ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) ·...

ค32204 คณตเพม3 ม. 5 ฟ�งกชนตรโกณมต ครเณรศา พรหมวลย

=======================================================================================================

0

คณตศาสตรเพม3

ค32204 ชนมธยมศกษาป�ท 5

ภาคเรยนท 1 ป�การศกษา 2561

ชอ........................................ชน ม.5/.......เลขท…….

ครเณรศา พรหมวลย โรงเรยนสตรภเกต

=======================================================================================================


=======================================================================================================

1

**ใหนกเรยนทบทวนเนอหาเรองเลขยกกาลงในคณตศาสตรพนฐานประกอบการเรยนดวย**

จากการศกษาในเรองเลขยกกาลง ซงทายทสดเราไดสนใจเลขยกกาลงทมฐานเป�นจานวนจรงบวก และ เลขชกาลงเป�นจานวนจรงใด ๆ แตไดมนกคณตศาสตรไดสงเกตเหนวา ถาเลขยกกาลงมฐานเป�น 1 และเลขชกาลงเป�นจานวนจรงใด ๆ ดงน ถากาหนดให a = 1 และ x เป�นจานวนจรงใดแลวจะได ax = 1x = 1

ขอตกลง ในหนงสอคณตศาสตรบางเลมใหขอกาหนดของฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยล เป�นฟ�งกชนทอยในรป

f(x) = kax เมอ k เป�นคาคงตวท ไม ใช 0 และ a เป�นจานวนจรงบวกท ไม เป�น 1 แตในหลกสตร ม.ปลาย จะถอวาฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยลจะอยในรป f(x) = ax เมอ a เป�น จานวนจรงบวกทไมเป�น 1 เทานน

ขอสงเกต จากขอกาหนดฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยล

1. f(x) = 1x เป�นฟ�งกชนคงตวเนองจาก 1x = 1 ดงนนในขอกาหนดฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยล จงไมสนใจ ฐาน (a) ทเป�น 1

2. f(x) = 1x ไมเป�นฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยล เนองจาก f(x) = 1x เป�นฟ�งกชนคงตว 3. จากเงอนไขทวา y = ax, a > 0, a ≠ 1 ทาใหเราทราบไดเลยวาฐาน (a) มอย 2 ลกษณะ คอ 0 < a < 1 กบ a >

1 4. ฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยลจะมอย 2 ชนด โดยขนอยกบลกษณะของฐาน (a) ดงน

ฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยล คอ f = { (x, y) ∈ R × R+ / y = ax , a > 0, a ≠ 1 }

ฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยล (Exponential Function)

ชนดท 1 y = ax, 0 < a < 1 ชนดท 2 y = ax, a > 1

=======================================================================================================


=======================================================================================================

2

เขยนกราฟของฟ�งกชน y = ax

ตวอยาง จงเขยนกราฟของฟ�งกชน y =

x

21

วธทา ฟ�งกชน y = x

21

เป�นฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยลทมฐาน a เป�นจานวนจรงบวกทมคานอยกวา 1 (0<a<1 นนเอง)

เขยนตารางแสดงจดผานบางจดของกราฟ y=x

21

ดงน

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

จากตวอยาง ทแสดงใหเหนรปรางกราฟของฟ�งกชน y = x

21

จะเหนไดวา

1. คาของ y จะเพมขนอยางรวดเรวเมอ x มคาเป�นจานวนทนอยลงเรอย ๆ 2. คาของ y จะคอย ๆ ลดลงเขาใกลศนยเมอ x มคาเป�นจานวนบวกมากขน

อาจกลาวไดวา เมอ x มคาเพมขนจะทาให y มคาลดลงตามไปดวย แสดงวาฟ�งกชนก y = x

21

จงเป�น

ฟ�งกชนลดในโดเมนของฟ�งกชนซงเป�นเซตของจานวนจรง ถกเรยกสน ๆ วา y = x

21

เป�นฟ�งกชนลด (Decreasing

Function)

0 2 4 6

x

y

8

6

4

2

-2 -4 -6

ลองศกษารปรางกราฟของฟ�งกชน y = ax, 0 < a < 1 จากตวอยางดงตอไปน

=======================================================================================================


=======================================================================================================

3

=======================================================================================================


=======================================================================================================

4

จงเขยนกราฟของฟ�งกชนตอไปน 1. x2y =

2. x

31y

=

ขอสงเกต

8

6

4

2

-5 5 X

Y

x

y

8

6

4

2

-5 5 X

Y x y

1. กราฟของ 0a,ay x >= และ 0≠a จะผานจด (0,1) เสมอ เนองจาก 1a0 = 2. ถา 1a > แลว xay = เป�นฟ�งกชนเพม ถา 1a0 << แลว xay = เป�นฟ�งกชนลด

=======================================================================================================


=======================================================================================================

5

จงบอกวาฟ�งกชนตอไปนเป�นฟ�งกชนเพมหรอลด

1. x7y = 2. x

31y

= 3.

x

34y

= 4.

x

34y

−

=

5. x)2.2(y = 6. x

2

2

a1ay

+

= 7. x

a1ay

+

=

ทบทวนกนหนอย ใชความรเรองเลขยกกาลงเรยงลาดบคาตอไปนจากนอยไปมาก

1) 32234334 4,4,2,2

2) 101000100 1000,10,100

การแกสมการเอกซโพเนนเชยล หลกการ

กาหนดให a > 0 , a ≠ 1 และ b > 0 , b ≠ 1 1. a∆ = a กตอเมอ ∆ = (พยายามทาฐานใหเหมอนกน) 2. ถา a∆ = b และ a ≠ b แลว ∆ = = 0 เทานน สงทควรเนน คาตอบทไดจากการแกสมการ ไมตองนามาตรวจสอบคาตอบ

ยกเวนในกรณมการยกกาลงจานวนค จะตองตรวจสอบคาตอบดวย

ตวอยางท 1 จงหาคา x ของสมการ 3x+2 = 243 (3)

ตวอยางท 2 จงแกสมการ 2515 x3x2

=− (2,1)

สมการเอกซโพเนนเชยล

=======================================================================================================


=======================================================================================================

6

ตวอยาง 3 จงแกสมการ 10x – 5x-1 ⋅ 2x-2 = 950 (3) จงแกสมการตอไปน

1. 6255x = 2. 128

12x =

3. 2x1x2 168 ++ = 4. 2x2x

2791 −

+

=

*5. x1x5x1x3 752562 =⋅⋅ −− 6. 016282 xx2 =+⋅−

=======================================================================================================


=======================================================================================================

7

เทคนคชดท 1 การแกอสมการเอกซโพเนนเชยลททาฐานใหเหมอนกนได หลกการ

1. ถา 0 < a < 1 (ฟ�งกชนลด) แลว 1. 1xa > 2xa กตอเมอ x1 < x2 2. 1xa < 2xa กตอเมอ x1 > x2

ขอสงเกต สาหรบ 0 < a < 1 เมอปลดฐาน หรอเตมฐาน เปลยนเครองหมายอสมการ

2. ถา a > 1 (ฟ�งกชนเพม) แลว 1. 1xa > 2xa กตอเมอ x1 > x2 2. 1xa < 2xa กตอเมอ x1 < x2

ตวอยาง จงหาเซตคาตอบของอสมการ 12x8x2x )4

1()

2

1(

2 +++ <

วธทา

อสมการเอกซโพเนนเชยล

เปลยน

เปลยน

ไมเปลยน

ไมเปลยน

ขอสงเกต สาหรบ a > 1 เมอปลดฐาน หรอเตมฐาน คงเดมเครองหมายอสมการ

สงทควรเนน คาตอบทไดจากการแกอสมการ ไมตองนามาตรวจสอบคาตอบ

ยกเวน ในกรณทมการยกกาลงจานวนค จะตองตรวจสอบคาตอบดวย

=======================================================================================================


=======================================================================================================

8

=======================================================================================================


=======================================================================================================

9

จงหาเซตคาตอบของอสมการตอไปน

1. 813x ≤ ]4,(−∞ 2. 41

21 x

<

),2( ∞

3. 1681

32 x

≥

]4,( −−∞ 4.

1x

12515

−

≤ ]3,(−∞

จงเปรยบเทยบคาตอไปน (เมอกาหนด a > 0) โดยเตมเครองหมาย > หรอ <

1. 7

1aa

+………………….

8

1aa

+

วธพจารณา 1. ฐานมากกวา 1 หรอไม............ 2. จากขอ 1. สรปไดวาเป�นฟ�งกชน................ 3. ตองเปลยนเครองหมายอสมการหรอไม ............ จากโจทย 7 ................ 8

ดงนน 7

1aa

+………………….

8

1aa

+

2. a1a

)5(+

………………………….. a1a

)7(+

3. 5.0

a1a

+ ………………….

6.0

a1a

+

4. 2

1aa −

+……………………….

3

1aa −

+

=======================================================================================================


=======================================================================================================

10

1.ฟ�งกชนอนเวอรสของฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยลสามารถเขยนใหมไดเป�น { (x, y) ∈ R+×R / y = logax, a > 0, a ≠ 1 } 2. ฟ�งกชนอนเวอรสของฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยล ถกเรยกใหมวา ฟ�งกชนลอการทม

3. logax ถกอานออกเสยงวา “ลอการทมเอกซฐานเอ” หรอ “ลอกเอกซฐานเอ”

จากทเราทราบอยแลววาฟ�งกชนลอการทม กบ ฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยลเป�นอนเวอรสซงกนและกน แสดงวา กราฟของฟ�งกชนทงสองจะสมมาตรซงกนและกน เมอเทยบกบเสนตรง y = x ดงนน จงไดกราฟของฟ�งกชนลอการทมทง 2 ชนด โดยขนอยกบลกษณะของฐาน (a) ดงตารางตอไปน

y = ax กบ y = logax, เมอ 0 < a < 1 y = ax กบ y = logax, เมอ a > 1

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-5 5 10 15

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-5 5 10 15

ฟ�งกชนลอการทม

กราฟของฟ�งกชนลอการทม

ฟ�งกชนลอการทม

expo y=ax expo y=ax

log y=log a x log y=log a x

=======================================================================================================


=======================================================================================================

11

=======================================================================================================


=======================================================================================================

12

กาหนดใหจานวนทกจานวนตอไปนมความหมายและสามารถหาคาได

ขอท 1 y = logax กตอเมอ x = ay

ตวอยาง จงเปลยนจานวนตอไปนในรปลอการทม หรอเอกซโปเนนเชยล 1. x327 = ....................................... 2. 41010000 = .......................................

3. 21

)49(7 = ....................................... 4. 3)21(8 −= .......................................

5. 125log3 5= ....................................... 6. 2log21

4= .......................................

7. 55log35

= .......................................

8. จงหาจานวนจรง x ทสอดคลองกบสมการ x625log5 =

9. จงหาจานวนจรง x ทสอดคลองกบสมการ 38log x = ขอท 2 01log a = เชน...................................................................

ขอท 3 1alog a = เชน..................................................................

ขอท 4 NlogMlogMNlog aaa += เชน..................................................................

ขอท 5 NlogMlogNMlog aaa −= เชน..................................................................

ขอท 6 MlogpMlog a

pa = เชน..................................................................

ขอท 7 alogMlog

Mlogb

ba = เชน..................................................................

ขอท 8 Mlog Pa = Mlog

p1

a เชน..................................................................

ขอท 9 xlogaa = x เชน..................................................................

สมบตของลอการทม

ศกษาการพสจนสมบต log ไดท

=======================================================================================================


=======================================================================================================

13

ขอท 10 alog

1blogb

a = เชน..................................................................

=======================================================================================================


=======================================================================================================

14

แบบฝ�กหด จงหาคาของลอการทมตอไปน 1. 1024log 4 (5)

2. 008.0log 25 (23

− )

3. 5125log5 (27 )

4. 2401log7

(8)

5. 522

432log (5

18 )

6. 52 64log (

56 )

8. 3log10log7log6log35log 1010101010 −+−+ (2)

ศกษาเพมเตมท

log ฐาน 10 สามารถเขยนหรอไมเขยนเลขกากบฐานกได แตสวนใหญ

ไมนยมเขยนกากบ

=======================================================================================================


=======================================================================================================

15

9. 8180log3

2524log5

1615log720log +++ (1)

10. 8180log7

2425log4

910log16 −− (log5)

11. 2222 blogalog)balog()balog()balog( −+−−++− เมอ a=20, b=2 (2)

12. 527log64log64log 348 −−+ (-3)

13. 25.0log128log 48 × (37

− )

=======================================================================================================


=======================================================================================================

16

14. จงเขยน log45 ในรปของ a,b ถากาหนดให log2 =a และ log3 = b (2b -a+1)

15. abclog

1abclog

1abclog

1

cba++ (1)

16. จงพสจน ถา ylog)bya(logx aa −−= แลว ba

ay x +=

17. จงพสจนวา dlogclogblogdlog cbaa ××=

ลอการทมสามญ หมายถงลอการทมฐาน 10 ซงนยมเขยนโดยไมมฐานกากบ เชน 7log10 เขยนแทนดวย 7log

พจารณาคาของลอการทมของจานวนเตมทสามารถเขยนในรป n10 เมอ In∈

110log10log 1 == 210log100log 2 == 310log1000log 3 == จานวนจรงบวก N ใด ๆ สามารถเขยนในรป n10A × ไดเสมอ เมอ 1 < A < 10 และ n เป�นจานวนเตม

ดงนน n10log n =

ศกษาโจทยเพมเตมไดท

จาก log 10 = 1 จะไดวา 1)52log( =×

ดงนน log 2 + log 5 = 1

การหาคาลอการทม

=======================================================================================================


=======================================================================================================

17

เนองจาก n10AN ×= ดงนน )10Alog(Nlog n×=

n10logAlog += = nAlog + เรยก logA วา แมนทสซา (mantissa) เรยก n ซงเป�นจานวนเตมวา คาแรกเทอรสตก (characteristic)


=======================================================================================================


=======================================================================================================

18

แบบฝ�กหด เรอง การหาคาลอการทม 1. กาหนด log4.85 = 0.6857 จงหาคาของ 1.1 log485 (2.6857) 1.2 log 0.485 (-0.3143) 2. กาหนด log89.6 = 1.9523 จงหาคาของ 2.1 log 8.96 (0.9523) 2.2 log0.00896 (-2.0477) 3. กาหนดให log0.00642 = -2.195 คาของ log642 มคาเทาใด (1.875)

1. ถา log N = K แลว

N จะถกเรยกวา แอนตลอการทม (antilogarithm) ของ logK

2. ถา log N = K แลว N จะถกเขยนสน ๆ ไดเป�น antilog (K)

แสดงวา N = antilog (K) = 10k

จากขอกาหนดทาใหเราทราบไดวา 1. antilog (K) = 10k 2. ตองระลกอยเสมอวา สามารถยายขาง antilog ไปเป�น log ได

และ สามารถยายขาง log ไปเป�น antilog ได แสดงวาถาเราเจอ N = antilog (K) N = antilog (K) ยายขาง * จะได log N = K หรอถาเราเจอ log N = K สามารถยายขาง log N = K

แอนตลอการทม


=======================================================================================================


=======================================================================================================

19

ยายขาง * จะได N = antilog (K) สรป เรยก N วา แอนตลอการทมของ logN ซงเป�นวธการหาคา N เมอกาหนด logN ให มสมบตคอ

1. antiloga=x เมอ logx=a 2. antilog(loga)=a

แบบฝ�กหด 1. กาหนด log1.15 = 0.0607 จงหาคาของ antilog0.0607 ...................................... 2. กาหนด antilog0.06184=1.153 จงหาคาของ N เมอ logN=4.06184 (N=11,530)

3. จงหาคาของ antilog(8log2-log129) (12928

)

4 . ให log34.2 = 1.5328 จงหาคาของ x เมอ logx = -2.4672 ( 31024.3 −× หรอ 0.00324)

ขอกาหนด

1. ลอการทมธรรมชาต หมายถง ลอการทมทมฐานเป�น e โดยท e เป�นสญลกษณแทนจานวนอตรรกยะจานวนหนงซงมคาประมาณ 2.7182818 แสดงวา logex คอ ลอการทมธรรมชาต นนเอง

2. การเขยนลอการทมของ x ฐาน e นยมเขยน lnx แทน logex

ลอการทมธรรมชาต (Natural logarithm)

=======================================================================================================


=======================================================================================================

20

3. ”ลอการทมธรรมชาต (Natural logarithms)” อาจถกเรยกอกอยางหนงวา “ลอการทมแบบเนเป�ยร (Napierian logarithms)

ขอควรเนน ถาเราเจอ lnx อยากเปลยนไปเป�นlogex แลวคดทาทกอยางเหมอนทเคยคดทา log ทว ๆ ไป

=======================================================================================================


=======================================================================================================

21

สงทควรทราบ

1. เราอาจหาคาลอการทมฐาน e โดยอาศยลอการทมฐานสบไดดงน จาก lnx = logex

lnx = elogxlog

เราพบวา loge = log 2.718 (e ≈ 2.718) = 0.4343

ดงนน lnx = 4343.0

xlog

ตวอยาง จงหาคาของ ln25 แบบฝ�กหด เรอง ลอการทมธรรมชาต 1. กาหนด log114=2.0569, log0.324=-0.4895 และ loge= 0.4343 จงหา

1.1 ln114 (4.736)

1.2 ln0.324 (-1.1271)

2. จงหาคาของ

2.1 ln3-ln6+ln2 (0) 2.2 10lne (10)

3. จงหาคาของ ln0.324 เมอกาหนด antilog0.5105=3.24 (-1.1271)

=======================================================================================================


=======================================================================================================

22

ตารางคา logx

=======================================================================================================


=======================================================================================================

23

การแกสมการลอการทม หลกการ กาหนดให a > 0, a ≠ 1 และ b > 0, b ≠ 1

1. loga∆ = loga กตอเมอ ∆ = (พยายามทาฐานใหเหมอนกน) 2. loga∆ = กตอเมอ ∆ = a 3. ถา loga∆ = logb และ a ≠ b แลว ∆ = = 1

ตวอยาง 1 จงหาเซตคาตอบของสมการ xlogx = 100x วธทา จาก xlogx = 100x Take log ทงสองขาง log xlogx = log100x ดงนน เซตคาตอบของสมการคอ { 10-1 , 102 }

แบบฝ�กหด จงหาคา x จากสมการ 1. 1)3x(log)2x(log 22 =−+− (4) 2. 4logxlog 93 = (2)

3. 1log)27(log49log x37 =+ (

32

− ) 4. 3logxlog2log71497 =+ (

121 )

สมการลอการทม ศกษาเพมเตมท

สงทควรเนน คาตอบทไดจากการแกสมการ จะตองนามาตรวจสอบคาตอบวา 1. ตวเลขหลง log หามเป�นจานวนลบและศนยโดยเดดขาด 2. ตวเลขหลง log ตองเป�นจานวนบวกเทานน (R+)

=======================================================================================================


=======================================================================================================

24

5. )1x2(log)1x(log)2x(log)3x(log 5555−−+=−−− (5)

6. 23 )7x(log 23 =− (-3,3)

7. กาหนด log2 = 0.3010, log3= 0.4771, log7= 0.8451 จงหาคา x จากสมการ

7.1 1x2x 52 −= (≈0.64) 7.2 103x = (≈2.096) **7.3 03242 xx2 =+⋅− (0, 1.585) **7.4 8x42x )32()23( ++ −=− (-2)

=======================================================================================================


=======================================================================================================

25

=======================================================================================================


=======================================================================================================

26

หลกการ (ดฐานของ log ถาฐาน 0<a<1 เปลยนเครองหมายอสมการ , ถาฐาน a>1 ไมเปลยนเครองหมายอสมการ) 1. 2)x2x(log 2

24<−

2. )3x5(log)4x2(log 55 +>+

3. )1x(log)4x2(log31

31 +>−

อสมการลอการทม

=======================================================================================================


=======================================================================================================

27

แบบฝ�กหดเพมเตม จงหาคาของ

1. 91log 3 (-2)

2. 3

71 49log (

32

− )

3. )0001.0(log10 (-4) 4. 1010

1log10 (23

− )

5. 3

1log33

(31

− ) 6. )100(log10 − (หาคาไมได)

7. 274log

92log

32log6log

33

33

56

1510

⋅

⋅ (3,000)

=======================================================================================================


=======================================================================================================

28

8. [ ])9(logloglog 32a (0)

9. 16loglogloglog 2223 (0) 10. 4log2log1 399 −+ (89 )

11. 270log4900log2343log625log 3375 −+⋅ (4) 12. 8log81log16log8log 164

41

21 +++ (

423

− )

13. )64)(log81(log)125)(log81(log212753 + (4) 14. 3log2log2log1 435 16325 −+ −− )

49(−

=======================================================================================================


=======================================================================================================

29

15. )2)(log36)(log5)(log16)(log3(log625492 (4)

16. 30log

130log

130log

1

532++

(1)

17. 83log

53

328

3225log)17(loglog)17(loglog +− (0) 18. 3log10log7log6log35log −+−+

(2)

จงแกสมการ

1. 6log 3 52−= (

16001 )

2. 3125log x = (5)

3. 1)xx(log 26 =− (3,-2) 4. 0)x(loglog 1010 = (10)

=======================================================================================================


=======================================================================================================

30

5. 010logloglog )x7xlog(239

2=− (8,-1)

6. 38log 9logx= (3)

7. x2logxlog 5= (101 )

8. x3logxlog 721 = (211 )

9. 1264log16log4log xxx =++ (2)

10. 2log)1x(log1)1x(log)6xx(log 32

332

3 +−+=+++− (3,4)

11. 0)))x2x((log(loglog 2234 =− (4,-2) 12. 2

42

4 )x(log4xlog3 = (1,8)

=======================================================================================================


=======================================================================================================

31

13. 1)1xlog()4x3log( +−=+ (2)

=======================================================================================================


=======================================================================================================

32

โจทยประยกต ฟ�งกชน exponential และ logarithm (ในสวนนครจะมโจทย O-Net หรอ PAT1 มาใหทายคาบเรยนใหนกเรยนจดโจทยและแสดงวธทาคะ)

=======================================================================================================


=======================================================================================================

33

โจทยประยกต ฟ�งกชน exponential และ logarithm (ในสวนนครจะมโจทยมาใหทายคาบเรยนใหนกเรยนจดโจทยและแสดงวธทาคะ)

=======================================================================================================


=======================================================================================================

34

โจทยประยกต ฟ�งกชน exponential และ logarithm (ในสวนนครจะมโจทยมาใหทายคาบเรยนใหนกเรยนจดโจทยและแสดงวธทาคะ)

=======================================================================================================


=======================================================================================================

35

มมและการวด เรยก OP วาดานเรมตน (initial side) ของมม , เรยก OQ วาดานสนสด (terminal side) ของมม เรยกจด O วาจดยอด (Vertex) ของมม

ถาวดมมในทศทวนเขมนา�กา ขนาดของมมเป�นบวก ,

ถาวดมมในทศตามเขมนา�กา ขนาดของมมเป�นลบ

1.หนวยของมม

1.1 หนวยเป�นองศา แบงหนวยองศาออกเป�นหนวยยอย ดงน 1 องศา 601 == ลปดา 06 ′= , 1 ลปดา 061 ′′=′= ฟ�ลปดา 60=

1.2 หนวยเป�นเรเดยน (radian) มมทจดศนยกลางของวงกลมซงรองรบดวยเสนโคงของวงกลมทยาวเทากบรศมของวงกลมนน เป�นมมทมขนาด 1 เรเดยน

ให θ เป�นมมทจดศนยกลาง มหนวยเป�นเรเดยน , r เป�นรศมของวงกลม ,

a เป�นความยาวสวนโคงทรองรบมม θ จะได ra

=θ

2. ความสมพนธของมมในหนวยขององศาและเรเดยน พจารณาวงกลมทมรศมยาว r หนวย จะมเสนรอบวงยาว rπ2

หนวย ดงนนมมรอบจดศนยกลางของวงกลมมขนาด ππ

2r

r2= เรเดยน

π2360 = เรเดยน π=180 เรเดยน

1 เรเดยน π

180= องศา 8157 ′≈

1 องศา 180π

= เรเดยน 01745.0= เรเดยน

Q

Q

O P

P

r a θ

O

ฟ�งกชนตรโกณมต ม. 5

=======================================================================================================


=======================================================================================================

36

ขอสงเกต 1. มมทมหนวยเป�นเรเดยน มกจะไมเขยนหนวยกากบไว

2. ถาตองการเปลยนองศาเป�นเรเดยน ใหคณจานวนองศาดวย 180π

3. เมอตองการเปลยนเรเดยนเป�นองศา ใหคณจานวนเรเดยนดวย π

180 หรอสามารถแทน π เป�น 180o

ตวอยาง จงเปลยน 36 องศา เป�นเรเดยน และ เปลยน 4

9π เรเดยนเป�นองศา

1. แบมอซายของเราขนมาใหนวโปงแทนมม 0o ,นวชแทนมม 30o,นวกลางแทนมม 45o, นวนางแทนมม 60o และนวกอยแทนมม 90o

2. เกบนวทตองการหาคามม ตวอยางเชนตองการหาคา cos30o ใหเกบนวชไว

3. ใหจนตนาการวาใส ไวเหนอมอและใหใส /2 ไวในองมอ

4. ถาตองการหาคา sin ใหอานคาซายมอ แตถาหาคา cos ใหอาคาขวามอเชน

จากภาพจะหาคา sin30o = 21 = 0.5 และ cos30o =

23

ในกรณหาคา tan ใหอานคาซายหารดวยขวาไดเลย tan30o = 31

1

sin

3

cos

2

การหาคา sin cos tan โดยใชมอซาย

=======================================================================================================

คณตศาสตรเพม3 ค32204 ครเณรศา พรหมวลย ชอ............................................ม.5/............. ================================================================================================

24

จงเตมคา sin, cos, tan ของมมพนฐานตอไปน

มม (องศา) sin cos tan

0

30

45

60

90

วงกลมหนงหนวย (unit circle) หมายถง วงกลมทมจดศนยกลางอยทจดกาเนด และมรศมยาว 1 หนวย ซงมสมการเป�น

1yx 22 =+ ขอตกลง เมอกลาวถงจดปลายสวนโคงยาว θ หนวย เมอ θ เป�นจานวนจรงใด ๆ หมายถง จดปลายของสวนโคงทเรมวดจากจด ( )0,1 ไปตามสวนโคงของวงกลมหนงหนวยไปยาว θ หนวย โดยคดทศทาง

ถาวดสวนโคงจากจด ( )0,1 ในทศทวนเขมนา�กา θ เป�นบวก ถาวดสวนโคงจากจด ( )0,1 ในทศตามเขมนา�กา θ เป�นลบ จาก ra θ= เมอ 1r = จะได θ=a

นนคอ คาของความยาวสวนโคงของวงกลมหนงหนวยจะเทากบขนาดของมมทจดศนยกลางทมหนวยเป�นเรเดยน

Y

X 0

θ

(1,0)

(x , y)

วงกลมหนงหนวย

=======================================================================================================


25

นยาม เมอ ( )y,x เป�นจดปลายสวนโคงทยาว θ หนวย

ฟ�งกชนไซน }siny|)y,{( θθ =

ฟ�งกชนโคไซน }cosx|)x,{( θθ =

เนองจาก ( )yx, เป�นจดบนวงกลมหนงหนวย ซงมสมการเป�น 2 2x y 1+ = แทนคา y,x จะได 2 2cos sin 1θ+ θ = และ 1 x 1− ≤ ≤ จะได 1 cos 1− ≤ θ ≤ 1 y 1− ≤ ≤ จะได 1 sin 1− ≤ θ ≤

คาของฟ�งกชนไซนและโคไซนบางคาทสาคญ 1. เมอจดปลายสวนโคงอยบนแกน X หรอแกน Y

θ

)(f θ

0 2π π

23π π2

0 90 180 270 360

cosθ

sinθ

Y

X 0

(0,- 1)

(1,0) (-1 , 0)

(0, 1)

π

2

sinπ

2π

2π

2

3π

2

cosπ

πsin

πcos

ฟ�งกชนไซนและโคไซน

=======================================================================================================


26

2. เมอ 6π

θ = หรอ 30

θ ( )θf

6π

65π

67π

611π

θcos

θsin

3. เมอ 4πθ = หรอ 45

θ ( )θf

4π

43π

45π

47π

θcos

θsin

Y

X 0

67π (……..,……

)

(……..,……) 6

5π

6

11π (……..,……) (……..,……)6

7π

Y

X 0

4π (……..,……)

4

3)..,( π…………

)..,(4

7…………

π )..,( …………

45π

=======================================================================================================


27

4. เมอ 3π

θ = หรอ 60

θ

( )θf

3π

32π

34π

35π

θcos

θsin

Y

X 0

)..,(3

…………π

3

2)..,( π…………

)..,(3

5…………

π

34)..,( π

…………

……….. o,...............เรเดยน,

X

Y

30o ,...............เรเดยน,

45o ,...............เรเดยน,

60o ,...............เรเดยน,

0o ,...............เรเดยน,

360o ,...............เรเดยน,

……….. o,...............เรเดยน,

……….. o,...............เรเดยน,

……….. o,...............เรเดยน,

……….. o,...............เรเดยน,

……….. o,...............เรเดยน,

……….. o,...............เรเดยน,

……….. o,...............เรเดยน,

……….. o,...............เรเดยน,

……….. o,...............เรเดยน,

……….. o,...............เรเดยน,

……….. o,...............เรเดยน,

=======================================================================================================


28

ฟ�งกชนตรโกณมตอน ๆ นยาม สาหรบจานวนจรง θ ใด ๆ

θgenttan หรอ θtan θθ

=cossin เมอ 0cos ≠θ

θantsec หรอ θsec θ

=cos

1 เมอ 0cos ≠θ

θecantcos หรอ θeccos θ

=sin

1 เมอ 0sin ≠θ

θangentcot หรอ θcot θθ

=sincos เมอ 0sin ≠θ

θcot θ

=tan

1 เมอ 0tan ≠θ

============================================================================= 1. จงหาคาของ

1.1 3

cot6

sec6

sin23

sin6

cos4

tan πππ+

πππ (ตอบ

1251 )

1.2 3

tan2cos0sin32

eccos6

sec3

cotcos 2 π+π−πππ

π (ตอบ 312 )

1.3 6

tan3

eccos6

sin4

tan6

cot2

cos3

cos2

sin ππ−

ππ+

ππ−

ππ

(ตอบ 31 )

=======================================================================================================


29


2.1 60cos45cot630eccos0sec45cos270sin 2 +− (ตอบ 21 )

2.2 60sin270cot60eccos345sin460tan 222 −++ (ตอบ 3)

2.3 [ ]

180sec45eccos60cos45cos30sin45sin

−++− (ตอบ 24 − )

=======================================================================================================


30

3. จงหาคา x จากสมการ

6

sec43

cot106

cos23

tan2

eccos6

cotx 2 π−

π=

π

−π

π

+π (ตอบ

31 )

=======================================================================================================


31

จงบอกคาของ θ และฟ�งกชนตรโกณมตทกาหนดใหจากแผนภาพตอไปน (คดแบบวดตามเขม) (1) (2) sinθ = ____ cosθ =____ tanθ=____ sinθ = ____ cosθ =____ tanθ =____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____ (3) (4) sinθ = ____ cosθ =____ tanθ=____ sinθ = ____ cosθ =____ tanθ =____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____ (5) (6) sinθ = ____ cosθ =____ tanθ=____ sinθ = ____ cosθ =____ tanθ =____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____ cosecθ =____ secθ =____ cotθ =____

Y

X 0

θ

(1,0)

(x , y)

0

(1,0) X

Y

0

(1,0) X

Y

0

(1,0) X

Y

0

(1,0) X

Y

0

(1,0) X

Y

0

(1,0) X

Y

θ= ____เรเดยน, _______ o θ= ____เรเดยน, _______ o

θ= ____เรเดยน, _______ o

θ= ____เรเดยน, _______ o

θ= ____เรเดยน, _______ o

θ= ____เรเดยน, _______ o

คดแบบวดตามเขม หรอ แบบดงเครองหมายแลวเทยบกบทวนเขม แบบดงเครองหมายแลวเทยบกบทวนเขม

sin(-θ)= -sinθ tan(-θ) = -tanθ

cot(-θ) = -cotθ cosec(-θ) = -cosecθ ยกเวน cos, sec

*** cos(-θ) = cosθ

sec(-θ) =

ฟ�งกชนตรโกณมตของมม θ < 0 (วดตามเขมนา�กา)

=======================================================================================================


32

คาของฟ�งกชนไซนและโคไซนหาไดจากพกดของจดปลายสวนโคงยาว θ หนวยบนวงกลมหนงหนวย เครองหมายของฟ�งกชนตรโกณมตจงเป�นดงน

ฟ�งกชน จดปลายสวนโคงอยในควอดรนตท

หมายเหต 1 2 3 4

θcos θ= cosx θsin θ= siny

θtan θθ

=θcossintan

θcot θθ

=θsincoscot

θsec θ

=θcos

1sec

θeccos θ

=θsin

1eccos

Y

1Q ทกฟ�งกชน เป�นบวก

4Q

θθ sec,cos เป�นบวก

3Q

θθ cot,tan เป�นบวก

2Q θθ eccos,sin

เป�นบวก X

คาของฟ�งกชนตรโกณมตของมมหรอจานวน

ขอควรจา

=======================================================================================================


33

คาของฟ�งกชนตรโกณมต πθ 2>

ถาสวนโคง θ ยาวเป�น π2 ไมวาจะวดทวนเขมหรอตามเขมนา�กากตาม เราสามารถเขยนสวนโคง θ ในรป

α+π=θ n2 เมอ π<α≤ 20 ไดเสมอ (จดปลายสวนโคง θ และ α จะเป�นจดเดยวกน ดงนน ( ) ( ) α=α+πα=α+π eccosn2eccos,sinn2sin

( ) ( ) α=α+πα=α+π secn2sec,cosn2cos

( ) ( ) α=α+πα=α+π cotn2cot,tann2tan

เมอ n เป�นจานวนเตมใด ๆ ขอสงเกต สตรในชดนใชสาหรบ θ ทมขนาดมากกวา π2 โดยคดจานวนทครบรอบ คอ ...,6,4,2 πππ หรอ

...,6,4,2 π−π−π− ทงไป

เชน o390sin =…………………………………….. o840cos =………………………………………

6

17sin π = ……………………………………… )4

21tan( π− =……………………………………..

P

A(1,0) 0 X

Y

α

P

A(1,0) 0 X

Y

α

=======================================================================================================


34

จงหาคาของ 1. o405eccos =………………………………………= ……….. 2.

o

840cot =…………………………………..=……………..

3. 6

37sin π =………………………………………= ……….. 4. 3

8cos π =……………………………………..=……………..

5. 3

29tan π =………………………………………= ……….. 6. 6

31cot π =……………………………………..=……………..

7. 4

35sin( π− =………………………………………= ……….. 8.

)

619cos( π

− =………………………………..=……………..

9. )4

7sin()3

4cos()4

7cos()6

5sin( π−

π−+

π−⋅

π− (ตอบ

22

− )

10. )4

5cos()4

5sin()3

5(cos)6

11(sin 22 π−⋅

π−+

π−+

π− (ตอบ 0)

11. )3

4tan()3

11cos()6

13sin( π−

π−

π− (ตอบ

43 )

=======================================================================================================


35

12. )4

5cot()6

11(eccos)6

11tan(6

13cos4

5sin π−+

π−+

π−+

π+

π (ตอบ 6

23356 −+ )

13. กาหนดให 0 ≤ θ ≤ 2π

และ sin2θ = 0.36 จงหาคาในแตละขอตอไปน

1. cosθ = ……………… 2. sin(π-θ) =……………… 3. cos(π-θ) = ………………

4. sin(π+θ) =……………… 5. cos(π+θ) =……………… 6. sin(-θ) =………………

7.cos(-θ) =……………… 8. sin(θ-π) =……………. 9. cos(θ-π) = ………………

10. sin(θ-2π) =……………… 11. cos(θ-2π) = ……………… 12. sin(2π-θ) =………………

13. cos(2π-θ) =……………… 14. cos(2π+θ) =……………… 15.sin(3π+θ) =………………

16. cos(3π+θ)=……………. 17. sin(-π-θ) = ……………… 18. cos(-π-θ) =………………

19. sin(-59π-θ) = ……………… 20. cos(-100π+θ) =………………

=======================================================================================================


36

14. กาหนดให 25.1Aeccos −= และ 0Atan < จงหาคาของ AcosAsin + (ตอบ 51

− )

ฟ�งกชนตรโกณมตทกฟ�งกชนเป�น ฟ�งกชนทเป�นคาบ (periodie function)

1. คาบ (period) หมายถง ความยาวชวงสนทสดททาใหกราฟซ�ารปเดม

2. แอมพลจด (amplitude) มคาเทากบครงหนงของคาสงสดลบดวยคาต�าสดของฟ�งกชนทเป�นคาบ

ตวอยาง กราฟของ xsiny =

โดเมนของฟ�งกชน = R เรนจของฟ�งกชน [ ]1,1−=

1 คาบ π2= แอมปลจด 1=

แบบฝ�กทกษะเรองกราฟของฟ�งกชนตรโกณมต กราฟของ y=sinx

x เรเดยน -π 43π−

2π−

4π− 0

4π

2π

43π π

sinx

แอมพลจด.................. คาบ ................. เรจน..................

,...4,2,0 ππ ,...3, ππ

23π

2

π

กราฟของฟ�งกชนตรโกณมต

=======================================================================================================


37

จงวาดกราฟของฟ�งกตรโกณมตตอไปนอยางคราว ๆ 1. y = 2sinx

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. y = sin2x


2π−

4π− 0

4π

2π

43π π

sinx

2sinx


2π−

4π− 0

4π

2π

43π π

2x

sin2x

แอมพลจด.................. คาบ ................. เรจน..................

แอมพลจด.................. คาบ ................. เรจน..................

=======================================================================================================


38

3. y = (sinx)+1

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 4. กราฟของ xcosy =

ตวอยางเชน

สาหรบฟ�งกชน bxsinay = และ bxcosay = เมอ ba , เป�นจานวนจรงทไมเป�นศนย

จะได แอมพลจด a= , คาบของฟ�งกชน b

2π=

แอมพลจด.................. คาบ ................. เรจน..................


2π−

4π− 0

4π

2π

43π π

cosx

แอมพลจด.................. คาบ ................. เรจน..................


2π−

4π− 0

4π

2π

43π π

sinx

(sinx)+1

=======================================================================================================


39

1. x3sin5y −= มแอมพลจด =……………. , คาบของฟ�งกชน คอ................

2. 4x5cos

21y = มแอมพลจด=…………… , คาบของฟ�งกชน คอ..................

1. กราฟของ xtany =

โดเมนของฟ�งกชน

∈

π+π≠∈= In,

2nx|Rx เรนจของฟ�งกชน R=

1 คาบ π= แอมพลจด = ไมม

2. กราฟของ xcoty = โดเมนของฟ�งกชน { }In,nx|Rx ∈π≠∈=

เรนจของฟ�งกชน R= 1 คาบ π= แอมพลจด = ไมม

สาหรบฟ�งกชน bxtanay = และ bxcotay = มคาบของฟ�งกชน bπ

=

0 π 2

3π X

Y

2π

−

2

3π− π−

2π

0 π X

Y

−

π2− π− 2π

23π

2π

− 2

3π

1 คาบ

=======================================================================================================


40

4. กราฟของ xy sec=

โดเมนของฟ�งกชน

∈

π+π≠∈= In,

2nx|Rx

เรนจของฟ�งกชน ( ] [ )∞∪−∞−= ,11, 1 คาบ = π2 แอมพลจด = ไมม 6. กราฟของ xeccosy =

โดเมนของฟ�งกชน { }InnxRx ∈≠∈= ,| π เรนจของฟ�งกชน ( ] [ )∞∪−∞−= ,11, 1 คาบ π2= แอมพลจด = ไมม

สาหรบฟ�งกชน bxay sec= และ bxecay cos= มคาบ bπ2

=

Y

X 0

2π π

23π

2π

− π− 2

3π−

1−

1

1 คาบ

Y

X 0

2π π

23π

2π

− π− 2

3π−

1−

1

π2 - π2

=======================================================================================================


41

คาของฟ�งกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจานวนจรงหรอมมทเป�นพนฐานและตองจาไปใชกบสตรอน ๆ

อกมากมายคอ ( ) BsinAcosBcosAsinBAsin ±=±

( ) BsinAsinBcosAcosBAcos =±

1AsinAcos 22 =+ เมอA และ B คอขนาดของมมใด ๆ

ตวอยางท 1 จงหาคาของ

π

−π

343cos (ตอบ

426 − )

ตวอยางท 2 จงหาคาของ sin75° (ตอบ 4

26 + )

ตวอยางท 3 จงแสดงวา sin(90° - A) = cos A

sincos cossin เครองหมายเหมอนเดม coscos sinsin เครองหมายตรงขาม

ศกษาเพมเตมไดท

↓↓↓

ฟ�งกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจานวนจรง

=======================================================================================================


42

แบบฝ�กหด

1. กาหนดให A และ B เป�นมมแหลม ถา sinA= 53 และ sinB =

54 จงหา

1.1 sin(A+B) (ตอบ 1) 1.2 sin(A-B) (ตอบ 257

− )

1.3 cos(A+B) (ตอบ 0) 1.4 cos(A-B) (ตอบ

2524 )

2. กาหนดให A และ B เป�นมมแหลม ถา sec A = 45 secB=

817 จงหา

2.1 sec(A+B) (ตอบ 1385

− ) 2.2 cosec(A-B) (ตอบ3685

− )


3.1 sin 15o (ตอบ 4

26 − ) 3.2 sin 105o (ตอบ 4

26 + )

=======================================================================================================


43

3.3 oooo 75sin15sin75cos15cos + (ตอบ 21 )

4. จงแสดงวา

4.1 Asin)A2

cos( −=+π 4.2 Acos)A270sin( o −=+

4.3 0)45sin()45cos( oo =θ−−θ+

**4.5 กาหนด 21)BAcos( =+ และ

43)BAcos( =− จงหาคาของ cosAcosB (ตอบ

85 )

=======================================================================================================


44

ตวอยาง

1. ถา A และ B เป�นมมแหลมแลว 247Atan = และ

125Btan = จงหา

1.1 tan (A+B) (ตอบ 253204 ) 1.2 tan (A-B) (ตอบ

32336

− )

1.3 cot (A+B) (ตอบ 204253 ) 1.4 cot (A-B) (ตอบ

36323

− )

แบบฝ�กหด 1. จงหาคาของ 1.1 tan15o (ตอบ 32 − ) 1.2 tan75o (ตอบ 32 + )

BtanAtan1BtanAtan)BAtan(

−+

=+ , BtanAtan1BtanAtan)BAtan(

+−

=−

AcotBcot1BcotAcot)BAcot(

+−

=+ AcotBcot

1BcotAcot)BAcot(−

+=−


ฟ�งกชน tan, cot

=======================================================================================================


45

1.3 cot105o (ตอบ 32 +− ) 2. จงหาคาของ 2.1

oo

oo

25tan35tan125tan35tan

−+ (ตอบ 3 ) 2.2

oo

oo

75tan105tan175tan105tan

+− (ตอบ

33 )

2.3

oo

oo

50cot10cot150cot10cot

+− (ตอบ

33 )

2.4

Btan)BAtan(1Btan)BAtan(

⋅−−+− เมอ

54Bsin,

125Asin == (A และ B เป�นมมแหลม) (ตอบ

1195 )

3. จงหาคาของ 3.1 oooo 30tan15tan30tan15tan ++ 3.2 oooo 40tan20tan340tan20tan ++ (ตอบ 1) (ตอบ 3 )

=======================================================================================================


46


1. กาหนด 43Atan = และ o90A0 << จงหาคาของ

1.1 sin2A (ตอบ 2524 ) 1.2 cos2A (ตอบ

257 )

1.3 tan2A (ตอบ 7

24 ) 1.4 cot2A (ตอบ 247 )

2. ** กาหนด

37

)BAcos()BAcos(=

+− ถา A เป�นมมแหลม และ tan B=2 แลว จงหาคาของ tan(A+B) (ตอบ

311)

สองเทา

Atan1Atan2

AcosAsin2A2sin

2+=

=

1Acos2

AsinAcosA2cos2

22

−=

−=

Atan1Atan2A2tan

Atan1Atan1

Asin21

2

2

2

2

−=

+−

=

−=

สามเทา

Atan31AtanAtan3A3tan

Acos3Acos4A3cos

Asin4Asin3A3sin

2

3

3

3

−−

=

−=

−=

ครงหนง

Acos1Acos1

2Atan

2Acos1

2Asin

2Acos1

2Acos

+−

±=

−±=

+±=

ศกษาเพมเตมได

ท

ฟ�งกชนตรโกณของสองเทา สามเทา และครงหนงของ

=======================================================================================================


47

2. กาหนด 53Acos = และ π<<

π 2A2

3 จงหาคาของ

2.1 sin3A (ตอบ 12544

− ) 2.2 cos3A (ตอบ -125117 )

2.3 tan3A (ตอบ 11744

) 2.4 cot3A (ตอบ 44

117)

3. กาหนด 53Acos = ,

2A0 π<< จงหา

3.1 2Acos (ตอบ

552 )

3.2 )2A

2(sin1 2 −π

− (ตอบ 51 )

=======================================================================================================


48

โจทยประยกต สตรมม 2 เทา 1. กาหนดให sinx + cosx = 2a จงหา

1.1 sin2x ( 1a4 2 − )

1.2 cos2x ( )1a4(1 2 −− โจทยประยกต สตรมม 3 เทา

1. จงหาคาของ )40cos20(cos3)40cos20(cos4 ooo3o3 +−+ (0)

2. จงหาคาของ )40sin20(sin4)40sin20(cos3 o3o3oo +−+ ( 3 )

=======================================================================================================


49

แบบฝ�กหด 1. จงหาคาของ

1.1 oo 15sin75sin2 (ตอบ 21 ) 1.2 oo 15cos45sin2 (ตอบ

213 + )

1.3 oo 15cos105cos2 (ตอบ

21

− ) 1.4 oo 15sin45sin (ตอบ 4

13 − )

การเปลยนฟงกชนผลคณใหเปนผลบวกหรอผลตาง ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )BAcosBAcosBsinAsin2

BAcosBAcosBcosAcos2

BAsinBAsinBsinAcos2

BAsinBAsinBcosAsin2

−−+=−

−++=

−−+=

−++=

การเปลยนฟงกชนผลบวกหรอผลตางใหเปนฟงกชนผล

คณ

−

+

−=−

−

+

=+

−

+

=−

−

+

=+

2BAsin

2BAsin2BcosAcos

2BAcos

2BAcos2BcosAcos

2BAsin

2BAcos2BsinAsin

2BAcos

2BAsin2BsinAsin


ความสมพนธระหวางผลบวก ผลตาง และผลคณของฟ�งกชน

=======================================================================================================


50

2. จงเปลยนฟ�งกชนตอไปนใหอยในรปของผลคณ 2.1 θθ 4sin8sin + 2.2 oo 50cos10cos −

Co-function ตรโกณมต สงเกตกนไหมคะ วา

oo 30cos60sin = oo 60cot30tan =

oo 30sec60eccos =

ลองคดด ..............50cos o = ……………. ..............10sec o = …………….. ..............25cot o = ……………..

สรปความคดรวบยอดไดวา ........................................................... ........................................................... ...........................................................

3. ooo 40sin110cos10cos −+ (ตอบ 0)

ศกษา

เพมเตม

Co-function

=======================================================================================================


51

4.** ประยกต หาคาของ ooo 80cos40cos20cos ⋅⋅ (โจทยเดยวกบ ooo 10sin50sin70sin ⋅⋅ ) )81(

5.** กาหนด y20sin o = แลวจงหาคาของ oo 80sin310sin + )y12( 2−

6. ลองทาด กาหนด a80sin o = แลวจงหาคาของ oo 70cos20cos3 + )a2(

=======================================================================================================


52

y = arcsinx มาจาก x= siny y = arccosx มาจาก x = cosy y = arctanx มาจาก x = tany ศกษาเพมเตมท ความหมาย

21arcsin หมายถง มมทมคา sin เป�น

2

1 ซงกคอมม................................... ดงนน

21arcsin =…………………….

)22arccos(− หมายถง ................................................................................ดงนน )

22arccos(− =……………

31arctan หมายถง ................................................................................ดงนน

31arctan =……………

ขอสงเกต 1. ( ) xxarcsinsin = เมอ -1≤ x ≤1 2. ( ) xxsinarcsin = (ตองพจารณาเรนจประกอบดวย) พจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด

41

41arcsinsin =

ถก ผด เพราะ......................................................................

35

35arcsinsin =

ถก ผด เพราะ......................................................................

( ) ooo 150,3030sinarcsin = ถก ผด เพราะ......................................................................

ตวอยางท 1 จงหาคาของ )54sin(arccos

แบบฝ�กหด จงหาคาของ

1. sin(arctan1) (ตอบ22 ) 2. cos(arccot

43 ) (ตอบ

53 )

จดสาคญในเรองนคอ จะตองจาโดเมนและเรนจของ

ฟงกชนอนเวอรสแตละตวใหได

ฟ�งกชน โดเมน เรนจ

y = arcsin x [ - 1 , 1 ]

−

2,

2ππ

y = arccos x [ - 1 , 1 ] [ ]π,0 y = arctan x R

−

2,

2ππ

ตวผกผนของฟ�งกชนตรโกณมต

=======================================================================================================


53

3. arcsin(sin3π ) (ตอบ

3π ) 4. cos(arccos x) (ตอบ x)

5. arccos0.5 + arcos(-0.5) =?

6.

+

125cotarc

53arcsinsin )

6563(

7.

+

817ecarccos

247arctancos )

425304(

=======================================================================================================


54

สมการ Atan

1Acot = จะเป�นจรงสาหรบทกคาของ A เมอคาของฟ�งกชนทปรากฏในสมการนคอคาของ cotA, tanA, Atan

1 หาคา

ได เรยกสมการทมสมบตดงเชนนวา เอกลกษณ การพสจนเอกลกษณ เป�นการแสดงใหเหนวาทงสองขางของสมการเทากนจรง โดยใชความสมพนธตาง ๆ ระหวางฟ�งกชนตรโกณมต เอกลกษณทพสจนแลวสามารถนาไปอางองในการพสจนเอกลกษณอน ๆ ไดเชน

ตวอยาง จงพสจนเอกลกษณ 1cot11

tan11

22 =θ+

+θ+

แบบฝ�กหด จงพสจนเอกลกษณตอไปน 1. θ=θθ−θ cossintansec 2. θ−θ=θ−θ 2244 cossincossin 3. θ⋅θ=θ−θ 2222 sintansintan

sin2 A + cos2 A = 1 sec2 A - tan2 A = 1 cosec2 A - cot2 A = 1

ศกษาเรองเอกลกษณเพมเตมได

ท

เอกลกษณตรโกณมต

=======================================================================================================


55

สมการตรโกณมต สมการตรโกณมต คอ สมการทประกอบดวยพจนทอยในรปฟ�งกชนตรโกณมตของตวแปร ตวอยาง กาหนดให π2x0 ≤≤ จงแกสมการในแตละขอตอไปน

1. 23xsin = 2.

21xcos −= 3. tanx= 3

แบบฝ�กหด จงแกสมการทกาหนดใหในแตละขอ เมอ π≤≤ x0

1. 2sinX = 3 (3

2,3

ππ ) 2. 1xcos4 2 = (3

2,3

ππ )

3. 02xcos2xsin2 =−+ (0 ) 4. xsinx3cos = (

8π )

5. xeccos3xcot4 2= (3

,6

ππ )


สมการตรโกณมต

=======================================================================================================


56

ในรปสามเหลยม ABC ใด ๆ ถา a,b,c เป�นความดานตรงขามมม A,B และ C ตามลาดบ จะไดความสมพนธดงน โดยท R เป�นรศมของวงกลมซงลอมรอบสามเหลยม แบบฝ�กหด 1. กาหนดใหรปสามเหลยม ABC ม a,b และ c เป�นความยาวดานตรงขามมม A,B และ C ตามลาดบ 1.1 กาหนด A= o60 , B= o45 และ 6a = จงหา b,c (ตอบ b=2, c= 31+ ) 1.2 กาหนด B= o30 , C= o120 และ a= 33 จงหา c (ตอบ c=9)

2. จงหาพนทของรปสามเหลยม ABC เมอกาหนดให B= o60 ,a= 12 และ c= 8 (ตอบ 23 ตร.หนวย)

3. ชายผหนงอยบนยอดตกสง 40 เมตร สงเกตเหนรถยนต 2 คน อยในแนวเดยวกน โดยทามมกม o30 และ o60 ตามลาดบ จงหา

ระยะหางระหวางรถทง 2 คน (ตอบ3

380 เมตร)

A

B

C

a

b

c R2

Csinc

Bsinb

Asina

=== ศกษาเพมเตมท

กฎของไซน (The Law of sine)

=======================================================================================================


57

ในรปสามเหลยม ABC ใด ๆ ถา a,b,c เป�นความดานตรงขามมม A,B และ C ตามลาดบ จะไดความสมพนธดงน

แบบฝ�กหด 1. กาหนดใหรปสามเหลยม ABC ม a,b และ c เป�นความยาวดานตรงขามมม A,B และ C ตามลาดบ 1.1 กาหนด a=5, c=8 และ B= o60 จงหา b (ตอบ b=7) 1.2 กาหนด a=13, b=15, c=7 จงหา A (ตอบ A= o60 ) 2. กาหนด a=7, b=5 และ c=3 จงหามมทโตทสด (ตอบ o120 ) 3. กาหนดใหดานทงสามของรปสามเหลยมรปหนงเป�น x,y และ 22 yxyx ++ จงหามมทโตทสด (ตอบ o120 )

Ccosab2bac

Bcosac2cab

Acosbc2cba

222

222

222

−+=

−+=

−+=

พนทสามเหลยม Csinab21

=

( )( )( )csbsass

Bsinac21

Asinbc21

−−−=

=

=

โดยท 2

cbaS ++=

กฎของ cosine (The law of cosine)

=======================================================================================================


58

สตรเยอะใชไหมจะ นกเรยนสามารถศกษาเพมเตมเรองเทคนคการเขยนสตรไดท ลองทาด

1. หาคาของ oooo 179cos...3cos2cos1cos ++++ คดตอ แลวถาหาคา oooo 180cos...3cos2cos1cos ++++

2. ถา o120BA =+ จงหาคาของ BtanAtan3BtanAtan −+ )3(−

3. หาคาของ )20sin10(cos4)20sin10(cos3 o3o3oo +−+ (สตรสามเทา) (0)

4. เขยน cosA เมอเขยนในรป tan2A ไดอยางไร (

2Atan1

2Atan1

2

2

+

−)

=======================================================================================================


59

5. )54arccos

135cos(arcsin + =? (

6533 )

6. คาของ ?250eccos200sin70tan ooo = (1)

7. ให 14.3=π และ cos0.86 =0.65 แลว tan4=? (65.058.0 )

=======================================================================================================


60

เกบตก เรองการวดมมหนวยองศา

จงหาขนาดของมมตอไปนในหนวยเรเดยน

1. 04150o ′ (ตอบ )135

133π

1.2. 0312o ′− (ตอบ )72

5π−

การใชตารางคาฟ�งกชนตรโกณมต (ตารางอยหนาถดไป) นกคณตศาสตรไดสรางตารางแสดงคาของฟ�งกชนตรโกณมตของจานวนจรงบางจานวนในชวง หรอของมมบางมมทมขนาดตงแต 0o ถง 90o ดงตวอยาง ตวอยาง sin 30o 20' หรอ sin 0.5294 = ……………………………. cos 30o 20' หรอ cos 0.5294 = ……………………………… ตวอยาง จงหาคาของ sin 230o 20' วธทา เพราะวา sin 230o20' = = = - ตวอยาง จงหาคาของ cos 142o 10' วธทา เพราะวา cos 142o 50' = = =

)ลบดา(06)องศา(1o ′= )ฟลบดา(06)ลบดา(1o ′′=

=======================================================================================================


61

=======================================================================================================


62

ระบบพกดฉากสามมต กาหนดเสนตรง

XX' , YY' และ ZZ' เป�นเสนตรงทผานจด O และตงฉากซงกนและกนโดยกาหนด ทศทางของเสนตรงทงสามเป�น ระบบมอขวา ดงรป 1

ถาเสนตรงทงสามเป�นเสนจานวน (real line) จะเรยกเสนตรง XX' , YY' และ ZZ' วา แกนพกด X แกนพกด Y และ แกนพกด Z หรอเรยนสนๆ วา แกน X (x-axis) แกน Y (y-axis) และ แกน Z (z-axis) และเรยนจด O วา จดกาเนด (origin) ดงรป 2

เรยกสวนของเสนตรง OX OY และ OZ วา แกน X ทางบวก (positivex-axis) แกน Y ทางบวก (positive y-axis) และ แกน Z ทางบวก (positive z-axis) และเรยกสวนของเสนตรง OX' OY' และ OZ' วา แกน X ทางลบ (negative x-axis) แกน Y ทางลบ (negative y-axis) และ แกน Z ทางลบ (negative z-axis)

โดยทวไปเมอเขยนรปแกนพกดในสามมต นยมเขยนเฉพาะ แกน X แกน Y และ แกน Z ทเนนเฉพาทางดานทแทนจานวนจรงบวกซงมหวลกศรกากบ ดงรป 3 หรอ รป 4

รป 3 รป 4

แกน X แกน Y และ แกน Z จะกาหนดระนาบขน 3 ระนาบ เรยกวา ระนาบอางอง • เรยกระนาบทกาหนดดวย แกน X และแกน Y วา ระนาบอางอง XY หรอ ระนาบ XY • เรยกระนาบทกาหนดดวย แกน X และแกน Z วา ระนาบอางอง XZ หรอ ระนาบ XZ • เรยกระนาบทกาหนดดวย แกน Y และแกน Z วา ระนาบอางอง YZ หรอ ระนาบ

YZ (ดงรป 5)

รป 5

แกน

ระนาบ

รป 1

รป

2

เวกเตอรในสามมต

=======================================================================================================


63

ระนาบ XY ระนาบ YZ และระนาบ XZ ทงสามระนาบ จะแบงปรภมสามมต ออกเป�น 8 บรเวณ คอ เหนอระนาบ XY จานวน 4 บรเวณ และใตระนาบ XY จานวน 4 บรเวณ เรยกแตละบรเวณวา อฒภาค (octant) ดงรปท 6 อฒภาคทบรรจ แกน X แกน Y และแกน Z ทางบวกจะเรยกวา อฒภาคท 1 สวนอฒภาคอนๆ จะใชขอตกลงเดยวกบในระบบพกดฉากสองมต (นบทวนเขมนา�กา) โดยพจารณาบรเวณเหนอระนาบ XY กอน

รป 6

(นยมใช “พกด”) เมอกาหนดจด P ใดๆ ในปรภมสามมต จะระบตาแหนงของจด P หรอพกดจด P โดยใชจานวนจรงสามจานวนเรยง

กนตามลาดบ หรอเรยกวา สามสงอนดบ ในรป (x,y,z) โดยท x คอระยะทมทศทางตามแนวแกนX ซงระบวาจด P อยหางจากระนาบ YZ เทาใด ระยะดงกลาวมคาเป�นจานวน

บวกเมอวดจากระนาบ YZ ไปยงจด P ไปทางดานบวกของแกน X มคาเป�นจานวนลบเมอวดไปทางดานลบของแกน X และมคาเป�นศนยเมอจด P อยบนระนาบ YZ y คอระยะทมทศทางตามแนวแกน Y ซงระบวาจด P อยหางจากระนาบ XZ เทาใด ระยะดงกลาวมคาเป�นจานวนบวกเมอวดจากระนาบ XZ ไปยงจด P ไปทางดานบวกของแกน Y มคาเป�นจานวนลบเมอวดไปทางดานลบของแกน y และมคาเป�นศนยเมอจด P อยบนระนาบ XZ z คอระยะทมทศทางตามแนวแกน Z ซงระบวาจด P อยหางจากระนาบ XY เทาใด ระยะดงกลาวมคาเป�นจานวนบวกเมอวดจากระนาบ XY ไปยงจด P ไปทางดานบวกของแกน Z มคาเป�นจานวนลบเมอวดไปทางดานลบของแกน Z และม

คาเป�นศนยเมอจด P อยบนระนาบ XY เรยก (x,y,z) วา พกด ของจด P และบางครงจะเขยนจดและพกดกากบไวดวยกนเป�น P(x,y,z) ดงรป

อฒภาค

สามสงอนดบ

=======================================================================================================


64

ตวอยางท 1 จากรป จงหาพกดของจด B,C,D,E,F และ G เมอกาหนด A(2, 4, 3) จด B มพกดคอ..................................... จด C มพกดคอ..................................... จด D มพกดคอ..................................... จด E มพกดคอ..................................... จด F มพกดคอ.....................................

จด B มพกดคอ..................................... จด C มพกดคอ..................................... จด D มพกดคอ..................................... จด E มพกดคอ.....................................

จด B มพกดคอ..................................... จด C มพกดคอ..................................... จด D มพกดคอ..................................... จด E มพกดคอ..................................... จด F มพกดคอ..................................... จด G มพกดคอ....................................

4

=======================================================================================================


65

แบบฝ�กหด จงหาระยะระหวางจด A(2,0,3) และ B(1,2,-1) ( 21 )

ปรมาณมสองประเภท ประเภทหนงใชบอกแตขนาด เชน พนท มวล ความสง อณหภม ซงเขยนแทนขนาดดวย

จานวนเพอบอกใหทราบวา มากหรอนอยเพยงใด เชน กลองใบหนงหนก 50 กรม เดกชายโหนงสง 180 เซนตเมตร ทดนแหงหนงมพนท 250 ไร เป�นตน สวนปรมาณอกประเภทหนงบอกทงขนาดและทศทาง เชน การเคลอนท แรง ความเรว ความเรง ปรมาณเหลานจาเป�นตองบอกทงขนาดและทศทาง เชน คณพอขบรถไปทางทศตะวนออกเป�นระยะทาง 9 กโลเมตร พชายขบรถดวยความเรว 240 กโลเมตรตอชวโมง เป�นตน

ปรมาณทมแตขนาดเพยงอยางเดยว เรยกวา ปรมาณสเกลาร (scalar quantity) ปรมาณทมทงขนาดและทศทาง เรยกวา ปรมาณเวกเตอร (vectorquantity ) หรอเรยกสน ๆ วา เวกเตอร ปรมาณสเกลาร แทนดวยจานวนจรง สวนปรมาณเวกเตอร ในเชงเรขาคณตแทนไดดวยสวนของเสนตรงทระบทศทาง ( directed line segment หรอ directed segment ) โดยความยาวของสวนของเสนตรงบอกขนาดของเวกเตอรและหวลกศรบอกทศทางของเวกเตอร

จากรป แสดงเวกเตอร A ไป B เขยนแทนดวย AB เรยก A วา จดเรมตน (initial point) เรยก B วา จดสนสด ( terminal point)

ในบางครงเราอาจเขยนสญลกษณของเวกเตอรโดยใชอกษรเพยงตวเดยว เชนเวกเตอร u เขยนแทนดวย u ใชสญลกษณ | AB | แทนขนาดของ AB (ระยะทางจาก A ไป B นนเอง) และใชสญลกษณ | u | แทนขนาดของ u

ระยะทางระหวางจด 2 จด ในปรภมสามมต

ปรมาณเวกเตอร (Vector)

ระยะทางระหวางจด P(x1,y1,z1) และ Q(x2,y2,z2) หรอ |PQ| = 212

212

212 )zz()yy()xx( −+−+−

=======================================================================================================


66

บทนยาม u ขนานกบ v กตอเมอเวกเตอรทงสองมทศทางเดยวกนหรอทศทางตรงขามกน

บทนยาม u เทากบ v กตอเมอ |u |= | v | และ u ทศทางเดยวกบ v

บทนยาม นเสธของ u คอเวกเตอรทมขนาดเทากบ u และมทศทางตรงขามกบ u เขยนแทนดวย -u

ตวอยาง กาหนดสามเหลยมดานเทา จด D, E และ F เป�นจดกงกลางของดาน AB, BC และ CD และกาหนดเวกเตอร AB , DB , BC , EC , AC , FC , DE , EF , FD จงหา 1. เวกเตอรใดบางททศทางเดยวกน ................................................................................... ...................................................................................

2. เวกเตอรใดบางทมทศทางตรงขามกน ................................................................................... ................................................................................... 3. เวกเตอรใดบางทเทากน ................................................................................... ................................................................................... 4. เวกเตอรใดบางทเป�นนเสธกน ...................................................................................

................................................................................... 5. เวกเตอรใดบางทขนานกน ................................................................................. ................................................................................

เวกเตอรทขนานกน

เวกเตอรทเทากน

นเสธของเวกเตอร

=======================================================================================================


67

ในบางครงรปอาบกาหนดในรปของมมทมหนวยเป�นองศา เรยกวา “Three figure system” คอ การเรมวดจากทศเหนอทกครง หมนตามเขมนา�กาไปจนถงเวกเตอร คาของมมจะอยระหวาง 0 องศา ถง 360 องศา ถามมทวดนอยกวา 100 องศา จะเขยน “0” นาหนา ตวเลขทไดจนครบ 3 ตว เชน 045 เป�นตน เชน 1) 100 เมตรไปทางทศใต 2) 15 เมตรไปทางทศตะวนออกเฉยงเหนอ 3) 20 เมตรไปทาง 120องศา

แบบฝ�กหด นายเอเดนทางไปทศตะวนตกเฉยงเหนอเป�นระยะทาง 5 กโลเมตร จากนนเดนทางไปทางทศ 225o เป�นระยะทาง 5 กโลเมตร นายเออยหางจากจดเรมตนกกโลเมตร และอยทางทศใดของจดเรมตน

( 25 กม.ทางทศตะวนตก)

นยาม ให u และ v เป�นเวกเตอรใด ๆ เลอนใหจดเรมตนของ v อยทจดสนสดของ uผลบวกของ u และ v เขยนแทนดวย “ vu + ” คอเวกเตอรทมจดเรมตนทจดเรมตนของ u และจดสนสดอยทจดสนสดของ v ดงรปท 1

การกาหนดทศของเวกเตอร

การบวกและการลบเวกเตอร

การบวกเวกเตอร

=======================================================================================================


68

การบวกเวกเตอรดวยวธ “กฏของรปสเหลยมดานขนาน” เลอกจด A เป�นจดเรมตน หาจด B ททาให ABu = แลวหาจด D ททาให ADv = จากนนสรางรปสเหลยมดานขนาน ABCD และอาศยบทนยามของการบวดเวกเตอรขางตน จะไดวา vu + เป�นเวกเตอรผลลพธ ซงแทนดวยเสนทแยงมมของรปสเหลยมดานนานนน โดยเวกเตอรผลลพธ จะมจดเรมตนเดยวกนกบจดเรมตนของ u และ v ดงรปท 2

เวกเตอรศนย นยาม เวกเตอรศนย (Zero vector) คอเวกเตรอทมขนาดเป�นศนย เขยนแทนดวย 0 ขอสงเกต 1 เวกเตอรศนยไมจาเป�นตองกลาวถงทศทางของเวกเตอร แตถาตองการกลาวถง มขอตกลงวาจะระบทศทางของเวกเอตรศนยเป�นเชนใดกได 2 เมอเขยนรปเรขาคณตแทนเวกเตอรศนย จดเรมตนและจดสนสดของเวกเตอรเป�นจดเดยวกน ดงตวอยางในรปท 3 หรอรปท 4

นยาม ให u และ v เป�นเวกเตอรใด ๆ ผลลบ ของ u ดวย v หมายถง ผลบวกของ u และนเสธของ v เขยนแทนดวย

vu − นนคอ )v(u −+ ดงรปท 5

การลบเวกเตอรดวยวธ “สรางรปสเหลยมดานขนาน” ใหจดเรมตนของเวกเตอรทงสองเป�นจดเดยวกนและสรางรปสเหลยมดานขนาน ซงเวกเตอรทเป�นผลลบจะมจดเรมตนและจดสนสดของเวกเตอรทงสองทกาหนดให โดยเวกเตอรทเป�นผลลบกบเวกเตอรทเป�นตวตงมจดสนสดเป�นจดเดยวกน ดงรปท 6

การลบเวกเตอร

=======================================================================================================


69

ฝ�กการบวก ลบ เวกเตอร ใหนกเรยนใชเวกเตอรทครกาหนดใหในคาบแลวทาแบบฝ�กตอไปน (ใชปากกาหรอดนสอสตางกนจะทาใหดงายขน)

เวกเตอรทครกาหนดคอ 1) vu + 2) uv + 3) wv + 4) uw + 5) wvu ++ 6) vu − 7) uv − 8) wv − 9) wvu +−− 10) uwv +−

=======================================================================================================


70

ตวอยาง กาหนด u และ v เป�นเวกเตอรทมจดเรมตนทจดเดยวกนคอจดA โดยให vAD,uAB == แลวสรางรปสเหลยมดานขนาน ABCD ดงรป จะได vu + =………………………………..

uv + =……………………………….. vu − =……………………………….. uv − =………………………………..

แบบฝ�กหด 1. จากรปจงเขยนเวกเตอรทกาหนดใหในแตละขอในรปผลบวกหรอผลตางของเวกเตอร fหรอe,d,c,b,a

1) AE ……………………………… 2) AD ……………………………… 3) BD……………………………… 4) BF ……………………………… 5) AC ………………………………

2 ให cAG,bAD,aAB === และ ABCDEFGH เป�นรปทรงสเหลยมมมฉากดงรป จงเขยนเวกเตอรตอไปนในรปของ

เวกเตอร c,b,a 1) AE ……………………… 2) EF ………………………… ……………………………… ………………………………..... 3) DH ………………………… 4) AC ………………………… ……………………………… ………………………………......

ให u , v และ w เป�นเวกเตอรใดๆในระนาบ แลว 1. u + v เป�นเวกเตอรในระนาบ 2. u + v = v + u 3. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) 4. u + 0 = 0 + u = u 5. u + (- u ) = (- u ) + u = 0

สมบตการบวกเวกเตอร

A B

HG

E

C

F

D

ขอสงเกต 1.) 1 u = u 2.) (-1) u = - u

=======================================================================================================


71

บทนยาม ให a เป�นจานวนจรง และ u เป�นเวกเตอร แลว 1. ผลคณระหวาง a กบ u เขยนแทนดวย a u 2. ถา a = 0 แลว a u = 0 3. ถา a > 0 แลว a u จะมขนาดเทากบ |a|| u | และมทศทางเดยวกบ u

4. ถา a < 0 แลว au จะมขนาดเทากบ |a|| u | และมทศทางตรงกนขามกบ u ตวอยาง กาหนดให ABu = โดย | u | =2 และมทศทางดงรป จงเขยนและบรรยายลกษณะของเวกเตอรตอไปน

1) u21 2) u2

3) u

23

−

โจทยเพมเตม เรองการบวกลบเวกเตอร 1. กาหนดให �ORQP เป�นสเหลยมดานขนาน จด T อยในแนวเสนตรง QR โดยท QT = 3QR และ S เป�นจดตดระหวาง

สวนของเสนตรง PT กบ OR ดงรป จงเขยนเวกเตอรตอไปนในรปของ u และ v 1.1 OQ 1.2 PR 1.3 OT 2. กาหนดให uAB = และ vAC = ดงรป ถา AD : DB = 2 : 3 และ AE : EC = 5 : 4 แลว จงเขยน DE ในรปของ uและ v

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

=======================================================================================================


72

3. จงหาคาของ BA2BC4AB2 ++ 4. จงหาคาของ WZ2YZ3XZXY3 −+− ตวอยาง ให 0u ≠ และ 0v ≠ จงแสดงวา u ขนานกบ v เมอกาหนดสมการในแตละขอตอไปน 1) v2u3vu5 +=+ 2) v5u2v4u6 −=+ ตวอยาง กาหนดให 0u ≠ และ 0v ≠ และ u ไมขนานกบ v ถา vyuxv2u3 −=+ จงหา x+2y

ทฤษฎบทท 1 สาหรบ 0u ≠ และ 0v ≠ v//u กตอเมอ มจานวนจรง 0a ≠ ททาให

ทฤษฎบทท 2 สาหรบ 0u ≠ และ 0v ≠ u ไมขนานกบ v ถา 0vbua =+ แลว a=0 และ

=======================================================================================================


73

ในกรณททราบจดเรมตน และจดสนสดของเวกเตอร ดงรป

ตวอยาง 1 กาหนดให A มพกดเป�น (0,4) และ B มพกดเป�น (3,5) จงหา AB

แบบฝ�กหด จงหา BAและAB เมอกาหนด A และ B ดงตอไปน

1) A(3,2), B(4,6) 2) A(-3,-2), B(4,-5)

เวกเตอรในระบบพกดฉากสอง

ถา )y,x(P 11และ )y,x(Q 22

เป�นจดใด ๆ ในระบบแกนมมฉากแลว

−−

=12

12

yyxx

PQ

พกดจดสนสด –

เรมตน

=======================================================================================================


74

การเทากนของเวกเตอร

บทนยาม

=

d

c

b

a กตอเมอ a=c และ b=d

เวกเตอรศนย

=

0

00


+

+=

+

db

ca

d

c

b

a


−

−=

−

db

ca

d

c

b

a



−

−=

b

a

b

a


a เป�นจานวนใด ๆ

d

c เป�นเวกเตอร จะได

=

ad

ac

d

ca


กาหนด

=

3

2u ,

−=

5

3v ,

−

−= 7

4w จงหา

1) w)vu2( +− 2) w3)vu( +−

=======================================================================================================


75

จากทกลาวมาแลววาเวกเตอรในสองมต กาหนดใดในรป

b

a ตอไปเราจะขยาย แนวคดจากเวกเตอรในสองมต

เป�นเวกเตอรในสามมต โดยใชระบบพกดฉากสามมต ทไดศกษาแลวเป�นพนฐาน

บทนยาม กาหนดให x,y,z เป�นจานวนจรง เรยก

zyx วา เวกเตอรในปรภมสามมต หรอเวกเตอรในสามมต ในทางเรขาคณต

เราแทนเวกเตอร

zyx

ดวยสวนของเสนตรงทกาหนดทศทางซงมจดเรมตนทจดกาเนด ( 0 ) และมจดสนสดท ( x,y,z )ดงรป

นยามเวกเตอรในระบบพกดฉาก

นยาม เวกเตอรในสองมต เวกเตอรในสามมต การเทากน

=

d

c

b

a กตอเมอ a=c และ b=d

=

f

ed

cb

a กตอเมอ a=d และ b=e และ c=f


+

+=

+

db

ca

d

c

b

a

+

+

+

=

+

fc

eb

da

f

ed

cb

a

เวกเตอรศนย

=

0

00

=

0

0

0

0


−

−=

−

db

ca

d

c

b

a

−

−

−

=

−

fc

eb

da

f

ed

cb

a


α เป�นจานวนใด ๆ

b

a เป�นเวกเตอร

α

α=

α b

a

b

a

α เป�นจานวนใด ๆ

cb


αα

α

=

αcb

a

cb

a

เวกเตอรในระบบพกดฉากสาม

=======================================================================================================


76


1. กาหนด

−

−

=

10

6

7

AB และ B มพกดเป�น (9, -8, 13) จงพกดของจด A

2. กาหนด

−

−

=

=

2

0

1

v,

3

2

1

u และ

−=

1

3

0

w จงหา

1) w)vu2( +− 2) w3)vu( +−

=======================================================================================================


77

เวกเตอร

b

a ขนานกบเวกเตอร

d

c กตอเมอมจานวนจรง 0k ≠ ททาให a=kc และ b = kd (หรอคดแบบดงตวรวม) และใน

ระบบสามมตกมผลในทานองเดยวกน 1. จงพจารณาวา เวกเตอรแตละคทกาหนดใหขนานกนหรอไม

1.1

6

8และ

3

4 1.2

−

− 3

9

12

และ

1

3

4

1.3

8

2

6

และ40

3 1.4

−

0

3และ

0

4

การขนานกนของ

=======================================================================================================


78

ให

f

eและd

c,b

a เป�นเวกเตอรใด ๆ ระบบพกดฉากสองมต และ

3

3

3

2

2

2

1

1

1

cb

a

และcb

a

,cb

a

เป�นเวกเตอรใด ๆ ระบบพกดฉากสามมต และ α เป�นจานวนจรงใด ๆ สมบต การบวก การคณดวยสเกลาร

1. ป�ด 1.

+

d

c

b


2.

+

2

2

2

1

1

1

cb

a

cb


1.

α b


2.

α

1

1

1

cb

aเป�นเวกเตอร

2. สลบท 1.

+

d

c

b

a =

+

b

a

d

c

2.

+

2

2

2

1

1

1

cb

a

cb

a=

+

1

1

1

2

2

2

cb

a

cb

a

1.

α b

a = α

b

a

2.

α

1

1

1

cb

a=

α

1

1

1

cb

a

3. เปลยนกลม 1.

+

+

f

e

d

c

b

a =

+

+

f

e

d

c

b

a

2.

+

+

3

3

3

2

2

2

1

1

1

cb

a

cb

a

cb

a =

+

+

3

3

3

2

2

2

1

1

1

cb

a

cb

a

cb

a

1.

βα b

a =

αβ b

a)(

2.

βα

1

1

1

cb

a=

αβ

1

1

1

cb

a

)(

4. การมเอกลกษณ 1.

=

+

=

+

b

a

b

a

0

0

0

0b

a

2.

=

+

=

+

1

1

1

1

1

1

1

1

1

cb

a

cb

a

0

0

0

0

0

0

cb

a

1. ม 1 ททาให

=

b

a

b

a1

2. ม 1 ททาให

=

1

1

1

1

1

1

cb

a

cb

a

1

5. การมตวผกผน

(อนเวอรส)

1.

−

−+

b

a

b

a =

0

0

เรยก

−

−

b

a วาตวผกผนการบวกของ

b

a

2.

=

−−

−

+

0

0

0

cb

a

cb

a

1

1

1

1

1

1

เรยก

−−

−

1

1

1

cb

a วาตวผกผนการบวกของ

1

1

1

cb

a

สมบตของเวกเตอรในระบบพกด

=======================================================================================================


79

ถา AB เป�นเวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต A มพกดเป�น 111 z,y,x และ B มพกดเป�น 222 z,y,x ดงรป

จะได

−−−

=

12

12

12

zzyyxx

AB และ 212

212

212 )zz()yy()xx(|AB| −+−+−=

ถาให czzและbyy,axx 121212 =−=−=− แลวจะได 222 cba|AB| ++=

แบบฝ�กหด จงหาขนาดของเวกเตอรตอไปน

1)

=

43

u (5 หนวย) 2)

=

2

2v ( 22 หนวย)

3) AB โดยท A มพกด (2, 1, 0) และ B มพกด (-1, 1, 0) (3 หนวย)

ขนาดของเวกเตอรในสองมตและสามมต

ขนาดของเวกเตอรใชเครองหมายคาสมบรณ

“| |” นะ

=======================================================================================================


80

บทนยาม เวกเตอรทมขนาดหนงหนวย เรยกวา เวกเตอรหนงหนวย (unit vector)


b

a มขนาดเทากบ 22 ba +

เวกเตอรทมขนาดหนงหนวยและมทศทางเดยวกบเวกเตอร

b

a ใด ๆทไมใชเวกเตอรศนยคอ

22 ba

1

+

b

a

เวกเตอรหนงหนวยในสองมตทสาคญคอ

0

1 และ

1

0

เพอความสะดวกจงเขยนแทน

0

1 ดวย i

1

0 ดวย j ดงรป

ตวอยาง จงหาเวกเตอรทมจดเรมตนท P1(2,-3) และมจดสนสดท P2(-4,6) และเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบเวกเตอรนรป i และ j

วธทา

ดงนนเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ 21PP คอ 13

2− i + 13

3 j

เวกเตอรหนงหนวยในระบบพกดฉากสอง

X

Y

=======================================================================================================


81

แบบฝ�กหด 1. จงหาเวกเตอรทมจดเรมตนท 1P ( 1, 3)− − และจดสนสดท 2P ( 4,1)− และเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบเวกเตอรนในรป

ของ i และ j 2. จงหาเวกเตอรทมจดเรมตนท A(1,2) และมจดสนสดท B(5,7) และ เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงขามกบเวกเตอรนรป i และ j

=======================================================================================================


82


cb

a มขนาดเทากบ 222 cba ++ เวกเตอรทมขนาดหนงหนวยและมทศทางเดยวกบ


cb

a ใด ๆทไมใชเวกเตอรศนยคอ

222 cba

1

++

cb

a

เวกเตอรหนงหนวยในสามมตทสาคญคอ

0

0

1 ,

0

1

0และ

1

0

0

เพอความสะดวกจงเขยนแทน

0

0

1 ดวย i

0

1

0 ดวย j และ

1

0

0 ดวย k ดงรป

j ตวอยาง จงหาเวกเตอรทมจดเรมตนท P1(1,2,0) และมจดสนสดท P2(-2,3,1) และเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบเวกเตอรนรป i , j และ k

ดงนนเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ 21PP คอ 113− i +

111 j +

111 k

เวกเตอรหนงหนวยในระบบพกดฉากสาม

X

Y

Z

(0,0,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

i

k

=======================================================================================================


83

แบบฝ�กหด 1. จงหาเวกเตอรทมจดเรมตนท 1P ( 1, 6,0)− − และจดสนสดท 2P (5,2,0) และเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบเวกเตอรนในรปของ i , j และ k

2. จงหาเวกเตอรทมจดเรมตนท A(2,2,7) และมจดสนสดท B(1,5,8) และเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงขามกบเวกเตอรนรป i , j และ k

แบบฝ�กหดประยกต

1. กาหนด

=

12

9u ,

−

−=

8

6v จงหาเวกเตอรทกาหนดในแตละขอ

1.1 เวกเตอร 1 หนวยททศทางเดยวกบ vu + ( j54i

53

+ )

1.2 เวกเตอร 2 หนวยทมทศทางตรงขามกบ vu − ( j58i

56

−− )

แนะแนวทาง หา vu − --> นเสธ vu − -->ทาใหเหลอ 1 หนวย --> คณดวย 2

=======================================================================================================


84

1.3 เวกเตอรทมทศทางตรงขามกบ v และมขนาดเทากบ u ( j12i9 + )

แนะแนวทาง นเสธ v --> ทา v ใหเหลอ 1 หนวย --> แลวคณดวยขนาดของ u

2. กาหนด

−

=

2

43

u ,

−

−=

41

5

v จงหาเวกเตอรทกาหนดในแตละขอ

2.1 เวกเตอร 1 หนวยททศทางเดยวกบ vu − ( k332j

335i

332

++− )

2.2 เวกเตอร 3 หนวยทมทศทางตรงขามกบ vu + ( k10918j

1099i

10924

+−− )

2.3 เวกเตอรทมทศทางเดยวกบ u และมขนาดเทากบ v ( k29422j

29424i

29423

−+ )

แนะแนวทาง ทา u ใหเหลอ 1 หนวย --> แลวคณดวยขนาดของ v

=======================================================================================================


85

กาหนดจด O(0,0,0) และ P(a,b,c) จะได OP จะได

aOP b

c

=

และให , , [0, ]α β γ∈ π เป�นมมท

วด จากแกนพกดดานบวกทงสามลาดบไปยง OP จะได

OPa

OPOQcos ==α ,

OPb

OPORcos ==β

OPc

OPOScos ==γ

มม , ,α β γ คอมมท OP ทากบแกน X,Y,Z ทางดานบวก ตามลาดบ เรยกมมดงกลาววา “มมกาหนดทศทาง”

(direction angle) ของ OP และเรยก cos , cosα β และ cos γ วา “โคไซนกาหนดทศทาง” (direction cosines) ของ OP

ตวอยางท 1 จงหาโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอรทมจดเรมตนท P(0,3,5) และจดสนสด Q(1,5,2)

โคไซนแสดงทศทางของ PQ

คอ 1 2 3, ,14 14 14

−

โคไซนแสดงทศทาง (direction cosines)

บทนยาม โคไซนแสดงทศทางของ u เมอ a

u bc

=

ซง u 0≠ เทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ คอ

จานวนสามจานวนเรยงตามลาดบ ดงน a b c, ,u u u

=======================================================================================================


86

ตวอยางท 2 จงตรวจสอบวาเวกเตอรตอไปนคใดขนานกนโดยใชโคไซนแสดงทศทาง

1) เวกเตอร PQ มจดเรมตนท P(1,2,3) และจดสนสดท Q(2,-3,5)

2)

−=

410

2

a

3) เวกเตอร ORซงมจดเรมตนทจดกาเนดและจดสนสดท R(-3,15,-6)

สรปวา......................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

เวกเตอรสองเวกเตอร จะมทศทางเดยวกนกตอเมอมโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน และจะมทศ

ทางตรงขามกตอเมอ โคไซนแสดงทศทางเทยบแตละแกนของเวกเตอรหนงเปนจานวนตรงขามกบ

โคไซนแสดงทศทางของอกเวกเตอรหนง

=======================================================================================================


87

ตวอยางท 3. กาหนดให = − +u 3 i 3 3 j

1) จงหามม β ท u ทากบแกน Y (30 องศา)

2) จงหามม αท u ทากบแกน X (120 องศา)

สมบตทสาคญของผลคณเชงสเกลาร

1. ให wและv,u เป�นเวกเตอรใด ๆ ในสองมต หรอสามมต และ a เป�นสเกลาร จะไดวา

ผลคณเชงสเกลาร (Scalar Product or Dot Product)

บทนยาม

ถา

=

1

1

1

zyx

u และ

=

2

2

2

zyx

v แลว ผลคณเชงสเกลารของ u และ v คอ 212121 zzyyxx ++

เขยนแทนดวย vu ⋅

1.1 uvvu ⋅=⋅

1.2 wuvu)wv(u ⋅+⋅=+⋅

1.3 )va(uv)ua()vu(a ⋅=⋅=⋅

1.4 0u0 =⋅

1.5 2

uuu =⋅

1.6 1kkjjii =⋅=⋅=⋅

0kjkiji =⋅=⋅=⋅

=======================================================================================================


88


1. กาหนด u และ v มาให จงหา vu ⋅ 1.1 j5i4v,j3i2u +=+= (23)

1.2 k2jiv,k6j4i2u −+=−+= (18)

2. กาหนด

−=

5

4

2

u ,

−=

8

4

2

v และ

−−=

3

5

6

w จงหาคาในแตละขอตอไปน

2,1 )v2u()wvu( +⋅−+ (144)

2,2 )w5u2()w3u( +⋅− (-913)

=======================================================================================================


89

ให θ เป�นมมระหวาง u และ v ซง oo 1800 ≤≤θ แลว

มมระหวางเวกเตอร หมายถง มมทไมใชมมกลบ ซงมแขนของมมเป�นรงสทขนานและมทศทางเดยวกบเวกเตอรทง

สอง

1. กาหนดให u 2 i 2 3 j= + และ = +v 3 i j จงหามมระหวาง u และ v (30 องศา)

***2. ถา θ เป�นมมระหวางเวกเตอร

=0

4

3

u และ

−=

1

1

2

v แลวคาของ cos2θ เทากบเทาใด (3

1 )

(ขอนตองใชความรเรองฟ�งกชนตรโกณของเทอม 1 มาชวยคด จาไดไหมวา cos2θ =?

ถา u และ v เป�นเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนย

1. กาหนดให kaji3u +−= และ k2j2i4v −+= จงหาคา a ททาให u ตงฉากกบ v (a=5)

θ=⋅ cosvuvu

u ตงฉากกบ v กตอเมอ 0vu =⋅

=======================================================================================================


90

ถา u และ v เป�นเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนย

1. กาหนดให = = + =u 3, v 13 และuv14 จงหา vu ⋅ (9)

2. กาหนด 5vu =+ , 15vu =− จงหา vu ⋅ (2

5)

3 .กาหนด 10u = 6v = u ตงฉากกบ v จงหา vu+ ( 342 )

222 vvu2uvu +⋅+=+

222 vvu2uvu +⋅−=−

222 vcosvu2uvu +θ+=+

222 vcosvu2uvu +θ−=−

=======================================================================================================


91

ผลคณเชงเวกเตอร (Cross Product or Vector Product)

บทนยาม

1. ผลคณเชงเวกเตอรของ u กบ v คอ vu× (อานวา “ vcrossu ”)

2. กาหนดให u กบ v เป�นเวกเตอรใด ๆ ททามมกน θ

ขนาดของ vu× เขยนแทนดวย vu× โดย θ=× sinvuvu โดยท o180o ≤θ≤ ทศทางของ vu× หาไดจาก

กฎมอขวาดงรป

จากรปใหปลายนวทงสชตามทศ u จากนนกวาดปลายนวทงสเขาหา v ทศ

ของหวแมมอทตงฉากกบระนาบท u และ v อยคอทศของ vu×

ตวอยางท 1 u และ v เป�นเวกเตอรอยบนระนาบ XY และทามมกน 30 องศาดงรป ถา 2u = และ 1v = จงหาขนาดและ

ทศทางของ vu×

ตวอยางท 2 s และ t เป�นเวกเตอรอยบนระนาบ XZ และตงฉากกนดงรป ถา s = 3t = จงหาขนาดและทศทางของ ts×

การหาผลคณเชงเวกเตอรโดยใชความรทางเมตรกซ

=======================================================================================================


92

กาหนดให

=++=cb

a

kcjbiau

ลองทาด

1. ให

−

=

3

0

2

u ,

=

5

31

u จงหา vu× ( k6j13i9 −+− )

2. ให k3i2u += , k5iv += จงหา vu× และ uv× ( j7,j7− )

=======================================================================================================


93

=======================================================================================================


94


=======================================================================================================


95

=======================================================================================================


96

3.

.…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..

4.

………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3.

ขอนถาเปลยนคาถามจากสเหลยมดาน

ขนานเปนสามเหลยม คดอยางไรคะ ตอบ

=======================================================================================================


97

ปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนานเทากบ )rv(u ×⋅ หรอ )vu(r ×⋅ หรอ )ur(v ×⋅

การใชเวกเตอรในการหาปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน กาหนดสเหลยมดานขนานซงม u , v และ r เป�นดานดงรป

ขอสงเกต ถา ,u v และ r อยบนระนาบเดยวกนแลว )rv(u ×⋅ =0 (ปรมาตรเป�น 0 นนเอง)

แบบฝ�กหด จงหาปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนานทม ,u v และ r เป�นดานซงกาหนดใหในแตละขอ ดงน

1) kjiu ++−= , kji2v ++= และ kji5r ++= (12 ลบ.หนวย)

** แตสตรการหาปรมาตรท

นยมใชคอ การนาคาของ

เวกเตอรทงสามมาหา dat

ไดเลย

=======================================================================================================


98

2) kj6i4u −+= , k2ji2v +−= และ kj2i3r −+= (29 ลบ.หนวย)

3) กาหนด

−

=

2

0

1

u ,

=

23x

v และ

=

214

r โดยท ,u v และ r เป�นดานของทรงสเหลยมดานขนานเทากบ

10 ลกบาศกหนวย จงหาคา x

=======================================================================================================


99

โจทย ประยกต เรอง เวกเตอรในสามมต 1.

จากรปกาหนดให F เป�นจดศนยกลางของ BE

และ BC a, DC b, AB ED 2a= = = =

ดงนน CF

ในรปของ a และ b เทากบขอใด

ก. 3 1a b

2 2− + ข. 3 1

a b2 2

− −

ค. 3 1a b

2 2− ง. 3 1

a b2 2+

2. กาหนด A(3,2), B(-4,1), C(-3,4) และ D(1,-2) จะได BA CD+

ในรป i และ j ตรงกบขอใด

ก. 11i 5 j− ข. 3 i 7 j− − ค. 11i 5 j− + ง. 3 i 7 j+

3. กาหนด u 2 i j= − และ v 4 i 5 j= + ขอใดไมถกตอง

ก. ถา 2

w15

= −

และ w xu yv= + แลว x+y =3

ข. เวกเตอรทมขนาดเทากบ u แตมทศทางตรงขามกบ v คอ 5(4 i 5 j )

41− +

ค. คาของ (2u v) (u 2v)+ ⋅ − เทากบ -81 ง. นเสธของ 3u 2v− คอ 4 i 26 j+

F

A

DE

B C

=======================================================================================================


100

4. ถา u v 5 2+ = และ u v 26− = แลว u v⋅ เทากบขอใดตอไปน

ก. 3 ข. 6 ค. 8 ง. 12 ทบทวนกอนสอบ เรอง 1 ฟ�งกชนเอกซโพเนนเชยล และฟ�งกชนลอการทม 1. เซตคาตอบของสมการ 2x 1 x2 3(2 ) 1 0+ − + = คอสบเซตของเซตในขอใด

ก. (-4, -3) ข. (-3,1) ค. (0,3) ง. (-1,2)

2. คาของ 2 2

1 1

x y

x y

− −

− −−+

เมอกาหนด x= 1 และ y=2 คอขอใด

ก. 1

2 ข. 1

3 ค. 2

3 ง. 3

2

=======================================================================================================


101

3. เซตคาตอบของอสมการ 2x 2x 8 x 12

1 1

2 4

+ + + <

คอขอใด

ก. ( , 4) (4, )−∞ − ∪ ∞ ข. (4, )∞ ค. ( , 4)−∞ − ง. ( 4,4)−

4. คาของ 1 1 13 4 5

3 4 52 3 7log 3 log 7 log 16⋅ ⋅ ตรงกบขอใด

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 5. กาหนดให log 1.87 = 0.2718 จงหาคาของ N เมอ logN = -5.7282 ก. 51.87 10−× ข. 61.87 10−× ค. 52.718 10−× ง. 62.718 10−×

=======================================================================================================


102

เรอง 2 ฟ�งกชนตรโกณมต

1. กาหนด a25tan o = จงหาคาของ 125cot65cot

25cot65cotoo

oo

+⋅−

ก. a2

1a2 + ข. a2

1a2 − ค. 1a

1a2

2

−+ ง.

1a

1a2

2

+−

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. พจารณากราฟตอไปนวาเป�นกราฟของฟ�งกชนใด ก. y = 2cosx ข. y = 2sinx ค. Y = 2cos2x ง. y = 2sin2x

3

2

1

-1

-2

-3

3

2

1

-1

-2

-3

-2π-

3π

2

-π-π

2

3π5π

2

2π3π

2

ππ

2

=======================================================================================================


103

3. จงพจารณาขอความตอไปน ขอความใดสรปถกตอง

1. 2

1)A

3sin()A

3sin()A

6cos()A

6cos( =−⋅+−−⋅+

ππππ

2. 1)A6

sin()A3

cos()A6

cos()A3

sin( =+⋅−++⋅−ππππ

ก. ถกเฉพาะขอ 1. ข. ถกเฉพาะขอ 2. ค.ถกทงขอ1 และ2 ง. ไมมขอใดถก

4. ให atan =θ จงหาคาของ θθθθ3coscos

3sinsin

++

ก. a31

a

+ ข.

a

a31+ ค. 2a1

a2

− ง.

2a1

a2

+

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. คาของ )2

1(arcsincos)

2

3(arccossin 22 + เทากบขอใดตอไปน

ก. -1 ข. 1 ค. 2

1 ง. 2

3

=======================================================================================================


104

เรอง 3 เวกเตอรในสามมต

2. จากรปกาหนดให F เป�นจดศนยกลางของ BE

และ

BC a, DC b, AB ED 2a= = = =

ดงนน CF

ในรปของ a และ b เทากบขอใด

ก. 3 1a b

2 2− + ข. 3 1

a b2 2

− −

ค. 3 1a b

2 2− ง. 3 1

a b2 2+

2. กาหนด A(3,2), B(-4,1), C(-3,4) และ D(1,-2) จะได BA CD+

ในรป i และ j ตรงกบขอใด

ก. 11i 5 j− ข. 3 i 7 j− − ค. 11i 5 j− + ง. 3 i 7 j+

3. กาหนด u 2 i j= − และ v 4 i 5 j= + ขอใดไมถกตอง

ก. ถา 2

w15

= −

และ w xu yv= + แลว x+y =3

ข. เวกเตอรทมขนาดเทากบ u แตมทศทางตรงขามกบ v คอ 5(4 i 5 j )

41− +

ค. คาของ (2u v) (u 2v)+ ⋅ − เทากบ -81 ง. นเสธของ 3u 2v− คอ 4 i 26 j+

F

A

DE

B C

=======================================================================================================


105

4. ถา u v 5 2+ = และ u v 26− = แลว u v⋅ เทากบขอใดตอไปน

ก. 3 ข. 6 ค. 8 ง. 12 ขอใหโชคดในการสอบคะ ^_^

=======================================================================================================

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) ·...

Documents

Transcript of ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) ·...