บทท 10ปญหาการขนสง

ปจจบนนเปนยคโลกาภวตน การดำาเนนธรกจจะมการแขงขนกนมาก หนาทหนงขององคการธรกจกคอ การทำาหนาทเปนฝายผลตและฝายการตลาด กลาวคอ ฝายผลตจะตองมการนำาวตถดบมากจากแหลงวตถดบหลายแหลงเพอปอนเขาสโรงงานซงมอยหลายโรงงานเชนกน แหลงวตถดบแตละแหลงจะมความสามารถในการผลตวตถดบตางกน ขณะเดยวกนโรงงานแตละโรงงานกมความตองการวตถดบตางกนดวย ปญหากคอวา ควรจะจดสงวตถดบอยางไรจงจะทำาใหตนทนรวมทงหมดมคานอยทสด ในขณะเดยวกนฝายการตลาดจะตองจดสงสนคาทผลตแลวไปยงคลงสนคา รานคา หรอ ใหลกคาซงมอยหลาย ๆ แหงดวยกน และคลงสนคา หรอ รานคาตาง ๆ มความสามารถเกบสนคา หรอมความตองการสนคาทแตกตางกนดวย ดงนนฝายการตลาดจะมการกระจายสนคาอยางไร จงจะทำาใหตนทนรวมทเกดขนมคานอยทสด ทงปญหาของฝายการผลตและฝายการตลาด ในลกษณะดงกลาวเราเรยกวา ปญหาการขนสง (The Transportation Problems)

รปแบบของปญหาการขนสงรปแบบของปญหาการขนสง โดยทวไปจะประกอบดวย 3

องคประกอบ ดงน1) แหลงทเปนจดตนทาง (Sources) ไดแกโรงงาน หรอ

แหลงวตถดบทจะใชในการผลตสนคาชนดใดชนดหนง หรอ หลาย

ชนด (Supply หรอ อปทาน) อาจจะมแหลงตนทางอยหลายแหลง ซงมความสามารถในการผลตหรอมปรมาณวตถดบไมเทากน

2) แหลงทเปนจดปลายทาง (Destinations) ไดแกแหลงทมความตองการ (Demand หรอ อปสงค) วตถดบ หรอ สนคา หรอผลตภณฑ เชน โรงงาน ตลาด หรอคลงสนคา แหลงปลายทางนอาจจะมหลายแหลง หรอแหลงเดยวกได

3) คาขนสง (Transportation Cost) เปนตนทนทเกดจากการขนสงจากแหลงทเปนจดตนทางไปยงจดปลายทางซงการขนสงระหวางแตละจดจะมอตราทแตกตางกนไปขนอยกบระยะทางและลกษณะภมศาสตรของจดตนทางและจดปลายทางแตละจด

ภาพท 1 แสดงลกษณะของปญหาการขนสงจากภาพท 1 แสดงปญหาการขนสงทมการขนสงจากโรงงาน

m แหง ไปเกบไวทคลงสนคา n แหง โดยทโรงงานแตละแหงจะตง

อยในสถานทตาง ๆ กน ในทำานองเดยวกน คลงสนคาทง n แหงกตงอยตางสถานทกน เชน คลงสนคา 1 อยทจงหวดชมพร คลงสนคา 2 อยทจงหวดนครปฐม และคลงสนคา 3 อยทจงหวดสพรรณบร เปนตน

ตวอยาง บรษทแหงหนงมโรงงานอย 3 โรง อยทเมอง A, เมอง B และ เมอง C ซงจากการสำารวจพบวาโรงงานแตละแหงมความตองการวตถดบตางกน ดงน

โรงงานทเมองความตองการวตถดบ

(ตน/เดอน)A 100B 200C 300

รวม 600การดำาเนนการผลตของโรงงาน 3 โรงดงกลาว ตองใช

วตถดบจากแหลงวตถดบ 3 แหลง ซงแหลงวตถดบแตละแหงมปรมานวตถดบตางกน ดงน

แหลงวตถดบปรมาณวตถดบทมอย

(ตน/เดอน)1 1502 3003 150

รวม 600ตนทนการขนสงจากแหลงวตถดบแตละแหงไปยงโรงงานตาง ๆ เปนดงน

แหลงวตถดบ

คาขนสงไปยงโรงงาน (หนวยเปนบาท)

A B C1 200 150 1602 250 180 3503 240 170 390

บรษทควรจดใหมการขนสงอยางไร จงจะทำาใหการขนสงวตถดบทงหมดมคาขนสงตำาสด และคาขนสงตำาทสดนเปนเทาไร

พจารณาจากโจทย จะเหนวาเปนปญหากำาหนดการเชงเสนและเราสามารถจะเขยนใหอยในรปแบบกำาหนดการเชงเสนไดดงน

กำาหนดให Z แทนคาขนสงทงหมด (หนวยเปนบาท) Xij แทนปรมาณวตถดบทจะตองขนสงจากแหลง

วตถดบท i ไปยงโรงงาน ท j; i =1, 2, 3 และ j =1, 2, 3ดงนนฟงกชนวตถประสงคคอ

Minimize Z = 200x11 + 150x12 + 160x13 + 250x21 + 180x22 + 350x23 + 240x31 + 170x32 + 390x33 ภายใตขอจำากด ดานวตถดบทมอย

x11 + x12 + x13 = 150x21 + x22 + x23 = 300x31 + x32 + x33 = 150

ดานความตองการวตถดบx11 + x21 + x31 = 100x12 + x22 + x32 = 200x13 + x23 + x33 = 300

xij ≥ 0; i =1, 2, 3 และ j =1, 2, 3

การแกปญหาน หากใชวธซมเพลกซจะคอนขางยาก เนองจากมตวแปรทตองการหาคาทงหมด 9 ตว และตองเพมตวแปรเทยม (Slack หรอ Surplus Variables) อก 6 ตว จะทำาใหมตวแปรทงหมด 15 ตว การทมตวแปรมากนจะทำาใหเสยเวลาในการคำานวณมาก จงมผคดคนวธแกปญหาการขนสงทงายขนโดยไมตองใชวธซมเพลกซ

กอนทจะกลาวถงวธแกปญหาแบบนจะกลาวถงรปแบบทว ๆ ไปของปญหาการขนสงกอน ดงตอไปน

ในกรณทว ๆ ไปถามแหลงทเปนจดตนทาง m แหง ซงตงอยสถานทตาง ๆ กน และมแหลงทเปนจดปลายทางอย n แหง ตามสถานทตาง ๆ เชนเดยวกน เราตองการจะจดสงประมาณวตถดบ หรอ สนคาตาง ๆ จากแหลงทเปนจดตนทางไปยงแหลงทเปนจดปลายทาง เพอทำาใหเสยคาใชจายในการขนสงนอยทสด ปญหากคอควรจะจดสงประมาณวตถดบหรอสนคาจากแหลงทเปนจดตนทางไปยงแหลงทเปนจดปลายทางใด และเปนปรมาณเทาใด เพอจะทำาใหคาขนสงรวมทงหมดมคานอยทสด

กำาหนดให ai = จำานวนสนคา (ปรมาณวตถดบ) ทแหลงตนทางท i มอย

bj = จำานวนสนคา (ปรมาณวตถดบ) ทแหลงปลายทางท j ตองการ

xij = จำานวนสนคา (ปรมาณวตถดบ) ทจะสงจากแหลงตนทางท i ไปยงแหลง

ปลายทางท j cij = คาขนสงตอหนวยในการสงสนคา (วตถดบ) จากแหลงตนทางท i ไปยง

แหลงปลายทางท j เมอ i =1, 2, 3, …, m และ j =1, 2, 3, …, n

ดงนนปญหาจะอยในรปMinimize Z =

ภายใตขอจำากด ดงน1.ขอจำากดทางดานแหลงตนทาง:

x11 + x12 + … + x1n = a1xm1 + xm2 + … + xmn = am

2.ขอจำากดทางดานแหลงปลายทาง:

x11 + x21 + … + xm1 = b1x13 + x23 + … + xmn = bn

จากรปแบบปญหาการขนสงขางตน จะพบวาเปนปญหากำาหนดการเชงเสน ดงนนสามารถจะแกปญหาดงกลาวดวยวธซมเพลกซได แตวธซมเพลกซมความยงยากและซบซอนมาก ไมเหมาะทจะนำามาแกปญหาการขนสง ซงมวธการอน ๆ ทสะดวกกวา ซงจะกลาวถงในตอนตอ ๆ ไป จากขอจำากดทางดานแหลงตนทางท i; ≤ ai

เมอพจารณารวมขอจำากดทกขอของแหลงตนทางทกแหลง (m แหง) จะได

≤ ……………………(1)

ในทำานองเดยวกนเมอรวมขอจำากดทกขอของแหลงปลายทางทกแหลง (n แหง) จะได

≤ ……………………(2)

แตเนองจากจะตองมการขนสงสนคาทกหนวยจากแหลงตนทางไปยงแหลงปลายทาง นนคอ ความสามารถของแหลงตนทางและปลายทางควรจะเทากน เชน จำานวนสนคาทโรงงานผลตได ควรจะเทากบจำานวนสนคาทคลงสนคาสามารถจะรบไวได ซงหมายความวา

= จงทำาใหอสมการ (1) และ (2) กลายเปนสมการ

= = และ= ai และ = bj

ดงนน จะไดรปแบบมาตรฐานของปญหาการขนสง ดงน

Minimize Z = ภายใตขอจำากด1. = ai (ขอจำากดดานแหลง

ตนทาง); i =1, 2, 3, …, m2. = bj (ขอ

จำากดดานแหลงปลายทาง); j =1, 2, 3, …, n และ xij ≥ 0

5.7 ตารางการขนสง (Transportation Table)

ถงแมวาจะไดมการจดปญหาการขนสงทวไปใหมรปแบบเปนปญหาการขนสงมาตรฐาน การแกปญหาการขนสงโดยการหาคาตวแปรในฟงกชนวตถประสงคและฟงกชนขอจำากดดงกลาว ยงตองใชเวลามาก จงไดมผคดทำาเครองมอทจะชวยใหสามารถแกปญหาการขนสงไดงายขน เครองมอดงกลาวไดแก ตารางการขนสง วธการทำาตารางการขนสงโดยทวไปอาจจะทำาได 2 แบบ คอ

แบบท 1 แถวนอนเปนจดตนทาง และคอลมนเปนจดปลายทาง

แบบท 2 แถวนอนเปนจดปลายทาง และคอลมนเปนจดตนทาง

หมายเหต สวนใหญนยมตารางแบบท 1 มากกวาแบบท 2

สวนประกอบของตารางการขนสงม 5 สวน ดงแสดงในตารางท 1 ตอไปน

ตารางท 1 แสดงองคประกอบของตารางการขนสง

สวนท A เปนสวนทแสดงจดตนทางทจะทำาการขนสง จะใชแถวนอน (Row) แสดงจดตนทางแตละแหง ในตารางขางบนนมจดตนทางอย 3 แหง คอ แถวนอนท1, 2 และ 3

สวนท B เปนสวนทแสดงจดปลายทางทจะรบสนคา หรอจะเกบสนคา จะใชคอลมน (Column) แสดงจดปลายทางแตละแหง ในตารางขางบนนมจดปลายทางอย 3 แหง คอ คอมลมนท1, 2 และ 3

สวนท C เปนสวนทแสดงขดจำากดดานอปทาน หรอความสามารถในการสนองความตองการทจดตนทางมอย (Supply) โดยในแตละแถวนอนจะแสดงถงขดจำากดของแตละจดตนทางนน ๆ

สวนท D เปนสวนทแสดงขดจำากดดานอปสงค หรอความตองการทจดปลายทางมอย(Demand) โดยในแตละคอลมนจะแสดงถงขดจำากดของแตละจดปลายทางนน ๆ

สวนท E จะแสดงถง 2 อยาง คอ1) คาขนสง (cij) ทจะทำาการขนสงจากจดตนทางไปยงจด

ปลายทาง2) ทางเลอกเกยวกบปรมาณการขนสง (xij) ทจะทำาการ

ขนสงจากจดตนทางไปยงจดปลายทาง ซงในการแกปญหาการขนสง จะตองมการคำานวณวาจะใชเสนทางใดในการขนสงและมการขนสงเปนปรมาณเทาใดจงจะทำาใหตนทนการขนสงรวมทงหมดมคาตำาสด

ตวอยางท 2 บรษทศรนยม จำากด มโรงงานอย 3 แหง คอทจงหวด สมทรสงคราม สมทรสาคร และ สมทรปราการ โรงงานทง 3 แหงมกำาลงการผลตเปน 1,500, 2,000 และ 3,000 ตน ตามลำาดบ ตองการสงสนคาจากโรงงานไปยงตลาดเพอขายรวม 3 แหง คอ ตลาดเกา ตลาดกลาง และตลาดใหม ซงมความตองการสนคาเปน 1,800, 2,500 และ 2,200 ตนตามลำาดบ คาขนสงจากโรงงานไปยงตลาดเปนดงน

จากโรงงาน ไปตลาดคาขนสง (พน/ตน)

สมทรสงครามเกา 7

กลาง 5ใหม 3

สมทรสาคร เกา 6กลาง 4

ใหม 2

สมทรปราการเกา 8

กลาง 6ใหม 3.5

จากขอมลขางตน ใหสรางตารางการขนสง ตารางท 2 แสดง สญลกษณและระบคาขนสง

กำาหนดให x11 เปนปรมาณสนคาจากโรงงานทสมทรสงครามไปยงตลาดเกา

x12 เปนปรมาณสนคาจากโรงงานทสมทรสงครามไปยงตลาดกลาง

x13 เปนปรมาณสนคาจากโรงงานทสมทรสงครามไปยงตลาดใหม

x21 เปนปรมาณสนคาจากโรงงานทสมทรสสาครไปยงตลาดเกา

x22 เปนปรมาณสนคาจากโรงงานทสมทรสาครไปยงตลาดกลาง

x23 เปนปรมาณสนคาจากโรงงานทสมทรสาครไปยงตลาดใหม

x31 เปนปรมาณสนคาจากโรงงานทสมทรปราการไปยงตลาดเกา

x32 เปนปรมาณสนคาจากโรงงานทสมทรปราการไปยงตลาดกลาง

x33 เปนปรมาณสนคาจากโรงงานทสมทรปราการไปยงตลาดใหมเมอรวมคาของตวแปรตาง ๆ ตามแถวนอนจะไดขอจำากดของแตละโรงงาน คอ

x11 + x12 + x13 = 1,500x21 + x22 + x23 = 2,000x31 + x32 + x33 = 3,000

เมอรวมคาของตวแปรตาง ๆ ตามคอลมนจะไดขอจำากดของแตละตลาด คอ

x11 + x21 + x31 = 1,800x12 + x22 + x32 = 2,500x13 + x23 + x33 = 2,200

ตวเลขทอยในชองเลกมมขวาของแตละชอง คอ คาขนสงจากโรงงานตาง ๆ ไปยงตลาดตาง ๆ

ตวอยางตารางการขนสงทแสดงขางตน เปนตารางการขนสงสำาหรบการขนสงชนดทยอดรวมของอปทานเทากบยอดรวมของอปสงค แตถาเปนปญหาการขนสงชนดทยอดรวมของอปทานไมเทากบยอดรวมของอปสงคตามรปแบบปญหาการขนสง

มาตรฐาน เราตองทำาการเพมคลงสนคา หรอ โรงงานขนมา เพอทำาใหยอดรวมทงสองเทากน สวนทเพมขนมานเราเรยกวา ดมม (Dummy) สำาหรบคาขนสงของชองทเปนดมมจะมคาขนสงเปน 0 เนองจากไมมการขนสงเกดขนจรง ชองทเปนดมมจะใหอยในแถวนอน หรอในคอลมน ใหพจารณาดงน

1.กรณทอปสงคนอยกวาอปทาน จะตองเพมชวงทเปนดมมทางคอลมน (Dummy Column)

ตวอยางท 3 บรษทแหงหนงมโรงงานอย 3 แหง คอ อยทเมอง X, Y และ Z โรงงานแตละแหงมกำาลงการผลตเปน 50, 80 และ 100 ตนตามลำาดบ ตองการสงสนคาทผลตไดไปยงคลงสนคา 3 แหง ซงสามารถเกบสนคาได 60, 90 และ 70 ตนตามลำาดบ และมคาขนสง ดงน

จากโรงงาน ไปคลงสนคาคาขนสง

(บาท/ตน)

X1 2002 1503 160

Y1 802 903 160

Z1 1702 903 60

จากปญหาดงกลาวนำามาพจารณายอดรวมทางดานอปทานและอปสงค ดงน ยอดรวมดานอปทาน = 50 + 80 + 100 = 230 ตน

ยอดรวมดานอปสงค = 60 + 90 + 70 = 220 ตน

จะเหนวาอปสงคนอยกวาอปทาน 10 ตน ดงนนเราตองเพมดมมทางคอลมนใหมอปสงคอก 10 ตน ซงสามารถสรางตารางการขนสงไดดงตารางท 3 ตารางท 3 แสดงการเพมดมมคอลมน

2.กรณทอปสงคมากกวาอปทาน จะตองเพมดมมทางแถวนอน (Dummy Row)

ตวอยางท 4 จากตวอยางท 3 สมมตวาความสามารถเกบสนคาของ คลงสนคาทง 3 แหงเปน 60, 100 และ 110 ตน ตามลำาดบ

ยอดรวมดานอปทาน = 50 + 80 + 100 = 230 ตน

ยอดรวมดานอปสงค = 60 + 100 + 110 = 270 ตน

ดงนนอปสงคจะมคามากกวาอปทาน 40 ตน เราจงตองเพมโรงงานท 4 ขนมาก ซงกคอการเพมดมมทางแนวนอน 40 ตน ซงสามารถสรางตารางการขนสงไดดงตารางท 4

ตารางท 4 แสดงการเพมดมมทางแถวนอน

นอกจากนการสรางตารางการขนสง อาจพบวา ปญหาการขนสงบางปญหาไมสามารถจะขนสงสนคา หรอวตถดบได เนองจากเสนทางการคมนาคมไมสะดวก สภาพภมอากาศไมเอออำานวย กรณเชนนเมอสรางตารางการขนสง การระบคาขนสงในชองทางเลอกเสนทางนน จะสมมตใหคาขนสงมคาสงมาก และใหมคาเทากบ M ซงเราเองควรจะหลกเลยงการเลอกชองนเปนคำาตอบ

การหาคำาตอบเบองตน (Basic Feasible Solution) ของปญหาการขนสง

ในการแกปญหาการขนสง สงทเราตองการ คอ การกำาหนดเสนทางและปรมาณทจะขนสงในแตละเสนทาง โดยมวตถประสงคทจะหาเสนทางและปรมาณการขนสงททำาใหตนทนการขนสงรวมทงหมดมคานอยทสด สำาหรบวธการหาคำาตอบเบองตนของปญหาการขนสงทนยมใชกนอยางแพรหลาย ไดแก

1.วธตามกฎของมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ (Northwest Corner Rule Method)

2.วธตามกฎจากแถวเหนอไปใต (North to South Row Method)

3.วธโดยประมาณของโวเกล (Vogel’s Approximation Method หรอ VAM)

การหาคำาตอบเบองตนทง 3 วธ ดงกลาว จะมความแตกตางกนในแงการเลอกชองทางทจะจดสรรสนคาวาจะเลอกจากจดตนทางใด ไปยงจดปลายทางใด สวนทคลาย ๆ กน คอ การกำาหนดจำานวนสนคาในชองทางเลอกนน ๆ 1. วธตามกฎของมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ (Northwest Corner Rule Method)

การหาคำาตอบเบองตนดวยวธตามกฎของมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ นบวาเปนวธทงายทสด โดยจะพจารณาในดานจำานวนสนคาเทานน จะไมพจารณาดานคาใชจายในการขนสงเลย ซงมขนตอนและหลกเกณฑในการหาคำาตอบเบองตน ดงน1.เรมตนการพจารณาจากชองในมมบนซายมอของตารางการ

ขนสง (ชอง (1, 1)) เปนชองทางแรกทจะทำาการขนสง สวนปรมาณการขนสงจะพจารณาจากขดจำากดทางดานอปทานและอปสงค ซงแสดงอยทปลายแถวนอนท 1 และปลายคอลมนท 1 โดยจะเลอกตวเลขทมคาตำาทสดเมอเปรยบเทยบระหวางอปสงค

และอปทานซงอยปลายคอลมนและปลายแถวนอนนน (xij = min(a1, b1))

2.เมอเตมตวเลขในขอ 1 แลวใหพจารณาวาปรมาณทเตมแลวนนเตมขดจำากดของแถวนอน และคอลมนแลวหรอยง ถาเตมทแลวใหเลอนลงมาพจารณาเตมตวเลขครงท 2 ในแถวนอนท 2 และคอลมนท 2 ถดมา แตถาตวเลขทเตมในครงท 1 ยงไมเตมขดจำากดดานอปทาน จะเลอนไปเตมตวเลขครงท 2 ในแถวนอนท 1 และคอลมนท 2 (ชอง (1, 2)) แตถาตวเลขทเตมในครงท 1 ยงไมเตมขดจำากดดานอปสงคจะเตมตวเลขครงท 2 ในแถวนอนท 2 และคอลมน 1 (ชอง (2, 1)) สำาหรบปรมาณทจะเตมในครงท 2 จะเปนตวเลขทมคาตำาทสดเมอมการเปรยบเทยบระหวางขดจำากดดานอปสงคและอปทานทอยปลายคอลมนและปลายแถวนอนทจะเตมตวเลขนน

3.ดำาเนนการตามขอ 2 ซำาจนกวาจะเตมตวเลขในตารางไดครบถวน ภายใตขอจำากดดานอปทาน และอปสงครวมทงสน

ตวอยางท 6 บรษท อนนต จำากด เปนบรษทผผลตสนคา มโรงงานผลตสนคา 3 แหง ผลตสนคาได 60, 30 และ 70 หนวยตามลำาดบ สนคาทผลตไดจะถกสงไปเกบไวทโกดงสนคา 3 แหง ซงมความตองการสนคาแหงละ 40, 80 และ 40 หนวยตามลำาดบ คาใชจายในการขนสงสนคาจากโรงงานไปยงโกดงตาง ๆ แสดงในตารางขางลางน (บาท/หนวย)

โรงงาน โกดง1 2 3

1 2 4 5

2 3 2 73 9 10 8

จงหาคำาตอบเบองตนโดยวธตามมมทศตะวนตกเฉยงเหนอจากโจทยปญหา นำามาเขยนเปนตารางการขนสงไดดงตารางท

6-1 ตารางท 6-1 ตารางการขนสงตามตวอยางท 6

การแกปญหาโดยวธตามกฎของมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ จะดำาเนนการเปนขนตอนดงน

1.เตมตวเลขครงท 1 ในชอง (1, 1) เมอพจารณาการผลตของโรงงานท 1 เทากบ 60 หนวย แตความตองการของโกดงท 1 รบไดเพยง 40 หนวย ฉะนนตวเลขทจะเตมในชอง (1, 1) เทากบ 40 หนวย

2.เตมตวเลขครงท 2 เนองจากการเตมตวเลขครงท 1 แลวโกดงท 1 ไมสามารถจะรบสนคาไดอก แตโรงงานท 1 ยงมกำาลงผลตเหลออยอก 20 หนวย จงตองเตมตวเลขครงท 2 ในชอง (1, 2) ซงโกดงท 2 มความตองการสนคา 80

หนวย แตโรงงานท 1 ยงมการผลตเหลออยเพยง 20 หนวย จงเตมตวเลขไดมากทสดในชองนเทากบ 20 หนวย

3.เตมตวเลขครงท 3 เนองจากการเตมตวเลขครงท 2 แลวทำาใหกำาลงการผลตโรงงานท 1 หมดไป แตโกดงท 2 ยงตองการสนคาอย จงเตมตวเลขครงท 3 ในชอง (2, 2) ซงกำาลงการผลตของโรงงานท 2 เทากบ 30 หนวย แตโกดงท 2 ยงมความตองการสนคาเหลออย 60 หนวย (80 -20) ฉะนนตวเลขทจะเตมในครงท 3 เทากบ 30 หนวย

4.เตมตวเลขครงท 4 เนองจากการเตมตวเลขครงท 3 แลวทำาใหกำาลงการผลตโรงงานท 2 หมดไป แตโกดงท 2 ยงตองการสนคาอก 30 หนวย (60 -30) จงตองเตมตวเลขครงท 4 ในชอง (3, 2) ซงโรงงานท 3 มกำาลงการผลตเทากบ 70 หนวย แตโกดงท 2 รบสนคาไดเพยง 30 หนวย ฉะนนเตมตวเลขครงท 4 ไดเทากบ 30 หนวย

5.เตมตวเลขครงท 5 หลงจากการเตมตวเลขครงท 4 แลวกำาลงการผลตโรงงานท 3 เหลออย 40 หนวย (70 -30) และโกดงท 3 ตองการสนคาเทากบ 40 หนวย ดงนนจงเตมตวเลขครงท 5 ในชอง (3, 3) เทากบ 40 หนวย ซงจะทำาใหตวเลขทเตมเปนไปตามขอจำากดดานอปทานและอปสงคครบถวนแลว ซงสามารถแสดงการเตมจำานวนเลขในตารางการขนสงไดดงตารางท 6-2

ตารางท 6-2 แสดงคำาตอบทหาไดตามวธกฎของทศตะวนตกเฉยงเหนอ

คำานวณตนทนการขนสงทเกดขนไดดงตารางจาก ไป จำานวน ตนทนขนสง ตนทนขนสง

โรงงาน 1 โกดง 1 40 2 80

โรงงาน 1 โกดง 2 20 4 80

โรงงาน 2 โกดง 2 30 2 60

โรงงาน 3 โกดง 2 30 10 300

โรงงาน 3 โกดง 3 40 8 320

ยอดรวมทงหมด 160 840

ตวอยางท 7 บรษท สมเกยรต จำากด ตองการทจะสงผลตภณฑจากโรงงานทมอย 4 แหง ไปยงคลงสนคา 4 แหง จำานวนกำาลงการผลตของโรงงาน ความตองการสนคา และคาใชจายในการขนสงตอหนวย ไดแสดงดงตารางตอไปน

จงหาคำาตอบเบองตนโดยวธตามกฎของมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ

การหาคำาตอบเบองตนโดยวธตามกฎของมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ จะไดดงทแสดงในตารางท 7 ดงน ตารางท 7 แสดงคำาตอบทหาไดตามวธกฎของทศตะวนตกเฉยงเหนอ

หาคาใชจายในการขนสงรวมทงหมด = 50x5 + 40x10 + 20x8 + 40x8 + 30x6 + 50x3

= 1,460 บาท

2. วธตามกฎจากแถวเหนอใต (North to South Row Method)

วธตามกฎจากแถวเหนอใต เปนวธหาคำาตอบเบองตนอกวธหนง มลกษณะคลายกบวธตามกฎของมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ ตางกนทวธตามกฎจากแถวเหนอใตจะมการนำาเอาคาใชจายในการขนสงของแหลงตนทางตาง ๆ มาพจารณาดวย โดยมการจดสรรสนคาทมอยในแหลงตนทางเรยงตามลำาดบตงแตแหลงตนทางท 1, 2, 3, …, m ซงสามารถสรปเปนขนตอน ไดดงน

1.เรมการคำานวณทแหลงตนทางท 1 (แถวนอนท 1) กอน โดยเลอกชองทางทมคาใชจายตำาทสด (ถาคาใชจายตำาสดเทากน จะเลอกชองใดกอนกได)

2.กำาหนด คา xij = min (ai, bj)3.หกคา xij ออกจากคา ai และ bj

4.ถาคา ai ยงเหลอใหเลอกชองทางทมคาใชจายตำาสดในแนวนอนเดม ถาคา ai ถกจดสรรหมดแลว ใหเลอนไปยงแถวถดลงไป และเลอกชองทางทมคาใชจายตำาทสดอก

5.กลบไปทำาตามขนตอนท 2 อก จนกวาจะหมดทกแถวนอนตวอยางท 9 ใชขอมลในตวอยางท 7 หาคำาตอบเบอง

ตนดวยวธตามกฎจากแถวเหนอใต

ตามตวอยางขางตน เรามขนตอนในการหาคำาตอบดงน

ขนท 1 พจารณาแถวนอนท 1 คาใชจายตำาสดคอ c13 = 3

ดงนน คา x13 = min (a1, b3) = min (50, 70) = 50

ขนท 2 แถวนอนท 1 อปทานถกใชหมดแลว จงพจารณาแถวนอนท 2 ซงใชจายทตำาสด

คอ c21 = c24 = 9 เลอก c21

ดงนน คา x21 = min (40, 50) = 40

ขนท 3 แถวนอนท 2 อปทานถกใชหมดแลว จงพจารณาแถวนอนท 3 ซงใชจายทตำาสด

คอ c34 = 4 ดงนน คา x34 = min (60, 50) = 50

ขนท 4 แถวนอนท 3 อปทานยงเหลออก 10 หนวย (60-50) จงตองพจารณาคาใชจายท ตำารองลงมา คอ c31 = 7

ดงนน คา x31 = min (60-50, 50-40) = min (10, 10)= 10

ขนท 5 แถวนอนท 3 อปทานถกใชหมดแลว จงพจารณาแถวนอนท 4 ซงใชจายทตำาสด

คอ c44 = 3 แตอปสงคของคอลมนท 4 ถกใชหมดแลว จงเลอนมาพจารณาท c43 = 6 ดงนน คา x43 = min (80, 70-50) = min (80,

20)= 20

ขนท 6 แถวนอนท 4 อปทานยงเหลออก 60 หนวย (80-20) จงตองพจารณาคาใชจายท ตำารองลงมา คอ c42 = 10

ดงนน คา x42 = min (80-20, 60) = min (60, 60)= 60 ทำาใหแถวนอนท 4

อปทานถกใชหมดแลว ฉะนนเราจงไดคำาตอบเบองตนดงตารางท 9

ตารางท 9 แสดงคำาตอบทหาไดตามวธกฎจากแถวเหนอใต

คาใชจายในการขนสงรวมทงสน = 50x3 + 40x9 + 10x7 + 50x4 + 60x10 + 20x

= 1,500 บาท

3. วธโดยประมาณของโวเกล (Vogel’s Approximation Method: VAM) วธโดยประมาณของโวเกล เปนวธหาคำาตอบเบองตนทมการคำานวณทยงยากกวาวธอน ๆ เนองจากเปนวธทนำาเอาคาใชจายในการขนสงของทก ๆ แถวนอน และคอลมนมาพจารณารวมกน ซงมขนตอนในการคำานวณ ดงน

1.หาผลตางระหวางคาขนสง 2 ตว ทตำาทสดของแตละแถวนอนและคอลมน

2.เลอกแถวนอน หรอ คอลมนทมคาผลตางมากทสด ในกรณทคาผลตางทมากทสดเทากน ใหเลอกแถวนอนหรอคอลมนทมคาขนสงตำากวา

3.เลอกชองทมคาขนสงตำาทสดในแถวนอนหรอคอลมนทเลอกไว

4.กำาหนด คา xij = min (ai, bj) ลงในชองทเลอกไว5.ตดแถวนอน หรอคอลมนทจดสรรคา ai และ/หรอ bj หมด

แลวออกไป6.กลบไปทำาตามขนตอนท 1-5 ซำา ๆ กนจนกวาจะเตมตวเลข

ไดครบตามขอจำากดดานอปทานและอปสงค

ตวอยางท 10 บรษท เพชรบร จำากด มโรงงานอย 3 แหง ตงอยทเมอง ก. เมอง ข. และ เมอง ค. สงสนคาไปยงคลงสนคา 3 แหง ทเมอง A, B และ C ซงมขอมลการขนสง ดงตารางตอไปน

จงหาคำาตอบเบองตนโดยใชวธโดยประมาณของโวเกลจากตวอยาง เราจะหาคำาตอบเบองตนโดยใชวธโดย

ประมาณของโวเกล ตามขนตอนตาง ๆ ดงตอไปนขนท 1 หาคาผลตางระหวางคาขนสง 2 คา ทตำาทสดของ

แตละแถวนอน และคอลมน ขนท 2 เลอกแถวนอน หรอ คอลมนทมคาผลตางมากทสด

เลอกแถวนอนท 2 เนองจากมคาผลตางมากทสดขนท 3 เลอกชองทมคาขนสงตำาทสดในแถวนอนหรอคอลมนทเลอกไว ในแถวนอนท 2 เราเลอกชองท (2, 1) เนองจากเปนชองทมคาขนสงตำาสดในแถวขนท 4 กำาหนด คา xij = min (ai, bj) ลงในชองทเลอกไว กำาหนด คา x21 = min (a2, b1) = min (150,120) = 120 ลงในชอง (2, 1)ขนท 5 เมอมการจดสรรสนคาในชองใดแลว จะตองมการปรบปรงคา ai, และ bj ใหเหลอเทาทเปนจรง

จากการกำาหนดคา x21 = 120 หนวย แสดงวาโรงงาน ข สงสนคาจำานวน 120 หนวย ใหแกคลงสนคา A ดงนนโรงงาน ข จะมสนคาเหลออยเพยง 30 หนวย สวนคลงสนคา A ซงมความตองการสนคาจำานวน 120 หนวย กไดรบสนคาครบถวนตามจำานวนแลว จงสามารถตดคอลมนท 1 ออกไปได

การคำานวณดงกลาว ซงเปนการคำานวณรอบแรก แสดงไวในตารางท 10-1 ตารางท 10-1 แสดงการหาคำาตอบเบองตนในรอบท 1

จากการคำานวณรอบท 1 เหลอชองทางทจะจดสรรสนคาไดอก 6 ชองทาง ใน 3 แถวนอน และ 2 คอลมน การจะเลอกวาจะพจารณาจดสรรสนคาลงไปในชองใดตอไป จะทำาทำาการคำานวณรอบ 2 โดยการยอนกลบไปขนตอนท 1 ดงน

ขนท 1 หาคาผลตางระหวางคาขนสง 2 คา ทตำาทสดของแตละแถวนอน และคอลมน ขนท 2 เลอกแถวนอน หรอ คอลมนทมคาผลตางมากทสด

เลอกแถวนอนท 3 เนองจากมคาผลตางมากทสด

ขนท 3 เลอกชองทมคาขนสงตำาทสดในแถวนอนหรอคอลมนทเลอกไว ในแถวนอนท 3 เราเลอกชองท (3, 2) เนองจากเปนชองทมคาขนสงตำาสดในแถวขนท 4 กำาหนด คา xij = min (ai, bj) ลงในชองทเลอกไว

กำาหนด คา x32 = min (a3, b2) = min (200,170) = 170 ลงในชอง (3, 2)ขนท 5 เมอมการจดสรรสนคาในชองใดแลว จะตองมการปรบปรงคา ai, และ bj ใหเหลอเทาทเปนจรง จากการกำาหนดคา x32 = 170 หนวย ตองหกคา a3 และ b2 ออกดวย 170 หนวย ดงนนเหลอ a3 = 200-170 = 30 และ b2 = 170 -170 = 0 จงสามารถตดคอลมนท 2 ออกไปได

การคำานวณดงกลาว ซงเปนการคำานวณรอบแรก แสดงไวในตารางท 10-2 ตารางท 10-2 แสดงการหาคำาตอบเบองตนในรอบท 2

จากการคำานวณรอบท 2 เหลอชองทางทจะจดสรรสนคาไดอก 3 ชองทาง คอใน คอลมนท 3 ทงหมด เนองจากคลงสนคา C มความตองการสนคา 160 หนวย โรงงาน ก มกำาลงการผลต 100 หนวย เราจงจดสรรสนคาในชอง (1,3) เปนคา x13 = min (a1, b3) = min (100,160) = 100 หนวย เมอโรงงาน ก สงสนคาใหคลงสนคา C แลว คลงสนคา C ยงสามารถรบสนคาไดอก 60 หนวย ซงโรงงาน ข และโรงงาน ค ยงมกำาลงผลตเหลออยแหงละ 30 หนวย ดงนน จงจดสรร x23 = 30 หนวย และ x33 = 30 หนวย ซงจะไดตวเลขครบถวนตามขอจำากดดานอปทาน และอปสงคของแตละแถวนอน และคอลมน และไดแสดงคำาตอบทงหมดตามตารางท 10-3 ตารางท 10-3 แสดงการหาคำาตอบเบองตนของตวอยางท 10

จากตารางท 10 -3 เราจะไดคาใชจายในการขนสงทงหมด = 120x1 + 170x6 + 100x6 + 30x7 + 30 x10

= 2,250 บาท

ตวอยางท 11 จากขอมลในตวอยางท 6 จงหาคำาตอบเบองตน โดยใชวธโดยประมาณของโวเกล (VAM)

จากตวอยางดงกลาว จะมขนตอน การหาคำาตอบดงน

ตารางท 11-1 แสดงผลการคำานวณ รอบท 1

ตารางท 11-2 แสดงผลการคำานวณ รอบท 2

ตารางท 11-3 แสดงผลการคำานวณ รอบท 3

ตารางท 11-4 แสดงผลการคำานวณ รอบท 4 (คำาตอบเบองตนของตวอยางท 11)

เราจะไดคาใชจายในการขนสงทงหมด = 40x2 + 20x4 + 30x2 + 30x10 + 40 x8

= 840 บาทการหาคำาตอบทดทสด

จากการหาคำาตอบเบองตนตามทไดเรยนมาแลว เราจะตองมการตรวจสอบวาคำาตอบทไดนน สามารถจะพฒนาเปนคำาตอบทด

ทสดไดหรอไม ถาไดกตองดำาเนนการพฒนาหาคำาตอบชดใหมขนมา ถาไมไดกแสดงวาคำาตอบทมอยแลวนนเปนคำาตอบทดทสด

กอนทจะกลาวถงเงอนไขบางประการเกยวกบคำาตอบเบองตนของปญหาการขนสง โดยปกตการแกปญหาการขนสงทว ๆ ไป คำาตอบเบองตนทจะหาไดจะประกอบดวยตวแปร 2 ประเภท คอตวแปรมลฐาน (Basic Variables) และตวแปรไมเปนมลฐาน (Nonbasic Variables) ตวแปรมลฐานหมายถง ตวแปรในชองทมการกำาหนดคา xij หรอชองทางทมการจดสรรตวเลขลงไป คาของตวแปรมลฐาน จะตองมคามากกวาศนย สวนตวแปรไมเปนมลฐาน หมายถงตวแปรในชองทไมมการกำาหนด คา xij หรอไมมการจดสรรตวเลขลงในชองนน ทำาใหชองของตวแปรไมเปนมลฐานไมมการสงสนคาและตวแปรไมเปนมลฐานจะมคาเทากบศนย พจารณาในตวอยางท 6 คำาตอบเบองตนทหา ไดจากวธตามกฎของมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ มตวแปรมลฐาน 5 ตว ไดแก x11

= 40, x12 = 20, x22= 30, x32= 30 และ x33= 40 สวนตวแปรไมเปนมลฐานม 4 ตว ไดแก x13= x21= x23= x31= 0

โดยปกตแลวจำานวนตวแปรมลฐานในคำาตอบเบองตนของปญหาการขนสงจะมจำานวนเทากบ m + n – 1 (m = จำานวนแถวนอน, n = จำานวนคอลมน) เชน ในตวอยางท 6 เรามจำานวนแถวนอน = 3 และจำานวนคอลมน = 3 ดงนน จำานวนตวแปรมลฐาน = 3 + 3 – 1 = 5 ซงจากการหาคำาตอบเบองตนของตวอยางน ปรากฏวามจำานวนตวแปรมลฐานเทากบ 5 พอด

ในกรณทคำาตอบทหาไดมจำานวนตวแปรมลฐานไมเทากบ m + n – 1 ตว แสดงวาเกดเหตการณทเรยกวา สภาพยอนซำาขนตอน หรอสภาพซอนสถานะ (Degeneracy)