ADm Financ_CONT_JR_cesar Frade Aula 00
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Cur so On l in e Adm in is t r ao Finance i ra
Con t ado r Pe t rob r s - 20 11
Teor ia e Exer c c ios
Prof . Csar Frade
Prof. Csar de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br 1
Ol pessoal!
Primeiramente, irei fazer uma breve apresentao. Meu nome Csar de
Ol ive i ra Frade , sou funcionrio de carreira do Banco Central do Brasil
aprovado no concurso de 1997. Desde o incio de 2010, estou na Assessoria
Econmica do Departamento de Comunicao. Antes disso, estive de licena
interesse pelo prazo de um ano com o nico objetivo de dar aula para
concursos pblicos.
De 2005 a 2008 fui Coordenador-Geral de Mercado de Capitais na Secretaria
de Poltica Econmica do Ministrio da Fazenda, auxiliando em todas as
mudanas legais e infralegais, principalmente aquelas que tinham ligaodireta com o Conselho Monetrio Nacional CMN.
Sou professor de Finanas, Microeconomia, Macroeconomia, Sistema
Financeiro Nacional, Mercado de Valores Mobilirios, Estatstica e Econometria.
Leciono na rea de concursos pblicos desde 2001, tendo dado aula em mais
de uma dezena de cursinhos em vrias cidades do pais, desde presenciais at
via satlite.
No incio da carreira pblica, trabalhei com a emisso de ttulos da dvida
pblica externa no Banco Central do Brasil, assim que tomei posse.
Sou formado em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Minas Gerais
UFMG. Possuo uma Ps-graduao em Finanas e Mercado de Capitais pelo
IBMEC, outra em Derivativos para Reguladores na Bolsa de Mercadorias e
Futuros BM&F e uma especializao em Derivativos Agrcolas pela Chicago
Board of Trade CBOT1
. Sou Mestre em Economia2
com nfase em Finanas naUniversidade de Braslia e no Doutorado, pela mesma Universidade, estfaltando apenas a defesa da Tese3, sendo que os crditos j foram concludos.
Vamos ao que interessa! Como ser o curso? Acredito que o melhor
entendimento da matria se d no com a compreenso na ordem como a
1 A Chicago Board of Trade - CBOT a maior bolsa de derivativos agrcolas do mundo.2A dissertao Contgio Cambial no Interbancrio Brasileiro: Uma Anlise Emprica defendida em 2003 foi
publicada na Revista da BM&F, o paper aceito na Estudos Econmicos e em alguns dos mais importantes Congressosde Economia da Amrica Latina LAMES. Versava sobre o risco sistmico a ser propagado via mercado de cmbio e
as contribuies da Cmara de Compensao de Cmbio da BM&F para a mitigao desse risco.3 Tese de Doutorado um parto e a gestao j est durando alguns anos. Acho que pode ser que ela no saia.
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ementa apresentada no concurso. Mas sim, tentando mostrar em primeiro
lugar que aquilo que acreditamos ser muito complicado pode se tornar simples
desde que compreendamos os conceitos bsicos e consigamos trazer o assunto
complexo para exemplos do nosso dia-a-dia.
Tenho um estilo peculiar de dar aulas. Prefiro tanto em sala quanto em aulas
escritas que ela transcorra como conversas informais. Com isso, acredito que a
leitura fica mais tranqila e pode auxiliar no aprendizado de uma forma geral.
Exatamente por isso, utilizo com freqncia o Portugus de uma forma
coloquial.
Essa matria no das mais tranqilas, mas tambm no chega a ser muitocomplicada. O maior problema que ela bastante ampla e alguns tpicos no
possuem tantas questes disponveis para exercitar.
Dessa forma, a Aula Demonstrativa mostrar para vocs um pouco do que
ser esse curso. Acredito que consigo colocar toda a matria e mais os
exerccios para vocs em pouco mais de 250 pginas e no haver a
necessidade de recorrer a nenhum outro material. No preciso ter nenhum
conhecimento prvio de mercado de capitais ou de avaliao de investimentospara a sua perfeita compreenso. Todos os itens tero seus conceitos
exaustivamente construdos nas aulas e tentarei ser o mais claro possvel.
Esse curso resolver em suas 8 aulas mais de 70 questes com comentrios
completos e que os ajudaro a se manter atualizados com a matria. Mais de
40 questes sero da CESGRANRIO. No entanto, precisaremos utilizar
questes de outras bancas com o objetivo de resolver questes de
praticamente todos os tpicos do assunto.
Con t edo Prog r am t i co (u m a ou duas au las po r sem ana Te ra e
Sex ta ) :
Au la 0 2 7 / 1 2 / 2 0 10
Risco, retorno e custo de oportunidade
Au la 1 1 8 / 0 1 / 2 0 11
Risco, retorno e custo de oportunidade
Au la 2 2 5 / 0 1 / 2 0 11
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Matemtica financeira Parte 1
Au la 3 0 1 / 0 2 / 2 0 11
Matemtica financeira Parte 2
Au la 4 0 8 / 0 2 / 2 0 11
Anlise de Investimentos (fluxo de caixa descontado, payback, VPL, TIR).
Estrutura de capital.
Au la 5 1 1 / 0 2 / 2 0 11
Custo de capital (taxa mnima de atratividade, custo mdio ponderado de
capital WACC e modelo de precificao de ativos - CAPM).
Au la 6 1 5 / 0 2 / 2 0 11
Captao de recursos prprios e de terceiros de longo prazo. Leasing
financeiro. Capital de giro (natureza e financiamento). Alavancagem financeira.
Au la 7 1 8 / 0 2 / 2 0 11
Avaliao de Empresas e metodologia de avaliao (mtodos de mltiplos de
mercado, fluxo de caixa descontado, taxa de crescimento, perpetuidade e valorde mercado).
Espero que este curso seja bastante til a voc e que possa, efetivamente,auxili-lo na preparao para o concurso da Petrobrs e na conseqente
conquista da to sonhada vaga. As dvidas sero sanadas por meio do frum
do curso, a que todos os matriculados tero acesso. Caso tenha exerccios da
matria e queira me enviar, farei todos os esforos para que eles sejam,
medida do possvel, includo no curso. Envie para meu e-mail abaixo (e-maildo Ponto).
As crticas ou sugestes podero ser enviadas para:[email protected].
Finalmente, gostaria de dizer a vocs que mais do que saber toda a matria,
importante que voc saiba fazer uma prova e esteja tranqilo! No interessa
saber a matria, interessa marcar o X no lugar certo e ver o nome na lista.
Prof . Csar Frad eD ezem b r o / 2 0 1 0
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1 . Noes de Risco e Reto rn oQualquer criana, por menor que seja, sabe que para se obter um retorno
alm daquele normalmente conseguido com qualquer atividade, dever correr
um risco adicional. Na verdade, o que devemos mensurar se o retorno
adicional alcanado compensa o risco adicional que est sendo corrido.
Observe que nunca tratamos as coisas de forma absoluta, mas sim de forma
relativa. Eu, em geral, no quero saber se vale a pena correr o risco X para se
obter o retorno Y. Eu possuo um status quo, um situao inicial, e o que me
interessa o diferencial para essa posio inicial, ou seja, o interessante sempre a situao marginal.
Observe. Voc j pode ter pedido demisso do seu trabalho para estudar. A
sua deciso de estudar ou no para um concurso X no leva em considerao o
trabalho que voc tinha, no considera o risco que voc poderia correr ao pedir
a demisso para estudar para concurso. O que voc poder levar em
considerao so as opes que voc tem dada aquela situao original. E no
ache que esse conceito de risco serve apenas para mercado financeiro ouavaliao de investimentos. No assim, em tudo na sua vida voc leva em
considerao os riscos que estar incorrendo e os benefcios que estar
recebendo por ter corrido aquele risco.
Entretanto, a forma de sentir aquele risco adicional no a mesma nas mais
diversas pessoas. Algumas possuem uma maior quantidade de coragem,
outras no possuem praticamente nenhuma. Esse diferente modo de perceber
o retorno adicional que est sendo gerado, faz com que a deciso sejadiferente para cada um dos agentes envolvidos.
Em muitos dos exemplos abaixo estarei utilizando exemplos de mercado
financeiro, bolsas de valores pois so situaes clssicas em que a relao
risco e retorno diferente para as mais diversas pessoas.
Por exemplo. Talvez ns dois, eu e voc, tenhamos opinies bastante
diferentes a respeito de risco em aplicaes. Eu acredito (e isso verdade),como j deve ter notado, que aplicar na Bolsa uma operao que no
envolve muitos riscos de longo prazo, enquanto que comprar uma padaria
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envolve um risco muito maior. Isso no novidade para vocs. No entanto,
tambm acho que aplicar o dinheiro em imvel me gera um risco e uma
rentabilidade de longo prazo menor do que aplicar na ao da VALE, por
exemplo.
Tenho certeza que muitos de vocs comearam a pensar, agora, no momento
em que o Collor confiscou a poupana dos brasileiros com o objetivo de tirar a
minha razo. A soluo encontrada por voc pode ser a de colocar o dinheiro
em um imvel ao invs de deix-lo nos Bancos ou mesmo nas Bolsas que
sofreriam bastante com uma medida como essa.
Entretanto, se voc comprasse um apartamento com o objetivo de proteger oseu recurso de um possvel confisco, a nica coisa que voc no estaria
fazendo seria protegendo o seu dinheiro. No o protegeria porque voc teria ao
invs de um recurso confiscado, um apartamento. Mas para ter os recursos
novamente, teria que vender esse apartamento. Como praticamente todas as
pessoas tiveram seus recursos confiscados, voc no conseguiria vender seu
apartamento e se vendesse, o preo seria muito abaixo daquele conseguido
dias antes do confisco. Teria soluo para no perder dinheiro? Sim, colocar
ele debaixo do colcho e torcer para ningum te roubar.
Observe como as pessoas possuem uma avaliao diferente do grau de risco.
Escrevi tudo isso de propsito, pois exatamente o que penso e sei que muito diferente do que muitos pensam. Eu no estou errado e nem voc est
errado, apenas temos uma percepo diferente de risco, apenas isso.
O que voc acha de combinarmos de fazer uma escalada no Monte Everest?
Como voc analisaria uma proposta como esta, suponhando que voc tenhapreparo fsico para fazer a caminhada. Na verdade, existem inmeros riscos
envolvidos no percurso, seja ele por causa da falta de oxignio dada a altitude,
seja pelo risco de tempestade, seja pelas fendas que podem ser encontradas
no meio do caminho, entre outros. Todos esses riscos podem acabar
ocasionando a morte do alpinista que, teoricamente, o maior risco que um
ser humano pode vir a correr. Eu tenho a minha resposta a essa proposta ou
alguma parecida e para isso levo em considerao o risco e o benefcio.
Ento porque algum toparia correr este tipo de risco? Seria pelo simples fato
de escalar a maior montanha do mundo, tirar uma foto e voltar para casa? A
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resposta para isso est na diferente percepo de risco que as pessoas tm e,
principalmente, na diferente forma de encarar um determinado retorno.
Algumas pessoas topam fazer esse tipo de caminhada porque acreditam que
apesar de estarem incorrendo em um risco elevado, o retorno que tero obtido
ao conseguir xito na caminhada to grande que compensa esse risco.
Outras pessoas, no entanto, no topariam fazer a escalada em uma parede da
academia, pois acreditam que existe um risco de tomar uma queda e vir a
quebrar o brao, a perna ou se machucar e a satisfao gerada (retorno) no
ir compensar o risco ao qual foi submetido.
Imagine um casal muito bem casado, ricos e bonitos e que se do super bem.
Porque que um deles iria trair o outro? Na verdade, aqui ns temos mais umaquesto de risco e retorno. Um dos dois para vir a trair, no entanto, estar
ciente que est correndo um risco enorme e que fica ainda maior pelo fato de
considerarem que a unio entre eles bastante satisfatria. Por outro lado, a
pessoa com quem um dos dois ter uma relao ter algumas caractersticas
muito especiais, pois caso isso no seja verdade, o retorno obtido no ir
compensar o risco da operao.
Entretanto, se duas pessoas esto em um casamento ruim, eles esto muitomais propcios em trair um ao outro. Isso ocorre porque h uma reduo
sensvel do risco, pois caso seja descoberto, haver um prejuzo, mas que a
pessoa no considera como sendo to grande. Dessa forma, a pessoa acabarsendo menos seletiva, obter um retorno menor, mas ainda assim estar
traindo, pois o retorno, mesmo sendo baixo, compensa o risco.
Mas como podemos pensar nisto no mercado de capitais? Como podemos
pensar nessa situao na administrao financeira de uma empresa? Deve serexatamente essa pergunta que voc deve estar se fazendo. Vamos comparar o
mercado de renda varivel (mercado acionrio) e o mercado de renda fixa
(ttulos pblicos, por exemplo).
Muitas pessoas dizem que aplicar no mercado acionrio algo muito arriscado
e que no tm coragem de colocar seus recursos nesse mercado. claro que
parte disto se deve ao fato de as pessoas no saberem exatamente onde esto
aplicando seus recursos. No entanto, essas mesmas pessoas aplicam em fundode investimento de renda fixa e no sabem se o seu fundo adquire ttulos
pblicos ou Certificados de Depsitos Bancrios (CDB) de um banco pequeno e
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prestes a quebrar. Com certeza, comprar CDB dessa instituio financeira
muito mais arriscado do que comprar aes da Vale ou Petrobrs.
O que podemos concluir que essas pessoas j ouviram muito falar em
mercado de aes, esto sempre vendo os jornais e sabendo, diariamente,
quando que o ndice subiu ou caiu. Ouvem falar que isso algo arriscado e que
podem perder dinheiro. Com base nessas informaes, opta por no investir
em aes. No devemos levar em considerao raciocnios como esse, pois no
h uma percepo correta do risco.
No entanto, existe uma outra classe de pessoas, aquelas que sabem do risco
inerente ao mercado acionrio, mas que compreendem o seu grau de retorno.Algumas pessoas optam por aplicar no mercado acionrio porque acreditam
que, no longo prazo, o retorno ser bastante satisfatrio e vale a pena correr
esse risco. Outras pessoas conhecem o risco e sabem da possibilidade de
retorno, mas acham que o risco alto para eles e, portanto, preferem investir
no mercado de renda fixa, preferem o certo ao duvidoso.
Veja que no estou tecendo uma crtica a quem acha que o mercado de aes
arriscado. Critico aquele que diz que arriscado sem nunca ter parado parapensar o que, na verdade, ele est comprando. Se uma pessoa conhece o
mercado, sabe das vantagens mas opta por no aplicar no mercado de aes
porque ele acredita que seu estmago no suportaria aquele tipo de aplicao,a sim ele est olhando para o risco e o benefcio da aplicao.
Tenho um caso curioso aqui. Conheo uma pessoa que dona de um curso
presencial para concurso pblico. notrio que esse tipo de empreendimento
d um bom retorno. No entanto, os alunos acreditam que o risco baixo. No,o risco inerente a um projeto como esse alto pois existe um custo fixo
enorme embutido naquilo. Em geral, quanto maior o custo fixo maior o risco
do negcio. Essa pessoa tem um curso mas no coloca um centavo de seus
recursos no mercado acionrio, exatamente pelo fato de achar muito perigoso
o mercado acionrio.
Sendo assim, temos sempre que levar em considerao em nossas decises
uma anlise mnima de risco e retorno. Somente devemos fazer alguma coisase o retorno a ser obtido com aquela ao superar, na sua anlise, o risco que
estamos incorrendo. Ou seja, nunca podemos ou devemos correr um risco
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demasiado mesmo que o retorno que venhamos a ter seja gigante, pois o
prejuzo que podemos adquirir pode nos causar algum tipo de dificuldade e
transtorno.
Um exemplo prtico. Recentemente, um fundo de investimento em aes
vinha, ano aps ano, batendo recordes de rentabilidade. Vrias pessoas
estavam colocando seus recursos nesse fundo, mas no estavam lendo seu
regulamento e prospecto. Esse fundo era alavancado e se fizesse a aposta na
direo correta poderia ter uma rentabilidade 3 a 4 vezes maior que a
rentabilidade obtida no mercado acionrio. Isso fantstico, mas desde que o
administrador do fundo acerte o que vai acontecer. Se ele apostar errado,
pode ser um desastre.
De repente, em meados de 2008, o mercado comeou a mudar, despencar e o
fundo gerou um prejuzo de 95% do capital em 3 meses. Ou seja, um fundo
com rentabilidade campe e que existia h 10 anos, viu toda a riqueza de seus
cotistas desaparecerem em 3 meses. Porque isso?? Porque incorreram em um
grande risco e que daria um enorme retorno se a aposta fosse correta.
Infelizmente para os cotistas, a aposta foi errada com a crise.
Fato semelhante podemos falar sobre o Avestruz Master. ou foi um bom
negcio? Quer saber se eu aplicaria? Claro que foi um bom negcio para quem
conseguiu tirar o dinheiro antes. Eu, talvez, topasse aplicar mas pouco e porum prazo muito curto mas desde que tivesse alguma informao adicional
daquela que era dada. Era notrio que uma hora iria estourar.
Existem dois tipos possveis de questes para o tpico de risco x retorno: a
qualitativo e o quantitativo. A anlise qualitativa foi a efetuada acima e vocstero que fazer uma anlise do possvel caso que o examinador est
contando. Por outro lado, para fazermos a anlise quantitativa do risco e
retorno necessrio um conhecimento bsico de Estatstica Descritiva.
exatamente isso que tentarei passar para vocs no tpico seguinte.
importante esclarecer que estaremos usando a estatstica como uma
ferramenta para chegarmos naquilo que procuramos. Portanto, estarei
suprimindo explicaes importantes e algumas vezes colocando de formasuperficial a matria, mas o intuito te mostrar de forma rpida quais so as
ferramentas, como utiliz-las e quando sem tecer maiores comentrios.
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2 . Esta t s t i ca Descr i t i va Med idas de Tendnc ia Cent ra l e Med idasDisperso
2.1 . Med idas de Tendnc ia Cent ra l
Uma medida de tendncia central ou de posio de um conjunto de dados
mostra o valor em torno do qual se agrupam as observaes. As principais
medidas de tendncia central so a mdia aritmtica, a mediana e a moda.
Tambm so bastante utilizadas a mdia ponderada, que uma variao damdia aritmtica, a mdia geomtrica e a mdia harmnica.
Um conjunto de dados pode ser bem analisado se usarmos as medidas de
tendncia central juntamente com as medidas de disperso, de assimetria e de
concentrao, permitindo assim, caracterizar de maneira bastante satisfatria
e concisa o conjunto de que dispomos.
Os diversos tipos de mdia so as medidas de tendncia central mais usadaspara descrever resumidamente uma distribuio de freqncia. Veremos, a
mdia aritmtica simples e a ponderada, que nada mais do que uma variao
da simples, a mdia geomtrica e a mdia harmnica.
Entretanto, necessrio esclarecer que u m a m d i a n o m e l h o r q u e a
o u t r a , ou seja, apesar da mdia mais comum ser a mdia aritmtica, isto no
a deixa melhor do que a mdia geomtrica, por exemplo. Uma md ia se r
ma is conven ien te pa ra a s i tuao ap resen tada do que a ou t ra . Issodepender apenas das caractersticas dos dados apresentados. importante
frisarmos que no h nenhum t i po de h ie ra rqu ia en t r e as md ias.
Se os dados apresentados forem de inflao, a mdia mais conveniente a
geomtrica, no entanto, se os dados forem as alturas dos alunos de uma
classe, a mdia mais conveniente seria a aritmtica. E, s vezes, a mdia
tambm no a melhor medida de tendncia central. Imagine se quisermos
representar o salrio dos brasileiros por um nico nmero. Ser que seriainteressante calcularmos a mdia aritmtica dos salrios dos brasileiros e dizer
que este nmero representaria bem? A resposta no, na verdade, a mediana
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representaria de forma bem mais satisfatria o salrio dos brasileiros. Quando
h alguns dados que so muito dispersos, talvez seja um bom momento para
se usar uma mediana.
Entretanto, no nosso curso de Finanas usaremos, praticamente, apenas a
mdia aritmtica, apesar de, nesse momento, estarmos iniciando uma reviso
das medidas de tendncia central.
i . Md ia A r i tm t i caA mdia aritmtica a idia que ocorre maioria das pessoas quando se falaem mdia.
A mdia aritmtica simples pode ser calculada pelo quociente entre a soma dos
valores de um conjunto e o nmero total de elementos.
Imagine que tenhamos um conjunto com 5 elementos, representando o
nmero de questes acertadas por um candidato nas ltimas cinco provas de
portugus, quais sejam: 6, 8, 9, 11 e 11. Qual seria um nmero que poderiarepresentar bem esse conjunto?
Devemos representar essas notas pelo resultado da mdia aritmtica simplesconforme abaixo:
95
45
5
1111986==
++++=x
Portanto, podemos dizer que essa pessoa tem uma mdia de acertos igual a 9
e que ela pode considerar esse nmero para a prxima prova. No entanto, isso
serve apenas para fazer uma previso de quantas questes ela acertar na
prxima para saber se ela precisa ou no estudar mais.
Genericamente, podemos representar a mdia aritmtica com a seguinte
frmula:
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N
x
x
N
i
i== 1
A mdia possui algumas propriedades teis que explicam porque ela a
medida de tendncia central mais usada:
a) a mdia pode sempre ser calculada;
b) a mdia de um dado conjunto sempre nica;
c) se somarmos (subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos) a todos os
valores do conjunto um valor y qualquer, a nova mdia desse mesmoconjunto ser a mdia anterior somada (subtrada, multiplicada ou dividida)
de y;
d) a mdia uma medida sensvel que afetada por t o d o s os valores do
conjunto.
Se ao invs de utilizarmos a mdia aritmtica para calcular um nmero que
representa bem as notas da pessoa, formos utilizar a mdia aritmtica
ponderada teremos, exatamente, o mesmo resultado.
Devemos utilizar a ponderada quando os diversos elementos do conjunto
tiverem pesos ou freqncias diferentes. No exemplo acima, podemos usar a
mdia ponderada desde que faamos a seguinte anlise:
Notas 6 8 9 11
Frequncia4 1 1 1 2
Dessa forma, a mdia aritmtica se calculada da forma ponderada seria:
95
45
5
211191816==
+++=x
Portanto, a frmula a ser usada na mdia aritmtica ponderada a seguinte:
4 A freqncia das notas o nmero de vezes que cada uma delas aparece no conjunto.
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Nf
f
fx
xk
i
ik
i
i
k
i
ii
=
=
=
=
=
1
1
1 sendo,
i i . Mdia Geom tr icaA mdia geomtrica de n valores definida como a raiz n-sima do produto de
todos eles. uma medida mais central quando as observaes apresentam
uma taxa constante de crescimento em funo do tempo, ou seja, a medida
mais adequada quando as taxas crescem com capitalizao composta
(exponencial).
No entanto, importante ressaltar que esse tipo de mdia no aceita
observaes menores ou iguais a zero. Uma aplicao freqente da mdia
geomtrica no clculo da taxa equivalente de uma operao financeira.
Podemos representar a mdia geomtrica simples da seguinte forma:
nn
n
n
i
ig xxxxx == =
L21
1
Se calcularmos a mdia geomtrica desse conjunto de dados, apesar de no
fazer nenhum sentido, dada a natureza dos nmeros, teramos:
78,811119865
==gx
i i i . Md ia Harm n icaA mdia harmnica de um conjunto o inverso da mdia aritmtica dos
inversos, ou seja:
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=
=
+++
=n
i in
h
x
n
n
xxx
x
121
1111
1
L
Com nmeros iguais queles que foram dados no conjunto acima, a mdia
harmnica seria igual a 8,55.
Apesar de no fazer sentido algum, estatisticamente, calcular as mdias
geomtrica e harmnica de um conjunto de notas, fizemos os clculos apenas
para mostrar que:
xxx gh
2 .2 . Medid as de DispersoQuando comparamos vrios conjuntos de nmeros, alm da informao com
relao ao centro do conjunto, devemos tambm avaliar o grau de disperso
dos dados. Essa disperso nos indicar se os valores esto relativamenteprximos uns dos outros ou no.
Antigamente, quando amos aos bancos, deveramos formar filas separadas
para os diversos caixas. Hoje em dia, apenas uma fila formada normalmente.
Apesar desse fato no ter alterado o tempo mdio de espera, fez com que a
variao de tempo que passamos na fila tenha diminudo consideravelmente,
pois a partir da o tempo de espera no mais dependia da eficincia da pessoa
que operava o caixa da fila onde estava nem se as pessoas que estavam naminha frente iriam dar mais ou menos trabalho aos caixas. Com isso, os
clientes ficam muito mais satisfeitos.
Nos interessam, em princpio, a varincia e o desvio-padro de um conjunto de
dados. Alm deles, a correlao e a covarincia.
i . Var inc ia
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A varincia nos mostra a mdia do quadrado da distncia em relao mdia
que representada pela seguinte frmula:
( )
n
xxn
i
i=
=1
2
2 ou
( )
n
n
x
xn
i
n
i
i
i
=
=
= 1
1
2
2
2
i i . Desv io -Padro
O desvio-padro a raiz quadrada positiva da varincia e nos mostra a raizquadrada da mdia do quadrado da distncia em relao mdia que
representada pela seguinte frmula:
( )
n
xxn
i
i=
=1
2
ou
( )
n
n
x
xn
i
n
i
i
i
=
=
=1
1
2
2
i i i . Covar inc iaTemos ainda que considerar as frmulas tanto da covarincia quanto da
correlao para podermos compreender de forma perfeita a Teoria de Carteiras
em Finanas. Dessa forma, seguem abaixo as duas frmulas5:
( ) ( )
n
xxxxn
i
BB
iAA
i
BA
=
= 1,
5Devido ao fato de que esta matria (finanas) apenas utiliza ferramentas da Estatstica, casovoc tenha alguma dvida em relao aos conceitos estatsticos sugiro dar uma olhada emalgum material especfico do assunto.
-
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iv . Cor re l ao
A correlao a razo entre a covarincia existente entre duas grandezas e o
produto dos seus desvios.
BA
BA
BA
=
,
,
3 . Reto rn o Esperado e Re to rno Md io de um A t i voInicialmente vamos falar sobre o retorno esperado de uma carteira, ou seja,
qual o retorno que eu espero que uma carteira venha a ter. Na verdade,
esperamos que o retorno mdio de uma carteira seja dado pela mdia
aritmtica dos retornos dos ativos que compem essa carteira.
H uma diferena entre esses dois conceitos, m as no ve jo n ecessidade em
me ap ro funda r n i sso nessa matria. Talvez fosse algo a ser estudado de
forma mais profunda em Estatstica. Aqui, acredito que devo apenas salientar
que quando falamos de Retorno Esperado estamos usando o operador
Esperana utilizado em Estatstica. Dessa forma, estaramos informando o
quanto esperamos para o retorno futuro de um portflio.
Por outro lado, quando falamos sobre Retorno Mdio estamos calculando a
mdia do retorno de uma carteira, de um portflio. Nesse caso, estaramos nos
referindo a uma mdia aritmtica mesmo.
Imagine a situao em que podem ocorrer 3 cenr ios possveis, sendo cada
um deles com uma probabilidade especfica de ocorrncia e um dado retorno
conforme descrito abaixo:
Cenrio Probabilidade Retorno
Crescimento 0,30 20%
Estabilidade 0,20 10%
Recesso 0,50 5%
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Qual seria a expectativa de retorno ou a Esperana de Retorno de um ativo
dadas as expectativas de retorno do ativo em cada um dos cenrios e asrespectivas probabilidades de ocorrncia desse cenrio, conforme colocado
acima?
Observe que existem trs cenrios possveis para a economia de um pas. No
caso de essa economia apresentar crescimento e isso ocorrer, dada a situao
atual, com uma probabilidade 30%, espera-se que o rendimento dessa ao
em questo (ou portflio) seja de 20%. Ou seja, para a avaliao feita, o
crescimento da economia dar ao ativo a possibilidade de ter seu preomajorado em 30%.
Caso haja uma estabilidade na economia e isso pode ocorrer com 20% de
probabilidade, espera-se que o rendimento seja de 10% no perodo. Ou seja,
as avaliaes feitas por analistas esto prevendo que mesmo que no ocorra
crescimento na economia, essas aes podem ter seus preos majorados em
10%.
Ocorrendo uma recesso e a probabilidade de ocorrncia deste fato de 50%,
analistas esperam um retorno de 5% para as aes dessa empresa.
Dessa forma, devemos utilizar a seguinte frmula para determinarmos a
Esperana de Retorno desta carteira:
[ ] [ ]=
=N
i
iip REpRE1
Essa frmula prev que a Esperana de Retorno de um ativo p (pode ser de
um portflio ou carteira tambm) dada pela mdia ponderada dos retornos
quando da ocorrncia de cada evento i.
Portanto, a Esperana do Retorno ser:
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[ ]
[ ] %5,10
%5,2%2%6
%550,0%1020,0%2030,0
=
++=
++=
p
p
p
RE
RE
RE
Observe que esse clculo do Retorno Esperado do ativo. Logo, estamos
fazendo estimativas com base em probabilidades de ocorrncias futuras da
ocorrncia de um evento e, da, retirando uma base para a valorizao do
ativo.
Por outro lado, se tivermos que calcular o retorno mdio de uma ao,
devemos utilizar dados histricos para efetuarmos o clculo. Essa estimativaser dada pela mdia aritmtica dos retornos. Observe que a partir do
momento em que estamos interessados no retorno mdio do ativo como uma
proxy para um provvel retorno futuro estamos partindo do pressuposto de
que o mercado, em um futuro prximo, se comportar de forma similar ao seu
comportamento passado.
O preo das aes, dos ativos pode ser facilmente conseguido no mercado. No
entanto, um dos problemas existentes qual seria o prazo ideal para se fazero estudo. Deveramos retirar os dados de fechamento dirio de prego do
ltimo ms, dos ltimos trs meses, doze meses. Ou os dados seriam dofechamento do prego apenas do ltimo dia do ms. Enfim, essas so decises
que aps serem tomadas pelos investidores faz com que a grande maioria
passe a ter dados diferentes mesmo utilizando os mesmos dados do mercado.
Veja na tabela abaixo o preo de fechamento do ltimo prego do ms das
aes da Vale (VALE5) cotadas na BOVESPA, de agosto a novembro de 2010.
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Data Preo de
Fechamento
Retorno
Mensal
30/07/2010 42,67
31/08/2010 41,43 -2,91%
30/09/2010 46,30 11,75%
29/10/2010 47,75 3,13%
30/11/2010 48,00 0,52%
O retorno mensal das aes calculado da seguinte forma6:
%52,00052,0175,47
00,48
%13,30313,0130,46
75,47
%75,111175,0143,41
30,46
%91,20291,0167,42
43,41
===
===
===
===
NOV
OUT
SET
AGO
x
x
x
x
Portanto, o retorno mdio das aes da VALE5 negociadas no IBOVESPA nos
quatro primeiros meses desse ano foi de7:
%12,34
%52,0%13,3%75,11%91,2
1
=+++
=
==
VALE
N
i
i
x
xx
A mdia de 3,12% mostra que o retorno mdio mensal da VALE entre os
meses de agosto e novembro de 2008 foi de 3,12% ao ms.
6 Essa forma mostrada como voc deve pensar para calcular na prova. No entanto, os analistas utilizam uma formacom logaritmo neperiano, mas nestas aulas para concurso no vejo motivos para discutir nem apresentar o assunto.7 Apesar desse de que para este tipo dado seja mais aconselhvel utilizar uma mdia geomtrica, utilizamos com
freqncia a mdia aritmtica, pois os dados so muito prximos.
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muito interessante notarmos que nesses meses avaliados o resultado da
VALE foi positivo. Entretanto, se fizermos uma comparao do preo de
fechamento do ltimo prego de Novembro de 2010 com o preo de
fechamento do ltimo prego de 2007 (antes da crise, portanto) veremos que
o preo da ao ficou praticamente estvel, tendo um pequeno recuo.
Em novembro de 2007, a ao da VALE chegou ao preo R$ 52,15, enquanto
que trs anos depois ela estaria cotada por R$ 48,00. No entanto, possvel
mostrar a vocs que nos ltimos 13 anos as aes da companhia deram uma
rentabilidade enorme. Nas aulas de matemtica financeira voltarei a abordar
esse tpico de forma aplicada.
4 . Reto rn os das Car t e i ras de At ivosUma carteira de aes composta por um conjunto de aes que so
ponderadas conforme a quantidade de recursos que foram aplicados em cada
um dos ativos. Portanto, para calcularmos o retorno mdio de uma carteira
devemos calcular a mdia ponderada dos retornos dos ativos que compem a
carteira.
Dessa forma, a frmula a ser utilizada no clculo do retorno mdio da carteira
:
=
=N
i
iip RXR1
Imaginemos o caso em que tenhamos os retornos das aes A e B conformedescrito abaixo:
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Retorno de A Retorno de B
5% 4%
10% -3%
8% 8%
-3% 3%
Assim, temos:
%34
%3%8%3%4
%54
%3%8%10%5
=++
=
=++
=
B
A
R
R
Portanto, se colocarmos 60% dos recursos no ativo A e 40% dos recursos no
ativo B, teremos que o retorno mdio dessa carteira ser:
%20,4
%2,1%0,3
%340,0%560,0
=
+=
+=
p
p
p
R
R
R
Por outro lado, vamos imaginar um situao em que tenhamos dois ativos e os
possveis retornos desses ativos para cada uma das situaes hipotticas
possveis para o futuro. Veja abaixo:
Cenrio Probabilidade Retorno A Retorno
B
Crescimento 0,30 20% -10%
Estabilidade 0,20 10% 8%
Recesso 0,50 5% 21%
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Devemos utilizar o operador esperana para poder encontrar o retorno
esperado de cada ativo. Dessa forma, a frmula a ser utilizada :
[ ] [ ]=
=N
i
iip REpRE1
O Retorno esperado do ativo A :
[ ]
[ ] %5,10
%5,2%2%6
%550,0%1020,0%2030,0
=
++=
++=
p
p
p
RE
RE
RE
O Retorno esperado do ativo B :
( )
[ ] ( )[ ] %1,8
%5,10%6,1%3
%2150,0%820,0%1030,0
=
++=
++=
p
p
p
RE
RE
RE
Se montarmos uma carteira com 60% dos recursos aplicados no ativo A e 40%
aplicados em B, teremos o seguinte retorno esperado da carteira:
%54,9
%24,3%30,6
%1,84,0%5,106,0
1
=
+=
+=
==
p
p
p
N
i
iip
R
R
R
RXR
Isso significa que com uma aplicao de 60% dos recursos no ativo A e 40%
no ativo B, os investidores devem esperar um retorno de 9,54% no perodo em
questo.
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Quest o 1
(ESAF BACEN 2001) Um analista acredita que a tabela apresentada a
seguir uma descrio satisfatria da distribuio de probabilidades da taxa deretorno de uma certa ao.
Cenrio Probabilidade Retorno
1 0,15 -10%
2 0,25 - 2%
3 0,30 + 5%4 0,30 + 15%
De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-
padro da taxa de retorno da ao so, respectivamente:
a) 5,5% e 10,86%
b) 5,5% e 8,66%
c) 4,0% e 25%d) 4,0% e 10,86%
e) 4,0% e 8,66%
-
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QUESTES RESOLVIDAS
Quest o 1
(ESAF BACEN 2001) Um analista acredita que a tabela apresentada a
seguir uma descrio satisfatria da distribuio de probabilidades da taxa de
retorno de uma certa ao.
Cenrio Probabilidade Retorno
1 0,15 -10%
2 0,25 - 2%
3 0,30 + 5%
4 0,30 + 15%
De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-padro da taxa de retorno da ao so, respectivamente:
a) 5,5% e 10,86%
b) 5,5% e 8,66%
c) 4,0% e 25%
d) 4,0% e 10,86%
e) 4,0% e 8,66%
Resoluo:
Observem que nesse caso temos os cenrios, as probabilidades de ocorrncia
de cada um dos cenrios e retorno esperado neles. Devemos calcular, em
primeiro lugar, a esperana de retorno dos ativos e, para isso, utilizaremos a
seguinte frmula:
[ ] [ ]= =N
i
iip REpRE1
-
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Fazendo as devidas substituies, temos:
[ ] [ ][ ] ( ) ( )[ ][ ] %0,4
%5,4%5,1%5,0%5,1
%1530,0%530,0%225,0%1015,0
1
=
++=
+++=
==
p
p
p
N
i
iip
RE
RE
RE
REpRE
Com isso, vemos que a esperana de retorno do ativo de 4,0%.
Uma d ica: Sempre que estiver fazendo as questes, no v simplesmente
resolvendo-as. Resolva as questes, voltando sempre s possveis respostas, eeliminando aquelas que no mais podem ser contempladas.
Com isso, temos que as nicas respostas possveis so as letras c, d e e.
Passemos agora ao clculo do desvio-padro esperado.
( ) ( )[ ]==
N
ipii REREp1
22
Com o objetivo de simplificar a notao, a partir deste momento estarei
colocando essa frmula apenas como:
( )2
1
2=
=N
i
piiRRp
Vou te dar outra dica para facilitar sua vida. Quando estiver fazendo as contas,ao invs de usar o nmero correto (15%=0,15), utilize os nmeros
multiplicados por cem, ou seja, sem a porcentagem (15% = 0,15*100=15). E
lembre-se daquelas propriedades estatsticas que dizem que:
Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmonmero, a mdia fica multiplicada por esse nmero.
Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmonmero, a varincia fica multiplicada pelo quadrado desse nmero.
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Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmonmero, o desvio-padro fica multiplicado por esse nmero.
Portanto, ao invs de utilizarmos os retornos de -10%, -2%, +5% e +15%,utilizaremos um conjunto que ser igual ao produto desses retornos pelonmero 100, ou seja, -108, 2, 5 e 15.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 22222
22222
2
1
2
1130,0130,0625,01415,0
41530,04530,04225,041015,0
+++=
+++=
==
N
i
pii RRp
Sou obrigado a abrir mais um parnteses nessa Resoluo. A primeira
pergunta que voc tem que responder a seguinte: Voc deseja fazer a
questo corretamente ou acertar a resposta e ganhar seu ponto?
Eu, Csar, no quero fazer a questo corretamente e, portanto, no preciso
ensinar vocs a fazerem corretamente. Minha inteno ensinar vocs a
ganharem o ponto, ensinar vocs a criarem atalhos importantes para
minimizar o trabalho e o tempo gasto com a questo.
Concordam comigo. Sou adepto dessa teoria. Mas sempre tem um aluno que
fala assim: Professor, eu quero aprender. E acho que a melhor resposta :
voc vai aprender mas o melhor agora passar e depois que estiver com esse
timo salrio, voc acaba de aprender tudo, ok?
Ento...Antes de continuar vocs tm duas opes. Ou aprendem a fazer raiz
quadrada pois estamos calculando a varincia e a resposta o desvio-padroou, ento, aprender a acertar a questo sem fazer a raiz. Eu prefiro a segunda,
mas quem quiser ou souber fazer a raiz quadrada, nem precisa continuar a ler
a questo, basta acabar de efetuar os clculos.
Vocs concordam que se a resposta o desvio-padro, o examinador est nos
perguntando a raiz quadrada daquilo que estamos calculando. Portanto, basta
pegarmos as respostas possveis e elev-las ao quadrado que acharemos o
valor daquilo que foi calculado, e a s marcar a resposta.
8 -10% * 100 = - 10
-
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Pois bem. Temos como possibilidade de resposta, somente as letras c, d e e.
Certo?
A letra c informa que o desvio-padro seria 25%. Como multiplicamos todos os
elementos do conjunto por 100 e o resultado que encontraremos tambm
ficar multiplicado por 100, caso essa seja a resposta deveramos encontrar o
desvio-padro igual a 25. Se o desvio 25, logo a varincia igual a 252 =
625.
De forma anloga, se a resposta for d, o desvio encontrado no nosso clculo
seria de 10,86. A varincia seria igual a 10,862 = ESQUECE (no faa a conta).
Sabemos que 10,86 est entre 10 e 11 e que o quadrado de 10,86 est entre1009 e 121 e mais prximo de 121 pois 10,86 est mais prximo de 11 do que
de 10. Chutemos que 10,862 deva ser igual a uns 115. T bom assim para
vocs? Para mim, est timo.
Da mesma forma, se a resposta for e, o desvio encontrado no nosso clculo
seria de 8,66. Como 8,66 est entre 8 e 9, os clculos devero mostrar algum
nmero entre 64 e 81. Portanto, um bom chute seria que 8,662 igual a uns
75.
Vocs entenderam o esprito da coisa? Queremos acertar a questo e no faz-
la corretamente. Observe que temos trs resultados possveis e nossos
clculos nos levaro a um valor prximo dos trs nmeros citados, ou seja,
625, 115 ou 75. Veja que esses trs nmeros so muito distantes, logo, noprecisamos calcular corretamente o valor da varincia. Podemos arredondar
tudo.... Veja.
( ) ( )
12130,0130,03625,019615,0
1130,0130,0625,01415,0
2
22222
+++=
+++=
Se voc fizer as operaes indicadas acima, acertar as questes mas gastar
muito tempo. Voc de cabea no consegue fazer a conta 0,15 x 196, certo?
Mas como temos uma boa folga nas possveis respostas, podemos transformar
essa operao em 0,15 x 200, assumindo que 200196 . Assim fica muito mais
rpido e sabemos que esse valor igual a 30.
9 Dez ao quadrado igual a 100 e onze ao quadrado igual a 121.
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No segundo termo, no precisamos alterar, pois seus resultado simples, igual
a 9. O terceiro termo igual a 0,30, mas como estamos arredondando tudo,
0,30 igual a zero. No ltimo termo, chamamos 121 de 120 e calculamos 0,30
x 120 = 36.
Entenderam a lgica?? No?? Se no entenderam, faam seus clculos
normalmente. Se compreenderam, tentem utilizar essa metodologia nesse tipo
de questo que ser bem mais fcil. Terminando a questo (fazendo as contas
com os arredondamentos):
75
36093012030,0030,03625,020015,0
2
2
++++++
Sendo assim, encontramos que o gabarito a letra E pois o desvio-padro
igual a 8,66%.
Agora, me digam...Se tivessem feito todas as contas, no teriam chutado to
bem, no mesmo?
Eu no tenho e nem quero ensinar vocs apenas a matria. O importante
que vocs tenham condies de minimizar o tempo com que fazem a prova e
acho que isso meu papel tambm. Sei que alguns no gostam, por isso,
sempre que houver esse tipo de procedimento farei no final da questo, aps
ter desenvolvido ela de tal forma que s faltaria acabar os clculos.
Gabar i t o : E
Ento pessoal, isso. Essa foi a primeira aula, um esboo daquilo que vocs
vero no curso. claro que, como j foi dito, teremos muito mais questesresolvidas para ajudar vocs a fazerem a prova.
Existem alguns temas que no temos muito (ou nenhum) histrico de questes
da CESGRANRIO. Nesses temas iremos abordar questes de outras bancas,
mas sempre tentando fazer uma resoluo completa da questo (como a que
foi feita nessa aula). Dando dicas de como resolver, como utilizar os atalhos, e
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qual a forma que vocs devem raciocinar para que possam conseguir ter
tranquilidade para acertar a questo sem demorar muito tempo.
Como vocs viram, tento fazer uma conversa, algo informal para que o
aprendizado seja um pouco mais simples e fcil. Acho que esta forma tem
dado bons resultados.
Um grande abrao e encontro vocs na primeira aula, em Janeiro.
Csar Frade