1

UNIVERSITETI I PRISHTINËS

FAKULLTETI I EDUKIMIT- PRIZREN Dr.sc. Ismet Temaj

EKUACIONET DIFERENCIALE TE ZAKONSHME (PËR STUDENTËT E PROGRAMIT MATEMATIKE-INFORMATIKE ) (DISPENCË)

Prizren, 2012

2

PERMBAJTJA EKUACIONET DIFERENCIALE 1.Hyrje …………………………………………………………………………… ......3 2.Ekuacionrt diferenciale të zakonshme të rendit të parë Përkufizimet themelore dhe teorema e Koshiut ………………………………….....4 3.Ekuacioni diferencial seperabile ……………………………………………… ... 5 4.Ekuacioni diferencial homogjene ……………………………………………...... ..7 5.Ekuacioni diferencial linear ……………………………………………………… .12 6.Ekuacioni diferencial i Bernulit ………………………………………………….. 16 7.Ekuacioni diferencial i Rikatit …………………………………………………… 21 8.Ekuacioni diferencial total …………………………………………………………22 9.Faktori integrues …………………………………………………………………...26 10.Ekuacioni diferencial i rendit të pare i pazgjidhur në lidhje me derivation……....29 11.Zgjidhjet singulare ………………………………………………………………..30 12.Metoda e integrimit me anë të derivimit ……………………………………….....33 13.Ekuacioni diferencial i Lagranzhit ……………………………………………….35 14.Ekuacioni diferencial i Kleros ……………………………………………………38 15.Trajektoret ortogonale dhe izogonale ……………………………………………..40 16.Ekuacionet diferenciale të rendeve të larta Përkufizimet themelore dhe teorema e Koshiut ……………………………......….44 17. Ekuacionet diferenciale lineare te rendeve te larta................................................. 46 18.Ekuacioni diferencial i rendit të dytë ……………………………………….......…48 19.Ekuacioni diferencial homogjen i rendit të dytë me koeficinet konstantë ……..….50 20.Ekuacioni diferencial jo homogjen i rendit të dytë ………………………………..52 21. Detyra te zgjidhura nga eekucionet diferenciale te zakonshme...............................56 Litretatura..................................................................................................................80

3

Hyrje Në këtë dispenc do të shqyrtohet një ndër konceptet më të rëndësishëm të analizës matematike. Koncepti i ekuacionit diferencial është një ndër themelet e formimit matematkë jo vetëm te specialistëve të ardhshëm që do të kenë matematikën si profesion te tyre ,por edhe te gjithë atyre ,që në punën e tyre të përditshme perdorin rëndom metodat matematikore për zgjidhjen e problemeve të fushave më të ndryshme të aktivitetit njerzor.Ketu është përfillur menyra klasike për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale që metodikisht është më e përshtatshme dhe duke pasur parasysh faktin se më pare nuk kemi shtjelluar kursin nga ekuacionet diferenciale. Kur studjohen fenomene te ndryshme fizike si psh. Fenomenet fizike , nuk është e lehtë të gjendet njëher ligji qe lidh madhësitë që karakterizojnë fenomenin fizik ,por mund të vendoset lehtë varësia ndërmjet po atyre madhësive dhe derivative ose diferencialeve te tyre. Në fillim trajtohen metodat themelore të integrimit të ekuacioneve diferenciale, teoria e përgjithshme e ekuacioneve diferenciale .Shqyrtohen edhe teoremat e ekzistencës dhe uniciteti për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të rendit të pare.Paraqiten forma të ndryshme të ekuacioneve diferenciale dhe mënyrat e zgjidhjeve të tyre pastaj edhe ilustrimi i metodave përkatëse me shembuj praktik.Kjo mënyrë e shtjellimit është mënyra më e mire, bashkohore si dhe më e përshtatshme për përvetësimin e koncepteve të reja matematike. Gjate punimit të dispences është marr edhe një numer i konsiderueshëm shembujsh me anë të të cilave shtjellohen mënyra se si zgjidhen detyrat ne “EDZ” .

4

EKUACIONET DIFERENCIALE

1. EKUACIONET DIFERENCIALE TE ZAKONSHME TE RENDIT T E PARE 1.PERKUFIZIMET THEMELORE DHE TEOREMA E KO SHIUT Përkufizimi 1. Le të jete F funksion i dhënë me domen 3R . Ekuacioni '( , , ) 0F x y y = (1) ku ( )y y x= është funksion I panjohur dhe i diferencueshëm ,quhet ekuacion diferencial i

rendit të pare. Psh. Ekuacioni ' 2 0y xy+ = është ekuacion diferencial I rendit të parë. Pëkufizimi 2. Funksioni ( )y xϕ= i përkufizuar në një interval I quhet zgjidhje e ekuacionit I, në qoftë se ( )xϕ është i diferencueshëm dhe me zëvendësimin e tij ne (1) e shëndrron atë në identitet ne intervalin I. P.sh. Funksioni y=x është zgjidhje e ekuacionit diiferencial ' 1 0y − = në intervalin ( , )−∞ +∞ . Forma normale e ekuacionit diferencial të rendit të pare është : ' ( , )y f x y= (2)

ku f është funksion real I perkufizuar ne ndonjë zone të 3R . Përkufizimi 3. Zgjidhja ( )y xϕ= e ekuacionit diferencial (2) e cila e plotson kushtin fillestar :

0 0/ x xy y= = (3)

ku x0, y0 janë numra real të dhënë dhe (x0 y0 ) është nga zona e përkufizimit të funksionit f , quhet zgjidhje e Koshiut. Teorema 1 : (Teorema e Koshiut mbi ekszistencën dhe unicitetin e zgjedhjes ).Le të jetë f(x,y) funksion I vazhdueshëm në një zonë të mbyllur

D={ (x,y) / a ≤ x ≥ b, c≤ y ≥d }dhe le të jetë df

dy funksion I vazhdueshëm në D.Atëherë

,egziston zgjidhja e vetme e ekuacionit diferencial (2), ( )y xϕ= e cila e plotson kushtin fillestar (3). Përkufizim 3. Zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit diferencial (2), në ndonjë zonë D e quajme funksionin

5

( , )y g x r= (4)

të përkufizuar në ndonjë zonë G nenbashkesi e 2R .

1) dg

dx është funksion i vazhdueshëm në G .

2) Ekuacioni : ( , )y g x c= është i zgjidhshëm sipas c në D , d.m.th. ( , )c h x y= 3) Funksioni (4) është zgjidhje e ekuacionit (2) për cdo vlerë të konstantës c ku ( , )x y Dε .

P.sh. Funksioni y x c= + është zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit ' 1 0y − = sepse I plotson kushtet 1) ,2) ,3) te perkufizimit 4. Përkufizimi 5. Zgjidhja partikulare e ekuacionit (2) quhet ajo zgjidhje e cila merret nga zgjidhja e përgjithshme , kur konstantës c i përcaktohet vlera në ndonjë mënyrë. P.sh. Funksioni 2y x= + është zgjidhje partikulare e ekuacionit ' 1 0y − = , sepse merret nga zgjidhja e përgjithshme e tij y x c= + , per c=2. Përkufizimi 6. Pika singulare të ekuacionit diferencial (2) e quhen ato pika nga zona e përkufizimit të funksionit f për të cilat nuk plotsohet së paku njëri prej kushteve të teoremës së Koshiut mbi ekzistencën dhe unicitetin e zgjidhjes së ekuacionit (2). Përkufizimi 7. Zgjidhje singulae të ekuacionit diferencial (2) e quajmë funksionin grafiku i të cilit përbëhet nga pikat singulare të ekuacionit diferencial (2).

3. EKUACIONI DIFERENCIAL SEPERABIL Përkufizimi 1. Ekuacioni diferencial i cili mund të shkruhet në formën : 1 1( ) ( ) 0f x x dyϕ ≠ (1)

quhet ekuacion diferencial seperabil. Duke supozuar se 1( ) ( ) 0f x yϕ ≠ , ekuacionin (1) mund ta shkruajmë në formën :

1

1

( )( )0

( ) ( )

xf xdx dy

f x x

ϕϕ

+ = (2)

Nëse integrojmë anë për anë ekuacionin (2) do të marrrim zgjidhjen e përgjithshme te tij :

1

1

( )( )

( ) ( )

yf xdx dy C

f x y

ϕϕ

∫ + ∫ =

Integralet që figurojnë në (3) mund të mos njehsohen (paraqiten ) në trajtë të fundme,por megjithatë ekuacioni (3) konsiderohet i zgjidhshëm .

6

Shembulli 1. Të gjendet zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit diferencial : 2(2 1) (3 2 ) 0x dx y y dy+ + + = Zgjidhje : Ekuacioni I dhënë diferencial është seperabil , prandaj duhet integruar anë për anë : 2(2 1) (3 2 )x dx y y dy c∫ + + ∫ + =

2 3 2

2 3 22 3 2

x y yx c+ + + =

marrim zgjidhjen e tij të përgjithshme: 2 3 2x x y y c+ + + = Shembulli 2. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial : 2 2(1 ) (1 ) 0x y dx x dy+ + + = Zgjidhje : Ekuacionin e dhënë po e pjestojmë me : 2 2(1 )(1 ) 0y x+ + ≠

2 2

01 1

x ydx dy

x y+ =

+ +

Tani barazimin e fundit e integrojmë anë për anë :

2 2

01 1

x ydx dy

x y∫ + ∫ =

+ +

dhe marrim zgjidhjen e përgjithshme:

2 21 1ln 1 ln 1 ln

2 2x y c+ + + =

e cila mund të shkruhet në formë : 2 2 2(1 )(1 )x y c+ + = . Shembull 3. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme : (1 ) (1 ) 0y dx x dy+ − − = Zgjidhje: (1 ) (1 )y dx x dy+ = − Pjestojmë me (1 )(1 )y x+ −

1 1

dx dy

x y=

− +

Integrojmë :

1 1

dx dy

x y∫ = ∫

− +

ln(1 ) ln(1 )x y− − = +

7

1ln(1 ) ln(1 ) lnx y c−− = + −

1 1

ln( ) ln( )1

y

x c

+=−

1 1

1

y

x c

+=−

(1 )(1 )x y c− + = . Shembulli 4. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial : ( )( ) 0xydx a x b y dy− + + = Zgjidhje : Pjestojmë me ( )y a x+ dhe fitohet shprehja

( ) 0x b y

dx dya x y

+− =+

Itegrojmë

x b y

dx dya x y

+∫ = ∫

+

x a dx b y

dx a dy dya x a x y y

+∫ − ∫ = ∫ + ∫

+ +

dx dy

dx a b dya x y

∫ − ∫ = ∫ + ∫+

ln( ) lnx a a x b y y− + = + ln ln( )x y b y a a x− = + + Zgjidhja e përgjithshme ln ( )b ax y y a x c− = + + 4. EKUACIONI DIFERENCIAL HOMOGJEN Perkufizimi 1 .Funksioni f(x,y) quhet funksion homogjen i rendit n në qoftë se për çdo λ vlen barazimi : ( , ) ( , )nf x y f x yλ λ λ= (1) ku n është numër i caktuar i cili quhet tregues i rendit te funksionit homogjen .

Shembulli 1. Funksioni 3 33( . )f x y x y= + është funksion homogjen i rendit 1 sepse

3 3 3 3 3 33 3( , )f x y x y x yλ λ λ λ λ= + = + = ( , )f x yλ

Shembulli 2 .Funksioni 2( , ) sinx

f x y xy

= është funksion homogjen I rendit të 2 sepse

8

2 2 2( , ) sin ( , )x

f x y x f x yy

λλ λ λ λλ

= =

Shembulli 3. Funksioni 3 3 2( , ) 3f x y x y x y= + + është homogjen I shkallës së tretë

3 3 3 3 3 2( , ) 3f x y x y x yλ λ λ λ λ= + +

3 3 3 2 3( , ) ( 3 ) ( , )f x y x y x y f x yλ λ λ λ= + + = Përkufizimi 2. Ekuacioni diferencial I formës: ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ = quhet homogjen , në qoftë se P(x,y) dhe Q(x,y) janë funksione homogjene të rendit të njejtë n. Nëse P(x,y) dhe Q(x,y) jan funksione homogjene të rendit n ,atëher në bazë të përkufizimit kemi barazimet : ( , ) ( , )nP x y P x yλ λ λ= dhe ( , ) ( , )nQ x y Q x yλ λ λ=

Nëse në barazimet e fundit zëvendësojmë 1

xλ = , 0x ≠ , do të kemi :

1

(1, ) ( , )n

yP P x y

x x= dhe

1(1, ) ( , )

n

yQ Q x y

x x= .

Rrjedhimishtë:

( , ) (1, )n yP x y x P

x= dhe

1( , ) ( , )

nQ x y Q x y

x=

Nëse shprehjet e fundit I zavendësojmë në ekuacionin e dhënë (2), do të fitojmë:

(1, ) (1, ) 0n ny yx P dx x Q dy

x x+ =

ose

(1, ) (1, ) 0y y

P dx Q dyx x

+ = (3)

Bëjmë në (3) zëvendësimin :

y

ux

= ose y= u x (4)

Atëher dy udx xdu= + , prandaj ,ekuacioni (3) merr formën :

[ ](1, ) (1, ) ( ) 0P u dx Q u udx xdu+ + =

[ ](1, ) (1, ) (1, ) 0P u uQ u dx xQ u+ + = (5)

Ekuacioni (5) është ekuacion diferencial seperabil ,nga I cili mund të caktohet u e pastaj nga (4) gjendet funksioni I kërkuar y . Në qoftë se është zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (5),atëher

( , , ) 0y

x cx

φ =

është zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (2).

9

Shembulli 1 . Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit

2 2

' x yy

xy

+=

Zgjidhje : Ekuacioni I dhënë është homogjen sepse funksioni

2 2

( , )x y

F x yxy

+= është homogjen.

Zëvendësojmë y=u x

2 2 2

'2

x x uu u x

x u

++ =

ose

2 2 2

'2

x x uu x u

x u

+= −

2

' 1 1uu x u

u u

+= − =

Në ekuacionin e fundit ndajmë variablat dhe pas integrimit marrim :

21ln

2u x C= +

prej nga

2( lnu C x= ± + .

Rrjedhimisht

2( ln )y

C xx

= ± +

ose

2( ln )y x C x= ± +

Shembulli 2 . Te zgjidhet ekuacioni diferencial :

2

'2

xyxy y

x− =

Tani pjestojme me x dhe fitojme :

2

'2

y yy

x x− =

Marrim zavendesimin y

x=u , e vetem y= u x ndërsa ' 'y u x u= + .

' 2u x u u u+ − =

' 2u x u= , ' duu

dx=

10

2dux u

dx=

2

du dx

u x= ,

Integrojme 2

du dx

u x∫ = ∫

- 1

ln lnx cu

= +

- 1

ln xcu

= ,

1

lnu

xc= −

1

ln

y

x xc= −

Pra zgjidhja e pergjithshme është :

ln

xy

xc= − .

Shembulli 3. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial : 2 2( ) 0x y dx xydy+ − =

Zgjidhje : Pjestojm me shprehjen 2x

2

2(1 ) 0

x ydx dy

y x+ − =

Pjestojm me dx

2

2(1 ) 0

x y dy

y x dx+ − =

2

'2

(1 ) 0y y

yx x

+ − =

Marrim zëvendësimet : ' ',y

u y ux y u x ux

= = ⇒ = +

Atëherë kemi : 2 '(1 ) ( ) 0u u u x u+ − + =

2 ' 21 0u uu x u+ − − = '1 0uu x− = ' 1uu x =

dx

udux

=

Integrojmë:

11

dx

udux

∫ = ∫

2

ln ln2

ux c= +

2

ln2

uxc=

2 2lnu xc=

2

22ln

yxc

x=

Zgjidhja e përgjithshme është: 2 22 ln( )y x xc= . Shembulli 4. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial :

2 2xdy ydx y x dx− = −

Zgjidhje : Pjestojmë me : xdx

2

21

dy y y

dx x x− = −

2

'2

1y y

yx x

− = −

Zavendesojme : ' ',y

u y ux y u x ux

= = ⇒ = +

u ' 2 1u x u u u+ − = −

' 2 1u x u= −

2 1

du dx

xu=

−

Itegrojmë :

2 1

du dx

xu∫ = ∫

−

Dhe kemi : 2ln 1 ln lnu u x c+ − = +

2 1u u xc+ − =

2

21

y yxc

x x+ − =

2 2

2

y y xxc

x x

−+ =

Zgjidhja e përgjithshme është:

12

2 2 2y y x cx+ − = .

5. EKUACIONET DIFERENCIALE LINEARE Përkufizimi 1. Ekuacioni diferencial I formës : '( ) ( ) ( )a x y b x y c x+ = (1) ku a(x),b(x) dhe c(x) janë funksione të dhëna , ndërsa y(x) është funksion I panjohur , quhet ekuacion diferencial linear I rendit të pare. Do ti konsiderojmë se funksionet a(x),b(x) dhe c(x) janë të vazhdueshme në një segment

[ ],α β ,si dhe ( ) 0a x ≠ .Meqë ( ) 0a x ≠ , [ ],xε α β ,ekuacioni (1) mund të transfomohet në

formën : ' ( ) ( )y p x y f x+ = (2) Zgjidhjen e ekuacionit do ta kërkojmë në formë të produktit të dy funksioneve u=u(x) , v=v(x): y=u v (3) Pasi që ' ' 'y u v uv= + , atëher duke zëvendësuar y dhe 'y në ekuacionin (2), do të kemi :

' ' ( ) ( )u v v u p x uv f x+ + = ose

' ' ( ) ( )u v u v p x v f x + + = (4)

Funksioni v do ta zgjidhim ashtu që shuma në kllapa të mesme në (4) të jetë zero,d.m.th. ' ( ) 0v p x v+ = (5) Prandaj ekuacioni (4) do të merr këtë formë: ' ( )u v f x= (6) Ekuacionin (5) e shkruajmë:

( ) 0dv

p x vdx

+ =

( ) 0dv

p x dxv

+ = (7)

Integrojme :

( ) lndv

p x dx cv

∫ + ∫ =

ln ( ) lnv p x dx c+ ∫ =

1ln ln ( )v c p x dx− = − ∫

1

ln ( )v

p x dxc

= − ∫

( )1( ) p x dxv x c e− ∫= (8)

Shprehjen e (6) e zëvendësojmë në ekuacionin e (6) dhe fitojme :

13

( )2

1

1( ) ( ) p x dxu x f x e dx c

c∫= ∫ + (9)

Duke zëvendësuar (8) dhe (9) ,marrim zgjidhjen :

( ) ( )( )p x dx p x dxy e f x e dx c− ∫ ∫ = + 1 2( )c c c= (10)

e cila paraqet zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit (2). Shembulli 1. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial : 2 ' 2 2(1 ) 2 (1 )x y xy x+ − = +

Zgjidhje : Të dy anët e ekuacionit të dhënë I pjestojmë me 21 0x+ ≠

' 22

21

1

xyy x

x− = +

+

Zgjidhjen e këtij ekuacioni e kërkojmë në formën y=uv , ku u(x) është ndonje zgjidhje partikulare e ekuacionit :

'2

20

1

xu u

x− =

+ (11)

Tani shprehjen y=uv e zëvendësojmë në ekuacionin e dhënë:

' ' 22

2( ) 1

1

xv u u uv x

x− + = +

+ (12)

Në bazë të (11) kemi : ' 21v u x= + (13) Nga ekuacioni (11) marrim : 2(1 )u x= + Atëher ekuacioni (13) do të merr formën : ' 2 2(1 ) 1v x x+ = + Ku pas integrimit kemi : v x c= + Përfundimishtë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të dhënë është: 2(1 )( )y uv x x c= = + + Ekuacioni (1) ku f(x) quhet ekuacion diferencial linear homogjen I rendit të pare, perndryshe quhet johomogjen. Shembulli 2. Të zgjidhet ekuacioni diferencial linear :

' 32y

y xx

+ = (14)

Zgjidhje : Marrim zëvendësimet , y=u v (15) ndërsa ' ' 'y u v v u= +

' ' 312u v v u uv x

x+ + =

' ' 31( ) 2v u u v u x

x+ + =

'1

0u ux

+ = (16)

14

' 32v u x= (17) Zgjidhim së pari ekuacionin e (15)

1

0du

udx x

+ =

0du dx

u x+ = integrojme

du dx

u x∫ = − ∫

ln u =-ln x 1ln lnu x−=

1u x−= ose 1

ux

= (18)

Ekuacionin (18) e zëvendësojmë në ekuacionin (17) dhe fitojmë :

' 312v x

x=

' 42v x= 42dv x dx= integrojmë 42dv x dx∫ = ∫

5

25

xv c= + (19)

Ekuacionin (18) dhe (19) e zëvendësojmë në ekuacionin (15) dhe kemi :

51

(2 )5

xy uv c

x= = +

Pra zgjidhja e përgjithshme është :

42

5

cy x

x= + .

Shembull 3. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme ekuacionit diferencial :

' 33 xy y x ex

− =

Zgjidhje : Marrim zavendësimet : ' ' 'y uv y u v v u= ⇒ = +

' ' 33 xu v v u uv x ex

+ − =

' ' 33( ) xv u u v u x e

x− + =

' 30u u

x− = dhe ' 3 xv u x e=

3

0du

udx x

− =

3du dx

u x= integrojme :

15

3du dx

u x∫ = ∫ dhe kemi :

ln 3lnu x= 3ln lnu x= 3u x= ' 3 xv u x e= ' 3 3 xv x x e= pjestojme me 3x dhe kemi

xdve

dx=

xdv e dx= integrojmë : xdv e dx∫ = ∫

xv e c= + Pastaj u dhe v e zëvendësojmë te shprehja y uv= dhe zgjidhja e përgjithshme është :

3( )xy uv x e c= = + . Shembulli 6. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit : cos sin cosdy y xdx x xdx+ = . Zgjidhje : Ekuacionin diferencial e pjestojmë me dx dhe kemi :

cos sin cosdy

y x x xdx

+ =

' cos sin cosy y x x x+ = ose ' (cos ) sin cosy x y x x+ =

Marrim zëvendësimet ' ' 'y uv y u v v u= ⇒ = +

' ' (cos ) sin cosu v v u x uv x x+ + =

' '(cos ) sin cosv u x u v u x x + + =

' (cos ) 0u x u+ = dhe ' sin cosv u x x=

(cos ) 0du

x udx

+ =

cos 0du

xdxu

+ = integrojmë :

cosdu

xdxu

∫ = − ∫

ln sinu x= − sinxu e−= ' sin cosv u x x= ' sin sin cosxv e x x− = Pjestojme me sinxe− dhe fitohet : ' sin sin cosxv e x x=

16

Pasi ' dvv

dx= atëherë kemi :

sin sin cosxdve x x

dx=

sin sin cosxdv e x x= Tani duhet integruar : sin sin cosxdv e x xdx∫ = ∫

sin sin cosxv e x xdx= ∫ Ky integral zgjidhet me metoden e zëvendësimit: sinu x= sin cosxt e xdx= ∫

cosdu xdx= sinxt e= sin sin sin sinsin cos sinx x x xv ut tdu xe e xdx xe e c= − ∫ = − ∫ = − +

sin (sin 1)xv e x c= − + Ndërsa zgjidhja e përgjithshme është :

sin sin (sin 1)x xy uv e e x c− = = − +

Përkatësisht: sinsin 1 xy x ce−= − +

6. EKUACIONI DIFERENCIAL I BERNULIT Përkufizimi 1. Ekuacioni diferencial I formës : '( ) ( ) ( ) na x y b x y c x y= (1) ku a(x) , b(x) dhe c(x) janë funksione të dhëna ,ndërsa n konstante dhe y(x) funksion I panjohur ,quhet ekuacion diferencial I Bernulit. Do të konsiderojmë se funksionet a(x), b(x) dhe c(x) janë të vazhdueshme në një segment

[ ],α β , si dhe ( ) 0a x ≠ për [ ],xε α β , ekuacioni (1) mund të transformohet në formën

' ( ) ( ) ny p x y f x y+ = (2) Zgjidhjen e ekuacionit (2) po e kërkojmë duke bërë zëvendësimin ky z= (3) ku konstantën k duhet ta caktojmë ashtu që ekuacionin (2) të shëndrrohet në ekuacionin diferencial linear. Me të vërtetë ,duke zëvendësuar (3) në (2), marrim :

' 1( ) ( ) nk kp x f xz z z

k k− ++ = (4)

Që ekuacioni (4) të jetë ekuacion diferencial linear duhet nk-k+1=0, prej nga 1

1k

n=

−. Pra me zëvendësimin :

1

1 ny z −=

17

ku ekuacioni diferencial I Bernulit shndërrohet në ekuacion diferencial linear. Shembulli 1 . Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial ' 2y y y+ = Zgjidhja : Këtu është n=2 ,prandaj marrim zëvendësimin :

1

11 21

y z zz

−−= = =

dhe ekuacioni I dhënë shndërrohet në ekuacion diferencial linear : ' 1z z− = − , zgjidhja e përgjithshme e të cilit është: ( )x xz c e e−= +

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të dhënë duke pasur parasysh se 1

yz

= do të jetë :

1

( )x xy

c e e−=+

.

Shembulli 2 . Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit : ' 2 lnxy y y x+ = (1) Zgjidhje :Pjestojmë me x dhe fitohet ekuacioni :

' 2lny xy y

x x+ = (2)

Pasi 2n = ,prandaj 1 2 1 1z y y

y− −= = = , ndërsa ' '

2

1z y

y= −

Shprehjen e (2) e pjestojme me 2y dhe fitohet :

'

2

1 1 lny x

y x y x+ =

Dhe bëjmë zëvendësimet :

' 1 ln xz z

x x− + =

Shumëzojmë me (-1) ku kemi :

'1 ln x

z zx x

− = − (3)

Fitohet ekuacioni diferencial linear . Për zgjidhjen e ekuacioni (3) marrim zëvendësimet : ' ' 'z uv z u v v u= ⇒ = + (4)

' ' 1 ln xu v v u uv

x x+ − = −

' '1 ln( )

xv u u v u

x x− + = −

'1

0u ux

− = dhe ' ln xv u

x= −

18

du dx

u x∫ = ∫

ln lnu x= u x= (5)

'ln x

v ux

= −

'ln x

v xx

= −

Pjestojmë me x dhe pasi ' dvv

dx= atëherë kemi :

2

lndv x

dx x= −

Integrojmë dhe kemi :

2

ln xdv dx

x∫ = − ∫

Ky integral zgjidhet me metodën parciale :

2

lndx

v xx

= − ∫

lnu x= 2

dxt

x= ∫

dx

dux

= 1

tx

= −

2

1 ln 1( ) ( ln ) ( )

dx xv ut tdu x

x x x x= − − ∫ = − + ∫ = − − −

Përkatësishë : 1

(ln 1)v x cx

= + + (6)

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial linear (3) është :

1

(ln 1) ln 1z uv x x c x xcx = = + + = + +

(7)

Përkatësishtë shprehjen (6) e zëvendësojmë ne 1

zy

= :

Ndërsa veq 1 1

ln 1y

z x xc= =

+ +

Pra ,zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial të Bernulit është :

1

ln 1y

x xc=

+ + .

Shembulli 3. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial :

' 2 2xy y x y− = (1)

Zgjidhje : Shprehjen e pjestojmë me x dhe kemi :

19

' 22y y y

x− =

Ose

1

' 22

2y y yx

− = (2)

Marrim zëvendësimet për 1

2n = kemi

1 11

2 2z y y−

= = , ndërsa ' '1

2

1

2

z y

y

=

'

'1

2

2y

z

y

=

Ekuacionin (2) e pjestojmë me 1

2y dhe kemi :

1'2

1

2

22

yy

xy

− = (3)

Bëjmë zëvendësimet ne ekuacionin (3), ku kemi :

' 22 2z z

x− = (4)

Ekuacionin (4) e pjestojmë me 2 dhe fitohet :

'1

1z zx

− =

Bëjmë zëvendësimet ' ' 'z uv z u v v u= ⇒ = +

' ' 11u v v u uv

x+ − =

' '1( ) 1v u u v u

x− + =

' 10u u

x− = dhe ' 1v u =

1

0du

udx x

− =

du dx

u x=

Integrojmë :

du dx

u x∫ = ∫

ln lnu x= u x= ' 1v u =

1dv

xdx

=

dx

dvx

=

20

Integrojm:

dx

dvx

∫ = ∫

lnv x c= + Pasi z uv= atëherë bëjmë zëvendësimet : (ln )z uv x x c= = +

Meqenëse 1

2z y= ose y z= :

(ln )y x x c= +

2 2(ln )y x x c= +

7. EKUACIONI DIFERENCIAL I RIKATIT Përkufizimi 1. Ekuacioni diferencial I formës : (1) ' 2( ) ( ) ( ) ( ) 0a x y b x y c x y d x+ + + = ku a(x), b(x), c(x) dhe d(x) janë funksione të dhëna ,ndërsa y(x) funksion I panjohur , quhet ekuacion diferencial I Rikatit. Do të konsiderojmë se funksionet a(x), b(x), c(x) dhe d(x) janë të vazhdueshme në një segment [ ],α β si dhe ( ) 0a x ≠ .Meqë ( ) 0a x ≠ për [ ],xε α β , ekuacioni (1) mund të

transformohet në formën : ' 2( ) ( ) ( ) 0y p x y q x y r x+ + + = (2) Ekuacioni I Rikatit në rastin e përgjithshëm nuk mund të zgjidhet me anën e kuadraturave ,prandaj zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit (2) do ta kërkojmë kur e dijmë një zgjidhje partikulare të tij 1y . Në rastin e tillë kemi :

' 21 1 1( ) ( ) ( ) 0y p x y q x y r x+ + + = (3)

Marrim zëvendësimin : 1 , ( )y y z z z x= + = (4)

Atëher ,duke patur parasysh barazimin (3) ,ekuacioni (2) merr formën: [ ]' 2

1( ) ( ) ( )z p x y q x z p x z+ + = − (5)

Ekuacioni (5)paraqet ekuacionin diferencial të Bernulit ,të cilin e shqyrtojmë në pikën 5. Le të jetë ( , )x cϕ zgjidhje e ekuacionit (5). Atëher

1 ( , )y y x cϕ= + (6)

ështe zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (2). në qoftë se marrim zëvendësimin :

1

1, ( )y y z z x

z= + = (7)

atëher duke pasur parasysh barazimin (3) ,ekuacioni (2) merr formën :

21

[ ]'

12 2

1 12 ( ) ( ) ( ) 0

zp x y q x p x

z z z− + + = (8)

apo [ ]'

12 ( ) ( ) ( )z p x y q x z p x− + =

Ekuacioni(8)paraqet ekuacionin diferencial linear ,të cilin e shqyrtuam në pikën 4. Le të jetë ( , )x cΨ zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (8).Atëherë,

1

1

( , )y y

x c= +

Ψ

është zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (2). Shembulli 1. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial :

2

' 23 3 3

1 20

1 1 1

x xy y y

x x x− + + =

− − −

kur dihet se një zgjidhje partikulare e tij është 2y x= − . Zgjidhje :Bëjmë zëvendësimin :

2 1y x

z= − + .

Atëher ,

2

2 ' 2 2 23 3 3

1 1 1 1 2( ) ( ) ( ) 0

1 1 1

x xx x x

z x z x z x− + − − + + − + + =

− − −

dhe ekuacioni I dhënë merr formën :

2

'3 3

3 1

1 1

xz z

x x+ =

− − .

ekuacioni I fundit është ekuacion diferencial linear , zgjidhja e përgjithshme e të cilit është:

3

.1

x cz

x

+=−

Prandaj zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të dhënë është:

3 2

2 1 1x x cy x

x c x c

− − −= − + =+ +

.

22

8. EKUACIONI DIFERENCIAL TOTAL Përkufizimi 1. Ekuacioni diferencial I formës : ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ = (1) ku ana e majtë e tij është diferencial total I ndonjë funksioni u=u(x,y) , quhet ekuacion me diferencial total. Nga përkufizimi 1, marrim : ( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy= + (2) Ekuacioni (1), pram und ta shënojmë në formën 0du = , nga përfundojmë se zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (1) përcaktohet me anë të formulës: ( , )u x y c= (3) Siç na është e njohur ,diferenciali total I funksionit ( , )u u x y= shprehet me anë të formulës:

u u

du dx dyx y

∂ ∂= +∂ ∂

(4)

Nga barazimet (2) dhe (4) rrjedh :

( , )u

P x yx

∂=∂

dhe ( , )u

Q x yy

∂=∂

(5)

Nëse barazimet (5) I diferencojmë , të parin sipas y-it , ndërsa të dytin sipas x-it , do të marrim barazimet , respektivishtë :

2( , )P x y u

y x y

∂ ∂=∂ ∂ ∂

dhe 2( , )Q x y u

x x y

∂ ∂=∂ ∂ ∂

Nga barazimet e fundit rrjedh :

P Q

y x

∂ ∂=∂ ∂

(6)

Barazimi 96) paraqet kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm që ana e majtë e ekuacionit (1) të paraqet diferencial total të një funksioni . Funksioni u(x,y) që ndodhet në formulën (3) , gjendet nga barazimet (5). Me të vërtetë,nga barazimi I parë në (5) kemi : ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx yϕ= ∫ + (7) ku y e konsiderojmë si konstante, ndërsa ( )yϕ luan rolin e konstantës së integrimit .Për të caktuar ( )yϕ ,barazimin (7) po e diferencojmë në lidhje me y :

'( , ) ( )u

P x y dx yy y

ϕ∂ ∂= ∫ +∂ ∂

(8)

Nëse në barazimin (8), zëvendësimin u

y

∂∂

nga barazimi I dytë në (5) do të marrim :

( , ) ( , )d

Q x y P x y dxy dy

ϕ∂= ∫ +∂

(9)

prej nga rrjedh :

23

( ) ( , ) ( , )y Q x y P x y dx dyy

ϕ ∂= ∫ − ∫ ∂ (10)

Duke zëvendësuar (10) në (7) , do të marrim zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit (1):

( , ) ( , ) ( , )P x y dx Q x y dy P x y dx dy Cy

∂∫ + ∫ − ∫ ∫ = ∂

(11)

Shembulli 1. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial : 2 2 2 3(3 6 ) (6 4 ) 0x xy dx x y y dy+ + + = Zgjidhje : Për ekuacionin e dhënë kemi : 2 2( , ) 3 6P x y x xy= + dhe 2 3( , ) 6 4Q x y x y y= + Prej këndej :

12P

xyy

∂ =∂

dhe 12Q

xyx

∂ =∂

në këtë mënyrë plotsohet barazimi P Q

y x

∂ ∂=∂ ∂

që d.m.th. se ekuacioni I dhënë është

ekuacion me diferencial total .Rrjedhimisht,

2 23 6u

x y xyx

∂ = +∂

dhe 2 36 4u

x y yy

∂ = +∂

Po I integrojmë ekuacionin e pare në (11) (duke e konsideruar y si konstante ) : 3 2 2( , ) 3 ( )u x y x x y yϕ= + + (12) ku ( )yϕ është funksion të cilin duhet caktuar . Barazimin (12) po e diferencojmë tani sipas y-it :

2 '6 ( )u

x y yy

ϕ∂ = +∂

Nëse në barazimin e fundit zëvendësojmë u

y

∂∂

nga (11) do të marrim :

' 2 3 2 3( ) 6 4 6 4y x y y x y yϕ = + − =

4( )y yϕ = (13) Nëse (13) e zëvendësojmë në (12) do të marrim zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit të dhënë : 3 2 2 43x x y y c+ + = . Shembulli 2. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial : ( 2 ) 0y ye dx xe y dy+ − = . Zgjidhje : yP e= dhe 2yQ xe y= −

yPe

y

∂ =∂

dhe yQe

x

∂ =∂

Pra : P Q

y x

∂ ∂=∂ ∂

24

yze

x

∂ =∂

x∫ (integrojmë sipas x-it )

Ku kemi : ( )yz e dx yϕ= ∫ +

( )yz xe yϕ= + 'y (derivojme sipas y-it)

'( )ydzxe x

dyϕ= + pasi

dzQ

dy=

Atëherë kemi : '2 ( )y yxe y xe yϕ− = + Mbetet vetëm : '( ) 2y yϕ = − y∫ (integrojmë sipas y-it)

( ) 2y ydyϕ = − ∫

2

2( ) 22

yy y cϕ = − = − +

Përkatësishtë : 2( )y y cϕ = − + Ndërsa 2yz xe y c= − + Për 0z = kemi : 2yxe y c− = . Shembulli 3. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial :

(1 ) (1 ) 0x

y y xe dx e dy

y+ + − =

Zgjidhje : 1 yP e= + dhe (1 )x

y xQ e

y= −

2 2

( )x x

y yP x xe e

y y y

∂ = − = −∂

dhe

2

1 1 1 1(1 ) ( ) (1 1) ( ) ( )

x x x x x

y y y y yQ x x x xe e e e e

x y y y y y y y y

∂ = − + − = − − = − = −∂

Pra :

P Q

y x

∂ ∂=∂ ∂

1x

ydze

dx= + x∫ (integrojmë sipas x-it )

Ku kemi :

(1 )x

yz e dx= ∫ +

25

( )x

yz x ye yϕ= + + 'y (derivojmë sipas y-it )

'( )x x

y ydz xe ye

dy y= +

'( )x x

y ydz xe e y

dx yϕ= − +

Pasi dz

Qdx

= , atëherë kemi :

' ( )x x x x

y y y yx xe e e e y

y yϕ− = − +

Pas thjeshtimit te shprehjeve , kemi : '( ) 0yϕ = y∫ ( pasi të integrojmë sipas y-it )

Kemi : ( )y cϕ = Përkatësishtë :

x

yz x ye c= + + Për 0z = , do të kemi

x

yx ye c+ = Shembulli 4. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial : (cos ) (2 sin ) 0xy e dx x y dy+ + − = Zgjidhje : cos xP y e= + dhe 2 sinQ x y= −

sinP

yy

∂ = −∂

dhe sinQ

yx

∂ = −∂

Pasi P Q

y x

∂ ∂=∂ ∂

kemi :

cos xzy e

x

∂ = +∂

x∫ (integrojmë sipas x-it )

cos ( )xz y dx e dx yϕ= ∫ + ∫ +

cos ( )xz x y e yϕ= + + 'y (derivojmë sipas y-it )

'sin ( )dz

x y ydy

ϕ= − +

Pasi dz

Qdy

= atëherë kemi :

'2 sin sin ( )x y x y yϕ− = − + Mbetet shprehja :

26

'( ) 2yϕ = y∫ (pasi integrojmë sipas y-it )

Kemi ( ) 2y y cϕ = + Përkatësishtë : cos 2xz x y e y c= + + + Për 0z = kemi : cos 2xx y e y c+ + = . 9.FAKTORI INTEGRUES Në këtë pike do të trajtojmë ekuacionin e formës : ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ = (1) në të cilin ana e majtë nuk është diferencial total I ndonjë funksioni , por mund të gjendet funksioni I caktuar ( , ) 0x yµ µ= ≠ , që pas shumëzimit të ekuacionit (1) me këtë funksion , ekuacioni (1) të shëndrrohet në ekuacion me diferencial total . Funksionin e tillë e quajmë factor integrues të ekuacionit (1). Teorema 1. Le të jetë funksioni P(x,y), Q(x,y) dhe ( , )x yµ të vazhdueshme në një zonë D dhe në të njejtën zonë le të jenë të vazhdueshme edhe derivatet parciale

, ,P Q

y x x

µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

dhe y

µ∂∂

.Atëher ,faktori integrues ( , )x yµ I ekuacionit (1) është zgjidhje e

ekuacionit : (2) Vërtetim : Nga ekuacioni (1) duke shumëzuar me ( , ) 0x yµ ≠ , marrim

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0x y P x y dx x y Q x y dyµ µ+ = (3) Ekuacioni (3) është me diferencial total në qoftë se plotson barazimin : I cili shndërrohet në ekuacion difrencial parcial :

( , ) ( , ) ( , ) ( , )P Q

P x y x y Q x y x yy y x x

µ µµ µ∂ ∂ ∂ ∂+ = +∂ ∂ ∂ ∂

apo

( , ) ( , ) ( ) ( , )P Q

Q x y P x y x yx y y x

µ µ µ∂ ∂ ∂ ∂− = −∂ ∂ ∂ ∂

Duke ditur se zgjidhja e ekuacionit (2) kërkon aparat më të gjërë matematikë, ne këtu do të ndalim në faktorin integrues që varet vetëm prej një variable. 1 ) Le të jetë ( )xµ µ= ,atëher ekuacioni (2) merr formën :

( ) ( , )d P Q

Q x ydx y x

µ µ∂ ∂= −∂ ∂

(4)

27

Në qoftë se shprehja

1

( )P Q

Q y x

∂ ∂−∂ ∂

është funksion vetëm I x-it ,atëher ekuacioni (4) merr formën :

( )d

f x dxµ

µ=

prej nga

( )( ) f x dxx ceµ ∫= . Shembulli 1. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit : 2 2(1 ) ( ) 0x y dx x y x dy− + − = . Zgjidhje : Për arsye se :

2 2 2 3 2(1 ) ( ) 2 3x y x x y x xy xy x

∂ ∂− = − ≠ − = −∂ ∂

ekuacioni I dhënë nuk është ekuacion me diferencial total .Prandaj do të bëhet I tillë kur të shumëzohet me faktorin integrues ( )xµ të cilën po e llogaritim më poshtë. Nga

1 2

( ) ( )P Q

f xy x xµ

∂ ∂= − = −∂ ∂

marrim

2 ( )( ) f x dxx ceµ − ∫= nga gjejmë për c=1 :

2

1( )x

xµ = .

D.m.th ekuacioni

2

1( ) ( ) 0y dx y x dyx

− + − =

është ekuacion me diferencial total,zgjidhja e përgjithshme e të cilit është

21

2

yyx c

x− − + =

2) Le të jetë ( )yµ ,atëher ekuacioni (5) merr formën :

( ) ( )dx P Q

P ydy y x

µ∂ ∂− = −∂ ∂

(5)

Në qoftë se shprehja

1

( )Q P

P x y

∂ ∂−∂ ∂

është funksion vetëm I y-it ,atëher ekuacioni (5) merr formën :

( )d

g y dyµ

µ=

prej nga

28

( )g y dyceµ ∫= . Shembulli 2. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial :

3( ln ) 0y

dx y x dyx

+ − =

Zgjidhja : y

Px

= dhe 3 lnQ y x= −

1P

y x

∂ =∂

dhe 1Q

x x

∂ = −∂

Pra P Q

y x

∂ ∂≠∂ ∂

, prandaj duhet gjetur faktorin integrues :

'

1 1 2( )( ) 2

( )

Q Px y x x x x

y yx Q yx x

µµ

∂ ∂− − − + −∂ ∂= = = = − (integrojme )

2ln ( ) lnx yµ −= Dhe kemi gjetur faktorin integrues :

22

1( )x y

yµ −= =

Tani ekuacionin diferencial e shumëzojme me 2

1

yku fitohet ekuacioni diferencial total:

2

1 ln( ) 0

xdx y dy

xy y+ − =

1

Pxy

= dhe 2

ln xQ y

y= −

2

1P

y xy

∂ = −∂

dhe 2

1Q

x xy

∂ = −∂

Pra P Q

y x

∂ ∂=∂ ∂

atëherë kemi :

1z

x xy

∂ =∂

x∫ (integrojmë sipas x-it )

1 1

( )z dx yy x

ϕ= ∫ +

1

ln ( )z x yy

ϕ= + 'y (derivojmë sipas y-it )

'2

ln( )

z xy

y yϕ∂ = − +

∂

Pasi z

Qy

∂ =∂

, atëherë kemi :

29

'2 2

ln ln( )

x xy y

y yϕ− = − +

Mbetet vetëm shprehja : '( )y yϕ = y∫ (Pasi të integrojmë sipas y-it )

Kemi :

2

( )2

yy cϕ = +

Pastaj 21

ln2

yz x c

y= + + ,

Për 0z = kemi :

2ln

2

x yc

y+ =

10. EKUACIONI DIFERENCIAL I RENDIT TE PARE I PAZGJIDHUR NE LIDHJE ME DERIVATIN Forma e ekuacionit diferencial të rendit të pare të pazgjidhur në lidhje me derivatin 'y është : '( , , ) 0F x y y = (1)

Supozojmë se ekuacioni (1) ka n-zgjidhje reale sipas 'y :

' ( , ); ( 1,2,..., )ky f x y k n= = (2)

ku të gjithë funksionet ( , )kf x y janë të përkufizuara dhe të kufizuara në një zonë D.

Le të jetë ( , , ) 0;( 1,2,..., )k x y c k nφ = =

Zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit (2) .Atëher 1 2( , , ) ( , , )... ( , , ) 0nx y c x y c x y cφ φ φ⋅ =

është zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (1). Shembulli 1. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit :

2' ' ( ) 0y yy x x y+ − + =

Zgjidhje : Duke e zgjidhur ekuacionin e dhënë sipas 'y ,marrim ekuacionin diferencial :

'y x= dhe 'y y x= − − Zgjidhjet e përgjithshme të të cilit janë reciprokishtë :

2

02

xy c− − = dhe

2

( )( 1) 02

xxy c y ce−− − − − =

30

Prandaj ,zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të dhënë është:

2

( )( 1) 02

xxy c y ce−− − − − = .

11. ZGJIDHJET SINGULARE Supozojmë se ekuacioni diferencial : '( , , ) 0F x y y = (1)

ka zgjidhje reale sipas 'y :

' ( , )ky f x y= ; (k=1,2,….,n) (2)

Le të jetë ( , )kf x y funksione të vazhdueshme në ndonjë zone D dhe le të egzistojë

( 1,2,..., )kf k ny

∂ =∂

.Pikat singulare të ekuacionit diferencial (1) duhet kërkuar në mesin e

pikave në të cilin derivati ( 1,2,..., )kf k ny

∂ =∂

nuk është I kufizuar. Në qoftë se ekuacionin

(1) e diferencojmë sipas y ,atëher do të marrim :

'

'0

F F y

y y y

∂ ∂ ∂+ =∂ ∂ ∂

.

prej nga

'

'

Fy y

Fyy

∂∂ ∂= − ∂∂

∂

, '

( )kfy

y y

∂∂ ≡∂ ∂

Derivati'y

y

∂∂

është I përkufizuar , nëse :

'

0,( 0)F F

y y

∂ ∂= ≠∂ ∂

(3)

Duke eliminuar derivatin 'y nga ekuacioni (1) dhe (3) do të marrim : g(x,y)=0 (4) Në qoftë se (4) është zgjidhje e ekuacionit (1) dhe në qoftë se në cdo pike të lakores (4) nuk ruhet uniciteti I zgjidhjes atëher (4) është zgjidhje singulare e ekuacionit (1). Vërejmë ,se zgjidhja singulare nuk mund të meren nga zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial . Shembulli 1. Të gjendet zgjidhja singulare e ekuacionit :

22 ' 2 ' 24 4 ( ) 0y y y x yy+ − + = .

Zgjidhje : Nga barazimi

31

22 ' 2 ' 2

'4 4 ( ) 0y y y x yy

y

∂ + − + = ∂

marrim :

'3

xy

y=

e pastaj duke zëvendësuar barazimin e fundit në ekuacionin e dhënë ,marrim zgjidhjen :

3

xy

y= ±

e cila paraqet zgjidhjen singulare të ekuacionit të dhënë. Siç e dijmë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (1) është: G(x,y,c)=0 (5) Ekuacioni (5) paraqet një familje të lakoreve njëparametrike ku si parameter kemi c. Përkufizimi 1. Lakorja ( )y xϕ= quhet mbështjellëse e familjes (5) në qoftë se cdo pike e lakores ( )y xϕ= I takon vetëm njërës lakore të familjes(5). Nga përkufizimi 1 rrjedh se mbështjellësi I familjes (5) është zgjidhje singulare e ekuacionit (1).Mbështjellesi I familjes (5) do ta gjejmë duke eliminuar parametrin c nga sistemi : ( , , ) 0G x y c =

0G

c

∂ =∂

(6)

Shembulli 2. Të gjendet mbështjellësi I familjes së lakoreve : 2 ( )y c x c= −

Zgjidhje : Nga 2 ( ) 0y c x cc

∂ − − = ∂

, marrim :

2

xc =

dhe duke zëvendësuar këtë në ekuacionin e dhënë , marrim zgjidhjet :

2

xy = ±

e cila paraqet mbështjellësin e familjes së lakoreve . Shembulli 3. Të gjendet mbështjellësi I familjes se lakoreve : 2 2( ) 1x c y− + = .

Zgjidhje : 2 2( ) 1 0x c yc

∂ − + + = ∂

2( )( 1)f

x cc

∂ = − −∂

2( )f

c xc

∂ = −∂

2( ) 0c x− =

32

x c= dhe duke e zëvendësuar në ekuacionin e dhënë kemi : 2 2( ) 1c c y− + = dhe 1y = ± paraqet mbështjellësin e familjes së lakoreve . Shembulli 4. Të gjendet mbështjellësi I familjes së lakoreve :

2' 4 4 0y y+ − = .

Zgjidhje:

2' 4 4y y= −

' 4(1 )y y= −

' 2 1y y= −

2 1dy

ydx

= −

21

dydx

y=

− ∫ (integrojmë ) ku kemi :

21

dydx

y∫ = ∫

−

Ky integral zgjidhet me metodën e zëvendësimit :

21 y t− = e veq 1t y= − , ndërsa 2dy tdt− =

2

2t

dt dxt

−∫ = ∫

dt dx− ∫ = ∫ t x− =

1 y x c− − = +

21 ( )y x c− = + ose 21 ( )y x c= − +

2( ) 1 0y x c+ + − =

2( ) 1 0y x cc

∂ + + − = ∂

2( )f

x cc

∂ = +∂

x c= − dhe duke zëvendësuar ne ekuacionin e dhënë kemi : 21 ( )y c c= − − + dhe 1y = është zgjidhje singulare.

33

12. METODA E INTEGRIMIT ME ANE TE DIFERENCIMIT Po supozojmë se ekuacioni diferencial '( , , ) 0F x y y = ka zgjidhje reale sipas y ( , )y f x y= (1)

Zëvendësimi 'y p= . Atëher dy pdx= , dhe ekuacionin (1) do të merr formën : y=f(x,p) (2) Duke diferencuar ekuacionin (2) , amrrim ekuacionin

f f

dy dx dpx p

∂ ∂= +∂ ∂

nga I cili rrjedh ekuacioni diferencial I rendit të pare :

f f

pdx dy dx dpx p

∂ ∂= = +∂ ∂

(3)

Le të jetë ( , )p x cµ= zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (3).Atëher

( ), ( , )y f x x cµ=

është zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (1). Po supozojmë tani se ekuacioni diferencial '( , , ) 0F x y y = , ka zgjidhje reale sipas x-it :

'( , )x g y y= (4)

Zëvendësojmë 'y p= , dy

dxp

= , dhe ekuacioni (4) merr formën :

x=g(y,p) (5) Duke diferencuar ekuacionin (5), marrim :

g g

dx dy dpy p

∂ ∂= +∂ ∂

prej këndej merret ekuacioni diferencial I rendit të pare

dy g g

dy dpp y p

∂ ∂= +∂ ∂

(6)

Le të jetë ( , )p y cλ= , zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (6).Atëher ( , ( , ))y g y y cλ= është zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (4). Shembulli 1. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit : ' 3y y= +

Zgjidhje : Ekuacioni I dhënë është I formës (1). Marrim zëvendësimin 'y p= , dy pdx= , dhe ekuacioni I dhënë merr formën : y=p+3 (7) Duke diferencuar ekuacionin (7) , marrim dy dp=

prej nga merret ekuacioni diferencial I rendit të pare : pdx dp= Zgjidhja e përgjithshmee e ekuacionit diferencial është :

34

xp ce= . Nga (8) dhe (3) rrjedh zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të dhënë : 3xy ce= + . Shembulli 2. Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial :

22 ' '3

22

y x xy y= − +

Zgjidhje : Marrim zëvendësimet 'y p= , dy pdx=

2 232

2y x xp p= − +

3

2 2 2 22

dy xdx xdp pdx pdp= − − +

2 2 2 3pdx xdx xdp pdx pdp= − − + 2 2 2 3 0xdx xdp pdx pdx pdp− − − + = Pjestojmë me dp dhe kemi :

2 2 2 3 0dx dx dx

x x p p pdp dp dp

− − − + =

pasi 'dxx

dp= :

' ' '2 2 2 3 0xx x px px p− − − + =

' (2 3 ) 2 3 0x x p x p− − + =

'2 3

2 3 2 3

px x

x p x p− = −

− −

Marrim zëvendësimet : ' ' 'x uv x u v v u= ⇒ = +

' ' 2 3

2 3 3 2

pu v v u uv

x p p x+ − =

− −

' '2 3

2 3 ) 3 2

pv u u v u

x p p x

− + = − −

'2

03 2

u up x

+ =−

dhe ' 3

3 2

pv u

p x=

−

03 2

du dx

u p x+ =

−

2 3

du dx

u x p∫ = ∫

−

2

ln ln(3 2 )3

u p x= − −

2

3(3 2 )u p x−

= −

35

Pasi '3

3 2

pv u

p x=

−

2

' 3 3(3 2 )

3 2

pv p x

p x

−− =

−

2

3' (3 2 )

3(3 2 )

p p xv

p x

−=−

2

133 (3 2 )

dvp p x

dp

−= −

1

33 (3 2 )dv p p x dp−

∫ = ∫ −

4 1

3 33(3 2 ) 6 (3 2 )

4v p x x p x c= − + − +

Vlerat e u dhe v I zëvendësojme ne x uv= :

2 1 2

3 3 33(3 2 ) 6 (3 2 ) (3 2 )

4x p x x p x c p x

− −= − + − + −

2 1 2

3 3 33(3 2 ) 6 (3 2 ) (3 2 )

4x p x x p x c p x

− −= − + − + −

Vleren e x e zëvendësojmë ne ekuacionin e dhënë:

2 232

2y x xp p= − +

1

3

9 ( 2 )

4(3 2 )

p xy

p x

+=−

13. EKUACIONI DIFERENCIAL I LAGRANZHIT Përkufizimi 1 . Ekuacioni diferencial I formës : ' '( ) ( )y xf y yϕ= + (1) ku f dhe ϕ janë funksione të dhënë dhe të diferencueshëm në një interval , quhet ekuacion diferencial I Lagranzhit. Marrim zëvendësimin 'y p= , dy pdx= , dhe ekuacioni (1) merr f ormën :

( ) ( )y xf p pϕ= + (2) Duke diferencuar ekuacionin (2), marrim ekuacionin : ' '( ) ( ) ( )dy f p dx xf p dp p dpϕ= + +

nga I cili rrjedh ekuacioni diferencial I rendit të pare:

' '( ) ( )

0( ) ( )

dx f p px

dp f p p f p p

ϕ+ + =− −

, për ( ) 0f p p− ≠ (3)

36

Le të jetë : ( ) ( )x c p pλ µ= + (4) zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (1) në trajtën parametrike do të jetë : ( ) ( )x c p pλ µ= + ( ( ) ( )) ( ) ( )y c p p f p pλ µ ϕ= + + (5)

Në qoftë se f(p)-p=0 , për ndonjë 0p p= , atëher

0 0( ) ( )y xf p pϕ= +

është zgjidhje singulare e ekuacionit (1). Shembulli 1 . Të gjendet zgjidhja e ekuacionit ' '2 lny xy y= +

Zgjidhje : Marrim zëvendësimin ' ,y p dy pdx= = , dhe ekuacioni I dhënë merr formën : y=2xp+lnp (6) Duke diferencuar ekuacionin (6), marrim ekuacionin :

2 2dp

dy pdx xdpp

= + +

prej nga duke patur parasysh zëvendësimin 'y p= marrim ekuacionin diferencial linear :

2

2 1dxx

dp p p= − − .

zgjidhja e përgjithshme e të cilit është :

2

1cx

p p= − (7)

Nga (6) dhe (7) rrjedh zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të dhënë në formën parametrike :

2

1cx

p p= −

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial është:

2

ln 2c

y pp

= + − .

Shembulli 2. Të gjendet zgjidhja e ekuacionit diferencial :

2' '2y xy y= + .

Zgjidhje : Marrim zëvendësimin 'y p= , dy pdx= dhe ekuacioni merr formën :

22y xp p= +

' 2 2 2y xdp pdx pdxp= + + 2 2 2pdx xdp pdx pdp= + + 2 2 0xdp pdx pdp+ + = (pjestojmë me dp )

2 2 0dx

x p pdp

+ + =

37

Pasi 'dxx

dp= , atëherë kemi :

'2 2 0x px p+ + = (pjestojmë me p)

'2 2 0x

xp

+ + =

ose

' 22x x

p+ = −

Marrim zëvendesimin : x uv= , ' ' 'x u v v u= +

' ' 22u v v u uv

p+ + = −

' '2( ) 2v u u v u

p+ + = −

'2

0u up

+ = dhe ' 2v u = −

2

0du

udp p

+ =

2du dp

u p= −

Integrojme dhe kemi :

2du dp

u p∫ = − ∫

ln 2 lnu p= −

2

1u

p=

' 2v u = −

'2

12v

p= −

22dv

pdp

= −

22dv p dp∫ = − ∫

32

3v p c= − +

Pasi x uv= atëher kemi :

32

1 2( )

3x p c

p= − +

Përkatësishtë :

38

3

2 2

2 3 2

3 3

c c px p

p p

−= − + =

Vlereën e x e zëvendësojmë në : 22y xp p= +

3

22

3 22( )

3

c py p p

p

−= +

3

23 22( )

3

c py p

p

−= +

3

26 4

3

c py p

p

−= +

3 36 4 3

3

c p py

p

− +=

Zgjidhja e këtij ekuacioni diferencial është:

36

3

c py

p

−=

14. EKUACIONI DIFERENCIAL I KLEROS Përkufizimi 1. Ekuacioni diferencial I formës : ' '( )y xy f y= + (1) ku f është funksion I dhënë I diferencueshëm në një interval , quhet ekuacion I ë interval , quhet ekuacion I Kleros. Nëse marrim zëvendësimin ' ,y p dy pdx= = , ekuacioni (1) do të merr formën : ( )y xp f p= + (2) Duke diferencuar ekuacionin (2) marrim : '( )dy pdx xdp f p dp= + +

Nga ekuacioni I fundit ,duke patur parasysh zëvendësimin 'y p= rrjedh ekuacioni :

'( ( )) 0x f p dp+ = (3)

Në qoftë se '( ) 0x f p+ = , atëher nga (3) marrim 0dp = përkatesishte p c= Në qoftë se zëvendësojmë p c= në ekuacionin (1) do të marrim zgjidhjen e përgjithshme: lny cx c= +

Në qoftë se '( ) 0x f p+ = ,atëher :

'( )x f x= −

'( ) ( )y f p p f p= − + Eshtë zgjidhje singulare e ekuacionit (1)në trajtën parametrike .

39

Shembulli 1 .Të gjendet zgjidhja e ekuacionit :

'' yy xy e= − .

Zgjidhje : Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të dhënë është : cy cx e= −

Nga ( ) pf p e= − , marrim '( ) pf p e= − prej nga zgjidhja singulare e ekuacionit të dhënë është : px e= y p= . Shembulli 2. Të zgjidhet ekuacioni diferencial :

' '1y y x y= + +

Zgjidhje : Marrim zëvendësimet 'y p= , dy pdx=

1y px p= + +

1

2 1dy pdx xdp dp

p= + +

+

1

2 1pdx pdx xdp dp

p= + +

+

1

02 1

xdp dpp

+ =+

1

( ) 02 1

x dpp

+ =+

1

02 1

xp

+ =+

dhe 0dp =

1

2 1x

p= −

+

1

12

px

+ = −

2

11

4p

x+ =

2

11

4p

x= −

Vleren e p e zëvendësojme ne ekuacionin e dhene

2 2

1 1( 1) 1 14 4

y xx x

= − + + −

2

1 1

4 4y x

x x= − +

40

1 1

4 2y x

x x= − +

Zgjidhja e ekuacionit diferencial :

3

4y x

x== −

15. TRAJEKTORET ORTOGONALE DHE IZOGONALE Le të jetë: ( , , ) 0F x y c = (1) ku c I merr të gjitha vlerat e mundshme . Përkufizimi 1. Lakoret të cilat I ndërprejnë lakoret e familjes (1) nën një kënd të dhënë ϕ quhen trajektore të familjes se lakoreve (1).

Në qoftë se 2

πϕ = ,ateher trajektoret e familjes (1) quhen trajektore ortogonale ,në të

kundërtën quhen trajektore izogonale. Vërejtje :Me kënd ndërmjet dy lakoreve nënkuptojmë këndin ndërmjet tangjenteve të lakoreve të tërhequra në pikëprerjet e këtyre lakoreve. Teorema 1. Le të jetë : '( , , ) 0E x y y = (2) ekuacioni diferencial I familjes (1).Atëher ekuacioni diferencial I familjes së trajektoreve izogonale (ortogonale)të familjes (1) është :

'

'( , , ) 0

1

y kE x y

ky

− =+

1

( ( , , ) 0)E x yy

− = (3)

ku k tgϕ= . Vërtetimi : Ekuacioni diferencial (2) I familjes së lakoreve (1) merret duke eliminuar

konstantën c nga (1) ddhe ekuacioni : ' 0F F

yx y

∂ ∂+ =∂ ∂

Le të jetë y=g(x) ekuacioni I trajektores T të familjes së lakoreve (1), ndërsa y=f(x) ekuacioni I lakores L nga familja (1).Atëher marrim : '( , ( ), ( )) 0E x f x f x = (4) Le të jetë α dhe β respektivishtë këndet që I formojnë tangjentet përkat%se të lakoreve L dhe T në pikën M. Nga figura 1. shihet se në pikëprerjen ( , ( ))M x f x të lakoreve L dhe T duhet të vlejnë: ( ) ( )f x g x= (5)

' '( ), ( )tg g x tg f xα β= = dhe

41

' '

' '

( ) ( )( )

1 1 ( ) ( )

tg tg g x f xk tg tg

tg tg g x f x

ε βϕ α βα β− −= = − = =

+ +

Nga barazimi i fundit marrim :

'

''

( )( )

1 ( )

g x kf x

kg x

−=+

(6)

Nëse zëvendësojmë (5) dhe (6) në (4) do të marrim :

'

'

( )( , ( ), ) 0

1 ( )

g x kE x g x

kg x

− ≡+

d.m.th se ( )y g x= është zgjidhje e ekuacionit e ekuacionit diferencial (3).

Në qoftë se 2

πϕ = , atëher kemi

''

1( )

( )f x

g x= − (7)

Nëse zëvendësojmë (5) dhe (7) në (4) do të marrim :

'

1( , ( ), ) 0

( )E x g x

g x− ≡

d.m.th. se ( )y g x= është zgjidhje e ekuacionit (3). Shembulli 1 . Të gjenden trajektoret ortogonale të parabolave: 2y cx= Zgjidhje : Ekuacioni diferencial I parabolave të dhëna është :

' 2y

yx

=

Prej këndej ,duke zëvendësuar 'y me '

1

y− do të marrim ekuacionin diferencial të

trajektoreve ortogonale :

'

12

y

y x− = ,

zgjidhje e përgjithshme e të cilit është :

2

2

2

xy c+ = .

Pra,elipsat paraqesin trajektoret ortogonale të familjes së dhënë të parabolave. Shembulli 2. Të gjendet trajektoret ortogonale : 2 28 8x ax y− + = . Zgjidhje : '2 8 2 0x a yy− + =

Marrim zëvendësimet ''

1y

y→ −

42

'

12 8 2 ( ) 0x a y

y− + − =

' '2 8 2 0xy ay y− − =

' (2 8 ) 2y x a y− =

' 2

2 8

y

y x a=

−

4

dy dx

y x a=

−(integrojmë)

4

dy dx

y x a∫ = ∫

−

ln ln( 4 ) lny x a c= − + ( 4 )y x a c= − . Shembulli 3. Gjeni trajektoren ortogonale : 3 3x y c+ = . Zgjidhje : 2 2 '3 3 0x y y+ =

Marrim zëvendësimin ''

1y

y→ − , ku kemi :

2 2'

13 3 ( ) 0x y

y+ − =

2 ' 2 0x y y− =

'

2 2

10

y

y x− =

2 2

0dy dx

y x− =

2 2

0dy dx

y x∫ − ∫ =

1 1

cy x

− + =

Ose :

1 1

cx y

− =

Shembulli 3. Gjeni trajektoren izogonale :

2 2 2x y a+ = nën këndin 3

4

π , ku '

2k y= dhe 1

3

4k tg

π= .

Zgjidhje : '2 2 0x yy+ = ' '

' 2 1' '

2 1

( 1) 1

1 1 1

k k y yy

k k y y

− − − +→ = =+ − −

43

'

'

12 2 ( ) 0

1

yx y

y

++ =−

' '(1 ) ( 1) 0x y y y− + + =

' ' 0x xy yy y− + + =

' '1 0y y

y yx x

− + + =

'(1 ) 1y y

yx x

− = +

Për zgjidhjen e këtij ekuacioni diferencial marim zëvendësimet e duhura : y

ux

= , y ux=

, ' 'y u x u= + .

'( )(1 ) 1u x u u u+ − = +

' ' 2 1u x u u ux u u+ − − = + ' ' 21u x u ux u− = + ' 2(1 ) 1u x u u− = +

'

2

(1 ) 1

1

u u

u x

− =+

2

(1 )

1

u du dx

u x

− =+

(integrojmë )

2

(1 )

1

u du dx

u x

−∫ = ∫

+

2 21 1

du udu dx

u u x∫ − ∫ = ∫

+ +

21arc ln(1 ) ln ln

2tgu u x c− + = +

1

2 2arc ln(1 ) lntgu u xc− + =

2arc ln ln 1tgu xc u= + +

2arc ln( 1 )tgu xc u= +

2 arc1 tguxc u e+ =

2 arc

21

ytg

xyxc e

x+ =

arc2 2

ytg

xc x y e+ =

44

16. EKUACIONET DIFERENCIALE TE RENDEVE TE LARTA 16. PERKUFIZIMET THEMELORE DHE TEOREMA E KOSHIUT Përkufizimi 1. Le të jetë F funksion I dhënë në 2nR + .Ekuacioni ' '' ( )( , , , ,... ) 0nF x y y y y = (1) ku ( )y y x= është funksion I panjohur dhe n-herë I diferencueshëm ,quhet ekuacion diferencial I rendit n-të. Shembulli 1. Ekuacioni ''' ''2 cosy xy y x x+ + = është ekuacion diferrencial I rendit të

tretë,ndërsa '' 0vy y+ = është ekuacion diferencial I rendit të pestë. Përkufizimi 2. Funksionin ( )y xϕ= të përkufizuar në një interval I e quajmë zgjidhje të ekuacionit (1) në qoftë se ( )xϕ është n-herë I diferencueshëm dhe me zëvendësimin e tij në (1) atë e shëndrron në identitetet në intervalin I. Shembulli 2. Funksioni xy e= është zgjidhje e ekuacionit diferencial 0vy y− = në

intervalin ( , )−∞ +∞ sepse xe është 5-herë I diferencueshëm dhe me zëvendësimin e tij në ekuacionin e dhënë atë e shëndrron në identitet. Forma normale e ekuacionit diferencial të rendit të n-të është : ' ( 1)( , , ,..... )n ny f x y y y −= (2)

ku f është funksion real I përkufizuar në ndonjë zone 1nR + . Përkufizimi 3. Zgjidhje ( )y xϕ= të ekuacionit diferencial (2) e cila I plotëson kushtet fillestare :

0 0 0

' ' ( 1) ( 1)0, 0,...... 0

n nx x x x x xy y y y y y− −

= = == = = (3)

ku 10 0 0, ,.... nx y y − janë numra real të dhënë dhe ( 1

0 0 0, ,.... nx y y − ) është pikë nga zona e

përkufizimit të funksionit f , quhet zgjidhje e Koshiut e ekuacionit diferencial (2). Teorema 1 .(Teorema e Koshiut mbi egzistencën dhe unicitetin e zgjidhjes ). Le të jetë funksioni ' ( 1)( , , ,..., )nf x y y y − I vazhdueshëm në një zone të mbyllur.

{ }' ( 1)( , , ,....., ) , , 0,1,...., 1, 0, 0nk kV x y y y x x a y y b k n a b−= − ≤ − ≤ = − > >

dhe le të jenë ( )

, ( 1,2,..., )k

fk n

y

∂ =∂

funksione të vazhdueshme në V .Atëherë ekziston

zgjidhja e vetme ( )y xϕ= e ekuacionit diferencial (2) e cila ploëson kushtet fillestare(3). Përkufizimi4. Zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit diferencial (2) në ndonjë zonë

1nD R +⊂ e quajmë funksionin 1 2 1( , , ,...., ), ( tan )ny g x c c c c kons te= − (4)

të përkufizuar në ndonjë zonë 1nG R +⊂ , pë të cilën vlen :

45

(i) , ( 1,2,....., )k

k

gk n

x

∂ =∂

janë funksione të vazhdueshme në G .

(ii) Sistemi I ekuacioneve : 1 2( , , ,..., )ny g x c c c=

( ) ( )1 2( , , ,...., )k k

ny g x c c c= ( 1,2,..., 1)k n= −

është I zgjidhshëm sipas konstanteve : 1,...., nc c në D ,d.m.th.

' ( 1)( , , ,.....,); ( 1,2,..., )nk k x y y y

c h k n−= =

(iii)Funksioni (4) është zgjidhje e ekuacionit (2) për cdo vlerë të konstanteve ( 1,2,..., )kc k n= kur ' ( 1)( , , ,....., )nx y y y Dε− .

Shembullli 3. Funksioni 1 2x xy c e c e−= + është zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit

diferencial ''y y= sepse (i) '1 2

x xy c e c e−= + dhe ''1 2

x xy c e c e−= + janë funksione të

vazhdueshme ; (ii) sistemi I ekuacioneve '1 2

x xy c e c e−= + dhe ''1 2

x xy c e c e−= + është I

zgjidhshëm sipas 1c dhe 2c .Me të vërtet duke mbledhur anë për anë ato ekuacione

marrim '1 2( ) xc y y e−= − , ndërsa duke I zbritur anë për anë marrim

'2 2( ) xc y y e−= − .(iii)Funksioni 1 2

x xy c e c e−= + është zgjidhje e ekuacionit të dhënë sepse

''1 2 1 2( )x x x xc e c e c e c e− −+ = +

Përkufizimi 5. Zgjidhja partikulare e ekuacionit (2) quhet ajo zgjidhje e cila merret nga zgjidhja e përgjithshme kur së paku njërës prej konstantës 1 2, ,....., nc c c I përcaktohet vlera

në ndonjë mënyrë. Shembulli 4. Funksioni 1 2

x xy c e c e−= + është zgjidhje partikulare e ekuacioni '' 0y y− = . '

1 2x xy c e c e−= − ndersa ''

1 1x xy c e c e−= + .Atëherë

'' 0y y− =

1 2 1 2( ) 0x x x xc e c e c e c e− −+ − + =

1 2 1 2 0x x x xc e c e c e c e− −+ − − =

0=0 Përkufizimi 6. Pika singulare të ekuacionit diferencial (2) quhen ato pika nga zona e përkufizimit të funksionit f në të cilat plotësohet së paku njëri prej kushteve të teorenës së Koshiut mbi ekzistencën dhe unicitetin e zgjidhjes së ekuacionit diferencial (2)

Shembulli 5. Pika (0,0) është pike singulare e ekuacionit diferencial ''y x= sepse

'( , , )f x y y x= është I vazhdueshëm për 0x ≥ ,ndërsa 1

2

f

x x

∂ =∂

është I vazhdueshëm

për x>1, d.m.th. në x=0 nuk është I vazhdueshëm pra nuk plotesohet njeri prej kushteve të teoremës së Koshiut. Përkufizimi 7. Zgjidhje singulare të ekuacionit diferencial(2) e quajmë funksionin grafiku I të cilit përbehet nga pikat singulare të ekuacionit diferencial (2). Shembulli 6. Funksioni 0y = për 0x = është zgjidhje singulare e ekuacionit diferencial

''y x= sepse grafiku I tij përbëhet vetëm prej një pike e ajo pike është pika singulare (0,0).

46

17. EKUACIONET DIFERENCIALE LINEARE TE RENDEVE TE LARTA Përkufizimi 1. Ekuacioni diferencial I formës : ( ) ( 1) ( 2) '

1 2 1( ) ( ) ... ( ) ( )n n nny g x y g x y g x y f x− −

−+ + + + = (1)

në të cilin funksionet ( )( 1,2,..., )kg x k n= dhe f(x) janë funksione të dhëna dhe të

vazhdueshme në një interval I ,quhet ekuacion diferencial linear I rendit të n-të. Funksioni ( )( 1,2,..., )kg x k n= quhet koeficient ,ndërsa f(x) kufiza e lire e ekuacionit

(1).Ekuacioni (1) quhet ekuacion diferencial homogjen në qoftë se f(x)=0, në të kundërtën quhetekuacion diferencial johomogjen.Në bazë të teoremës së Koshiut ekziston një zgjidhje e vetme ( )y y x= e ekuacionin (1) e cila plotson kushtet fillestare : ku ' ( 1)

0 0 0 0, , ,..., nx y y y − janë numra të dhënë real dhe 0x Iε .Kjo zgjidhje është e

vazhdueshme dhe n-herë e diferencueshme në intervalin I. Përkufizimi 2. Për funksionin 1 2, ,...., ny y y të përkufizuar në një interval I ,themi se

janë linearishtë të varur në I, në qoftë se ekzistojnë numrat real 1 2, ,...., nk k k , prej së cilëve

së paku njëri prej tyre është I ndryshueshëm prej zeros,ashtu që vlen : 1 1 2 2 ,..., 0n nk y k y k y+ + + = (3)

Për funksionet 1 2, ,...., ny y y themi se janë linearisht të pavarura në intervalin I ,në qoftë se

relacioni (3) vlen vetëm për 1 2 .... 0nk k k= = = =

Shembulli 1. Funksioni 1xy e= dhe 2 2 xy e= janë linearishtë varur sepse

1 1 2 2 0k y k y+ = vlen vetëm për 2 2k = − dhe 1 1k = .Ndërsa funksioni 1y x= dhe

2 cosy x= janë linearisht të pavarur sepse vlen vetëm për 1 2 0k k= = .

Teorema 1. Le të jenë 1 2, ,...., ny y y zgjidhje linearisht të pavarura të ekuacionit

diferencial (4).Atëherë funksioni :

1 1 2 21

... ,n

n n i ii

y c y c y c y c y=

= + + + =∑ ()

ku ( 1,2,..., )ic i n= janë konstante të çfardoshme ,është zgjidhje linearishtë të pavarura të

ekuacionit diferencial (1). Vërtetim : Le të jetë ( 1,2,..., )iy i n= zgjidhje të ekuacionit (4),d.m.th.

( ) ( 1) ( 2) '

1 2 1( ) ( ) ... ( ) ( )n n ni i i n iy g x y g x y g x y f x− −

−+ + + + = ( 1,2,..., )i n=

Duke zëvendësuar (5) në (4) do të marrim :

( ) ( 1) '1 ( 1)

1

( ( ) ... ( ) ( ) ) 0n

n ni i i n i n i

i

c y g x y g x y g x y−−

=+ + + + =∑

47

ose

( ) ( 1) '1 ( 1) 1 1

1 1 1 1

( ) ( )( ) ... ( )( ) ( )( ) 0n n n n

n ni i i i n n i i

i i i i

c y g x c y g x c y g x c y−−

= = = =+ + + + ≡∑ ∑ ∑ ∑

eshte zgjidhje e ekuacionit diferencial (1). Shembulli 2. Funksioni 1

xy e= , 2xy e−= dhe 3

xy xe−= janë zgjidhje linearisht të

pavarura të ekuacionit ''' '' ' 0y y y y− − + = ,prandaj 1 2 3x x xy c e c e c− −= + + është zgjidhje

e përgjithshme e ekuacionit diferencial të dhënë. Teorema 2: Në qoftë se 1y është një zgjidhje partikulare e ekuacionit diferencial

linear homogjen të rendit të dytë '' '

1 2( ) ( ) 0y g x y g x y+ + = (7)

atëher mundet të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (7) dhe ajo do të jetë e formës :

1( )1 1 2 2 2

1

1 g x dxy c y c y e dxy

− ∫= + ∫ (8)

ku 1 2,c c janë konstante të çfardoshme .

Vërtetim : Le të jetë 1y zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (7).Marrim zëvendësimin :

1( ) ( ) ( )y x y x z x=

ku z(x) funksion I panjohur .Atëherë ' '1 1y y z y z= + dhe '' '' ' ''

1 1 12y y z y y z= + + .

Nga barazimet e fundit dhe ekuacioni (7) merret ekuacioni : '' ' ' '' ' '

1 1 1 1 1 1 2 12 ( )( ) ( ) 0y z y z y z g x y z y z g x y z+ + + + + =

Përkatesishtë ekuacioni: : '' ' ' '' '

1 1 1 1 1 1 1 2 1(2 ( ) ) ( ( ) ( ) ) 0y z y g x y z y g x y g x y z+ + + + + =

I cili ekuacion mund të shkruhet në formën : '' ' '

1 1 1 1(2 ( ) ) 0y z y g x y z+ + = (9)

sepse: ' '

1 1 1 2 1( ) ( ) 0y g x y g x y+ + ≡

Ekuacioni (9) mund ta shkruajmë në formën :

11'

1

2( )

dydzg x dx

z y= − −

prej nga gjejmë një zgjidhje partikulare

'1 1ln 2 ln ( )z y g x dx= − − ∫

përkatësishtë :

1( )'21

1 g x dxz ey

− ∫=

është një zgjidhje partikulare e ekuacionit (9).

48

18. EKUACIONI DIFERENCIAL I RENDIT TE DYTE Ekuacioni : ' ''( , , , ) 0F x y y y = (1)

te I cili y është funksion I x, ndërsa 'y dhe ''y derivatet e y sipas x, quhet ekuacion diferencial I rendit të dytë. Zgjidhja e përgjithshme ekuacionit (1) është : 1 2( , , )y f x c c= (2)

ashtu që 1c dhe 2c janë konstante sipas dëshirës.

Shembulli 1. Të zgjidhet ekuacioni diferencial I rendit të dytë : '' ''24 6y x x= + Zgjidhje :

2( ) 24 6d dy

x xdx dx

= +

2( ) (24 6 )dy

d x x dxdx

= + (integrojmë)

2( ) (24 6 )dy

d x x dxdx

∫ = ∫ +

3 218 3

dyx x c

dx= + +

3 21(8 3 )dy x x c dx= + + (integrojmë)

3 21(8 3 )dy x x c dx∫ = ∫ + +

Zgjidhja e përgjithshme: 4 3

1 22y x x c x c= + + +

Shembulli 2. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : '' 'cos sin 1y x y x+ =

Zgjidhje : Marrim zëvendësimet 'y p= dhe '' dpy

dx= keto vlera zëvendësohen ne

ekuacionin e dhënë dhe kemi :

cos sin 1dp

x p xdx

+ =

Pasi '' dpy

dx= atëherë kemi :

' cos sin 1p x p x+ = (pjestojmë me cosx )

'1

cosp ptgx

x+ =

49

Marrim zëvendësimet per zgjidhjen adekuate te ketij ekuacioni diferencial : ' ' 'p uv p u v v u= ⇒ = +

' ' 1

cosu v v v uvtgx

x+ + =

' ' 1( )

cosv u utgx v u

x+ + =

' 0u utgx+ = dhe ' 1

cosv u

x=

'

0u

tgxu

+ =

sin

cos

du xdx

u x= −

sin

cos

du xdx

u x

−∫ = ∫

ln ln(cos )u x= cosu x=

Vleren e u e zëvendësojmë në ' 1

cosv u

x=

'1

coscos

v xx

=

2cos

dxdv

x= (integrojmë)

2cos

dvdv

x∫ = ∫

v tgx c= + Vlerat e gjetura te u dhe v i zëvendësojmë në p uv= dhe kemi :

1

sincos ( ) cos ( ) sin cos

cos

xp uv x tgx c x c x c x

x= = + = + = +

Pasi 'y p= , do të kemi :

' 1sin cosy x c x= +

1sin cosdy

x c xdx

= +

1(sin cos )dy x c x dx= +

1(sin cos )dy x c x dx∫ = ∫ +

1 2cos siny x C x C= − + +

1 2( , , )y f x c c= , ku 1c dhe 2c janë konstante të çfardoshme .

50

19. EKUACIONI DIFERENCIAL HOMOGJEN I RENDIT TE DYTE ME KOEFICIENT KONSTANT Ekuacioni '' '

0 1 2 0a y a y a y+ + = (1)

te I cili 0 0a ≠ dhe 1a e 2a numra real , quhet ekuacion diferencial homogjen I rendit

të dytë. Zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (1) është : 1 1 2 2y c y c y= + (2)

Funksionet 1y y= dhe 2y y= janë zgjidhjet partikulare të ekuacionit (1), ndërsa

ndërmjet veti janë dy funksione linearishtë jot ë varura d.m.th. 1 1

2 2

c ya

c y≠ , ku a- një

konstante . Në qoftë se supozohet se rxy e= (3) është zgjidhje partikulare e ekuacionit (1) , atëherë do të gjejmë ' rxy re= (4)

'' 2 rxy r e= (5) Nëse relacionet (4) dhe (5) zëvendësojmë në (1) do të marrim 2

0 1 2 0rx rx rxa r e a re a e+ + = (6)

Duke pjestuar me rxe barazimin (6) do të fitohet ekuacioni karakteristikë : 2

0 1 2 0a r a r a+ + = (7)

Zgjidhjet e ekuacionit karakteristikë mund të jenë : a) 1r r= dhe 2r r= ( 1 2r r≠ janë reale ) atëherë funksionet 1

1r xy e= dhe 2

2r xy e= janë

dy zgjidhje partikulare të ekuacionit (1). Pra, 1 2

1 2r x r xy c e c e= +

b) Për 1r r a ib= = + dhe 2r r a ib= = − , zgjedhjet e përgjithshme do të shëndrrohen në :

( ) ( )1 2

a ib x a ib xy c e c e+ −= +

Prej nga do të fitohet 1 2

ax ibx ax ibxy c e e c e e−= +

1 2( )ax ibx ibxy e c e c e−= +

Duke u bazuar ne formulat e Eulerit : cos sinixe x i x± = ± mund të shkruhet 1 1 2 2( cos sin cos sin )axy e c x ic bx c bx ic bx= + + −

51

[ ]1 2 1 2( ) cos ( )sinaxy e c c bx i c c bx= + + −

Nëse 1c a ib= + , 2c a ib= − ndërsa 1 2c c A+ = dhe 1 2( )i c c B− = kemi :

( cos sin )axy e A bx B bx= + . Shembulli 1. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : '' '2 3 2 0y y y+ − = . Zgjidhje : Marrim zëvendësimet rxy e= , ' rxy re= , '' 2 rxy r e=

22 3 2 0rx rx rxr e re e+ − = Pjestojmë me rxe k kemi :

1 2r = − dhe 2

1

2r =

1 21 2

r x r xy c e c e= +

Zgjidhja e përgjithshme eekuacionit diferencial është:

1

2 21 2

xxy c e c e−= + .

Shembulli 2. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : '' '6 34 0y y y+ + = . Zgjidhje : Marim zëvendësimet e duhura rxy e= , ' rxy re= , '' 2 rxy r e= .

2 6 34 0rx rx rxr e re e+ + = Pasi të pjestojmë me rxe kemi : 2 6 34 0r r+ + = Ky ekuacion karakteristik I ka dy zgjidhje jo reale , pra zgjidhjet janë imagjinare ose komplekse : 1 3 5r i= − + dhe 2 3 5r i= − −

( 3 5 ) cos sin cos5 sin 5i xe x x x i x± − + = ± = ± 3 ( cos5 sin 5 )xy e A x B x−= + ,

ku 1 2c c A+ = dhe 1 2( )i c c B− = .

Shembulli 3. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : '' '9 6 0y y y− + = . Zgjidhje : Marim zëvendësimet e duhura rxy e= , ' rxy re= , '' 2 rxy r e= .

29 6 0rx rx rxr e re e− + =

Pasi të pjestojmë me rxe kemi ekuacionin karakteristikë : 29 6 1 0r r− + =

52

Ky ekuacion I ka dy zgjidhje reale madje të barabarta , pra : 1 2

1

3r r r= = =

Zgjidhje e ketij ekuacioni diferencial është :

3 31 2

x x

y c e c xe= + ,

ose

31 2( )

x

y c c x e= + .

20.EKUACIONI DIFERENCIAL JO HOMOGJEN I REN DIT TE DYTE Ekuacioni '' '

0 1 2 ( )a y a y a y f x+ + = (1)

quhet ekuacion diferencial I rendit të dytë jo homogjen . Zgjidhje e përgjithshme eekuacionit (1)është : H PY Y Y= +

me HY do të konsiderojmë zgjidhjen e ekuacionit homogjen , d.m.th.

'' '0 1 2 0a y a y a y+ + =

Ndërsa PY paraqet zgjidhjen partikulare të ekuacionit johomogjen .

Funksioni ( )f x në ekuacionin (1) mund të jetë polinom,funksion eksponencial,funksion që shprehet me sinus e kosinus ,prodhim ndërmjet polinomit dhe funksionit eksponencial ose prodhim ndërmjet polinomit, funksionit eksponencial të sinusit ose të kosinusit. Shembulli 1. Të zgjidhet ekuacioni diferencial johomogjen: '' 'y y x− = . Zgjidhje : Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial : H PY Y Y= +

Gjejmë zgjidhjen e ekuacionit homogjen HY ,pra :

Pas zëvendësimeve te duhura per zgjidhjen e '' 0y y− = , rxy e= , ' rxy re= , '' 2 rxy r e= .

2 0rx rxr e re− = Pasi pjestojmë me rxe fitojmë ekuacionin karakteristikë : 2 0r r− = Ekuacioni karakteristike I ka dy zgjidhje , pra 1 0r = dhe 2 1r = .

Pra 0 1 01 2 1 2 1 2

x x x xHY c e c e c e c e c c e= + = + = +

Gjejmë zgjidhjen partikulare PY , pra :

Pasi ( )f x x= d.m.th eshte polinom I shkalles se pare dhe pasi njera zgjidhje eshte 2 1r =

atëherë kemi : 2

PY ax bx c= + +

53

gjejme derivation e pare dhe të dyte te PY dhe kemi :

' 2PY ax b= + dhe '' 2PY a=

Derivatin e pare dhe të dytë I zëvendësojmë në ekuacionin e dhënë '' 'y y x− = : 2 (2 )a ax b x− + = 2 2a ax b x− − =

Pra , 1

2a = − dhe 1b = − .

Keshtu që ,zgjidhja partikulare është :

21

2PY x x= − −

Zgjidhja e përgjithshme e ketij ekuacioni diferencial jo homogjen të rendit të dyte është:

21 2

1

2xY c c e x x= + − − .

Shembulli 2. Të zgjidhet ekuacioni diferencial johomogjen : '' '4 4 cosy y y x− + = . Zgjidhja e përgjithshme e ketij ekuacioni diferencial është : H PY Y Y= +

Gjejmë zgjidhjen homogjene , pra : '' '4 4 0y y y− + = Marim zëvendësimet e duhura për zgjidhjen e ketij ekuacioni diferencial homogjen : rxy e= , ' rxy re= , '' 2 rxy r e= .

2 4 4 0rx rx rxr e re e− + = Pasi pjestojmë rxe kemi ekuacioni karakteristike : 2 4 4 0r r− + = Zgjidhjet e ketij ekuacioni karakteristike janë zgjidhje të dyfishta : 1 2 2r r= = .

Pra ,zgjidhja homogjene e ekuacionit '' '4 4 0y y y− + = , është 21 2( ) x

HY c c x e= + .

Gjejmë edhe zgjidhjen partikulare : Funksioni ( ) cosf x x= , dhe duhet marrrim :

cos sinPY A x B x= +

Gjejmë derivation e pare dhe të dytë të PY :

' sin cosPY A x B x= − + dhe

'' cos sinPY A x B x= − −

Derivatin e pare dhe të dytë I zëvendësojmë në ekuacionin e dhënë '' '4 4 cosy y y x− + = : ( cos sin ) 4( sin cos ) 4( cos sin ) cosA x B x A x B x A x B x x− − − − + + + = cos sin 4 sin 4 cos 4 cos 4 sin cosA x B x A x B x A x B x x− − + − + + = cos (3 4 ) sin (3 4 ) cosx A B x B A x− + + = Prej ketu do të gjejmë A dhe B :

54

3 4 1A B− = 3 4 0B A+ =

Gjejmë vlerat për 3

25A = dhe

4

25B = − .

Prandaj zgjidhja partikulare është :

3 4

cos sin25 25PY x x= −

Pra ,zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial është :

21 2

3 4( ) cos sin

25 25xY c c x e x x= + + − .

Shembulli 3. Të gjendet zgjidhja e ekuacionit diferencial : '' ' 22 7 xy y y e+ + = Zgjidhja e përgjithshme ekuacionit dferencial : H PY Y Y= +

Gjejmë zgjidhjen homogjene te ekuacionit '' '2 0y y y+ + = .Marrim zëvendesimet rxy e= , ' rxy re= , '' 2 rxy r e= :

2 2 0rx rx rxr e re e+ + = Pasi pjestojmë me rxe kemi : 2 2 1 0r r+ + = Ky ekuacion karakteristikë ka zgjidhje të dyfishtë : 1 2 1r r= = −

Zgjidhja homogjene është : 1 2( ) x

HY c c x e−= +

Gjejmë zgjidhjen partikulare : 2x

PY ae=

Derivatet e para dhe të dyta janë ' 22 xPY ae= dhe '' 24 x

PY ae= dhe keto I zëvendësojmë në

ekuacionin e dhënë : 2 2 2 24 4 7x x x xae ae ae e+ + = 2 29 7x xae e= Pjestojmë dy anët e barazimit me 2xe : 9 7a =

E vetëm 7

9a = .

Zgjidhja partikulare është : 2 27

9x x

PY ae e= =

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial jo homogjen :

21 2

7( )

9x xy c c e e−= + + .

Shembulli 4. Të zgjidhet ekuacioni diferencial :

55

'' '2 xy y y xe− + = . Zgjidhja e përgjithshme ekuacionit diferencial është : H PY Y Y= +

Gjejmë zgjidhjen homogjene të ekuacionit diferencial homogjen '' '2 0y y y− + = Marim zëvend%simet e duhura për zgjidhjen e ekuacionit diferencial homogjen : rxy e= , ' rxy re= , '' 2 rxy r e= : Kemi : 2 2 0rx rx rxr e re e− + = pas pjestimit me rxe do të kemi : 2 2 1 0r r− + = Ky ekuacion karakteristikë ka dy zgjidhje të dyfishtë : 1 2 1r r= =

Zgjidhja homogjene është : 1 2( ) x

HY c c x e= +

Do të gjejmë edhe zgjidhjen partikulare : 3 2( ) x

PY ax bx cx d e= + + +

Gjejmë derivatet e para dhe të dyta : ' 2 3 2(3 2 ) ( )x x

PY ax bx c e ax bx cx d e= + + + + + +

' 3 2 2( 3 2 ) xPY ax ax bx bx cx c d e= + + + + + +

'' 2 2 3 2(6 2 3 2 ) (3 2 )x xPY ax b ax bx c e ax bx c ax bx cx c e= + + + + + + + + + + +

'' 3 2( 6 6 5 2 2 ) xPY ax ax ax bx cx b c e= + + + + + +

Shprehjet PY , 'PY e ''

PY I zëvendësojmë në ekuacionin e dhënë : 3 2 3 2 2 3 2( 6 6 5 2 2 ) 2( 3 2 ) ( )x x x xax ax ax bx cx b c e ax ax bx bx cx c d e ax bx cx d e xe+ + + + + + − + + + + + + + + + + =

2( 6 2 ) x xbx ax bx b d e xe− + + + − =

Pasi pjestojmë të dy anët me xe , fitojmë : 2 (6 ) (2 )bx x a b b d x− + + + − =

Nga ketu gjejmë : 1

6a = , 0b = , 0c = dhe 0d = .

Zgjidhja partikulare është :

31

6x

PY x e=

Ndërsa zgjidhja e përgjithshme është :

3

1 2( )6

xxY c c x e= + + .

56

21.DETYRA TE ZGJIDHURA NGA EKUACIONET DIFERENCIALE TE ZAKONSHME Detyra 1. Të tregohet që 3

1 2y x c x c= + + është zgjidhje e ekuacionit '' 6y x= .

Zgjidhje : Nga ekuacioni I dhënë gjejme derivatin e pare dhe pastaj të dytin . 3

1 2y x c x c= + +

' 213y x c= +

'' 6y x= . Detyra 2. T ë zgjidhet ekuacioni diferencial I rendit të parë : '2 0xy y+ = Zgjidhje : '2 0xy y+ =

'2xy y= −

2dy

xydx

= −

2dy

xdxy

= − , ∫

2dy

xdxy

= −∫ ∫

2

2 ln ln2

xy c= − +

2 lnc

xy

=

2xc

ey

=

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial është :2xy c e−= ⋅ .

Detyra 3. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : 3 2 2 2 '( ) 0x xy y x y y+ + + = Zgjidhje : 3 2 2 2 '( ) 0x xy y x y y+ + + =

3 2 2(1 ) (1 ) 0dy

x y y xdx

+ + + =

2

2 30

1 1

x ydx

x y dy+ =

+ + , ∫

57

2

2 30

1 1

x ydx dy

x y+ =

+ +∫ ∫

2 31 1ln(1 ) ln(1 ) ln

2 3x y c+ + + =

2 33ln 1 ln 1 lnx y c+ + + =

2 33ln 1 1 lnx y c+ ⋅ + =

Pra zgjidhja e pergjithshme është :

2 331 1x y c+ ⋅ + =

Detyra 4. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : 0x y x ya dx b dy+ −+ =

0x y x ya a dx b b dy−+ =

0x y

x y

a bdx dy

b a

−

+ =

1

( ) 0( )

xy

ady

b ab+ =

( ) ( ) 0x yadx ab dy

b−+ =∫ ∫

( ) ( )

lnln

xy

aabb c

a abb

−

− =

Zgjidhja e përgjithshme e ekuaacionit diferencial është:

( ) ln( ) ( ) ln( )xa aab ab c

b b− =

Detyra 5. Të zgjidhet ekuacioni diferencial :

1 1 1 1

2 2 2 2( ) ( )x y dx xy yx dy+ = + Zgjidhje :

1 1 1 1

2 2 2 2( ) ( )x y dx xy yx dy+ = +

( ) ( ) 0x y dx x y y x dy+ = + =

( ) ( )x y dx x y x y dy+ = +

dx x ydy=

dx

ydyx

= ∫

1 1

2 2x dx y dy−

=∫ ∫

58

1 3

2 2

1 32 2

x yc= +

31 22

3

yx c− =

Zgjidhja e përgjithshme është :

3 1

2 23( )y x c= − Detyra 6. Të zgjidhet ekuacioni diferencial: 2 ' 23 2 0y xyy x− + = Zgjidhje : 2 ' 23 2 0y xyy x− + = pjestojmë me 2x

2

'2

3 2 1 0y y

yx x

− + =

Marrim zëvendësimet e duhura per zgjidhjen e ketij ekuacioni diferencial : y

z y zxx

= ⇒ = ndërsa ' 'y z x z= + .

2 '3 2 ( ) 1 0z z z x z− + + =

2 ' 23 2 2 1 0z zz x z− − + = 2 '1 2z zxz+ =

2 1 2dz

z zxdx

+ =

2

2

1

zdz dx

z x=

+ ∫

2

2

1

z dxdz

z x=

+∫ ∫

2ln( 1) ln lnz x c+ = +

2ln( 1) lnz xc+ =

2 1z xc+ =

2

21

yxc

x+ =

2 2 3y x x c+ = pra zgjidhja e përgjithshme është : 2 3 2y x c x= − . Detyra 7. Të zgjidhet ekuacioni diferencial :

'y

xy

y ex

= +

Zgjidhje :

59

'y

xy

y ex

= +

Marrim zëvendësimet : y

z y zxx

= ⇒ = ndërsa ' 'y z x z= +

' zz x z e z+ = + ' zz x e=

z

dz dx

e x= ∫

z

dz dx

e x=∫ ∫

lnze x c−− = − lnze c x− = −

lny

xe c x−

= −

log( ln )y

c xx

− = −

Pra,zgjidhja e përgjithshme ekuacionit diferencial është : log( ln )y x c x= − − Detyra 8. Të zgjidhet ekuacioni diferencial:

'( ) sin( )y y

x xxy y e x e− = Zgjidhje :

'( ) sin( )y y

x xxy y e x e− =

'( ) sin( )y y

x xy

y e ex

− =

Marrim zëvendësimet e duhura : y

z y zxx

= ⇒ = ndërsa ' 'y z x z= +

'( ) sinz zz x z z e e+ − =

' sinz zz xe e=

' 1

sin

z

z

e z

e x=

1

sin

z

z

edz dx

e x= ∫

sin

z

z

e dz dx

e x=∫ ∫

Pra zgjidhja e përgjithshme ekuacionit diferencial është: log(2 )y x arctg c x= ⋅ ⋅ Detyra 9. Të zgjidhet ekuacioni diferencial linear :

' 212y y x

x− =

60

Zgjidhje :

' 212y y x

x− =

Për zgjidhjen e këtij ekuacioni diferencial linear marim zëvendësimet e duhura : ' ' 'y u v y u v v u= ⋅ ⇒ = + .

' ' 212u v v u uv x

x+ − =

' ' 21( ) 2v u u v u x

x− + =

'1

0u ux

− = dhe ' 22v u x=

0du u

dx x− =

du dx

u x=∫ ∫

ln lnu x= u x= ' 22v u x= ' 22v x x=

2dv

xdx

=

2dv xdx= ∫

2dv xdx=∫ ∫

2v x c= + Ndërsa zgjidhja e përgjithshme është : 2( )y uv x x c= = + Detyra 10. Tëzgjidhet ekuacioni diferencial linear : 3 '(2 ) 0yy x y e y− + = Zgjidhje : 3 '(2 ) 0yy x y e y− + =

3(2 ) 0y dyy x y e

dx− + =

32 0ydxy x y e

dy− − =

' 32 yyx x y e− =

' 22 yx x y ey

− =

Marrim zëvendësime e duhura : ' ' 'x uv x u v v u= ⇒ = +

61

' ' 22 yu v v u uv y ey

+ − =

' ' 22( ) yv u u v u y e

y− + =

'2

0u uy

− = dhe ' 2 yv u y e=

2du u

dy y=

2du dy

u y=∫ ∫

ln 2 lnu y=

2u y=

' 2 yv u y e=

' 2 2 yv y y e=

ydve

dy=

ydv e dy=

ydv e dy=∫ ∫

yv e c= + Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferenciaal : 2( )yx uv y e c= = + . Detyra 11. Të zgjidhet ekuacioni diferencial linear : ' logxy y x+ = Zgjidhje : ' logxy y x+ =

'logy x

yx x

+ =

Marrim ëvendësimet e duhura : ' ' 'y u v y u v v u= ⋅ ⇒ = +

' ' 1 logxu v v u uv

x x+ + =

' '1 log( )

xv u u v u

x x+ + =

'1

0u ux

+ = dhe ' log xv u

x=

du dx

u x= −

du dx

u x= −∫ ∫

ln lnu x= −

62

1

ux

=

'log x

v ux

=

'1 logx

vx x

=

logdv

xdx

=

logdv xdx=

logdv xdx=∫ ∫

(log 1)v x x c= − + Zgjidhja e përgjithshme është :

[ ]1(log 1)y uv x x c

x= = − +

Pra :

log 1c

y xx

= − + .

Detyra 12. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : ' 2log ( log )x xy y x x− = Zgjidhje : ' 2log ( log )x xy y x x− =

' 1log

logy y x x

x x− =

Marrim zëvendësimet e duhura : ' ' 'y u v y u v v u= ⋅ ⇒ = +

' ' 1log

logu v v u uv x x

x x+ − =

' '1( ) log

logv u u v u x x

x x− + =

'1

0log

u ux x

− = dhe ' logv u x x=

log

du dx

u x x=

log

du dx

u x x=∫ ∫

ln ln(log )u x= logu x=

' logv u x x=

' log logv x x x= dv xdx=

63

dv xdx=∫ ∫

2

2

xv c= +

Zgjidhja e përgjithshme është :

2

log ( )2

xy uv x c= = +

Detyra 13. Të zgjidhet ekuacioni diferencial I Bernulit : 2 ' 2 22x y xy x y− = Zgjidhje : 2 ' 2 22x y xy x y− =

'

2

21

y

y xy− =

Per zghidhjen e ekuacionit të Bernulit marrim zëvendësimet e duhura :

2n = , 1 2 1 1z y y

y− −= = = ndërsa

''

2

yz

y

−=

' 21z z

x− − =

' 21z z

x+ = −

Domethën ekuacioni diferencial I Bernulit eshte shëndërru në ekuacion diferencial linear .Për zgjidhjen e ekuacionit diferencial linear marim zëvendësimet e duhura : ' ' 'z u v z u v v u= ⋅ ⇒ = +

' ' 21u v v u uv

x+ + = −

' '2( ) 1v u u v u

x+ + = −

' 20u u

x+ = dhe ' 1v u = −

2du dx

u x= −

2du dx

u x= −∫ ∫

ln 2 lnu x= −

22

1u x

x−= =

' 1v u = −

2

11

dv

dx x= −

2dv x dx= −

64

2dv x dx= −∫ ∫

3

3

xv c= − +

Pasi kemi 3

2

1( )

3

xz uv c

x= = − +

23

x cz

x= − +

Zgjidhja e përgjithshme është :

2

1

3

x c

y x= − +

3

2

1 3

3

x c

y x

− +=

2

3

3

3

xy

c x=

−

Detyra 14. Të zgjidhet ekuacioni diferencial I Bernulit : ' 2y ytgx y+ = Zgjidhje: ' 2y ytgx y+ =

'

2

11

ytgx

y y+ =

Marrim zëvendësimet : 2n = , 1 2 1 1z y y

y− −= = = ndërsa

''

2

yz

y

−=

' 1z ztgx− − =

' 1z ztgx+ = − Domethën ekuacioni diferencial I Bernulit eshte shëndërruar në ekuacion diferencial linear .Për zgjidhjen e ekuacionit diferencial linear marim zëvendësimet e duhura : ' ' 'z u v z u v v u= ⋅ ⇒ = + ' ' 1u v v u uvtgx+ + = −

' '( ) 1v u tgx u v u+ ⋅ + = −

' 0u tgx u+ ⋅ = dhe ' 1v u = −

sin

0cos

du xdx

u x+ =

sin

cos

du xdx

u x= −∫ ∫

1

cosu

x=

' 1v u = −

65

' 11

cosv

x= −

cosdv xdx= −∫ ∫

sinv x c= − + Zgjidhja e pergjithshme :

1

( sin )cos

z uv x cx

= = − +

1 sin

cos

c x

y x

−=

cos

sin

xy

c x=

−

Detyra 15. Të zgjidhet ekuacioni diferencial total : 2(3 2 ) (2 ) 0x x y dx y x dy− + − = Zgjidhje : 23 2M x xy= − , 22N y x= − .

2M

xy

∂ = −∂

2N

xx

∂ = −∂

.

Pra M N

y x

∂ ∂=∂ ∂

z z z

dx dyy x y

∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂

23 2z

x yx

∂ = +∂

∫

2(3 2 ) ( )z x y dx yϕ= + +∫

3 2 ( )z x xy yϕ= + + 'y

2 '( )z

y yy

ϕ∂ = +∂

'2 ( )z

y yy

ϕ∂ = +∂

2 '2 2 ( )y x y yϕ− = +

' 2( )y xϕ = −

2( )y x y cϕ = − +

3 22z x xy x y c= + − + Zgjidhja e përgjithshme është : 3 2 2x x y xy c− − = . Detyra 16. Të zgjidhet ekuacioni diferencial total : (2 ) (cos ) 0y yx e dx y xe dy− −+ + − =

66

Zgjidhje : (2 ) (cos ) 0y yx e dx y xe dy− −+ + − =

2 yM x e−= + , cos yN y xe−= − .

(2 )yzx e

x−∂ = +

∂ ∫

(2 ) ( )yz x e dx yϕ−= + +∫

2 ( )yz x xe yϕ−= + + 'y

'( )yzxe y

yϕ−∂ = − +

∂

'cos ( )y yy xe xe yϕ− −− = − +

'( ) cosy yϕ = ( ) siny y cϕ = +

2 sinyz x xe y c−= + + + Zgjidhja e përgjithshme është : 2 sinyx xe y c−+ + = Detyra 17. Të zgjidhet ekuacioni diferencial total : 1 1( log ) ( log ) 0y x x yy x y y dx xy x x dy− −⋅ + + + = Zgjidhje : 1 1( log ) ( log ) 0y x x yy x y y dx xy x x dy− −⋅ + + + =

1 logy xM y x y y−= ⋅ + , 1 logx yN xy x x−= + .

1 1 1 1ln logy y x xMx y x x x y y y

y− − − −∂ = + ⋅ + ⋅ ⋅ +

∂

1 1 1 1ln logy y x xNx y x x x y y y

x− − − −∂ = + ⋅ + ⋅ ⋅ +

∂

Pra M N

y x

∂ ∂=∂ ∂

1 logy xzy x y x

x−∂ = ⋅ +

∂ ∫

1( log ) ( )y xz y x y x dx yϕ−= ⋅ + +∫

Pasi te integrojme dhe em pastaj te derivojme sipas y-it arrijme deri te zgjidhja e përgjithshme : y xz x y c= + + Përkatësishtë: y xx y c+ = . Detyra 18. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : 2 2(1 ) ( ) 0x y dx x y x dy− + − =

67

Zgjidhje : Për arsye se :

2 2 2 3 2(1 ) ( ) 2 3x y x x y x xy xy x

∂ ∂− = − ≠ − = −∂ ∂

ekuacioni I dhënë nuk është ekuacion me diferencial total .Prandaj do të bëhet I tillë kur të shumëzohet me faktorin integrues ( )xµ të cilën po e llogaritim më poshtë. Nga

1 2

( ) ( )P Q

f xy x xµ

∂ ∂= − = −∂ ∂

marrim

2 ( )( ) f x dxx ceµ − ∫= nga gjejmë për c=1 :

2

1( )x

xµ = .

D.m.th ekuacioni

2

1( ) ( ) 0y dx y x dyx

− + − =

është ekuacion me diferencial total,zgjidhja e përgjithshme e të cilit është

21

2

yyx c

x− − + =

2) Le të jetë ( )yµ ,atëher ekuacioni (5) merr formën :

( ) ( )dx P Q

P ydy y x

µ∂ ∂− = −∂ ∂

(5)

Në qoftë se shprehja

1

( )Q P

P x y

∂ ∂−∂ ∂

është funksion vetëm I y-it ,atëher ekuacioni (5) merr formën :

( )d

g y dyµ

µ=

prej nga

( )g y dyceµ ∫= Detyra 19. . Të gjendet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial :

3( ln ) 0y

dx y x dyx

+ − =

Zgjidhja : y

Px

= dhe 3 lnQ y x= −

1P

y x

∂ =∂

dhe 1Q

x x

∂ = −∂

Pra P Q

y x

∂ ∂≠∂ ∂

, prandaj duhet gjetur faktorin integrues :

68

'

1 1 2( )( ) 2

( )

Q Px y x x x x

y yx Q yx x

µµ

∂ ∂− − − + −∂ ∂= = = = − (integrojme )

2ln ( ) lnx yµ −= Dhe kemi gjetur faktorin integrues :

22

1( )x y

yµ −= =

Tani ekuacionin diferencial e shumëzojme me 2

1

yku fitohet ekuacioni diferencial total:

2

1 ln( ) 0

xdx y dy

xy y+ − =

1

Pxy

= dhe 2

ln xQ y

y= −

2

1P

y xy

∂ = −∂

dhe 2

1Q

x xy

∂ = −∂

Pra P Q

y x

∂ ∂=∂ ∂

atëherë kemi :

1z

x xy

∂ =∂

x∫ (integrojmë sipas x-it )

1 1

( )z dx yy x

ϕ= ∫ +

1

ln ( )z x yy

ϕ= + 'y (derivojmë sipas y-it )

'2

ln( )

z xy

y yϕ∂ = − +

∂

Pasi z

Qy

∂ =∂

, atëherë kemi :

'2 2

ln ln( )

x xy y

y yϕ− = − +

Mbetet vetëm shprehja : '( )y yϕ = y∫ (Pasi të integrojmë sipas y-it )

Kemi :

2

( )2

yy cϕ = +

Pastaj 21

ln2

yz x c

y= + + ,

Për 0z = kemi :

69

2ln

2

x yc

y+ =

Detyra 20. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : 2 2( ) 1x c y− + = Zgjidhje : 2 2( ) 1x c y− + =

2 2( , , ) ( ) 1f x y c x c y= − + −

2( )( 1)f

x cc

∂ = − −∂

2( )f

c xc

∂ = −∂

0f

c xc

∂ = ⇒ =∂

2 2( ) 1c c y− + = Zgjidhje singulare : 1y = ± . Detyra 21. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : 2 22 0y cx c− + = Zgjidhje : 2 22 0y cx c− + =

2 2( , , ) 2f x y c y cx c= − +

2 2f

x cc

∂ = − +∂

2( )f

c xc

∂ = −∂

0f

c xc

∂ = ⇒ =∂

2 2 22 0y x x− + =

2 2y x= Zgjidhje singulare : y x= ± . Detyra 22. Të zgjidhet ekuacioni diferencial :

2' 4 4 0y y+ − =

Zgjidhje :

2' 4 4 0y y+ − =

2' 4(1 )y y= −

' 2 1y y= −

70

21

dydx

y=

− ∫

21

dydx

y=

−∫ ∫

2 1 2y x c− = +

2(2 ) 4(1 )x c y+ = −

2( , , ) (2 ) 4(1 )f x y c x c y= + − −

2(2 )f

x cc

∂ = +∂

0 2f

c xc

∂ = ⇒ = −∂

2(2 2 ) 4(1 )x x y− = − 4(1 ) 0y− = Zgjidhja singulare është : 1y = . Detyra 23. Të zgjidhet ekuacioni diferencial I Lagranzhit : '2y xy a= + Zgjidhje : '2y xy a= +

'y p= , dy pdx= 2y xp a= + 2 2dy xdp pdx= + 2 2pdx xdp pdx= + 2xdp pdx= −

2

dp dx

p x= − ∫

1

2

dp dx

p x= −∫ ∫

1

ln ln2

p x= −

1

px

=

2y xp a= +

1

2y x ax

= +

2y x a= +

2y a x− =

71

2( ) 4y a x− = Përkatësishtë zgjidhja e përgjithshme është : 2( ) 4 0y a x− − = Detyra 24. Të zgjidhet ekuacioni diferencial I Lagranzhit : ' '2 0y xy ay− + = Zgjidhje : ' '2 0y xy ay− + =

'y p= , dy pdx= 2 0y xp ap− + = 2 2 0dy xdp pdx adp− − + = 2 2 0pdx xdp pdx adp− − + = (2 )pdx x a dp− = −

2

dx dp

x a p− =

−∫ ∫

1

2p

a x=

−

2 0y xp ap− + =

1 1

22 2

y x aa x a x

= −− −

2

2

x ay

a x

−=−

1

2

( 2 )

( 2 )

a xy

a x

−= −−

2y a x= − − . Detyra 25. Të zgjidhet ekuacioni diferencial I Lagranzhit : ' ' 0y xy y+ + = Zgjidhje : ' ' 0y xy y+ + =

'y p= , dy pdx=

' 'y xy y= − − y xp p= − − dy xdp pdx dp= − − − pdx xdp pdx dp= − − − 2 ( 1)pdx x dp= − +

21

dx dp

x p= −

+ ∫

72

21

dx dp

x p= −

+∫ ∫

2 ln( 1) lnx p+ = −

2 1ln( 1) lnx

p+ =

2 1( 1)x

p+ =

2( 1)

cp

x=

+

y xp p= − −

2 2( 1) ( 1)

c cy x

x x= − −

+ +

2 2

( 1)

( 1) ( 1) 1

xc c c x cy

x x x

− − += = − = −+ + +

1

cy

x= −

+ .

Detyra 26. Të zgjidhet ekuacioni diferencial I Kleros: 'logy y= Zgjidhje : 'logy y=

'y p= , dy pdx= , y logp=

1

dy dpp

=

1

pdx dpp

=

2

1dx dp

p=

2

1dx dp

p=∫ ∫

1

x cp

= − +

1

c xp

= −

1

pc x

=−

1

log log( )y pc x

= =−

73

1

logyc x

=−

.

Detyra 27. Të zgjidhet ekuacioni diferencial I Kleros : ' '( )y xy f y= + Zgjidhje : ' '( )y xy f y= +

'y p= , dy pdx= , ( )y xp f p= +

'( )dy xdp pdx f p dp= + +

' ( )pdx xdp pdx f p dp= + +

'( ) 0f p dp xdp+ =

' ( ) 0f p x dp + =

0dp = p c=

'( ) 0f p x+ = ( )y xc f c= + Detyra 28.Të zgjidhet ekuacioni diferencial I Kleros :

2' 'y xy y= +

Zgjidhje :

2' 'y xy y= +

'y p= , dy pdx=

2y xp p= + 2dy pdx xdp pdp= + + 2pdx pdx xdp pdp= + + 2 0xdp pdp+ = ( 2 ) 0x p dp+ = 0dp p c= ⇒ =

2 02

xx p p+ = ⇒ = −

2 2 2 2

( )2 4 2 4 4

x x x x xy x

−= − + = − + =

Përkatesishte : 24 0y x+ =

2y xp p= + . Detyra 29. Të gjendet trajektorja ortogonale : y cx= Zgjidhje :

74

y cx=

'y c=

'y y x= ⋅

Marim zëvendësimin : ''

1y

y→ −

'

1y x

y= −

'y y x⋅ = −

ydy xdx= − ∫

ydy xdx c+ =∫ ∫

2 2y x c+ = Verejtje :Trajektore ortogonale quhen tangjentet e lakoreve të cilat priten nën kënd të drejtë. Detyra 30. Të gjendet trajektorja ortogonale :

2 2 2x y a+ = nën kënd 4

πϕ =

Zgjidhje : 2 2 2x y a+ =

' 2 1

2 11

k ky

k k

−→+

'2k y= , 1 4

k tgπ=

'

''

1

1

yy

y

−→+

2 2 2x y a+ =

'2 0x yy+ =

'

'

12 ( ) 0

1

yx y

y

−+ ⋅ =+

' '(1 ) 2 ( 1) 0x y y y+ + − =

' ' 0x xy yy y+ + − =

'( )y x y y x+ = − pasi pjestojmë me x kemi :

'(1 ) 1y y

yx x

+ = −

'1

1

y

xyy

x

−=

+

75

Marim zëvendësimet : ' 'yu y ux y u x u

x= ⇒ = ⇒ = + .

' 1

1

uu x u

u

−+ =+

' 1

1

uu x u

u

−= −+

2

' 1

1

u u uu x

u

− − −=+

2

' ( 1)

1

uu x

u

− +=+

2

( 1)

1

u dxdu

u x

+ = −+

∫

2 21 1

udu du dx

u u x+ = −

+ +∫ ∫ ∫

21ln( 1) ln

2u arctgu x+ + = −

2ln 1 lnu x arctgu+ + = −

2ln 1x u arctgu+ = −

2 1 arctgux u e−+ =

2

21

yarctg

xyx e

x

−⋅ + =

2 2y

arctgxy x e

−+ =

22 2

yarctg

xy x e−

+ = . Verejtje :Trajektore izogonale quhen tangjentet e lakoreve të cilat nuk priten nën kënd të drejtë . Detyra 31. Të gjendet trajektorja izogonale :

2 2 ( 3)x c y x= − nën këndin 3

πα = .

Zgjidhje : 2 2 ( 3)x c y x= −

' 2 1

2 11

k ky

k k

−→+

'2k y= , 1 4

k tgπ=

'

'

'

3

1 3

yy

y

−→+

'2 2 ( 3)x c y= −

76

'( 3)x c y= −

'

'

3( 3)1 3

yx c

y

−= −+

' '

'

2 3 3( )

1 3

y yx c

y

− −=+

' ' '(1 3) ( 2 3 3 )x y c y y+ = − −

' '3 2 2 3x xy cy c+ = − −

' '3 2 2 3x y cy c x+ = − −

'( 3 2 ) 2 3y x c c x+ = − −

' 2 3

3 2

c xy

x c

− −=+

2 3

3 2

c xdy dx

x c

− −=+

∫

2 3

3 2 3 2

c xdy dx dx

x c x c

−= −+ +∫ ∫ ∫

2 ln( 3 2 )y c x c= − + −

Detyra 32. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : '' 2 0y a y− = Zgjidhje : '' 2 0y a y− =

Marim zëvendësimet : ' '' 2, ,rx rx rxy e y re y r e= = = .

2 2 0rx rxr e a e− = 2 2 0r a− = 1/2r a= ±

1 2ax axy c e c e−= + .

Detyra 33. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : ''' '' '3 3 0y y y y− + − = Zgjidhje : ''' '' '3 3 0y y y y− + − =

' '' 2 ''' 3, , ,rx rx rx rxy e y re y r e y r e= = = =

3 23 3 1 0r r r− + − = 3( 1) 0r − =

77

1/2/3 1r =

1 2 3( )xy e c xc xc= + + .

Detyra 34. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : '' '4 5 2y y y x+ − = +

Zgjidhja e përgjithshme është : H Py y y= + , ku Hy paraqet zgjidhjen homogjene ,

ndërsa Py paraqet zgjidhjen partikulare.

'' '4 5 0y y y+ − =

2 4 5 0r r+ − = 1 5r = dhe 2 1r =

51 2

x xHy c e c e−= +

Gjejme zgjidhjen partikulare : PY ax b= +

'PY a=

'' 0PY = .

'' '4 5 2y y y x+ − = + 0 4 5( ) 2a ax b x+ − + = +

1

5a = − dhe

14

25b = − .

Pra 1 14

5 25PY x= − − .

Zgjidhja e përgjithshme është :

51 2

1 14

5 25x xY c e c e x−= + − − .

Detyra 35. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : '' ' 33 2 xy y y e− + = . Zgjidhje : '' ' 33 2 xy y y e− + =

Zgjidhja e përgjithshme është : H Py y y= + , ku Hy paraqet zgjidhjen homogjene ,

ndërsa Py paraqet zgjidhjen partikulare.

'' '3 2 0y y y− + =

2 3 2 0r r− + = 1 12, 1.r r= =

Zgjidhja homogjene është: 2

1 2x x

HY c e c e= +

Gjejme zgjidhjen partikulare : 3 ' 3 '' 33 9x x x

PY ae y ae y ae= ⇒ = ⇒ = .

78

'' ' 33 2 xy y y e− + =

3 3 3 39 9 2x x x xae ae ae e− + =

1

2a =

31

2x

PY e= .

Zgjidhja e përgjithshme është :

2 31 2

1

2x x xY c e c e e= + + .

Detyra 36. Të zgjidhet ekuacioni diferencial : '' '2 xy y y xe− + = Zgjidhja e përgjithshme ekuacionit diferencial është : H PY Y Y= +

Gjejmë zgjidhjen homogjene të ekuacionit diferencial homogjen '' '2 0y y y− + = Marim zëvend%simet e duhura për zgjidhjen e ekuacionit diferencial homogjen : rxy e= , ' rxy re= , '' 2 rxy r e= : Kemi : 2 2 0rx rx rxr e re e− + = pas pjestimit me rxe do të kemi : 2 2 1 0r r− + = Ky ekuacion karakteristikë ka dy zgjidhje të dyfishtë : 1 2 1r r= =

Zgjidhja homogjene është : 1 2( ) x

HY c c x e= +

Do të gjejmë edhe zgjidhjen partikulare : 3 2( ) x

PY ax bx cx d e= + + +

Gjejmë derivatet e para dhe të dyta : ' 2 3 2(3 2 ) ( )x x

PY ax bx c e ax bx cx d e= + + + + + +

' 3 2 2( 3 2 ) xPY ax ax bx bx cx c d e= + + + + + +

'' 2 2 3 2(6 2 3 2 ) (3 2 )x xPY ax b ax bx c e ax bx c ax bx cx c e= + + + + + + + + + + +

'' 3 2( 6 6 5 2 2 ) xPY ax ax ax bx cx b c e= + + + + + +

Shprehjet PY , 'PY e ''

PY I zëvendësojmë në ekuacionin e dhënë : 3 2 3 2 2 3 2( 6 6 5 2 2 ) 2( 3 2 ) ( )x x x xax ax ax bx cx b c e ax ax bx bx cx c d e ax bx cx d e xe+ + + + + + − + + + + + + + + + + =

2( 6 2 ) x xbx ax bx b d e xe− + + + − =

Pasi pjestojmë të dy anët me xe , fitojmë : 2 (6 ) (2 )bx x a b b d x− + + + − =

Nga ketu gjejmë : 1

6a = , 0b = , 0c = dhe 0d = .

Zgjidhja partikulare është :

79

31

6x

PY x e=

Ndërsa zgjidhja e përgjithshme është :

3

1 2( )6

xxY c c x e= + + .

80

Literatura 1.Abdullah Zejnullahu – Fevzi Berisha , Matematika III, Prishtinë- 1997: 2.Jorgo Malita –Analiza matematike, 1984- Tiranë. 3.Dr.sc. Ejup Hamiti – Matematika III. Prishtinë -1997. 4.A.Qifligu – Ekuacionet diferenciale , I,ii 1972, Tiranë. 5.Mishel Fundo- Bazat e analizës matematike të sotme , 1987-Tiranë. 6.Larson, Hostetler, Edëards – Calculus, 1994-Florida,USA. 7.P.I.Romanovskij-Obshqij kurs matematiqeskog analiza, 1962- Moskvë . 8. Terry H.Eesber, HarryL.Nustad. Intremediate, ALGJEBRA, 1991-USA. 9.L.D.Kundracev- Kurs matematiqeskog analiza, 1988-Moskvë. 10.Burime nga interneti.