Introducción al algebra superior MT-MIAS-1602-B2-001

TSU. Matemáticas

Unidad 1 – Actividad 1

Conjuntos

Eduardo Castillo Ló pez

ES162001459

Octubre 4, 2016

Un conjunto es una colección desordenada de objetos que pueden, o no, tener alguna

característica en común y se representa por medio de letras mayúsculas.

Cada objeto de un conjunto se llama elemento o miembro del conjunto. Para indicar que

un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo de pertenencia ∈. Por ejemplo

para el conjunto 𝐴 = {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir 1 ∈ 𝐴, 2 ∈ 𝐴, … ,6 ∈ 𝐴.

Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicamos con el símbolo de no pertenencia

∉. Así para el conjunto anterior, podríamos decir 0 ∉ 𝐴.

Existen varias maneras de definir un conjunto, comprendiendo como definir: describir de

una manera precisa, sin ambigüedades, cuáles son los elementos de dicho conjunto.

Los podemos definir por extensión, para ello listamos todos los elementos del conjunto

separados por comas y encerrando todo entre llaves. Por ejemplo:

𝐴 = {1,2,3,4,5, 𝜋}, 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}, 𝑀 = {2, 22, 23, 24}

Una alternativa es definir al conjunto enunciando una propiedad de los elementos que lo

integran, esta forma se le llama por compresión, es decir:

𝐴 = {𝑥|𝑥 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑃}

Por ejemplo:

𝑇 = {𝑥|𝑥𝑒𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑦 𝑥 < 50}

𝐶 = {2𝑘|𝑘 𝑒𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑦 1 ≤ 𝑘 ≤ 6}

Según (Rosen, 2004), en ocasiones, la notación con llaves se utiliza para describir un

conjunto sin enumerar todos sus miembros. Sólo se enumeran algunos de ellos y usamos

tres puntos suspensivos (…) para representar los demás cuando el patrón general de los

elementos es obvio. Por ejemplo el conjunto de los enteros positivos menores que 100 se

puede denotar como:

𝑀 = {1,2,3, … ,99}

Decimos que el conjunto A es subconjunto de B si, y solo si, todo elemento de es también

un elemento de B. Usamos la notación 𝐴 ⊆ 𝐵 para indicar que A es un subconjunto de B.

Dicho de otra manera A esta contenido en B.

Del diagrama anterior podemos afirmar que ℕ ⊆ ℤ, que los ℕ ⊆ ℚ y que los ℤ ⊆ ℚ.

Entre dos conjuntos es posible realizar diversas operaciones, entre las que se encuentran:

Unión: Sean A y B dos conjuntos. La unión de los conjuntos A y B, denotada por 𝐴 ∪ 𝐵, es

el conjunto que contiene aquellos elementos que están bien en A o bien en B, o en ambos.

Por tanto 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}

Intersección: Sean A y B dos conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B, denotada por

𝐴 ∩ 𝐵, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están tanto en A como en B, o

en ambos. Por tanto 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}

Se dice que dos conjuntos son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío.

Complemento: El complemento de un conjunto A es otro conjunto 𝐴𝑐 cuyos elementos son

todos aquellos que no están en A. Por tanto 𝐴𝑐 = {𝑥|𝑥 ∉ 𝐴}

Diferencia: Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de los conjuntos A y B, denotada por

𝐴 − 𝐵 o por 𝐴\𝐵, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están en A, pero no

en B. La diferencia de A y B se llama también el complementario de B con respecto de A.

Por tanto 𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}

Diferencia Simétrica: Sean A y B dos conjuntos. La diferencia simétrica de los conjuntos A y

B es otro conjunto 𝐴 △ 𝐵, cuyos elementos son todos los elementos de A o B, a excepción

de los elementos comunes a ambos. Por tanto 𝐴 △ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵}

Producto Cartesiano: Sean A y B dos conjuntos. El producto cartesiano de A y B es otro

conjunto 𝐴 × 𝐵, cuyos elementos son todos los pares ordenados (𝑎, 𝑏) donde 𝑎 ∈ 𝐴 y 𝑏 ∈

𝐵. Por tanto 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}. Por ejemplo sea 𝐴 = {1,2} y 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} el

producto cartesiano 𝐴 × 𝐵 = {(1, 𝑎), (1, 𝑏), (1, 𝑐), (2, 𝑎), (2, 𝑏), (2, 𝑐)}

Referencias García, J. J. (2016). Nociones sobre conjuntos. Obtenido de

https://www.youtube.com/watch?v=mhft0I_eLk0

Kisbye, P. (2016). UNCAbierta. Obtenido de http://www.ocw.unc.edu.ar/facultad-de-matematica-

astronomia-y-fisica/cursillo-de-ingreso/actividades-y-materiales/elementos-de-logica-y-

teoria-de-conjuntos

Rosen, K. H. (2004). Los fundamentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones. En K. H.

Rosen, Matemática Discreta y sus aplicaciones (págs. 71-89). Madrid: McGraw-Hill.

UnADM. (2016). UnADM. Obtenido de

https://unadmexico.blackboard.com/webapps/blackboard/execute/modulepage/view?co

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