com a inflação, nada é mais óbvio do que a preferência pela liquidez. Por
exemplo, se um cidadão, por mais leigo que seja em teoria associada a Economia, for
questionado sobre sua preferência em ter disponível, hoje, uma certa quantia em
dinheiro ou deixá-la imobilizada por mais algum tempo, sem nenhuma remuneração
adicional, com certeza, ele prefirirá ter seu capital disponível hoje. Isso decorre do
conhecimento que se tem sobre a perda do poder aquisitivo da moeda.
Agora, apenas para refletirmos, consideremos uma sociedade onde não exista
inflação, ou seja, os preços dos bens e serviços se mantenham aproxidamente
constantes ao longo do tempo. Poderíamos indagar: Qual seria a preferência entre
dispor de certa quantia imediatamente ou em uma data futura? Aparentemente, se
for um excelente monetário (por exemplo, poupança), deveria haver uma indiferença
entre ter disponibilidade do dinheiro hoje ou em uma data futura, dado que, qualquer
que seja a época, poder-se-ia comprar a mesma quantidade de bens e serviços.
Entretanto, em termos práticos, não é isso que observamos.
Keynes (1977) identificou três razões pelas quais as pessoas mantêm preferência
pela liquidez: transação, preucação, e especulação.Desta maneira, para que um
proprietário de capital abra mão de sua disponibilidade de capital ele precisa ser
convencido a fazê-lo. Existem diversas maneiras de convencê-lo a imobilizar o seu
capital em algum empreendimento por certo período de tempo.
Importante! Em economias inflacionárias é sabido que, com a mesma quantia
de dinheiro, pode-se comprar mais hoje do que em uma data futura.
Importante! Mesmo em economias sem inflação, temos que a preferência pela
liquidez persiste.
12
Administração Financeira E Orçamentária
Figura 02: Razões para preferência da liquidez. .
A forma mais antiga e também a mais usada até os dias de hoje é acenar para o
proprietário de capital (investidor em potencial) com uma promessa atrativa de
pagamento futuro. Essa promessa deve reconstituir, em termos de poder de compra, o
capital imobilizado e proporcionar algum ganho pelo fato de se abrir mão da liquidez do
capital por um dado período. A remuneração paga pela imobilização do capital por um
dado período de tempo, o qual denominamos de juro, como veremos mais a frente.
Ressaltamos, que para o tomador de recursos financeiros, os juros significam os
custos da imobilização do capital num dado período. Sabemos que os juros são
expressos por uma taxa que incide sobre o valor imobilizado por período de tempo.
Dessa forma, a taxa de juros pode ser vista como a remuneração de uma unidade de
capital imobilizada ao longo de uma unidade de tempo.
O problema que aparece nesse sentido e é comum as nossas vidas, tanto como
pessoa física como gestores, é o de qual deve ser o valor da taxa de juros na respectiva
operação financeira desenvolvida ou a ser desenvolvida. Por exemplo, para o caso de
um investidor deve ponderar ao estabelecer ganho que deseja pela imobilização de seu
capital? Desta maneira, aparentemente parece óbvio que esse ganho deva estar
associado com o grau de certeza de seu recebimento e com o período de imobilização.
Importante! Dado que uma promessa atrativa de pagamento no futuro não
significa certeza absoluta de recebimento, o investidor procura compensar essa
incerteza exigindo um ganho maior.
13
Administração Financeira E Orçamentária
Logo, esperase que quando o investidor abre mão da liquidez do capital por um
dado período de tempo, dentre outras coisas, leve em conta suas expectativas de ganhos
e os riscos associados.
Portanto, existe sempre um dilema entre um dado valor monetário hoej e um dado
valor monetário no futuro, sendo que a análise desse dilema é a essência da Matemática
Financeira, como mostramos na Figura 03 abaixo.
Dinheiro no Futuro
0 1 2 3 4 ... n – 1 n
versus
Dinheiro Hoje
Figura 03: Discussão Clássica da Matemática Financeira.
Desta forma, concluímos que:
3.3 Os Termos Centrais da Matemática Financeira: Tempo e
Dinheiro
Resumindo! Mesmo em economias não inflacionárias, os agentes econômicos
percebem que o dinheiro muda de valor no tempo. Consequentemente a partir
desse comportamento, as sociedades assimilaram o conceito de juro e
desenvolveram mercados baseados no binômio disponibilidade imediata
versus expectativa de ganhos futuros.
Importância! A Matemática Financeira constitui o ramo da Matemática
que estuda a mudança do valor do dinheiro no tempo tendo por base
certa taxa de juro. O estudo das formas como valores monetários de
hoje se relacionam com valores monetários futuros é o objetivo
principal desse ramo da Matemática.
14
Administração Financeira E Orçamentária
Para entendermos estes termos centrais da Matemática Financeira, consideremos a
seguinte situação: Se algum amigo lhe pedisse uma quantia de R$1.000,00 emprestados
para lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a um ano, você acharia a proposta
atraente? Por melhor que seja seu amigo, com certeza esse pedido não lhe agradaria.
Algumas questões surgiriam em sua mente:
Será que ele me pagará na data prevista?
Será que o poder de compra dos R$1.000,00 permanecerá inalterado
durante um ano inteiro?
Contudo, se eu permanecesse com o dinheiro, poderia consumi-lo,
satisfazendo as minhas necessidades, ou poderia aplicá-lo na Caderneta de
Poupança, por exemplo, ganhando os juros e rendimentos do período.
De modo intuitivo, você não estaria levando em consideração o principal aspecto
da Matemática Financeira:
Figura 04: Os termos centrais da Matemática Financeira: tempo e dinheiro.
Sabemos que diversas razões influenciam a preferência pela posse atual do
dinheiro:
Risco: existe sempre a possibilidade de não ocorrerem os planos conforme o
previsto; em outras palavras, sempre haverá o risco de não receber os valores
programados em decorrência de fatos imprevistos.
Dinheiro tem custo associado ao tempo!
15
Administração Financeira E Orçamentária
Utilidade: o investimento implica deixar de consumir hoje para consumir no futuro,
o que somente será atraente se existir alguma compensação.
Oportunidade: se os recursos monetários são limitados, a posse deles, no presente,
permite aproveitar as oportunidades mais rentáveis que surgirem.
Figura 05: Fatores que influenciam a preferência pela posse do dinheiro.
Desta forma, existe um custo associado à posse do dinheiro no tempo, estudado
pela Matemática Financeira e discutido ao longo da nossa disciplina.
A Matemática Financeira compreende um conjunto de técnicas e formulações
extraídas da Matemática, com o objetivo de resolver problemas relacionados às
Finanças de modo geral, e que, basicamente, consistem no estudo do valor do dinheiro
ao longo do tempo.
Por sua vez, o valor do dinheiro no tempo relaciona-se à idéia de que, ao longo do
tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função de ter-se a oportunidade de aplicá-lo,
obtendo-se, assim, uma remuneração (juros) sobre a quantia envolvida, quer em função
de sua desvalorização por causa da inflação.
Desta forma, sempre devemos respeitar alguns princípios básicos, que são:
Risco
Utilidade
Oportunidade
Inflação pode ser entendida como sendo a perda do poder de compra da moeda.
16
Administração Financeira E Orçamentária
Só podemos comparar valores (R$) se estes estiverem referenciados na mesma
data.
Só podemos efetuar operações algébricas com valores referenciados na mesma
data.
Como o tempo, é uma das variáveis principais para a Matemática Financeira,
existem duas formas básicas para considerar a evolução do custo do dinheiro no tempo,
ou seja, dois Regimes de Capitalização: o Regime de Capitalização Simples ou
Regime de Capitalização Linear (RCS) e o Regime de Capitalização Composto ou
Regime de Capitalização Exponencial (RCC).
Figura 06: Os dois regimes de capitalização.
Desta forma, podemos descrever os dois regimes de capitalização como segue.
Regime de Capitalização Simples (RCS) – comporta-se como se fosse uma
progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo.
Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação
(aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros
acumulados. É também chamado de Regime Linear de Juros.
Regimes de Capitalização
Regime Linear
Regime Exponencial
Entendemos por Regime de Capitalização o esquema segundo o qual será cobrado juro por um capital aplicado.
17
Administração Financeira E Orçamentária
Regime de Capitalização Composto (RCC) – incorpora ao capital não somente os
juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até
o momento anterior. É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica
(PG), pelo qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período
correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial). Também conhecido como
Regime Exponencial de Juros.
Independentemente da forma de capitalização dos juros, sempre existirão em
problemas de Matemática Financeira alguns elementos básicos, que enumeramos logo
abaixo.
Capital Inicial ou Valor Presente ou Principal: é a quantidade de moeda (ou
dinheiro) que um indivíduo tem disponível e concorda em ceder a outro,
temporariamente, mediante determinada remuneração. Provém do inglês Present
Value. Notação: PV, P ou C.
Taxa de Juros: vem do inglês interest rate (taxa de juros). Geralmente, está
relacionada à sua forma de incidência. Pode ser diária, semanal, quinzenal, mensal,
semestral, anual, entre outras. Essa taxa pode ser expressa em forma percentual (5%
ao mês), ou na forma unitária (0,05 ao mês). Embora seu valor seja comumente
representado em forma de taxa percentual ao período, matematicamente, a taxa de
juros deve ser operada em sua forma unitária. Notação: i = taxa.
Juros: equivalem ao aluguel do dinheiro, ou seja, é o nome que se dá à remuneração
paga para que um indivíduo ceda temporariamente o capital que dispõe.Notação: J
= juros.
Montante ou Valor Futuro: é o resultado da aplicação do capital inicial.
Matematicamente, representa a soma do capital inicial mais os juros capitalizados
durante o período. Em algumas situações, como nas operações de desconto
comercial (ou desconto bancário D = N.i.n), o valor futuro também é denominado
valor nominal. É, portanto, a quantidade de moeda (ou dinheiro) que poderá ser
usufruída no futuro. Provém do inglês Future Value. Notação: FV ou M.
Tempo ou período de capitalização: corresponde à duração (em dias, semanas,
meses, anos, etc.) da operação financeira. É comumente expresso em unidades do
período a que se refere. Notação: n.
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Administração Financeira E Orçamentária
Figura 07: Elementos básicos da Matemática Financeira.
3.4 Uma Ferramenta Indispensável para a Análise Financeira: O
Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC)
Para um melhor entendimento das diversas operações que aparecem no âmbito
financeiro, temos uma representação gráfica bastante prática e relevante. Em outras
palavras, para facilitar a representação das operações financeiras ao qual discutimos ao
longo da disciplina e no meio empresarial, usualmente empregamos uma representação
gráfica denominada de Diagrama de Fluxo de Caixa ou, simplesmente, DFC, que
consiste na representação gráfica da movimentação de recursos ao longo do tempo
(entradas e saídas de caixa).
Figura 08: O Diagrama de Fluxo de Caixa.
Present Value (Valor Presente)
Taxa de Juros
JurosFuture Value
(Valor Futuro)Tempo
19
Administração Financeira E Orçamentária
De forma bastante simples, nesta representação gráfica destacar alguns aspectos
fundamentais, que são:
A escala horizontal representa o tempo, que pode ser expresso de qualquer uma
das formas, por exemplo, em dias, semanas, meses, anos, etc.
Os valores (ou os pontos) 0 e n indicam as posições relativas entre as datas. Assim,
o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o número
de períodos passados. Caso a unidade de tempo utilizada seja meses, então
consideramos n meses e, assim por diante.
As entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Desta maneira, é
associado o sinal positivo e estas entradas são representadas por setas apontadas
para cima.
As saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Desta forma, é associado o
sinal negativo e estas saídas são representadas por setas apontadas para baixo.
Figura 09: Os elementos formadores do DFC.
Em termos práticos, basicamente temos duas situações gerais, que
geometricamente, ilustramos abaixo, ou seja, as diferentes abordagens de Diagramas de
Fluxo de Caixa para operações de empréstimo e aplicação. Cabe ressaltar, que quando
desenhamos ou caracterizamos um DFC de uma operação é interessante ficar claro a
visão pelo qual o mesmo está sendo interpretado. Desta forma, abaixo analisamos o
20
Administração Financeira E Orçamentária
DFC de empréstimo na visão da pessoa que pega determinada quantia emprestada e de
outra forma, no DFC de aplicação na visão da pessoa que aplica certa quantia.
Figura 10: Diagramas de Fluxo de Caixa.
Vejamos alguns exemplos introdutórios que ilustram algumas situações de
aplicação do DFC.
Consideremos a seguinte situação: O Diagrama de Fluxo de Caixa de um
empréstimo contraído por alguém no valor de R$300,00, que será
quitado mediante pagamento de R$340,00, daqui a seis meses, pode ser
visto na Figura 11 abaixo:
Figura 11: Diagrama de Fluxo de um empréstimo no valor de R$300,00.
Vamos representar o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no
valor de R$500,00 que será resgatado em três parcelas iguais, mensais,
no valor de R$200,00.
21
Administração Financeira E Orçamentária
Neste caso, temos a seguinte disposição geométrica representando o
contexto financeiro acima.
Figura 12: O DFC do exemplo acima.
Por exemplo, verifiquemos a seguinte situação que aparece comumente em
situações cotidianas.
(Situação Comum do dia-a-dia) Por exemplo, determinada empresa
compra um certo componente eletrônico para confecção de um de seus
principais produtos. A compra deste componente custa a vista R$100,00,
ou pode ser paga em duas parcelas mensais (sendo uma entrada no ato)
no valor de R$60,00. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela
distribuidora que repassa tal componente?
Salientamos que aparentemente parece uma resposta muito óbvia, mas
devemos sempre ter cuidado com as respostas imediatas. Sendo assim,
antes da análise detalhada do Diagrama de Fluxo de Caixa desta operação, um leigo,
em um primeiro momento, poderia achar que, já que se pagou R$120,00 (duas parcelas
de R$60,00) para o componente financiado no valor de R$100,00, à taxa seria igual a
20%. Embora de modo intuitivo, notemos que este raciocínio está completamente
Observação! A importância do desenho e da interpretação de Diagramas de
Fluxo de Caixa (DFC) é, em muitas ocasiões, de fundamental importância para
análises financeiras.
Solução
Solução
22
Administração Financeira E Orçamentária
errado. Em verdade, ao comprar e pagar o componente no valor de R$100,00, a
empresa já havia pago a entrada de R$60,00. Logo, financiou apenas a diferença no
valor de R$40,00, comprometendo-se a pagar R$60,00 um mês depois. Desta maneira,
a taxa de juros incidente sobre a operação foi igual a:
Agora, vamos olhar para a respresentação do DFC associado a situação
que acabamos de descrever. Ou seja, a representação geométrica da situação
descrita acima (DFC), nos auxilia e muito para o um melhor entendimento da
operação financeira apresentada, ou seja, da caracterização da taxa de juros
encontrada. Inicialmente, devemos perceber que como na data zero existem
dois valores, um positivo igual a R$100,00 e um negativo igual a R$60,00,
ambos poderiam ser representados por um valor líquido igual a R$40,00. A
Figura 13 abaixo nos mostra o raciocínio que acabamos de descrever.
Figura 13: Diagrama de Fluxo de Caixa do caso descrito anteriormente.
Notemos que temos num primeiro momento, o DFC bruto da operação e quando
realizamos o contrabalaneamento dos valores caracterizamos o DFC líquido da
operação.
Vejamos mais alguns exemplos ilustrativos para a fixação de idéias, com relação à
caracterização geométrica de situações financeiras via a construção de Diagramas de
Fluxo de Caixa.
[(60/40 – 1)x100%] = 50%
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Administração Financeira E Orçamentária
Vamos construir o diagrama de fluxo de caixa para os seguintes
pagamentos ou recebimentos:
Ano DFC (em R$)
0 (500,00)
1 250,00
2 250,00
3 150,00
4 100,00
Inicialmente, devemos salientar que toda vez que um valor do fluxo de
caixa aparecer em parênteses ele quer representar um pagamento.
Desta forma o DFC associado é dado por:
Figura 14: O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo.
Vamos construir o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir:
Importante! Sempre que um fluxo de caixa aparecer com o seu valor colocado
em parênteses, significa que o mesmo é um PAGAMENTO.
Solução
24
Administração Financeira E Orçamentária
Ano DFC (em $R)
0 (700,00)
1 500,00
2 400,00
3 300,00
4 200,00
5 (300,00)
Observando mais uma vez que os valores R$700,00 e R$300,00 que
aparecem entre parênteses representam pagamentos, neste caso, temos
o seguinte DFC associado:
Figura 15: O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo.
(Situação Comum do dia-a-dia) Um cliente do Banco AFA gostaria de
descontar uma nota promissória, no valor de R$3.000,00, cujo
vencimento é para 30 dias. O gerente do banco, além de cobrar-lhe juros
de forma antecipada de R$600,00, obriga-o a manter um Certificado de
Depósito Bancário (CDB) no valor de R$400,00 e com remuneração de
10% durante o prazo da operação. Qual o diagrama de fluxo de caixa
correspondente a esta operação financeira?
De forma análoga aos exemplos anteriores montamos o DFC associado,
respeitando obviamente as informações (dados) mostrados no enunciado.
Neste caso, temos o seguinte DFC associado:
Solução
Solução
25
Administração Financeira E Orçamentária
Figura 16: O Diagrama de Fluxo de Caixa da aplicação.
Notemos que para a data zero no DFC bruto da operação, colocamos uma
entrada de caixa (R$2.400,00 = R$3.000,00 – R$600,00), além disso, temos uma
saída de caixa no valor de R$400,00 representando o valor do CDB.
(Situação Comum do dia-a-dia) A empresa AFA Chumbo pensa em
abrir uma nova instalação industrial com investimento inicial igual a
R$300,00. Sabe-se que os gastos anuais associados aos cinco anos de
vida do negócio são estimados em R$80,00, e as receitas, em R$200,00.
Representar o diagrama de fluxo de caixa dessa operação.
Neste caso, temos a seguinte distribuição geométrica:
Figura 17: O Diagrama de Fluxo de Caixa da aplicação.
Solução
26
Administração Financeira E Orçamentária
3.5 Algumas Aplicações Práticas envolvendo os Regimes de
Capitalização
Inicialmente, devemos ressaltar que com relação ao regime de capitalização linear
de juros, ou seja, os juros simples, principalmente diante de suas restrições técnicas,
têm aplicações práticas bastante limitadas, porém é de fundamental importância o
entendimento do mesmo já que teremos que utilizar tais conceitos mesclados com o
regime composto de juros. São raras as operações financeiras e comerciais que formam
temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de capitalização linear. O uso
de juros simples restringe-se principalmente às operações praticadas no âmbito do
curto prazo.
Porém, as operações que adotam juros simples, além de apresentarem geralmente
prazos reduzidos, não costumam apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade)
por esse regime. Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores monetários
da operação (encargos a pagar, para empréstimos, e rendimentos financeiros, para
aplicações), e não para a apuração do efetivo resultado percentual.
É importante ressaltarmos, ainda, que muitas taxas praticadas no mercado
financeiro (nacional e internacional) estão referenciadas em juros simples, porém a
formação dos montantes das operações processa-se exponencialmente (juros
compostos). Por exemplo, a Caderneta de Poupança paga tradicionalmente uma taxa
de juros de 6% ao ano para seus depositantes, creditando todo mês o rendimento
proporcional de 0,5%. A taxa referenciada para esta operação é linear, porém os
rendimentos são capitalizados segundo o critério de juros compostos, ocorrendo ao
longo dos meses juros sobre juros.
Para uma avaliação mais rigorosa do custo ou da rentabilidade expressos em
porcentagem, mesmo para aquelas operações que referenciam suas taxas em juros
simples, é sugerida a utilização do critério de juros compostos.
Além disso, outros segmentos além do mercado financeiro também seguem as leis
dos juros compostos, tais como o estudo do crescimento demográfico, do
Importante! Tecnicamente mais correto por envolver a capitalização exponencial
dos juros o regime composto é reconhecidamente adotado por todo o mercado
financeiro e de capitais.
27
Administração Financeira E Orçamentária
comportamento dos índices de preços da economia, da evolução do faturamento e de
outros indicadores empresariais de desempenho, dos agregados macroeconômicos, da
apropriação contábil de receitas e despesas financeiras, etc.
Figura 18: Aplicações envolvendo os regimes de capitalização.
3.6 Estabelecimento das Notações
Um pouco mais a frente, estaremos discutindo nas entrelinhas, o desenvolvimento
de cálculos e interpretações de Diagramas de Fluxos de Caixa na calculadora HP-12C
ou no Simulador da mesma, desta maneira é importante já colocarmos às seguintes
convenções e simbologias para definirmos os elementos do Diagrama Padrão do Fluxo
de Caixa. O Quadro 01 abaixo nos apresenta tais notações e as respectivas descrições.
Tecla Descrição
n
Representa o número de períodos de capitalização de juros, expressos
em anos, semestres, trimestres ou dias. (n = 0 indica a data de hoje ou a
data do início do 1o período; n = 1 indica a data do final do 1
o período e
assim por diante).
i
Representa a taxa de juros por período de capitalização, expressa em
porcentagem (forma percentual) e sempre mencionando a unidade de
tempo considerada (ano, semestre, trimestre, mês, dia).
Aplicações práticaslimitadas
Operações praticadas no âmbito do curto prazo
Regime Linear
Amplamenteutilizado no mercadofinanceiro
Utilizado tambémpara mensurar ocomportamento dosíndices de preços daeconomia
Regime Exponencial
28
Administração Financeira E Orçamentária
Tecla Descrição
PV
Representa o Valor Presente (Present Value), ou seja, o valor do capital
inicial aplicado. Corresponde ao valor monetário colocado no diagrama
padrão de fluxo de caixa quando n = 0.
FV
Representa o Valor Futuro (Future Value), ou seja, valor do montante
acumulado no final de n períodos de capitalização, com a taxa de juros i.
Corresponde ao valor monetário colocado no diagrama padrão do fluxo
de caixa quando n = 1, 2, 3,....
PMT
Representa o Valor de cada prestação da Série Uniforme (Periodic
PayMen T) que ocorre no final de cada período. Corresponde ao valor
monetário de cada uma das prestações iguais colocadas no diagrama
padrão do fluxo de caixa quando n = 1, 2, 3, ....
3.7 Capitalização Contínua e Descontínua
Pelo que vimos anteriormente, podemos compreender Regime de Capitalização
como o processo em que os juros são formados e incorporados ao principal (ou capital).
De outra forma, podemos identificar duas formas de capitalização, que são:
A Capitalização Contínua
E
A Capitalização Descontínua
Figura 19: Os tipos de capitalização.
Tipos de Capitalização
Capitalização Discreta
Capitalização Contínua
29
Administração Financeira E Orçamentária
Referindo-se a Capitalização Contínua, temos que é um regime que se processa
em intervalos de tempo bastante reduzidos, isto é, caracteristicamente em intervalo de
tempo infinitesimal, ou seja, promovendo grande freqüência de capitalização.
Por exemplo, o faturamento de um supermercado, a formação do custo de
fabricação no processamento fabril, a formação da depreciação de um equipamento, etc.
São capitalizações que se formam continuamente, e não somente ao final de um único
período (mês, ano, etc.). A forma de capitalização contínua encontra enormes
dificuldades em aplicações práticas, sendo pouco utilizada.
Na Capitalização Descontínua temos que os juros são formados somente ao final
de cada período de capitalização. A caderneta de poupança que paga juros unicamente
ao final do período a que se refere sua taxa de juros (mês) é um exemplo de
capitalização descontínua. Os rendimentos, neste caso, passam a ocorrer
descontinuamente, somente um único momento do prazo da taxa (final do mês) e não se
distribuem pelo mês.
De conformidade com o comportamento dos juros, a capitalização descontínua
pode ser identificada tanto em juros simples como em juros compostos.
3.8 O Regime Linear de Juros: Conceito, Utilização e Fórmulas
Características
No regime de capitalização a juros simples, o cálculo dos juros em cada período
em cada período é realizado multiplicando-se a taxa de juros sempre pelo capital. Desta
forma, o valor dos juros em todos os períodos é constante e igual a:
A capitalização contínua, na prática, pode ser entendida em todo fluxo
monetário distribuído ao longo do tempo e não somente num único
instante.
Capitalização Descontínua os juros são formados apenas ao final de cada período de capitalização, como por exemplo, o que acontece com a nossa Caderneta de Poupança.
30
Administração Financeira E Orçamentária
No Brasil, esse regime de capitalização é utilizado basicamente nas operações de
empréstimo de curtíssimo prazo, até mesmo por um dia, que o mercado denomina hot
money; na cobrança de cheques especiais; nos financiamentos indexados em moeda
estrangeira; e no desconto de títulos de curto prazo, tais como duplicatas e notas
promissórias.
Em linhas gerais, os juros são calculados periodicamente: ao final de um dia, de
um mês, de um ano ou de qualquer outro período pré-fixado por ocasião de um
investimento ou empréstimo.
Se os juros possuem taxa fixa e são calculados sempre a partir da quantia
inicial, eles são denominados de juros simples, como vimos anteriormente. Neste
instante, estaremos interessados em caracterizar as fórmulas (expressões) características
deste regime de capitalização, lembrando mais uma vez que estaremos implementando
os cálculos no Simulador da HP 12C.
Consideremos a seguinte situação ilustrativa: Um empréstimo de R$2.000,00
pelo qual deverão ser pagos 5% de juros simples por mês. Para saber de quanto
serão os juros ao final de um mês, basta calcular o valor de:
No segundo mês, estes juros dobram, no terceiro triplicam, e assim por diante.
Para calcular os juros num período n de tempo, poderíamos fazer:
5% de R$2.000,00 = 0,05 x 2.000 = R$100,00
Juros = 2.000 x 0,05 x n
PV x i
31
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De modo geral, os juros simples J, resultantes da aplicação de um capital
C a uma taxa i, durante um período n de tempo, podem ser calculados pela
seguinte expressão:
Lembremos que i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo, se temos uma
taxa diária, n deverá ser calculado em dias, etc.
Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores
financeiros mediante simples dedução algébrica, ou visualização da mesma de outra
forma como apresentamos abaixo.
Vejamos alguns exemplos ilustrativos, onde utilizamos diretamente as fórmulas
apresentadas anteriormente.
J = PV x i x n
Resumindo! Neste caso, temos que:
J = PV. i. n Onde:
J = valor dos juros expressos em unidades monetárias;
PV = capital. É o valor (em R$) representativo de determinado momento;
i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária;
n = prazo.
PV = nxi
J i =
nxPV
J n =
ixPV
J
32
Administração Financeira E Orçamentária
Qual é o juro simples que um capital de R$30.000,00 produz,
quando aplicado durante cinco meses, a uma taxa de 3,5% a.m.
(ao mês)?
Neste caso, temos que:
PV = 30 000
n = 5 meses
e
i = 3,5% ao mês = 0,035 ao mês.
Daí:
J = PV x i x n
J = 30000 x 0,035 x 5
J = 5.250,00
Ou seja, o juro é de R$5.250,00.
Qual é o juro simples que um capital de R$2.500,00 rende quando
aplicado durante um ano, à taxa mensal de 2%?
Temos que PV = 2500, n = 1 ano = 12 meses, i = 2,0% ao mês = 0,02 ao
mês. Daí:
J = PVx i x n
J = 2500 x 0,02 x 12
J = 600,00
Ou seja, o juro é de R$600,00.
Um capital de R$10.000,00, investido a juros simples de 13% ao ano, foi
sacado após três meses e dez dias, a contar da data inicial do
investimento. Qual foi o juro?
Na resolução deste problema é importante tomarmos cuidado com as
Solução
Solução
Solução
33
Administração Financeira E Orçamentária
unidades de tempo. Assim:
3 meses e 10 dias = 100 dias
Daí, temos que:
J = PV x i x n
J = 10000 x 0,13 x 360
100
Observemos que o período n foi reduzido a anos, uma vez que dividimos o
número de dias por 360, que é o ano comercial.
J = 10000 x 0,13 x 360
100
J = 361,11
Ou seja, o juro é de R$361,11.
Qual é a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital
de R$5.000,00 para que este, em quatro meses e meio, renda R$720,00?
Temos que PV = 5000, n = 4 meses e meio = 4,5 meses e J = 720. Daí:
J = PV x i x n
720 = 5000 x i x 4,5
i = 5,45000
720
x
i = 0,032 ao mês, i.e., i = 3,2% ao mês
Que capital inicial rende R$2.000,00 em cinqüenta dias, a uma taxa
simples de 0,2% a.d. (ao dia)?
Temos que J = 2000, n = 50 dias e i = 0,2% ao dia = 0,002 ao dia.
Daí:
Solução
Solução
34
Administração Financeira E Orçamentária
J = PV x i x n
2000 = PV x 0,002 x 50
PV = 002,050
2000
x
PV = 20000
Ou seja, o capital inicial é de R$20.000,00.
Qual a taxa mensal de juros simples que deve incidir num capital para
que ele duplique de valor em um ano?
Neste caso, temos que o juro é igual ao próprio capital inicial. Desta
forma, temos que:
J = PV x i x n
PV = PV x i x 12
i = 12xPV
PV
i = 12
1 = 0,083333....
Ou seja, a taxa será igual a 8,33% ao mês.
3.8.1 Taxa e Período
Como vimos nos problemas de juros simples, devemos tomar o cuidado no
manejo das taxas e dos períodos de tempo, a fim de não tratá-los com unidades
diferentes.
É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com
taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Dessa
forma, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras:
Importante! Se calculada anualmente, essa mesma taxa se tornaria,
evidentemente, 100% (afinal, o capital dobrou!). Portanto:
8,33% a o mês = 100% ao ano
Solução
35
Administração Financeira E Orçamentária
a) Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-
se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário;
Figura 20: O juro comercial.
b) Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O
juro apurado desta maneira denomina-se juro exato. Neste caso, será necessário
recorrermos a uma tabela.
Figura 21: O juro exato.
Ano Comercial
1 ano = 360 dias
1 mês = 30 dias
Juro Comercial ou Ordinário
Tempo Exato
Calendário do ano civil
Juro Exato
36
Administração Financeira E Orçamentária
Por exemplo, 12% ao ano equivale pelos critérios enunciados, à taxa diária de:
a) Juro Exato: dias365
%12= 0,032877% ao dia
b) Juro Comercial: dias360
%12= 0,033333% ao dia
3.8.2 Future Value (ou Valor Futuro ou Montante)
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por
determinado tempo, produz um valor acumulado o qual denominamos de Montante
ou Valor Futuro e, identificado em juros simples por FV ou M. Em outras palavras, o
montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é:
Por outro lado, sabemos que:
Substituindo (II) em (I), obtemos que:
Importante! Na ilustração, o juro comercial diário é ligeiramente superior ao
exato pelo menor número de dias considerado no intervalo de tempo.
M = C + J (I)
J = C.i.n (II)
M = C.(1 + i.n) ou FV = PV.(1 + i.n)
37
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Evidentemente, o valor de PV desta fórmula pode ser obtido através de simples
transformação algébrica:
Salientamos que a expressão (1 + i.n) é definida como Fator de Capitalização
(ou de Valor Futuro – FCS) dos juros simples. Ao multiplicar um capital por este
fator, corrige-se o seu valor para uma data futura, determinando o montante.
O inverso, ou seja, ).1(
1
ni é denominado de Fator de Atualização (ou de
Valor Presente – FAS).
Figura 22: Fator de Capitalização e Fator de Atualização.
Vejamos alguns exemplos ilustrativos referentes ao que acabamos de apresentar
sobre o Valor Futuro.
Uma pessoa aplica R$18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses.
Determinar o valor acumulado ao final deste período.
(1 + i.n)
FCS
Fator de Capitalização
FAS
Fator de Atualização
PV = )1( nxi
FV
38
Administração Financeira E Orçamentária
Temos que PV = 18000, n = 8 meses e i = 1,5% ao mês = 0,015 ao mês.
Daí:
FV = PV x (1 + i x n)
FV = 18000 x (1 + 0,015 x 8)
FV = 20.160,00
Uma dívida de R$900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está
oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o
pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso
antecipasse a liquidação da dívida.
Temos que FV = 900000, n = 4 meses e i = 7,0% ao mês = 0,07 ao mês.
Daí:
FV = PV x (1 + i x n)
900000 = PV x (1 + 0,07 x 4)
PV = 703.125,00
Qual será o montante resultante de uma aplicação de R$29.800,00, à taxa
de 1,2% a.m., durante seis meses?
Temos que PV = 29800, n = 6 meses e i = 1,2% ao mês = 0,012 ao mês.
Daí:
FV = 29800 x (1 + 0,012 x 6)
FV = 31.945,60
Coloquei certa quantia em um banco a 12% ao ano e retirei, depois de 4
anos, R$928,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita
à base de juros simples?
Solução
Solução
Solução
39
Administração Financeira E Orçamentária
Temos neste problema que FV = 928, i = 0,12 e n = 4. É de nosso
interesse calcular J. Daí:
J = C x i x n
928 = C x 0,12 x 4
J = 0,48.C
Mas, como FV = PV + J, segue que:
928 = C + 0,48.C
928 = 1,48.C
C 623,03
Logo, o capital investido foi de R$627,03. Para encontrarmos os juros, basta
subtrair o montante do capital, ou seja, J = 928 – 627,03 = 300,97.
Emprestei uma certa quantia a 12% ao ano e recebi R$3.230,00 depois de
2 anos e quatro meses. Quanto emprestei?
Sabendo que 2 anos e 4 meses é o mesmo que 28 meses, é preciso
converter o tempo em anos. Desta forma, temos como informação n =
12
28, FV = 3230 e i = 0,12. Daí:
FV = PV x (1 + i x n)
Ou seja,
PV = nxi
FV
1
PV =
12
2812,01
3230
x
PV 2.523,44
A que taxa anual um certo capital deve ser aplicado para que, num prazo
de 2 anos, triplique de valor?
Solução
Solução
40
Administração Financeira E Orçamentária
Neste caso, para um capital PV, temos que FV = 3.PV e n = 2 anos,
daí:
FV = PV x (1 + i x n)
Ou seja,
3.PV = PV x (1 + i x 2)
i = 1 ao ano, ou seja, 100%
Portanto, a taxa anual é de 100% para que o capital triplique de valor em dois
anos.
3.8.3 Estudo de Taxas: Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Para compreendermos de forma mais clara o significado destas taxas deve-se
reconhecer que toda operação envolve dois prazos:
(1) O prazo a que se refere à taxa de juros;
E
(2) O prazo de capitalização (ocorrência) dos juros.
Por exemplo, vamos admitir um empréstimo bancário a uma taxa (custo) nominal
de 24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros é anual. A
seguir, deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. Ao se estabelecer
que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos
considerados são coincidentes.
O crédito direto ao consumidor promovido pelas Financeiras é outro exemplo de
operação com prazos iguais. Caracteristicamente, a taxa cobrada é definida ao mês e os
juros capitalizados também mensalmente.
Porém em diversas outras operações estes prazos não são coincidentes. O juro
pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta situação ser
definido como o prazo da taxa será rateado ao período de capitalização.
Por exemplo, sabe-se que a Caderneta de Poupança paga aos seus depositantes
uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é empregada (capitalizada) ao principal todo
mês através de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois prazos –
prazo da taxa: ano e prazo de capitalização: mês.
Solução
41
Administração Financeira E Orçamentária
Como vimos anteriormente, devemos expressar estes prazos diferentes na mesma
base de tempo. Ou transforma-se o prazo específico da taxa para o prazo de
capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização passa a ser expresso na
unidade de tempo da taxa de juros.
No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, esta
transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros também
denominada de taxa linear ou taxa nominal. Esta taxa proporcional é obtida da
divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que
ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).
Por exemplo, para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização for
definida mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de
juros indicará sobre o capital a cada mês será:
Taxa proporcional = 12
%18 = 1,5% ao mês
A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em
operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos
bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre saldo devedor de
conta corrente bancária, etc.
Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$2.000,00:
À taxa de 4% ao mês, durante 6 meses;
À taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres.
No primeiro caso, temos:
..04,0..%4
6
000.2
mamai
mesesn
PV
Logo:
J = 2.000 x 6 x 0,04 = R$480,00.
Importante! As taxas de juros se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro.
42
Administração Financeira E Orçamentária
No segundo caso, temos:
..12,0..%12
2
000.2
tatai
trimestresn
PV
Daí:
J = 2.000 x 2 x 0,12 = R$480,00
Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% ao mês e 12% ao
trimestre são taxas equivalentes.
3.8.4 Equivalência Financeira a Juros Simples
O problema da equivalência financeira constitui-se no raciocínio básico da
Matemática Financeira.
Definição(Capitais Equivalentes): Dois ou mais capitais representativos de uma
certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem
resultados iguais numa data comum (denominada data focal).
Por exemplo, R$120,00 vencíveis daqui a um ano e R$100,00, hoje, são
equivalentes a uma taxa de juros simples de 20%, uma vez que os R$100,00,
capitalizados, produziriam R$120,00 dentro de um ano, ou os R$120,00, do final do
primeiro ano, resultariam em R$100,00 se atualizados para hoje. Ou seja, ambos os
capitais produzem, numa data de comparação (data focal) e a taxa de 20% ao ano,
resultados idênticos.
Vamos interpretar graficamente o raciocínio descrito anteriormente:
Importante! No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou
lineares) e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente à
classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes, ou seja:
Juros Simples: Taxas equivalentes Taxas proporcionais
43
Administração Financeira E Orçamentária
FV = 100,00 x (1 + 0,20 x 1)
R$ 100,00 Cn
R$120,00
PV = )12,01(
00,120
x
Figura 23: Interpretação geométrica do raciocínio acima.
Vamos determinar se R$438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é
equivalente a se receber hoje R$296.000,00, admitindo uma taxa de juros
simples de 6% ao mês.
Neste caso, temos a seguinte disposição geométrica:
FV = 296000 x (1 + 0,06 x 8)
R$ 296.000,00 R$438.080,00
0 8
PV = )806,01(
438080
x
Figura 24: Interpretação geométrica do exemplo acima.
Observemos que:
FV = 296000 x (1 + 0,06 x 8) = R$438.080,00
e
PV = )806,01(
438080
x= R$296.000,00
Desta maneira, concluímos que R$296.000,00 hoje é equivalente a R$438.000,00
daqui a 8 meses considerando uma taxa de juros linear igual a 6% ao mês.
0 8
Solução
44
Administração Financeira E Orçamentária
Nosso objetivo agora é generalizar este raciocínio. A equivalência de capitais
pode então ser generalizada a partir da seguinte representação gráfica:
A1 A 2 B 1 B 2 B3
_____________________________________________ _ _ _ _ _
0 1 2 3 4 5 n
Os capitais A 1 , A 2 e B 1 , B 2 , B 3 dizem-se equivalentes se, quando expressos em
valores de uma data comum (data de comparação ou data focal), e a mesma taxa de
juros, apresentam resultados iguais.
Por exemplo, se escolhermos como data de comparação no momento n = 0, tem-
se que:
Por outro lado, se escolhermos como data de comparação o momento n = 6, tem-
se que:
E, assim sucessivamente.
Generalizando o Caso Anterior
)51()41()31()21()11(
32121
xi
B
xi
B
xi
B
xi
A
xi
A
A 1 .(1 + i x 5) + A 2 .(1 + i x 4) = B 1 .(1 + i x 3) + B 2 .(1 + i x 2) + B 3 .(1 + i x 1)
45
Administração Financeira E Orçamentária
Geometricamente, podemos observar tal situação na Figura Graficamente, temos:
Figura 25: Disposição gráfica da observação anterior.
O fracionamento em juros simples leva a resultados discrepantes, dado que:
Como resultado das distorções produzidas pelo fracionamento do prazo, a
equivalência de capitais em juros simples é dependente da data de comparação
escolhida (data focal).
Observação! Na questão da equivalência financeira em juros simples, é
importante ressaltar que os prazos não podem ser desmembrados
(fracionados) sob pena de alterar os resultados. Em outras palavras, dois
capitais equivalentes, ao fracionar os seus prazos, deixam de produzir o
mesmo resultado na data focal pelo critério de juros simples. Por exemplo,
admitamos que o montante final de dois anos de R$100,00 aplicados hoje, à
taxa de juros simples de 20% ao ano, é igual a R$140,00. No entanto, este
processo de capitalização linear não pode ser fracionado de forma alguma.
Por exemplo, apurar inicialmente o montante ao final do primeiro ano e, a
partir daí, chegar ao montante do segundo ano envolve a capitalização dos
juros (juros sobre juros), prática esta não adotada no regime de juros
simples.
PV.(1 + 0,2 x 2) PV.(1 + 0,2 x 1).(1 + 0,2 x 1)
46
Administração Financeira E Orçamentária
Figura 26: A dependência da equivalência de capitais com a data focal: regime simples.
A título de ilustração, consideremos a seguinte situação: Vamos admitir
que A deva a B os seguintes pagamentos:
R$50.000,00 de hoje a 4 meses;
R$80.000,00 de hoje a 8 meses.
Suponhamos que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento, em
substituição ao original. A proposta de A é a de pagar R$10.000,00 hoje, R$30.000,00
de hoje a 6 meses, e o restante ao final do ano. Sabe-se que B exige uma taxa de juros
simples de 2,0% ao mês. Esta taxa é a que consegue obter normalmente em suas
aplicações de capital. Sendo assim, vamos apurar o saldo a ser pago.
Para facilitar no nosso entendimento, apresentamos na Figura 24 abaixo a
disposição geométrica do problema apresentado, onde convencionamos
representar a dívida original na parte superior, e a proposta alternativa de pagamento na
parte inferior.
Figura 27: Representação gráfica do exemplo anterior.
Esquema
Original
Esquema
Proposto
Solução
47
Administração Financeira E Orçamentária
A ilustração que apresentamos é de substituição de uma proposta de pagamentos
por outra equivalente. Para serem equivalentes, os pagamentos devem produzir os
mesmos resultados, a uma determinada taxa de juros, em qualquer data comum.
Inicialmente, vamos admitir que a data focal selecionada é o momento hoje. Assim, ao
igualar os pagamentos das propostas em valores representativos da data focal escolhida,
tem-se:
DATA FOCAL = 0
)1202,01()602,01(
00,000.3000,000.10
)802,01(
00,000.80
)402,01(
00,000.50
x
X
xxx
46.296,30 + 68.965,50 = 10.000,00 + 26.785,70 + 24,1
X
Ou seja,
X = R$97.310,40
Suponhamos que B resolva definir o mês 12 a data focal para determinar o valor
do saldo a ser pago. Expressando-se os pagamentos na data focal escolhida, tem-se:
DATA FOCAL = 12
50.000,00 x (1 + 0,02 x 8) + 80.000,00 x (1 + 0,02 x 4) = 10.000,00 x (1 + 0,02 x 12) +
30.000,00 x (1 + 0,02 x 6) + X
Ou seja,
144.400,00 = 46.000,00 + X
Portanto,
X = R$98.400,00
Como resultado, verifica-se que o saldo a pagar altera-se quando a data focal é
modificada. Esta característica é típica de juros simples (em juro composto este
comportamento não existe), sendo explicada pelo fato de não ser aceito o fracionamento
dos prazos.
48
Administração Financeira E Orçamentária
Vejamos alguns exemplos que ilustram a aplicabilidade dos conceitos discutidos
anteriormente no regime de capitalização simples.
Suponhamos que uma pessoa aplicou em uma instituição financeira
R$18.000,00 resgatando R$21.456,00 quatro meses depois. Calcular a
taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação.
Temos que PV = 18.000,00, FV = 21.456,00 e n = 4 meses. Daí:
21.456,00 = 18.000,00 x ( 1 + 4 x i)
1,192 = 1 + 4i
4i = 0,192
i = 0,048 que representa 4,8% ao mês
Se uma determinada pessoa necessitar de R$100.000,00 daqui a 10
meses, quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que
remunera à taxa linear de 12% ao ano?
Temos que FV = 100.000,00, n = 10 meses e i = 12% ao ano ou i =
12
%12 = 1% ao mês = 0,01 a.m. Daí:
FV = PV x ( 1 + i x n)
100.000,00 = PV x ( 1 + 0,01 x 10)
PV = 90.909,09
Vamos determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um
capital triplique de valor após 2 anos.
Importante! Na prática, a definição da data focal em problemas de
substituição de pagamentos no regime de juros simples deve ser decidida
naturalmente pelas partes, não se verificando um posicionamento técnico
definitivo da Matemática Financeira.
Solução
Solução
49
Administração Financeira E Orçamentária
Temos que PV = 1, FV = 3 e n = 24 meses = 12 bimestres. Daí:
3 = 1 x ( 1 + i x 12)
3 = 1 + 12.i
12i = 2
i = 0,166666... ou 16,666666...% a.b. (ao bimestre)
Um título com valor nominal de R$7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa
de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor desse título:
a) Hoje;
b) Dois meses antes de seu vencimento;
c) Um mês após o seu vencimento.
Neste caso, temos que:
a) Valor do Título Hoje = C 0 =
412
312,01
00,200.7
x
= 104,1
00,200.7 = R$6.521,74 (Neste
caso devemos atualizar)
b) Valor do Título Dois Meses antes do Vencimento = C 2 =
212
312,01
00,200.7
x
=
052,1
00,200.7 = R$6.844,11 (Neste caso devemos atualizar)
c) Valor do Título Um mês após o Vencimento = C 5 = 7.200,00 x ( 1+ 12
312,0 x 1) =
R$7.387,20 (Neste caso devemos capitalizar)
Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$25.000,00 e R$56.000,00 cada. O
primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O devedor
deseja propor a substituição destas suas obrigações por um único pagamento
ao final do 5 0 mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples,
determinar o valor deste pagamento único.
Vamos denotar por M a quantidade a ser encontrada, ou seja, o valor
deste pagamento único o qual temos que determinar. Desta maneira,
Solução
Solução
Solução
50
Administração Financeira E Orçamentária
temos a seguinte disposição geométrica:
Data Focal: mês 5 (ou quinto mês), ou seja, devemos capitalizar os dois capitais
para o Momento 5.
Desta maneira, temos que:
M = 25.000,00 x ( 1 + 0,03 x 3) + 56.000,00 x ( 1 + 0,03 x 2)
M = 27.250,00 + 59.360,00
M = 86.610,00
Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros:
R$35.000,00 vencíveis no fim de 3meses;
R$65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses.
Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras
aplicando-as em uma conta de poupança que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-
se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que
possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem
deixar saldo final na conta.
Temos a seguinte disposição geométrica:
0 2 3 5
25.000,00 56.000,00
M
Solução
51
Administração Financeira E Orçamentária
Data Focal: data zero (hoje) - (Neste caso devemos atualizar os dois capitais)
Além disso, i = 66% ao ano = 5,5% ao mês ou 0,055 ao mês. Logo:
C0 =
)5055,01(
00,000.65
)3055,01(
00,000.35
xx (Neste caso devemos atualizar os dois capitais)
C0 = 30.042,92 + 50.980,39
C0 = 81.023,31
A pessoa, depositando hoje R$81.023,31 numa poupança que paga 5,5% ao mês
de juros simples, terá condições, com este capital aplicado, de resgatar suas dívidas nas
respectivas datas de vencimento. Logo, ao capitalizar o capital aplicado para os
momentos 3 e 5, o resultado registrado deve ser igual ao valor dos pagamentos, isto é:
Momento 3 = 81.023,31x (1 + 0,055 x 3) = R$ 94.392,16
(–) Resgate (35.000,00)
Momento 5 = 59.392,16 x (1 + 0,055 x 2) = R$ 65.925,30
(–) Resgate (65.000,00)
Observemos que o saldo remanescente de R$925,30 é devido à capitalização dos
juros (regime linear), já que vimos anteriormente que neste regime o prazo da operação
não pode ser fracionado, originando-se daí a diferença que encontramos.
Saldo: R$925,30
Saldo: R$53.392,16
C0
3
35.000,00
5
65.000,00
52
Administração Financeira E Orçamentária
Uma dívida no valor de R$48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor
pretende resgatar a dívida pagando R$4.800,00 hoje, R$14.000,00 de hoje dois
meses, e o restante um mês após a data do vencimento. Sendo o momento
deste último pagamento definido como a data focal da operação, e sabendo-se
ainda que é de 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operação,
determinar o montante do pagamento.
Temos a seguinte disposição geométrica:
Data Focal: Momento 7 – Devemos capitalizar todos os capitais (4.800,00,
14.000,00 e 48.000,00) para a data 7 (mês 7).
Logo:
48.000,00 x 112
348,01 x = 4.800,00 x 7
12
348,01 x + 14.000,00 x 5
12
348,01 x + M
43.392,00 = 5.774,40 + 16.030,00 + M
M = R$27.587,60
3.9 Juros Compostos
Aqui estaremos discutindo o segundo regime de capitalização, que é o regime
composto de juros, popularmente conhecido por “juros sobre juros”, ou ainda como
regime de capitalização exponencial. Cabe ressaltarmos também, que este regime é o
mais utilizado em aplicações financeiras diversas, desde finanças pessoais até finanças
empresariais.
0 2 6 7
4.800,00 14.000,00
48.000,00
M
Dívida Original
Solução
53
Administração Financeira E Orçamentária
3.9.1 Aspectos Introdutórios dos Juros Compostos
Já vimos que os juros simples são aqueles calculados à taxa fixa, sempre a partir
da mesma quantia inicial (capital inicial).
Agora, nosso objetivo é apresentar os principais aspectos relacionados às
operações no regime de capitalização composto. O regime de juros compostos
considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o
montante (capital + juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros
no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos
juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos anteriores), e assim por
diante.
Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros
simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os
juros formados em períodos anteriores.
Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples,
principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos. No critério
composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data, retratando
melhor a realidade das operações que o regime linear.
Figura 28: Interpretação dos dois regimes de capitalização.
Os juros são calculados apenas em cima da quantiainicial.
• Juros Simples
Os juros são determinados sobre o montante do períodologo anterior, temos neste caso juros sobre juros.
• Juros Compostos
No critério de juros compostos consideramos que os juros formados num período sejam determinados sobre o montante do período anterior. Falamos que os juros são capitalizados variando exponencialmente em função do tempo.
54
Administração Financeira E Orçamentária
3.9.2 As Fórmulas Características no Regime Exponencial
No regime de capitalização composto (RCC), ou regime de juros compostos, a
incidência de juros ocorre sempre de forma acumulativa, ou seja, os juros são
capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente (a taxa de juros incidirá
sobre o montante acumulado no final do período imediatamente anterior).
Por exemplo, consideremos a seguinte situação: Em uma operação de empréstimo
de R$100,00 por três meses, a uma taxa de 60% ao mês, os juros de cada período
incidirão sempre sobre o montante do final do período anterior. Desta maneira, a
composição dos valores futuros, mediante o emprego de juros simples e compostos,
pode ser vista no Quadro 02 abaixo:
Quadro 02: Capitalizações: simples e composta.
n FV (Regime Linear) FV (Juros Compostos)
0 100,00 100,00
0,1 106,00 104,81
0,5 130,00 126,49
0,8 148,00 145,65
1 160,00 160,00
2 220,00 256,00
3 280,00 409,60
Notemos que:
O Valor Futuro calculado no regime de capitalização composta supera aquele
obtido no regime de capitalização simples para períodos superiores à unidade. Para
períodos menores que 1, o Valor Futuro, calculado mediante o emprego de juros
simples é maior.
No regime de capitalização a juros compostos, o cômputo dos juros é realizado,
no primeiro período, multiplicando-se a taxa de juros pelo capital. A partir do
segundo período, calculam-se os juros em cada período multiplicando a taxa de
juros pelo montante acumulado no fim de cada período imediatamente anterior
(juros sobre juros). Os juros são incorporados, a cada período, a partir do
montante acumulado no fim de cada período imediatamente anterior. Por
conseguinte, o valor dos juros cresce exponencialmente com o passar dos
períodos.
55
Administração Financeira E Orçamentária
Vejamos a interpretação geométrica comparativa entre os dois regimes de
capitalização com relação a formação do Valor Futuro, como mostrado na Figura 29
abaixo.
Figura 29: Evolução do valor futuro.
Observemos que a forma de capitalização da taxa de juros no regime de
capitalização composta impede quaisquer operações de multiplicação ou divisão de
taxas de juros. Para tornar compatíveis taxas e prazos, converta sempre os prazos
para a mesma base das taxas fornecidas. Evite, mais uma vez, converter taxas.
Para melhor entendermos este contexto e definir as fórmulas de cálculo a serem
utilizadas, admita ilustrativamente uma aplicação de R$1.000,00 a taxa composta de
10% ao mês. Denotando por PV o Valor Presente (capital) e FV o Valor Futuro
(Montante), têm-se os seguintes resultados ao final de cada mês:
Final do 1 0 mês: O capital de R$1.000,00 produz juros de R$100,00 (10% x
R$1.000,00) e um montante de R$1.100,00 (R$1.000,00 + R$100,00), ou seja:
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) = R$1.100,00
CUIDADO!
No Regime de Juros Compostos
Nunca multiplique ou divida a taxa de juros!!!
56
Administração Financeira E Orçamentária
Final do 2 0 mês: O montante do mês anterior (R$1.100,00) é o capital deste 2 0
mês, servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Desta forma:
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) 2 = R$1.210,00
O montante do 2º mês pode ser assim decomposto:
R$1.000,00 capital aplicado
R$100,00 juros referentes ao 1 0 mês (10% x R$1.000,00)
R$100,00 juros referentes ao 2 0 mês (10% x R$1.000,00)
R$10,00 juros sobre os juros produzidos no 1 0 mês (10% x R$100,00)
Final do 3 0 mês: Dando seqüência ao raciocínio de juros compostos:
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) 3 = R$1.331,00
Final do enésimo mês: Aplicando-se a evolução dos juros compostos exposta
para cada um dos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do
período atinge:
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x ...x (1 + 0,10)
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) n
Generalizando, temos que:
Onde (1 + i) n é o Fator de Capitalização (ou de Valor Futuro), - FCC (i, n) a
juros compostos, e ni)1(
1 o Fator de Atualização (ou de Valor Presente) – FAC (i,
n) a juros compostos.
A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros
compostos se processa mediante a aplicação destes fatores, conforme podemos
visualizar na Figura 03 abaixo:
FV = PV x (1 + i) n e PV = ni
FV
)1(
57
Administração Financeira E Orçamentária
Figura 30: Movimentação de um capital na escala de tempo a juros compostos.
Se olharmos de outra forma, sabemos que o valor monetário dos juros (J) é
apurado pela diferença entre o Valor Futuro (FV) e o Valor Presente (PV), podendo-
se obter o seu resultado também pela seguinte expressão:
Como
Colocando-se PV em evidência, obtemos:
Resumindo, da equação geral para capitalização composta, é possível deduzirmos
outras equações (equações derivadas) que nos permite a obtenção direta do valor
presente, da taxa ou do prazo da operação com as notações descritas abaixo.
J = FV – PV
FV = PV x (1 + i) n
J = PV x [(1 + i) n – 1]
58
Administração Financeira E Orçamentária
Figura 31: Principais Fórmulas no Regime de Capitalização Composta.
Vejamos alguns exemplos ilustrativos, onde aplicamos as fórmulas apresentadas
anteriormente.
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$12.000,00 em um título
pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?
Do enunciado do problema temos que: PV = 12.000,00, i = 3,5% ao
mês = 0,035 a.m. e n = 8 meses.
Daí:
FV = PV x (1 + i) n
FV = 12.000,00 x (1 + 0,035) 8
FV = 15.801,71
Ou seja, o valor de resgate desta aplicação é igual a R$15.801,71.
NOTA IMPORTANTE!
Estaremos colocando mais alguns exemplos envolvendo cálculos algébricos, mas
ressaltamos mais uma vez que será de nosso interesse a implementação de
exemplos no simulador da HP 12C.
Solução
59
Administração Financeira E Orçamentária
Vamos encontrar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de
R$40.000,00 que produz um montante de R$43.894,63 ao final de um
quadrimestre.
Do problema temos que: PV = 40.000,00, n = 4 meses e FV =
43.894,63.
Daí:
FV = PV x (1 + i) n
3.894,63 = 40.000,00 x (1 + i) 4
00,000.40
63,894.43 = (1 + i) 4
1,097366 = (1 + i) 4
4 097366,1 = 4 4)1( i
1,0235 = 1 + i
i = 0,0235 ou 2,35% ao mês
Ou seja, a taxa de juros mensal composta é igual a i = 2,35% ao mês.
Uma aplicação de R$22.000,00, efetuada em certa data produz, à taxa
composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$26.596,40 em
certa data futura. Calcular o prazo da operação.
Do problema temos que: PV = 22.000,00, i = 2,4% ao mês = 0,024
a.m. e FV = 26.596,40.
Daí:
FV = PV x (1 + i) n
26.596,40 = 22.000,00 x (1 + 0,024) n
00,000.22
40,596.26 = (1,024) n
1,208927 = (1,024) n
log (1,208927) = log (1,024) n
0,082400 = n x log(1,024)
n = )024,1log(
082400,0
n = 8 meses
Solução
Solução
60
Administração Financeira E Orçamentária
Portanto, o prazo de tal operação é igual a 8 meses.
Determinar o juro pago de um empréstimo de R$88.000,00 pelo prazo de
5 meses á taxa composta de 4,5% ao mês.
Do problema temos que: PV = 88.000,00, n = 5 meses e i = 4,5% a.
m. = 0,045 a.m.
Daí:
J = PV x [ (1 + i) n – 1]
J = 88.000,00 x [ (1 + 0,045) 5 – 1]
J = 21.664,02
Ou seja, o juro pago por este empréstimo é igual a R$21.664,02.
Colocada em um banco, uma quantia rendeu R$40.000,00 a juros
compostos de 2% ao mês, durante 5 meses. Calcular essa quantia.
Do enunciado do problema temos que: FV = 40000, i = 2% ao mês =
0,02 a.m. e n = 5 meses e queremos determinar o valor de PV.
Daí:
FV = PV x (1 + i) n
40000 = PV x (1 + 0,02) 5
40000 = PV.(1,104080803)
PV = 104080803,1
40000
PV = 36229,2324
Importante! Toda vez que nos interessar o cálculo do expoente n (ou seja, do horizonte da operação em questão), devemos utilizar o logaritmo decimal (na base 10) para encontrarmos tal valor, como mostrado no exemplo anterior.
Solução
Solução
61
Administração Financeira E Orçamentária
Ou seja, o valor presente (ou a quantia inicial) desta aplicação é igual a
R$36.229,2324.
Durante quanto tempo é preciso aplicar R$5.000,00, à taxa de 7% ao mês,
para produzir o montante de R$12.000,00?
Do problema temos que: PV = 5.000,00, i = 7% ao mês = 0,07 a.m. e
FV = 12.000,00.
Daí:
FV = PV x (1 + i) n
12000 = 5000 x (1 + 0,07) n
12 = 5 x (1 + 0,07) n
log 12 = log[5 x (1 + 0,07) n ] = log5 + log(1,07) n
1,079181 = 0,69897 + n.log(1,07) n
n = 029384,0
380211,0
n 12,9 meses
Portanto, o prazo de tal operação é aproximadamente igual a 12,9 meses.
Um capital de R$7.500,00 aplicado durante 5 meses produziu um
montante de R$9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada?
Do problema temos que: PV = 7.500,00, n = 5 meses e FV = 9.500,00.
Daí:
FV = PV x (1 + i) n
9500 = 7500 x (1 + i) 5
7500
9500 = (1 + i) 5
1,266666667 = (1 + i) 5
5 266666667,1 = 5 5)1( i
Solução
Solução
62
Administração Financeira E Orçamentária
1,048413171 = 1 + i
i = 0,048413171 ou 4,8413171% ao mês
Ou seja, a taxa de juros mensal composta é igual a i = 4,8413171% ao mês.
Na porta do Banco AFA, encontra-se um cartaz onde se lê “Aplique hoje
R$1.788,80 e receba R$3.000,00 daqui a 6 meses”. Qual é a taxa mensal
de juros que o banco está aplicando sobre o dinheiro investido?
Do problema temos que: PV = 1.788,80, n = 6 meses e FV = 3.000,00.
Daí:
FV = PV x (1 + i) n
3000 = 1788,80 x (1 + i) 6
80,1788
3000 = (1 + i) 6
1,677101968 = (1 + i) 6
6 677101968,1 = 6 6)1( i
1,090000201 = 1 + i
i = 0,090000201 ou aproximadamente 9% ao mês
Ou seja, a taxa de juros mensal composta é igual a i = 9% ao mês.
3.9.3 Extensões ao Uso das Fórmulas
Devemos acrescentar ao estudo de juros compostos que o valor presente
(capital) não se refere necessariamente a um valor expresso no momento zero. Em
verdade, o valor presente pode ser apurado em qualquer data focal anterior à do
valor futuro (montante).
Consideremos a seguinte situação: Suponhamos que seja de nosso
interesse calcular quanto será pago por um empréstimo de R$20.000,00
vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 meses à data de seu
pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a atualizar a dívida à taxa
composta de 2,5% ao mês.
O problema envolve basicamente o cálculo do valor presente, ou seja,
um valor atualizado a uma data anterior à do montante (mês 9). Daí:
Solução
Solução
63
Administração Financeira E Orçamentária
PV = 55 )025,1(
00,000.20
)025,01(
00,000.20 = R$17.677,10
Graficamente, temos a seguinte representação do problema:
Figura 32: Representação Gráfica do Exemplo1.
Consideremos a seguinte situação: Admita um empréstimo que envolve os
seguintes pagamentos: R$15.000,00 de hoje a 2 meses; R$40.000,00 de
hoje a 5 meses; R$50.000,00 de hoje a 6 meses e R$70.000 de hoje a 8
meses. O devedor deseja apurar o valor presente (na data zero) destes
fluxos de pagamento, pois está negociando com o banco a liquidação
imediata de toda a sua dívida. A taxa de juros considerada nesta
antecipação é de 3% ao mês.
Vejamos a representação gráfica da dívida na figura abaixo:
Figura 33: Representação gráfica da dívida do Exemplo 2.
Utilizando-se a fórmula do valor presente:
PV = 8652 )03,1(
00,000.70
)03,1(
00,000.50
)03,1(
00,000.40
)03,1(
00,000.15
PV = 14.138,94 + 34.504,35 + 41.874,21 + 55.258,65
PV = R$145.776,15
Observação! As expressões de cálculos PV e FV permitem capitalizações e
atualizações envolvendo diversos valores e não somente um único capital ou
montante.
Solução
64
Administração Financeira E Orçamentária
3.9.4 A Noção de Taxas Equivalentes nos Juros Compostos
Vimos no regime de capitalização simples, que a taxa equivalente é a própria
taxa proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre
são ditas proporcionais, pois mantêm a seguinte relação:
São também equivalentes, já que promovem a igualdade de montantes de um
mesmo capital ao final de certo período de tempo.
Por exemplo, em juros simples um capital de R$80.000,00 produz o mesmo
montante em qualquer data se capitalizado a 3% a.m. e 9% a.t.
E assim por diante.
O conceito de taxa equivalente que vimos no regime de capitalização simples
continua sendo válido para a capitalização composta, no entanto, sendo diferente sua
fórmula de cálculo. Por se tratar de capitalização exponencial, a expressão da taxa
equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro, isto é:
taxasprazos
9
3
3
1
n = 3 meses 00,200.87$)109,01(00,000.80.).%9(
00,200.87$)303,01(00,000.80.).%3(
RxtaFV
RxmaFV
n = 12 meses 00,800.108$)409,01(00,000.80.).%9(
00,800.108$)1203,01(00,000.80.).%3(
RxtaFV
RxmaFV
i q
q i1 – 1
65
Administração Financeira E Orçamentária
Onde:
q = número de períodos de capitalização.
Figura 34: Interpretação do conceito de taxas equivalentes.
A taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre é de 1,66%,
pois:
i 6 = 6 103826,01 – 1
i 6 = 6 103826,01 - 1 = 1,0166 - 1 = 0,0166 ou 1,66% a.m.
Taxas Equivalentes = TaxasProporcionais
• Juros Simples
Taxas Equivalentes ≠ TaxasProporcionais
• Juros Compostos
Informação Importante! Na expressão de cálculo para taxas equivalentes no
regime composto, salientamos que o parâmetro i da fórmula referencia a taxa
relacionada ao maior período, enquanto que o parâmetro i q referencia a
taxa relacionada ao menor período. Desta maneira, por exemplo, se temos o
interesse de calcular a taxa semestral equivalente, para juros compostos a
10% ao ano, temos que i = 10% ao ano (maior período) e i q (menor período)
será a taxa de interesse a ser calculada.
66
Administração Financeira E Orçamentária
Desta forma, para um mesmo capital e prazo de aplicação, é
indiferente (equivalente) o rendimento de 1,66% a.m. ou
10,3826% ao semestre.
Assim, ilustrativamente um capital de R$100.000,00 aplicados por dois anos
produz:
Para i = 1,66% e n = 24 meses: FV = 100.000,00 x (1,0166) 24 = R$148.457,63.
Para i = 10,3826% e n = 4 semestres: FV = 100.000,00 x (1,103826) 4 =
R$148.457,63.
O banco AFA divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação
financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). Desta maneira, uma
aplicação de R$10.000,00 produz, ao final de 6 meses, o montante de
R$11.200,00 (R$10.000,00 x 1,12). Efetivamente, os 12% constituem-se
na taxa de rentabilidade da operação para o período inteiro de um
semestre, e, em bases mensais, esse percentual pode ser expresso em
termos de taxa equivalente composta.
Interpretação do Exemplo: Assim, os 12% de rendimentos do semestre
determinam uma rentabilidade efetiva mensal de 1,91%, e não de 2% conforme
o enunciado pelo banco.
De outra forma, temos:
i 6 = 6 12,1 - 1 = 1,91% ao mês
De forma natural, ao se aplicar R$10.000,00 por 6 meses a uma taxa composta de
1,91% ao mês, chega-se ao montante de R$11.200,00.
Vejamos mais alguns exemplos ilustrativos referente ao cálculo de taxas
equivalentes no regime de juros compostos.
Qual a taxa semestral equivalente para juros compostos a 10% ao ano?
Sendo assim, verificamos que o processo de descapitalização da taxa de juro no
regime composto processa-se pela apuração de sua média geométrica, ou seja,
da taxa equivalente. Neste caso, o percentual de juro considerado representa a
taxa efetiva de juro na operação.
Conclusão do
Exemplo
67
Administração Financeira E Orçamentária
Para resolvermos tal problema, devemos utilizar a fórmula:
iq
q i1 – 1
Onde:
q = número de períodos de capitalização.
Em que i é a taxa anual (maior período), ou seja, i = 10% ao ano = 0,1 a.a.
Além disso, temos que q = 2 (1 ano = 2 semestres). Desta maneira, temos que:
iq
q i1 – 1
i 2 = 2 1 i – 1
i 2 = 2 1,01 – 1
i 2 = 2 01,1 – 1
i 2 = 1,04880 – 1
i 2 = 0,04880 ou seja i 2 4,88% a.s. (ao semestre)
Portanto, a taxa semestral equivalente para juros compostos a 10% ao ano é
aproximadamente igual a 4,88%.
Qual a taxa anual equivalente para juros compostos a 7% ao bimestre?
Neste caso, devemos encontrar o valor de i, já que o maior período em
questão é ano. Notemos também, que q = 6 (1 ano = 6 bimestres) e i q = i
6 = 7% a.b. = 0,07 a.b. Logo, temos que:
iq
q i1 – 1
i 6 = 6 1 i – 1
0,07 = 6 1 i – 1
1 + 0,07 = 6 1 i
1,07 = 6 1 i
Elevando ambos os membros a potência 6, obtemos:
(1,07) 6 = ( 6 1 i ) 6
1 + i = (1,07) 6
Solução
Solução
68
Administração Financeira E Orçamentária
i = (1,07) 6 – 1
i = 0,500730351 ou seja i 50,07% a.a. (ao ano)
Portanto, a taxa anual equivalente é de aproximadamente 50,07%.
3.9.5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Em símbolos, temos que:
Onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros.
Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante efetivo de
juros de 56,45% ao ano, ou seja:
i f = (1 + 0,038) 12 - 1 = 56,44% ao ano
Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano, capitalizada de
forma mensal. Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização
é de um mês e o prazo a que se refere à taxa de juros igual a um ano
(12 meses). Desta maneira, 36% ao ano representa uma taxa nominal de
juros, expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao
período de capitalização.:
A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n,
sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou
seja, taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros
compostos ao longo dos períodos de capitalização.
Taxa Efetiva (i f ) = (1 + i) q – 1
Dizemos que uma taxa de juros é nominal, geralmente quando o prazo de
capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao
principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros.
69
Administração Financeira E Orçamentária
Ao falarmos de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre
por juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de
capitalização é de 36%/12 = 3% ao mês (taxa proporcional ou linear).
Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior
àquela declarada para a operação. Com base nos dados do exemplo acima, temos:
Taxa nominal da operação para o período = 36% ao ano
Taxa proporcional simples
(taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês
Taxa efetiva de juros: i f =
12
12
36,01 - 1 = 42,6% ao ano
Notemos que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma
operação.
Ao falarmos que os juros anuais são de 36%, mas capitalizados mensalmente,
apuramos que a efetiva taxa de juros atinge 42,6% ao ano. Para que 36% ao ano
fosse considerada a taxa efetiva, a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir
da taxa equivalente composta, ou seja:
Taxa Equivalente Mensal de 36% ao ano
..%6,2136,1136,01
11
121212 mai
iiq
q
Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa de juros equivalente mensal chega-
se, evidentemente aos 36% ao ano.
Taxa Efetiva Anual anoaoi
i
f
f
%361)026,01(
1)026,01(
12
12
70
Administração Financeira E Orçamentária
Um banco emprestou R$8.000,00 por um ano, à taxa anual de 18% ao
ano, com capitalização bimestral. Qual será a taxa efetiva anual e o
montante que será devolvido ao final do ano?
Como a capitalização é bimestral, podemos dizer que q = 6 (1 ano =
6 bimestres) e i = 18% ao ano. Desta forma, temos que:
Taxa Proporcional bimestral = 6
%18 = 3% a.b. = 0,03 a.b.
Logo:
Taxa Efetiva: (i f ) = (1 + i) q – 1 = (1 + 0,03) 6 – 1 = 0,194
Desta forma, a taxa efetiva será de aproximadamente 19,4% ao ano
aproximadamente.
No cálculo do montante a ser devolvido, temos que:
Observação Importante! Vamos convencionar que, quando houver mais
de um período de capitalização e não houver uma menção explícita de
que se trata de uma taxa efetiva, a atribuição dos juros a estes períodos
deve ser processada através da taxa proporcional. Por outro lado,
quando os prazos forem coincidentes (prazo da taxa e o de formação
dos juros) a representação da taxa de juros é abreviada. Por exemplo, a
expressão única “10% ao ano” indica que os juros são também
capitalizados em termos anuais.
Muitas vezes, ainda, o mercado define, para uma mesma operação,
expressões diferentes de juros em termos de sua forma de
capitalização. Por exemplo, o custo efetivo de 4,2% ao mês cobrado por
um banco, pode ser equivalentemente definido em 4,12% ao mês para o
mesmo período, ou seja:
1042,130 0,137234% ao dia x 30 = 4,12% ao mês
A taxa de 4,12% ao mês é nominal (linear) e equivalente a taxa efetiva de
4,2% ao mês.
Solução
71
Administração Financeira E Orçamentária
FV = PV.(1 + i) n
Onde:
n = 1 ano = 6 bimestres e PV = 8000
Logo,
FV = PV.(1 + i) n
FV = 8000.(1 + 0,03) 6
FV = 9552,418372
Portanto, concluímos que o montante a ser devolvido será de
aproximadamente R$9.552,00 e a taxa efetiva será de aproximadamente 19,4% ao
ano.
Um empréstimo no valor de R$ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de um
ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizado
trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do
empréstimo.
Vamos admitir, de acordo com a convenção adotada, que a taxa de
juros pelo período de capitalização seja a proporcional simples
(Referencial teórico da Unidade 02), desta forma, temos que:
Taxa Nominal (taxa linear): i = 32% ao ano = 0,32 a.a.
Descapitalização Proporcional: i = 4
%32 = 8% ao trimestre (já que 1 ano = 4
trimestres) = 0,08 a.t.
Montante do Empréstimo:
FV = PV.(1 + i) n
FV = 11000.(1 + 0,08) 4
FV = 11000.(1,08) 4
FV = 14.965,40
Taxa Efetiva:
i f = (1 + i) q – 1
i f = (1 + 0,08) 4 – 1
i f = (1,08) 4 – 1
i f = 0,36 ao ano
Solução
72
Administração Financeira E Orçamentária
i f = 36% ao ano
Portanto, o montante é igual a R$14.965,40 e o custo efetivo do empréstimo é
igual a 36% ao ano.
A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com capitalização
mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta operação.
Neste caso, mais uma vez a taxa efetiva dará a rentabilidade efetiva da
Caderneta de Poupança, já que podemos observar que a taxa de juros
de 6% é uma taxa nominal de juros, já que a capitalização é realizada mensalmente.
Notando que q = 12 (já que 1 ano = 12 meses), segue que:
Taxa Efetiva:
i f = (1 + q
i) q – 1
i f = (1 + 12
06,0) 12 – 1
i f = (1 + 0,05) 12 – 1
i f = 0,617 ao ano
i f = 6,17% ao ano
Portanto, a rentabilidade efetiva da caderneta de poupança foi de 6,17% ao
ano.
Sendo de 24% ao ano a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição,
calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos
juros seja:
a) Mensal;
b) Trimestral;
c) Semestral.
Neste caso, temos que:
a) Custo Efetivo (i f ): 1 ano = 12 meses, logo q = 12
Solução
Solução
73
Administração Financeira E Orçamentária
i f = (1 + q
i) q – 1
i f = (1 + 12
24,0) 12 – 1
i f = 0,2682 ao ano
i f = 26,82% a.a.
b) Custo Efetivo (i f ): 1 ano = 4 trimestres, logo q = 4
i f = (1 + q
i) q – 1
i f = (1 + 4
24,0) 4 – 1
i f = 0,2625 ao ano
i f = 26,25% a.a.
c) Custo Efetivo (i f ): 1 ano = 2 semestres, logo q = 2
i f = (1 + q
i) q – 1
i f = (1 + 2
24,0) 2 – 1
i f = 0,2544 ao ano
i f = 25,44% a.a.
Uma aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo de
um mês o prazo da aplicação, pede-se determinar a sua rentabilidade
efetiva considerando os juros de 42% ao ano como:
a) Taxa Efetiva
b) Taxa Nominal
Neste caso, temos o seguinte:
a) Taxa Efetiva: a rentabilidade mensal é a taxa equivalente
composta de 42% ao ano. Aqui, temos que q = 12 (já que 1 ano = 12 meses) e i =
42% ao ano, onde i é a taxa referenciada ao maior período na fórmula abaixo para a
taxa equivalente composta.
Solução
74
Administração Financeira E Orçamentária
iq
q i1 – 1
i 1212 42,01 – 1
i 1212 042,1 – 1
i 12 = 0,297 ao mês
i 12 = 2,97% a.m.
Notemos que capitalizando exponencialmente os juros de 2,97% ao mês,
chegamos evidentemente à taxa efetiva anual de 42% ao ano, isto é:
(1 + 0,0297) 12 – 1 = 42% ao ano
b) Taxa Nominal: a rentabilidade mensal de 42% ao ano é definida pela taxa
proporcional simples, isto é:
i = 12
%42 = 3,5% ao mês = 0,035 a.m.
Ao capitalizarmos exponencialmente esta taxa para o prazo de um ano, chega-se a
um resultado efetivo superior à taxa nominal de 42% ao ano:
i f = (1 + 0,035) 12 – 1
i f = 51,1% a.a.
3.10 Implementação Numérica na HP 12
Agora, vamos apresentar alguns exemplos envolvendo os conceitos teóricos
discutidos anteriormente, ou seja, apresentaremos a implementação numérica na HP
12C relacionando os regimes de capitalização simples e composto, bem como trabalhar
com as taxas de juros.
3.10.1 Exercícios Resolvidos Envolvendo o Regime de
Capitalização Simples na HP 12
Vejamos agora a implementação numérica envolvendo o regime de capitalização
simples. Salientamos, que neste caso, a implementação não é feita diretamente como
vamos perceber com relação ao regime composto, ou seja, aqui teremos que
implementar utilizando as fórmulas do regime linear de juros.
75
Administração Financeira E Orçamentária
Calcular o valor dos juros simples correspondentes a um empréstimo de
R$2.500,00 pelo prazo de 18 meses, à taxa de 5% ao mês.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
2500 <ENTER>
2.500,00
Valor do empréstimo
5 <%>
5,00
Valor mensal dos juros
18 <x>
18,00
Valor total dos juros
Calcular os juros simples de um empréstimo no valor de R$20.000,00, à
taxa de 18% ao ano, pelo prazo de 9 meses.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
20000 <ENTER>
20.000,00
Valor do empréstimo
18 <ENTER> 12 <÷> <%>
300,00
Valor mensal dos juros
9 <x>
2.700,00
Valor total dos juros
Solução
Solução
76
Administração Financeira E Orçamentária
Uma aplicação de R$ 19.000,00, pelo prazo de 120 dias, obteve um
rendimento de R$ 1.825,00. Qual a taxa anual de juros simples dessa
aplicação?
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
120 <ENTER>
120,00
Prazo em dias
360 < >
0,33
Prazo em anos
19000 <x>
6.333,33
Valor Aplicado x Prazo
<1/x> 1825 <x>
0,29
Taxa Anual (forma unitária)
100 <x>
28,82
Taxa Anual (forma
percentual)
Sabendo-se que os juros de R$ 546,00 foram obtidos com a aplicação de
R$ 6.500,00, à taxa de 1,2% ao mês, calcular o prazo da aplicação.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
6500 <ENTER>
6.500,00
Valor da Aplicação
1.2<%>
78,00
Valor dos juros por mês
546 <x> <y> < >
7,00
Prazo da aplicação em
meses
Solução
Solução
77
Administração Financeira E Orçamentária
Calcular o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$
4.000,00, à taxa de juros de 24% ao ano, pelo prazo de 10 meses.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
4000 <ENTER>
4.000,00
Valor do empréstimo
24<ENTER> 12< ><%>
80,00
Valor mensal dos juros
10 <x>
800,00
Valor total dos juros
Uma pessoa aplicou R$ 2.700,00 a uma taxa de juros simples de 2,8% ao
mês, pelo prazo de 3 meses. Quanto resgatou?
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
2700 <ENTER>
2.700,00
Valor da aplicação
2.8 <%>
75,60
Valor mensal dos juros
3 <x> < + >
2.926,80
Valor do resgate
Solução
Solução
78
Administração Financeira E Orçamentária
Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 7.500,00,
aplicado a uma taxa de juros simples de 12% ao ano, por 220 dias.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
7500 <ENTER>
7.500,00
Valor da aplicação
12 <ENTER> 360 < >
<%>
2,50
Valor diário dos juros
220 <x>
550,00
Valor dos juros
<+>
8.050,00
Valor do montante
Para montar uma microempresa, uma pessoa contraiu um empréstimo no
banco AFA ao custo de 24% ao ano. Quitou à dívida um ano depois, pelo
montante de R$ 35.500,00. Calcular o valor do empréstimo e o valor
pago de juros.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
35500 <STO> 1
35.500,00
Montante da dívida
24 <ENTER> 100 < > 1
<+>
1,24
1 + a taxa na forma unitária
< >
28.629,03
Valor do empréstimo
Solução
Solução
79
Administração Financeira E Orçamentária
Teclas Visor Observação
<CHS> <RCL> 1 <+>
6.870,97
Valor do juro
Ou de uma outra forma:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
35500 <ENTER>
35.500,00
Montante da dívida
1 <ENTER> 24 <%> <+>
1,24
1 + a taxa na forma unitária
< >
28.629,03
Valor do empréstimo
35500 <->
6.870,97
Valor do juro
Uma empresa descontou uma duplicata de R$120.000,00 no banco Bom
Negócio. O prazo do título era de 54 dias e a taxa de desconto comercial
(por fora), de 8% ao mês. Calcular:
a) O valor creditado na conta da empresa.
b) A taxa mensal de juros da operação.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
120000 <STO> 1
120.000,00
Valor do título
8 <%> 30 < >
54 <x> <– >
102.720,00
Valor creditado na conta da
Solução
80
Administração Financeira E Orçamentária
Teclas Visor Observação
empresa
RCL> 1 < %>
16,82
Taxa de juros para os 54
dias (em %)
30 < > 54 <x>
9,35
Taxa mensal de juros da
operação em (%)
Uma nota promissória, no valor de R$ 15.000,00 em seu vencimento, foi
descontada 3 meses antes de seu prazo de resgate, a uma taxa de
desconto comercial (por fora) de 28% ao ano. Calcular o valor de face da
nota promissória e a taxa anual de juros da operação.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
15000 <STO> 1
15.000,00
Valor do título
28 <ENTER> 12 < >
<%> 3 <x> <– >
13.950,00
Valor de face da nota
promissória
<RCL> 1 < %>
7,53
Taxa de juros para os 3
meses (em %)
4 <x>
ou
12 < > 3 <x>
30,11
Taxa anual de juros da
operação em (%)
Solução
81
Administração Financeira E Orçamentária
Uma duplicata no valor de R$ 15.000,00 foi descontada 54 dias antes de
seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial (por fora)
cobrada pelo banco é de 8% ao mês, o IOF2 é de 0,0041% ao dia e o
banco cobra 15% de taxa administrativa, pede-se o valor líquido liberado
pelo banco e a taxa mensal de juros da operação.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
15000 <STO> 1
15.000,00
Valor do título
8 <%> 30 < > 54 <x> <– >
12.840,00
Valor líquido antes do IOF
<STO> 2 <RCL> 1
0.0041<%> 54 <x>
33,21
Valor do IOF
<CHS> <RCL> 2 <+>
12.806,79
Valor líquido após o IOF
<STO> 3 <RCL> 1
1.5 <%> <CHS>
<RCL> 3 <+>
12.581,79
Valor líquido liberado pelo
banco
<RCL> 1 < %>
19,22
Taxa de juros para os 54
dias (em %)
54 < > 30 <x>
10,68
Taxa mensal de juros da
operação (em %)
2 IOF – Imposto sobre Operações Financeiras
Solução
82
Administração Financeira E Orçamentária
3.10.2 Exercícios Resolvidos Envolvendo o Regime de
Capitalização Composto na HP 12
Vejamos agora a implementação numérica envolvendo o regime de capitalização
composto. Os cálculos financeiros na HP 12C podem ser realizados de duas formas
diferentes. Na primeira utilizamos diretamente as teclas dos registradores financeiros:
PV, i, n e FV. Na segunda utilizamos as funções matemáticas da calculadora, sendo
necessário conhecer as expressões dos regimes de capitalização. Salientamos, que a
utilização dos registradores financeiros permite não só aplicar diretamente as fórmulas
apresentadas, mas também efetuar cálculos de forma rápida e segura, desde que se saiba
o que eles representam.
Calcular o valor de resgate de uma aplicação de R$ 1.200,00, pelo prazo
de 8 meses, à taxa de juros compostos de 3,5% ao mês.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
1200 <CHS> <PV>
-1.200,00
Insere a aplicação
Informação Importante! Para operarmos corretamente a calculadora é
necessário seguirmos a simbologia do fluxo de caixa, introduzindo com o sinal
negativo todas as saídas de caixa. Geralmente, podemos adotar o seguinte
procedimento:
Apagamos o conteúdo dos registradores financeiros pressionando f FIN.
Introduzimos as variáveis conhecidas (no mínimo três) teclando CHS
quando a variável representar uma saída de caixa.
Solução
83
Administração Financeira E Orçamentária
Teclas Visor Observação
8 <n>
8,00
Insere o prazo
3.5 <i>
3,50
Insere a taxa
<FV>
1.580,17
Valor de resgate
Calcular a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação de R$
4.000,00 que produz um montante de R$ 4.862,02 ao final de 8 meses.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
4000 <CHS> <PV>
- 4.000,00
Insere a aplicação
4862.02 <FV>
4.862,02
Insere o montante
8 <n>
8,00
Insere o prazo em meses
<i>
2,47
Taxa mensal de juros (em %)
Uma aplicação de R$ 20.000,00, efetuada em certa data produz, à taxa de
juros compostos de 1,75% ao mês, um montante de R$ 22.582,44 em
certa data futura. Calcular o prazo da operação.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Solução
Solução
84
Administração Financeira E Orçamentária
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
20000 <CHS> <PV>
-20.000,00
Insere a aplicação
22582.44 <FV>
22.582,44
Insere o montante
1.75 <i>
1,75
Insere a taxa mensal
<n>
7,00
Prazo da operação (em meses)
Se eu quiser comprar um carro no valor de R$22.000,00, quanto devo
aplicar hoje para que, daqui a 2 anos, possua tal valor, a uma taxa de
aplicação de 18% ao ano?
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
22000 <CHS> <FV>
-22.000,00
Insere o montante
18 <i>
18,00
Insere a taxa anual
2 <n>
2,00
Insere o prazo (em anos)
<PV>
15.800,06
Valor da aplicação hoje
Seja um capital de R$ 25.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano, pelo
prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante pela convenção linear.
Solução
85
Administração Financeira E Orçamentária
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
25000 <CHS> <PV>
-25.000,00
Insere o empréstimo
18 <i>
18,00
Insere a taxa anual
4 <ENTER> 9 <ENTER>
12 < > <+> <n>
4,75
Insere o prazo
<FV>
55.012,82
Valor do Montante
Seja um capital de R$ 25.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano, pelo prazo
de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante pela convenção exponencial.
Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
<STO> <EEX>
0,00 c
Introduz “c” no visor
25000 <CHS> <PV>
-25.000,00 c
Insere o empréstimo
18 <i>
18,00 c
Insere a taxa anual
9 <ENTER> 12< > 4 <+>
<n>
4,75 c
Insere o prazo
<FV>
54.875,63 c
Valor do Montante
Solução
Solução
86
Administração Financeira E Orçamentária
Calcular o valor de resgate de uma aplicação no valor de R$2.500,00, à taxa de
9% ao semestre, capitalizados mensalmente, se o prazo de aplicação for de 3
meses.
Resolvendo na HP 12C, vem que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
2500 <CHS> <PV>
- 2.500,00
Valor da Aplicação
3 <n>
3,00
Insere o prazo em meses
9 <ENTER> 6 < > <i>
1,50
Insere a taxa efetiva mensal
<FV>
2.614,20
Valor de resgate
Calcular a taxa anual de juros, capitalizada trimestralmente, para que o capital
de R$400.000,00, renda, em 2 anos, R$168.840,20.
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
168840.20 <ENTER>
400000 <+> <CHS> <FV>
- 568.840,20
Valor do Montante
Observação Importante! Notemos que os valores futuros apurados são diferentes,
ou seja, o montante na convenção linear é ligeiramente superior ao obtido na
convenção exponencial.
Solução
Solução
87
Administração Financeira E Orçamentária
Teclas Visor Observação
<g> <LSTx> <PV>
400.000,00
Valor aplicado
2 <ENTER> 4 <x> <n>
8,00
Insere o prazo em trimestres
<i>
4,50
Taxa Efetiva Trimestral (em
%)
4 <x>
18,00
Taxa Nominal Anual (em
%)
3.10.3 Exercícios Resolvidos Envolvendo Taxas Equivalentes,
Taxas Nominais e Taxas Efetivas
Vejamos agora a implementação numérica na HP 12C aws diversas taxas que
apreseentamos ao longo da Unidade. Inicialmente, colocamos abaixo um resumo
envolvendo a noção de taxas equivalentes.
Quadro Resumo para Taxas Equivalentes – Regime de Capitalização
Composto
Denominando:
i a = taxa de juros anual;
i s = taxa de juros semestral;
i t = taxa de juros trimestral;
i m = taxa de juros mensal;
i d = taxa de juros diária;
i b = taxa de juros bimestral;
E considerando o ano comercial (360 dias), a fórmula a seguir permite o
cálculo dessas taxas equivalentes:
1+ i a =(1 + i m ) 12 = (1 + i s ) 2 = (1 + i t )4 = (1 + i b ) 6 = (1 + i d ) 360
88
Administração Financeira E Orçamentária
Ressalatmos ainda, que no mercado financeiro brasileiro impera uma enorme
confusão quanto aos conceitos de taxas de juros, principalmente no que se refere às
taxas equivalentes compostas, taxas nominais e taxa efetiva. A falta desses conceitos
tem dificultado a realização de bons negócios entre os técnicos e os executivos, ou seja,
a nível empresarial.
Quais as taxas anual, semestral e trimestral equivalentes à taxa de 5% ao mês?
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
1.05 <ENTER>
1,05
1 + a taxa mensal (unitária)
12 <yx
>
1,80
1 + a taxa anual (unitária)
1 < – > 100 <x>
79,59
Taxa anual (em %)
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
1.05 <ENTER>
1,05
1 + a taxa mensal (unitária)
6 <yx
>
1,34
1 + a taxa semestral
(unitária)
1 < – > 100 <x>
34,01
Taxa semestral (em %)
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
1.05 <ENTER>
1,05
1 + a taxa mensal (unitária)
1 + a taxa semestral
Solução
89
Administração Financeira E Orçamentária
Teclas Visor Observação
6 <yx
>
1,34 (unitária)
1 < – > 100 <x>
34,01
Taxa semestral (em %)
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
1.05 <ENTER>
1,05
1 + a taxa mensal (unitária)
3 <yx
> 1 < – > 100 < x>
15,76
Taxa trimestral (em %)
Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 24,38% ao ano?
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
1.2438 <ENTER>
1,24
1 + a taxa anual (unitária)
12 <1/x> <yx
>
1,02
1 + a taxa mensal (unitária)
1 < – > 100 <x>
1,83
Taxa mensal (em %)
Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 0,005% ao dia?
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Solução
Solução
90
Administração Financeira E Orçamentária
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
1.00005 <ENTER>
1,000005
1 + a taxa diária (unitária)
360 <ENTER> 12 < + > <yx
>
1,00150
1 + a taxa mensal (unitária)
1 < – > 100 <x>
0,15
Taxa mensal (em %)
Qual a taxa bimestral equivalente à taxa de 12% ao trimestre?
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
1.12 <ENTER>
1,12
1 + a taxa trimestral
(unitária)
2 <ENTER> 3 < + > <yx
>
1,08
1 + a taxa bimestral
(unitária)
1 < – > 100 <x>
7,85
Taxa bimestral (em %)
Qual a taxa diária equivalente à taxa de 23,78% ao ano?
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Solução
Solução
91
Administração Financeira E Orçamentária
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
23,78 <ENTER> 100 <÷> 1
<+>
1,24
1 + a taxa anual (unitária)
360 <1/x> <yx
>
1,00
1 + taxa diária (unitária)
1 < – > 100 <x>
0,06
Taxa diária (em %)
Qual a taxa equivalente à taxa de 27%m ao ano pelo prazo de 8
meses?
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
1.27 <ENTER>
1,27
1 + a taxa anual (unitária)
8 <ENTER> 12 <÷> <yx
>
1,1727
1 + a taxa para 8 meses
(unitária)
1 < – > 100 <x>
17,27
Taxa para os 8 meses (em
%)
Consideremos uma taxa nominal de 28% ao ano que é capitalizada
semestralmente. Qual a taxa efetiva anual equivalente?
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Solução
Solução
92
Administração Financeira E Orçamentária
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
28 <ENTER>
2 < > 100 < > 1 <+>
1,14
1 + a taxa efetiva semestral
(unitária)
2 <yx
> 1,30 1 + a taxa efetiva anual
(unitária)
1 < – > 100 <x>
29,96
Taxa Efetiva Anual
Equivalente (em %)
Calcular a taxa nominal anual, com capitalização trimestral, da qual
resultou a taxa efetiva de 32% ao ano.
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
1.32 <ENTER>
1,32
1 + a taxa efetiva anual
(unitária)
4 <1/x> <yx
>
1,2875
1 + a taxa nominal
trimestral (unitária)
1 < – > 4 <x> 100 <x>
28,75
Taxa Nominal Anual (em
%)
Qual a taxa efetiva mensal, equivalente a uma taxa nominal de 36%
ao ano, com capitalização trimestral?
Solução
93
Administração Financeira E Orçamentária
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
36 <ENTER> 4 < >
100 < > 1 <+> <yx
>
1,09
1 + a taxa efetiva trimestral
(unitária)
4 <yx
>
1,4116
1 + a taxa efetiva anual
equivalente (unitária)
12 <1/x> <yx
>
1,03
1 + a taxa efetiva mensal
equivalente (unitária)
1 < – > 100 <x>
2,91
Taxa Efetiva Mensal
Equivalente (em %)
Qual a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de
28% ao ano, com capitalização semestral?
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
28 <ENTER> 2 < >
100 < > 1 <+>
1,14
1 + a taxa efetiva semestral
(unitária)
2 <yx
>
1,2996
1 + a taxa efetiva trimestral
equivalente (unitária)
Solução
Solução
94
Administração Financeira E Orçamentária
Teclas Visor Observação
4 <1/x> <yx
>
1,0677
1 + a taxa efetiva trimestral
equivalente (unitária)
1 < – > 100 <x>
6,77
Taxa Efetiva Trimestral
Equivalente (em %)
Uma taxa nominal de 17,25% ao ano é capitalizada mensalmente.
Qual a taxa efetiva anual equivalente?
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
17.25 <ENTER> 12 <÷>
100 <+> 12 <yx
>
1,01
1 + a taxa efetiva mensal
(unitária)
12 <yx
>
1,19
1 + a taxa efetiva anual
(unitária)
1 < – > 100 <x>
18,68
Taxa Efetiva Anual
Equivalente (em %)
Calcular a taxa nominal anual, com capitalização trimestral, da qual
resultou a taxa efetiva de 19,75% ao ano.
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
Solução
Solução
95
Administração Financeira E Orçamentária
Teclas Visor Observação
1.1975 <ENTER>
1,1975
1 + a taxa efetiva anual
(unitária)
12 <1/x> <yx
>
1,02
1 + a taxa nominal mensal
(unitária)
1 < – > 12 <x> 100 <x>
18,16
Taxa Nominal Anual (em
%)
Qual a taxa efetiva mensal, equivalente a uma taxa nominal de 36%
ao ano, com capitalização trimestral?
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
36 <ENTER> 4 < >
100 < > 1 <+> <yx
>
1,09
1 + a taxa efetiva trimestral
(unitária)
4 <yx
>
1,4116
1 + a taxa efetiva anual
equivalente (unitária)
12 <1/x> <yx
>
1,03
1 + a taxa efetiva mensal
equivalente (unitária)
1 < – > 100 <x>
2,91
Taxa Efetiva Mensal
Equivalente (em %)
Solução
96
Administração Financeira E Orçamentária
Calcular o valor de resgate de uma aplicação no valor de
R$2.500,00, à taxa de 9% ao semestre, capitalizados mensalmente,
se o prazo de aplicação for de 3 meses.
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
2500 <CHS> <PV>
– 2.500,00
Valor da aplicação
3 <n>
3,00
Insere o prazo em meses
9 <ENTER> 6 <÷> <i>
1,50
Insere a taxa efetiva mensal
<FV>
2.614,20
Valor de resgate
O banco ALFA emprestou R$150.000,00 à empresa BETA, pelo
prazo de 2 anos, a uma taxa de 25% ao ano, com capitalização
trimestral. Qual o montante a ser devolvido ao banco ALFA?
Resolvendo na HP 12C, temos que:
Teclas Visor Observação
<f> <REG>
0,00
Limpa os registradores
150000 <CHS> <PV>
– 150.000,00
Valor da empréstimo
3 <ENTER> 4 <x> <n>
8,00
Insere o prazo em trimestres
25 <ENTER> 4 <÷> <i>
6.25
Insere a taxa efetiva
trimestral
<FV>
243.625,51
Montante devolvido
Solução
Solução
97
Administração Financeira E Orçamentária
3.11 Guia Resumo da Implementação na HP 12C
Abaixo listamos de forma resumida as principais funções com relação a
implementação na calculadora HP 12C, como se fosse uma espécie de guia rápido de
utilização.
Quadro 03: Resumo das funções básicas da HP 12C.
Tarefa Teclas Visor Comentários
Ligar a HP
ON
0,00 ou 0.00
Aparece, nesse
caso, o número
zero com duas
casas decimais,
podendo o mesmo
ser representado
nos sistemas de
numeração
brasileiro ou
americano
Desligar a HP
ON
Apagado
-----------
Escolher o Sistema
de Numeração
ON.
0,00 ou 0.00
Pressionar
simultaneamente
as duas teclas,
soltando primeiro
a tecla ON e
depois a tecla (.)
Entrada de
Números
56
0,00 ou 0.00
A apresentação
depende da
representação
escolhida
Corrigir o número
digitado
CLX
0,00 ou 0.00
Apaga o valor no
visor.
Entrada de
números em
seqüência
56.5
ENTER
340.5
56,50
56,50
340,50
56,50 guardando
na memória X
56,50 guradando
na memória Y
340,50 guardando
na memória X
98
Administração Financeira E Orçamentária
Tarefa Teclas Visor Comentários
Trocar o número
de casas decimais
f 3
340,500
Fixa em três casas
decimais.
Etrair raiz
quadrada do
número na
memória X
g x
18,453
Exemplo de
acionamento das
funções azuis.
Armazenar o
valor numa
memória fixa
STO 1
18,453
18,453 está na
memória fixa 1
Obter a parte
fracionária do
número no visor
g FRAC
0,453
Recuperar um
valor necessário
RCL 1
18,453
18,453 continua na
memória fixa 1 e
agora também
está na X
Obter a parte
inteira do número
no visor
g INTG
18,000
Recuperar valor
da memória fixa 1
RCL 1
18,453
Eliminar demais
casas decimais do
número no visor
f RND
18,453
Constatação da
eleminação das
casas
Fixar seis casas
decimais
f 6
18,453000
Fixa em seis casas
decimais
Trocar o número
f 3
18,453
Fixa três casas
99
Administração Financeira E Orçamentária
Tarefa Teclas Visor Comentários
de casas decimais
decimais
Obter 10% do
número no visor
10%
1,845
10% do valor
acima
Obter a diferença
percentual entre
um número na
memória Y
(18,453) e outro na
memória X (1,845)
▲ %
– 90,000
100.(X – Y) ÷ Y,
i.e., 1,845 é 90%
menor que 18,453
(considerando
todas as casas
decimais)
Recuperar o
conteúdo da
memória fixa 1
RCL 1
18,453
Determinar
quanto
percentualmente o
valor em X (1,845)
representa em
relação ao valor
em Y (18,453)
1,845 %T
9,999
100.(X ÷ Y)
18,453 é guardado
em Y
Recuperar o
último valor
armazenado em X,
após o uso de
teclas +, -- , x, %T,
etc.
g LST x
1,845
Nesse caso
específico %T
Trocar o sinal do
número no visor
(memória X)
CHS
– 1,845
Nesse caso, de +
para –
Trocar o conteúdo
da memória X
pelo da Y
x y
9,999
9,999 está agora
em Y
100
Administração Financeira E Orçamentária
Analogamente, abaixo colocamos de forma resumida com relação aos tipos de
erros que podem aparecer em implementações realizadas na HP 12C.
Quadro 04: Resumo dos tipos de erros na HP 12C.
Código de Erro Mensagem
Error 0
Relacionado à realização de operações matemáticas
fora dos intervalos de definição.
Error 1
Relacionado à utilização de valores maiores do que
9,999999999 x 10 99 e menores do que – 9,999999999
x 10 99 em operações com as teclas STO e 12x.
Error 2
Relacionado às operações estatísticas.
Error 3
Relativo ao cômputo da taxa interna de retorno
(IRR) ou de juros de um fluxo (serão apresentados
os fluxos de caixa que ocasionam esse tipo de erro).
Error 4
Relativo ao erro de memória (modo de
programação).
Error 5
Relacionado à utilização de valores nos
registradores financeiros fora de seus intervalos de
definição (regime de juros compostos).
Error 6
Relativo à utilização de valores de registradores
STO, RCL, CFj, Nj, NPV e IRR fora de seus
intervalos de definição.
Error 7
Relativo ao cômputo da taxa interna de retorno
(IRR) ou de juros de um fluxo, caso não existam no
mínimo uma entrada de caixa (fluxo de caixa
positivo) e uma saída de caixa (fluxo de caixa
negativo).
Error 8
Relativo às operações com calendário (datas).
IMPORTANTE
Para limparmos o visor mostrando uma situação
de erro, pressionamos qualquer tecla.
101
Administração Financeira E Orçamentária
3.12 Resumo da Unidade
Nesta terceira Unidade do guia de estudos, apresentamos os conceitos
introdutórios da Matemática Financeira, que constituem nos elementos básicos para a
descrição dos aspectos teóricos de toda essa área da Matemática Aplicada, tais como,
diagramas de fluxo de caixa, juros, valor presente, valor futuro, etc. Além disso,
apresentamos as diferenças significativas entre os dois regimes de capitalização, regime
linear e regime exponencial de juros, explorando a teoria envolvendo os juros simples
através da resolução de diversos exemplos e exercícios ilustrativos. Ressaltamos ainda,
que apresentamos de forma detalhada o aspecto principal da Matemática Financeira no
regime simples que é a parte relacionada a Equivalência Financeira.
3.13 Diretrizes sobre a próxima Unidade
A partir do momento que apresentamos a teoria envolvendo os regimes de
capitalização e taxas de juros praticadas no regime composto de juros, na nossa próxima
Unidade estaremos discutindo a parte relacionada as Séries de Pagamentos Uniformes e
Variáveis, bem como apresentaremos os dois primeiros indicadores para a
caracterização da viabilidade econômica de projetos empresariais, que são o Valor
Prresente Líquido (VPL) e a Taxa Interna de Retorno (IRR).
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Administração Financeira E Orçamentária
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Para maiores informações com relação ao assunto tratado nesta Unidade, cada um
de vocês pode se pautar nos livros referenciados abaixo.
Bibliografia Básica
MATHIAS, W. Franco, GOMES, José M. Matemática Financeira. 2a ed. São Paulo:
Atlas, 1993.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira: objetiva e aplicada. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos Científicos, 1993.
POLO, E. F. Engenharia das operações financeiras pela HP- 12C. São Paulo: Atlas,
1996.
FILHO, Nelson Casarotto & KOPITTKE, Bruno H. Análise de Investimentos. 9a
Edição. São Paulo: Editora Atlas, 2000.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos. São
Paulo: Prentice Hall, 2001.
Bibliografia Complementar
FERNANDES,P. E. Engenharia das Operações Financeiras. São Paulo: Atlas, 1995.
HALFELD, M. Como Administrar seu Dinheiro. São Paulo: Fundamento Educacional,
2001.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
MANNARINO, R. Introdução à Engenharia Econômica. Rio de Janeiro: Campus, 1991.