A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások...
Transcript of A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások...
![Page 1: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/1.jpg)
A mechanika alapjai
A pontszeru testek kinematikája
Horváth András
SZE, Fizika és Kémia Tsz.
2006. szeptember 29.
![Page 2: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/2.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
• Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
2 / 35
![Page 3: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/3.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
• Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
3 / 35
Több alapfogalom ismeros lehet a középiskolából. Miért tanulunkerrol mégis?
![Page 4: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/4.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
• Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
3 / 35
Több alapfogalom ismeros lehet a középiskolából. Miért tanulunkerrol mégis?
• ismétlés
![Page 5: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/5.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
• Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
3 / 35
Több alapfogalom ismeros lehet a középiskolából. Miért tanulunkerrol mégis?
• ismétlés
• precízebb megértés
![Page 6: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/6.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
• Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
3 / 35
Több alapfogalom ismeros lehet a középiskolából. Miért tanulunkerrol mégis?
• ismétlés
• precízebb megértés
A mechanika két fo ága:
![Page 7: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/7.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
• Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
3 / 35
Több alapfogalom ismeros lehet a középiskolából. Miért tanulunkerrol mégis?
• ismétlés
• precízebb megértés
A mechanika két fo ága:
Kinematika :
![Page 8: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/8.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
• Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
3 / 35
Több alapfogalom ismeros lehet a középiskolából. Miért tanulunkerrol mégis?
• ismétlés
• precízebb megértés
A mechanika két fo ága:
Kinematika : A tárgyak mozgásának leírása.
![Page 9: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/9.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
• Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
3 / 35
Több alapfogalom ismeros lehet a középiskolából. Miért tanulunkerrol mégis?
• ismétlés
• precízebb megértés
A mechanika két fo ága:
Kinematika : A tárgyak mozgásának leírása.
(„Hogyan mozognak a tárgyak?”)
![Page 10: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/10.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
• Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
3 / 35
Több alapfogalom ismeros lehet a középiskolából. Miért tanulunkerrol mégis?
• ismétlés
• precízebb megértés
A mechanika két fo ága:
Kinematika : A tárgyak mozgásának leírása.
(„Hogyan mozognak a tárgyak?”)Dinamika :
![Page 11: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/11.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
• Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
3 / 35
Több alapfogalom ismeros lehet a középiskolából. Miért tanulunkerrol mégis?
• ismétlés
• precízebb megértés
A mechanika két fo ága:
Kinematika : A tárgyak mozgásának leírása.
(„Hogyan mozognak a tárgyak?”)Dinamika : A mozgás okának vizsgálata.
![Page 12: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/12.jpg)
Bevezetés
Bevezetés
• Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
3 / 35
Több alapfogalom ismeros lehet a középiskolából. Miért tanulunkerrol mégis?
• ismétlés
• precízebb megértés
A mechanika két fo ága:
Kinematika : A tárgyak mozgásának leírása.
(„Hogyan mozognak a tárgyak?”)Dinamika : A mozgás okának vizsgálata.
(„Miért mozognak a tárgyak?”)
![Page 13: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/13.jpg)
A kinematika alapfogalmai
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
4 / 35
![Page 14: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/14.jpg)
bonyolult mozgások
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
5 / 35
Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult.
![Page 15: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/15.jpg)
bonyolult mozgások
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
5 / 35
Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult.
Példa: egy járkáló ember kinematikája.
Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást.
![Page 16: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/16.jpg)
bonyolult mozgások
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
5 / 35
Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult.
Példa: egy járkáló ember kinematikája.
Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást.
⇒ Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni.
![Page 17: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/17.jpg)
bonyolult mozgások
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
5 / 35
Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult.
Példa: egy járkáló ember kinematikája.
Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást.
⇒ Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni.
Sot!
![Page 18: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/18.jpg)
bonyolult mozgások
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
5 / 35
Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult.
Példa: egy járkáló ember kinematikája.
Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást.
⇒ Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni.
Sot! A gyakorlatban sokszor a test részletei nem lényegesek, csak a
test egy pontjának mozgása: ekkor az egész testet tekinthetjük
pontszerunek.
![Page 19: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/19.jpg)
pontszeru testek
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
6 / 35
Pontszeru testnek nevezünk egy testet, ha méretei a mozgás pályá-
jának méreteihez képest elhanyagolhatók és belso folyamatai nembefolyásolják középpontjának mozgását.
![Page 20: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/20.jpg)
pontszeru testek
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
6 / 35
Pontszeru testnek nevezünk egy testet, ha méretei a mozgás pályá-
jának méreteihez képest elhanyagolhatók és belso folyamatai nembefolyásolják középpontjának mozgását.
Természetesen tökéletesen pontszeru test (tömegpont) nincs, de
sokszor jó közelítést jelent pontszeruvel közelíteni.
![Page 21: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/21.jpg)
vonatkoztatási pont
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
7 / 35
• Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy
viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont)
![Page 22: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/22.jpg)
vonatkoztatási pont
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
7 / 35
• Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy
viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont)
• Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutatóúgynevezett helyvektort. (r vektor)
![Page 23: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/23.jpg)
vonatkoztatási pont
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
7 / 35
• Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy
viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont)
• Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutatóúgynevezett helyvektort. (r vektor)
Ez egy idopontra vonatkozik.
![Page 24: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/24.jpg)
vonatkoztatási pont
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
7 / 35
• Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy
viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont)
• Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutatóúgynevezett helyvektort. (r vektor)
Ez egy idopontra vonatkozik.
Ha minden t idopontra megadjuk a test r(t) helyvektorát, akkor
ezzel a tömegpont mozgását teljesen leírtuk.
![Page 25: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/25.jpg)
helyvektor szemléltetése
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
8 / 35
������
������
������
������
������
������
������
������
r(t)
Oviszonyítási pont
helyvektor
Pontszeru test mozgása, viszonyítási pont
![Page 26: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/26.jpg)
kinematikai alapfogalmak (ábra)
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
9 / 35
r(t )
r(t )
O
1
2
pálya
elmozdulás
út
Kinematikai alapfogalmak
![Page 27: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/27.jpg)
kinematikai alapfogalmak (magyarázat)
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
10 / 35
Elmozdulás : vektormennyiség
∆r = r(t2) − r(t1)
![Page 28: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/28.jpg)
kinematikai alapfogalmak (magyarázat)
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
10 / 35
Elmozdulás : vektormennyiség
∆r = r(t2) − r(t1)
Út: skalár mennyiség
A befutott pályadarab hossza. Szemléletes, de matematikailag
bonyolult!
s(t1, t2) =
∫ t2
t1
|r′(t)|dt
![Page 29: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/29.jpg)
kinematikai alapfogalmak (magyarázat)
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
10 / 35
Elmozdulás : vektormennyiség
∆r = r(t2) − r(t1)
Út: skalár mennyiség
A befutott pályadarab hossza. Szemléletes, de matematikailag
bonyolult!
s(t1, t2) =
∫ t2
t1
|r′(t)|dt
Ez nem egyenes menti mozgások esetén általában összetettszámolásokhoz vezet. (Az abszolútérték-jel miatt.)
![Page 30: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/30.jpg)
. . .
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
11 / 35
Átlagsebesség : vektormennyiség
v(t1, t2) =r(t2) − r(t1)
t2 − t1=
∆r
∆t
![Page 31: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/31.jpg)
. . .
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
11 / 35
Átlagsebesség : vektormennyiség
v(t1, t2) =r(t2) − r(t1)
t2 − t1=
∆r
∆t
Átlagos sebességnagyság : skalár mennyiségAz út és az ido hányadosa.
s(t1, t2)
t2 − t1
Nincs is külön jele, mert fizikailag nem hordoz gyakran
használható információt.
![Page 32: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/32.jpg)
. . .
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
11 / 35
Átlagsebesség : vektormennyiség
v(t1, t2) =r(t2) − r(t1)
t2 − t1=
∆r
∆t
Átlagos sebességnagyság : skalár mennyiségAz út és az ido hányadosa.
s(t1, t2)
t2 − t1
Nincs is külön jele, mert fizikailag nem hordoz gyakran
használható információt.
A fogalmak pontos használata kötelezo!!!
Köznapi értelemben sokszor keverednek ezek, de ezt fizikában nemszabad.
![Page 33: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/33.jpg)
komponensenkénti számolás
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
12 / 35
Sokszor nehéz vektorokkal számolni.
![Page 34: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/34.jpg)
komponensenkénti számolás
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
12 / 35
Sokszor nehéz vektorokkal számolni.
Ezért a gyakorlatban többnyire felveszünk egy koordináta-rendszert,
melynek origója a viszonyítási pont és a vektorok komponenseivel,koordinátáival számolunk:
r(t) helyett (x(t), y(t), z(t))
![Page 35: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/35.jpg)
komponensenkénti számolás
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
12 / 35
Sokszor nehéz vektorokkal számolni.
Ezért a gyakorlatban többnyire felveszünk egy koordináta-rendszert,
melynek origója a viszonyítási pont és a vektorok komponenseivel,koordinátáival számolunk:
r(t) helyett (x(t), y(t), z(t))
A koordináták ismeretében a vektor minden tulajdonsága ismert.
Pl. a vektor hossza (abszolút értéke):
|r| = r =√
x2 + y2 + z2
![Page 36: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/36.jpg)
komponensenkénti számolás
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
• bonyolult mozgások
• pontszeru testek
• vonatkoztatási pont• helyvektorszemléltetése• kinematikaialapfogalmak (ábra)
• kinematikaialapfogalmak(magyarázat)
• komponensenkéntiszámolás
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
12 / 35
Sokszor nehéz vektorokkal számolni.
Ezért a gyakorlatban többnyire felveszünk egy koordináta-rendszert,
melynek origója a viszonyítási pont és a vektorok komponenseivel,koordinátáival számolunk:
r(t) helyett (x(t), y(t), z(t))
A koordináták ismeretében a vektor minden tulajdonsága ismert.
Pl. a vektor hossza (abszolút értéke):
|r| = r =√
x2 + y2 + z2
Megjegyzés: Bizonyos esetekben nem derékszögukoordináta-rendszer használata a célszeru, de ilyennel mi nem
fogunk találkozni.
![Page 37: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/37.jpg)
A pillanatnyi sebesség
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
13 / 35
![Page 38: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/38.jpg)
alapötlet
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
14 / 35
Az átlagsebesség (∆r/∆t) jelentése: átlagosan mekkora az
elmozdulás egységnyi ido alatt.
De hogy értelmezheto a pillanatnyi sebesség?
![Page 39: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/39.jpg)
alapötlet
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
14 / 35
Az átlagsebesség (∆r/∆t) jelentése: átlagosan mekkora az
elmozdulás egységnyi ido alatt.
De hogy értelmezheto a pillanatnyi sebesség?
Nem írhatunk ∆t = 0-t az átlagsebesség formulájába, mert 0
lenne a nevezoben.
![Page 40: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/40.jpg)
alapötlet
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
14 / 35
Az átlagsebesség (∆r/∆t) jelentése: átlagosan mekkora az
elmozdulás egységnyi ido alatt.
De hogy értelmezheto a pillanatnyi sebesség?
Nem írhatunk ∆t = 0-t az átlagsebesség formulájába, mert 0
lenne a nevezoben.Azonban ha egyre kisebb és kisebb ∆t értékre számoljuk ki az
átlagsebesség értékét, az egy jól meghatározott értéket közelít meg
egyre jobban.
Elso, közelíto meghatározás:
Pillanatnyi sebesség alatt egy olyan rövid ido átlagsebességét értjük,
mely alatt a mozgás nem változik meg lényegesen.
![Page 41: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/41.jpg)
egy egyszeru példa
15 / 35
Mozogjon egy test az x tengely mentén: x(t) = 5 · sin(3 · t)(SI-egységekben)
Mekkora a pillanatnyi sebessége t = 0,2-kor?Recept: számoljuk ki az átlagsebességet t és t + ∆t között, majd nézzük
meg, mi történik egyre kisebb ∆t-re:
v(t, t + ∆t) =x(t + ∆t) − x(t)
∆t=
5 sin(3(t + ∆t)) − 5 sin(t)
∆t
Esetünkben t = 0,2, így:
v(0,2, 0,2 + ∆t) =5
∆t(sin(0,6 + 3∆t) − sin 0,6)
Itt már csak ∆t ismeretlen.
![Page 42: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/42.jpg)
... folytatás
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
16 / 35
Számoljuk ki v-t egyre csökkeno ∆t mellett:
Figyelem! A sin függvény argumentumában nem volt fokjel, ezértradiánban kell számolni!
∆t v
0,1 10,93
0,01 12,250,001 12,37
0,0001 12,38
0,00001 12,38
Megfigyelheto, hogy az értékek egy meghatározott számhoz
közelítenek, nem 0-hoz vagy végtelenhez. Ez a szám a pillanatnyi
sebesség értéke.
A test tehát 12,38 m/s sebességgel mozog a kérdezett idopontban.
(2 tizedesjegy pontosságig.)
![Page 43: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/43.jpg)
matematikai eszközök
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
17 / 35
Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével:
![Page 44: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/44.jpg)
matematikai eszközök
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
17 / 35
Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével:
Felismerhetjük, hogy:
• Az átlagsebesség a hely-ido függvény differenciahányadosa.
v(t1, t2) =r(t2) − r(t1)
t2 − t1=
∆r
∆t
![Page 45: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/45.jpg)
matematikai eszközök
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
17 / 35
Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével:
Felismerhetjük, hogy:
• Az átlagsebesség a hely-ido függvény differenciahányadosa.
v(t1, t2) =r(t2) − r(t1)
t2 − t1=
∆r
∆t
• A pillanatnyi sebesség a hely-ido függvénydifferenciálhányadosa.
v = lim∆t→0
∆r
∆t=
dr
dt= r′
![Page 46: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/46.jpg)
matematikai eszközök
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
17 / 35
Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével:
Felismerhetjük, hogy:
• Az átlagsebesség a hely-ido függvény differenciahányadosa.
v(t1, t2) =r(t2) − r(t1)
t2 − t1=
∆r
∆t
• A pillanatnyi sebesség a hely-ido függvénydifferenciálhányadosa.
v = lim∆t→0
∆r
∆t=
dr
dt= r′
(Ne ijedjünk meg: ez ugyanaz a deriválás, amit matematikából
tanultunk. Kis eltérés: t a változó és vektort deriválunk, amiegyszeruen mindegyik komponensének deriválását jelenti.)
![Page 47: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/47.jpg)
egy kis történeti kitér o
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
18 / 35
A mechanika alapfogalmai tehát csak a differenciálszámítás
segítségével érthetok meg. Ennek megfeleloen ezek kifejlodése
egymással párhuzamosan történt.
![Page 48: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/48.jpg)
egy kis történeti kitér o
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
18 / 35
A mechanika alapfogalmai tehát csak a differenciálszámítás
segítségével érthetok meg. Ennek megfeleloen ezek kifejlodése
egymással párhuzamosan történt.Egyik jelentos tudós:
Sir Isaac Newton (1643–1727)
Többek között a differenciál-
és integrálszámítás egyik
fo megalapozója és a modern
mechanika megalapozója.A kapcsolat
nem véletlen: differenciál-
és integrálszámítás nélkül nem
lehet megérteni a mechanikát.
(És szinte semmilyentermészeti folyamatot sem.)
![Page 49: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/49.jpg)
szemléltetés grafikonon
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
19 / 35
Egyenes menti mozgás (vagy egy mozgás egy komponense) jól
szemléltetheto grafikonon, és az alapfogalmak is jól megfigyelhetok
itt:
x(t1)
x(t2)
t1 t2∆t
∆x
m = ∆x
∆t
x(t) x(t)
t
![Page 50: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/50.jpg)
... folytatás
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
• alapötlet
• egy egyszeru példa• matematikaieszközök
• egy kis történeti kitéro
• szemléltetésgrafikonon
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
20 / 35
Amennyiben t2 egyre jobban megközelíti t1-et, azaz ∆t a 0-t, a
szelok egyre inkább a grafikon érintojéhez simulnak:
érintõ
t1 t2
x(t)
t
A hely-ido grafikonhoz húzott szelo meredeksége tehát az
átlagsebességet, az érinto meredeksége a pillanatnyi sebességet
adja meg.
![Page 51: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/51.jpg)
A gyorsulás
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
21 / 35
![Page 52: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/52.jpg)
a gyorsulás fogalma
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
22 / 35
Az elozoekhez hasonlóan:Átlagos gyorsulás:
a(t1, t2) =v(t2) − v(t1)
t2 − t1=
∆v
∆t
![Page 53: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/53.jpg)
a gyorsulás fogalma
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
22 / 35
Az elozoekhez hasonlóan:Átlagos gyorsulás:
a(t1, t2) =v(t2) − v(t1)
t2 − t1=
∆v
∆t
Pillanatnyi gyorsulás:
a =dv
dt= v′
![Page 54: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/54.jpg)
a gyorsulás fogalma
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
22 / 35
Az elozoekhez hasonlóan:Átlagos gyorsulás:
a(t1, t2) =v(t2) − v(t1)
t2 − t1=
∆v
∆t
Pillanatnyi gyorsulás:
a =dv
dt= v′
Mivel a sebesség a hely ido szerinti deriváltja, a gyorsulás pedig a
sebesség ido szerinti deriváltja, ezért a gyorsulás a helybol kétszerideriválással kapható.
![Page 55: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/55.jpg)
a gyorsulás fogalma
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
22 / 35
Az elozoekhez hasonlóan:Átlagos gyorsulás:
a(t1, t2) =v(t2) − v(t1)
t2 − t1=
∆v
∆t
Pillanatnyi gyorsulás:
a =dv
dt= v′
Mivel a sebesség a hely ido szerinti deriváltja, a gyorsulás pedig a
sebesség ido szerinti deriváltja, ezért a gyorsulás a helybol kétszerideriválással kapható.
Ezért azt mondjuk, hogy a gyorsulás a hely ido szerinti második
deriváltja, és a következo jelöléssel fejezzük ki:
a =d2r
dt2= r′′
![Page 56: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/56.jpg)
alkalmazás a fizikára
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
23 / 35
Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz
nem feltétlen x lesz a változó jele.
![Page 57: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/57.jpg)
alkalmazás a fizikára
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
23 / 35
Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz
nem feltétlen x lesz a változó jele.Egy test hely-ido függvénye:
x(t) =a
2t2 + v0 · t + x0
Adja meg a sebességét és a gyorsulását!
![Page 58: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/58.jpg)
alkalmazás a fizikára
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
23 / 35
Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz
nem feltétlen x lesz a változó jele.Egy test hely-ido függvénye:
x(t) =a
2t2 + v0 · t + x0
Adja meg a sebességét és a gyorsulását!
Megoldás: A sebesség a hely ido szerinti deriváltja:
v(t) = (x(t))′ =dx
dt=
a
22t + v0 + 0 = at + v0
A gyorsulás pedig a sebesség deriváltja:
a(t) = (v(t))′ = a + 0 = a
Ez tehát az egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás.
![Page 59: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/59.jpg)
...
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
24 / 35
Egy test hely-ido függvénye: x(t) = 5 sin(3t). Adja meg a
sebesség-ido függvényt! Mekkora lesz sebessége t = 0,2 s-kor?
![Page 60: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/60.jpg)
...
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
24 / 35
Egy test hely-ido függvénye: x(t) = 5 sin(3t). Adja meg a
sebesség-ido függvényt! Mekkora lesz sebessége t = 0,2 s-kor?
Megoldás:
v(t) = (x(t))′ = 5(sin(3t))′ = 5cos(3t)(3t)′ =
= 5cos(3t) · 3 = 15cos(3t)
A kérdezett idopontban:
v(0,2) = 15cos(0,6) = 12,380m
s
Nahát! Ezt számoltuk ki korábban! Csak így sokkal gyorsabb és
nemcsak egy idopontra kaptuk meg az eredményt.
![Page 61: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/61.jpg)
...
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
25 / 35
Egy xy-síkban mozgó test koordinátái az ido függvényében:
x(t) = 6t y(t) = 5 − 3t − 5t2
Adja meg sebességének nagyságát az ido függvényében!
![Page 62: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/62.jpg)
...
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
25 / 35
Egy xy-síkban mozgó test koordinátái az ido függvényében:
x(t) = 6t y(t) = 5 − 3t − 5t2
Adja meg sebességének nagyságát az ido függvényében!
Megoldás: Külön-külön ki kell számolni a sebesség komponenseit:
vx(t) = (x(t))′ = (6t)′ = 6
vy(t) = (y(t))′ = (5 − 3t − 5t2)′ = 0 − 3 − 10t
A Pithagorasz-tétel szerint:
|v(t)| =√
v2x(t) + v2
y(t) =√
62 + (−3 − 10t)2 =
=√
100t2 + 60t + 45
![Page 63: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/63.jpg)
típushibák
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
26 / 35
FIGYELEM!
![Page 64: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/64.jpg)
típushibák
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
26 / 35
FIGYELEM!
Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul
alkalmazzák.
![Page 65: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/65.jpg)
típushibák
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
26 / 35
FIGYELEM!
Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul
alkalmazzák.Pl. egy tipikus rossz mondóka: „A sebesség az út és az ido
hányadosa: v = x/t”
![Page 66: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/66.jpg)
típushibák
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
26 / 35
FIGYELEM!
Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul
alkalmazzák.Pl. egy tipikus rossz mondóka: „A sebesség az út és az ido
hányadosa: v = x/t”
Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes
mozgásra igaz! általános alkalmazása téves!
![Page 67: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/67.jpg)
típushibák
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
26 / 35
FIGYELEM!
Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul
alkalmazzák.Pl. egy tipikus rossz mondóka: „A sebesség az út és az ido
hányadosa: v = x/t”
Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes
mozgásra igaz! általános alkalmazása téves!
Ugyanez pepitában: „A gyorsulás a sebesség és az ido hányadosa:
a = v/t”
![Page 68: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/68.jpg)
típushibák
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
• a gyorsulás fogalma
• alkalmazás a fizikára
• típushibák
A fordított irányúkapcsolat
26 / 35
FIGYELEM!
Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul
alkalmazzák.Pl. egy tipikus rossz mondóka: „A sebesség az út és az ido
hányadosa: v = x/t”
Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes
mozgásra igaz! általános alkalmazása téves!
Ugyanez pepitában: „A gyorsulás a sebesség és az ido hányadosa:
a = v/t”Ne is vesztegessük rá a szót: felejtsük el!
![Page 69: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/69.jpg)
A fordított irányú kapcsolat
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
27 / 35
![Page 70: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/70.jpg)
a fordított irány
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
28 / 35
Tudjuk már, hogy kell a hely-ido függvénybol kiszámolni asebesség-ido függvényt.
Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-ido függvény
ismeretében?
![Page 71: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/71.jpg)
a fordított irány
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
28 / 35
Tudjuk már, hogy kell a hely-ido függvénybol kiszámolni asebesség-ido függvényt.
Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-ido függvény
ismeretében?
Nyilvánvalóan: nem.
Hisz ha nem tudjuk, honnan indult a test, pusztán sebességének
ismerete nem adja meg, hova érkezett. (Pl.: egy autó az M1-esen 20percig egyenletesen 90 km/h-val megy. Hol van most? Ez nem
megválaszolható, ha nem tudjuk, honnan indult.)
![Page 72: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/72.jpg)
a fordított irány
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
28 / 35
Tudjuk már, hogy kell a hely-ido függvénybol kiszámolni asebesség-ido függvényt.
Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-ido függvény
ismeretében?
Nyilvánvalóan: nem.
Hisz ha nem tudjuk, honnan indult a test, pusztán sebességének
ismerete nem adja meg, hova érkezett. (Pl.: egy autó az M1-esen 20percig egyenletesen 90 km/h-val megy. Hol van most? Ez nem
megválaszolható, ha nem tudjuk, honnan indult.)
Matematikailag: a deriválást nem tudjuk fordítva csinálni, mivel
végtelen sok hely-ido függvény deriváltja lehet ugyanaz a
sebesség-ido függvény. Ennek oka: tetszoleges konstans függvény
deriváltja 0.Pl.: (5t + 3)′ = (5t)′ = (5t + π2)′ = · · · = 5Ami megmondható, az a hely megváltozása, azaz az elmozdulás.
![Page 73: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/73.jpg)
. . . matematikailag
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
29 / 35
Ha a sebesség a hely-ido függvény deriváltja, akkor a sebesség-idofüggvénybol integrálással lehet megkapni a hely megváltozását:
∆r =
∫ t2
t1
v(t)dt
![Page 74: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/74.jpg)
. . . matematikailag
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
29 / 35
Ha a sebesség a hely-ido függvény deriváltja, akkor a sebesség-idofüggvénybol integrálással lehet megkapni a hely megváltozását:
∆r =
∫ t2
t1
v(t)dt
Maga a hely-ido függvény nem kapható meg, legalábbis egy
integrációs állandó erejéig bizonytalan lesz:
r(t) =
∫
v(t)dt + C
Fizikailag ez annak felel meg, hogy ha egy test sebességét ismerjük,
meg tudjuk mondani, mennyit mozdult el adott ido alatt, de ha nem
tudjuk, honnan indult, azt sem tudjuk, hova jutott el.
![Page 75: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/75.jpg)
. . . matematikailag
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
29 / 35
Ha a sebesség a hely-ido függvény deriváltja, akkor a sebesség-idofüggvénybol integrálással lehet megkapni a hely megváltozását:
∆r =
∫ t2
t1
v(t)dt
Maga a hely-ido függvény nem kapható meg, legalábbis egy
integrációs állandó erejéig bizonytalan lesz:
r(t) =
∫
v(t)dt + C
Fizikailag ez annak felel meg, hogy ha egy test sebességét ismerjük,
meg tudjuk mondani, mennyit mozdult el adott ido alatt, de ha nem
tudjuk, honnan indult, azt sem tudjuk, hova jutott el.Másképpen:
r(t2) =
∫ t2
t1
v(t)dt + r(t1)
![Page 76: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/76.jpg)
. . . szemléletes jelentés
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
30 / 35
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
t1 t2
∆x
v(t)
t
Tehát egyenes menti mozgásnál a sebesség-ido függvény grafikonja
alatti terület adja meg az elmozdulást.
![Page 77: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/77.jpg)
. . . szemléletes jelentés
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
30 / 35
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
t1 t2
∆x
v(t)
t
Tehát egyenes menti mozgásnál a sebesség-ido függvény grafikonja
alatti terület adja meg az elmozdulást.
De vigyázzunk az elojelekre! ....
![Page 78: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/78.jpg)
... az elojelek
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
31 / 35
���������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
���������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������
t1 t2
v(t)
t
A sebesség-ido függvény grafikonja alatti területek ábra szerinti
elojeles összege az elmozdulást adja meg.
![Page 79: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/79.jpg)
... az elojelek
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
31 / 35
���������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
���������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������
t1 t2
v(t)
t
A sebesség-ido függvény grafikonja alatti területek ábra szerinti
elojeles összege az elmozdulást adja meg.
![Page 80: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/80.jpg)
megjegyzések
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
32 / 35
Ha a kezdohelyzet ismert, akkor a végso hely kiszámolhatóvá válikaz elmozdulásból.
![Page 81: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/81.jpg)
megjegyzések
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
32 / 35
Ha a kezdohelyzet ismert, akkor a végso hely kiszámolhatóvá válikaz elmozdulásból.
Ez természetesen egy komponensre vonatkozik.
![Page 82: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/82.jpg)
megjegyzések
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
32 / 35
Ha a kezdohelyzet ismert, akkor a végso hely kiszámolhatóvá válikaz elmozdulásból.
Ez természetesen egy komponensre vonatkozik.
Hasonló a kapcsolat a gyorsulás-ido függvény és a
sebességváltozás között is: A gyorsulás-ido függvény grafikonja
alatti területek elojeles összege a sebesség változását adja meg.
![Page 83: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/83.jpg)
példák
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
33 / 35
Egy test gyorsulás-ido függvénye SI-egységekben a következo:
a(t) = 3 − 2t. Tudjuk, hogy a test t1 = 1-kor 5 m/s sebességgel
mozgott. Mekkora a sebessége t2 = 3-kor?
�������������
�������������
������
������
����������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������
������������������������������������������������
��������������������
��������������������
��������������
��������������
������������������
������������������
![Page 84: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/84.jpg)
példák
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
33 / 35
Egy test gyorsulás-ido függvénye SI-egységekben a következo:
a(t) = 3 − 2t. Tudjuk, hogy a test t1 = 1-kor 5 m/s sebességgel
mozgott. Mekkora a sebessége t2 = 3-kor?
Megoldás: Készítsünk grafikont!
1,50,5
������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������
3
−3
1
T T1 2
������������
������������
t
a(t)
t1 2
t�������
�������
����������
����������
![Page 85: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/85.jpg)
...
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
34 / 35
A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik:
• t1 = 1 és t0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a ttengely felett.
![Page 86: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/86.jpg)
...
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
34 / 35
A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik:
• t1 = 1 és t0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a ttengely felett.
• t0 = 1,5 és t3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a ttengely alatt.
![Page 87: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/87.jpg)
...
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
34 / 35
A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik:
• t1 = 1 és t0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a ttengely felett.
• t0 = 1,5 és t3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a ttengely alatt.
Ezek területei közül az elsot pozitív, a másodikat negatív elojellel kell
figyelembe venni. Így a sebességváltozás:
∆v = T1 − T2 =0,5 · 1
2−
1,5 · 3
2= −2
![Page 88: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/88.jpg)
...
Bevezetés
A kinematikaalapfogalmai
A pillanatnyi sebesség
A gyorsulás
A fordított irányúkapcsolat
• a fordított irány
• . . . matematikailag
• . . . szemléletesjelentés
• ... az elojelek
• példák• . . . ugyanezintegrálással
34 / 35
A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik:
• t1 = 1 és t0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a ttengely felett.
• t0 = 1,5 és t3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a ttengely alatt.
Ezek területei közül az elsot pozitív, a másodikat negatív elojellel kell
figyelembe venni. Így a sebességváltozás:
∆v = T1 − T2 =0,5 · 1
2−
1,5 · 3
2= −2
Mivel v(t1) = 5m/s, ezért nyilván:v(t2) = v(t1) + ∆v = 3m/s.
![Page 89: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/89.jpg)
. . . ugyanez integrálással
35 / 35
A korábbiakból tudjuk, hogy:
∆v =
∫ t2
t1
a(t)dt
![Page 90: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/90.jpg)
. . . ugyanez integrálással
35 / 35
A korábbiakból tudjuk, hogy:
∆v =
∫ t2
t1
a(t)dt
Esetünkben ez:
∆v =
∫
3
1
(3 − 2t)dt =[
3t − t2]3
1= 3 · 3 − 32 − (3 · 1 − 12) = −2
![Page 91: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/91.jpg)
. . . ugyanez integrálással
35 / 35
A korábbiakból tudjuk, hogy:
∆v =
∫ t2
t1
a(t)dt
Esetünkben ez:
∆v =
∫
3
1
(3 − 2t)dt =[
3t − t2]3
1= 3 · 3 − 32 − (3 · 1 − 12) = −2
Mivel v(t1) = 5m/s, ezért nyilván: v(t2) = v(t1) + ∆v = 3m/s.
![Page 92: A pontszeru˝ testek kinematikájabertam/Oktatasi_anyagok/fiz_kinematika.pdfbonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai •bonyolult mozgások •pontszeru˝ testek •vonatkoztatási](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050716/5e3088fcc4c5637bc1485f67/html5/thumbnails/92.jpg)
. . . ugyanez integrálással
35 / 35
A korábbiakból tudjuk, hogy:
∆v =
∫ t2
t1
a(t)dt
Esetünkben ez:
∆v =
∫
3
1
(3 − 2t)dt =[
3t − t2]3
1= 3 · 3 − 32 − (3 · 1 − 12) = −2
Mivel v(t1) = 5m/s, ezért nyilván: v(t2) = v(t1) + ∆v = 3m/s.
Ez gépies, gyors és általánosabban használható módszer.