A Pitagorasz tétel
description
Transcript of A Pitagorasz tétel
![Page 1: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/1.jpg)
A Pitagorasz tétel
Készítette:Mgr. Csikós Pajor Gizella
Szabadkai Műszaki Szakfőiskola, SzabadkaBolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zenta
![Page 2: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/2.jpg)
A Pitagorasz tételrőlA Pitagorasz tétel az euklideszi geometria egyik legismertebb állítása.Nevét nem szabályos átírással az i.e. VI. században élt matematikusról és filozófusról, Püthagoraszról kapta, bár a tételt jóval előtte babiloni, egyiptomi, görög, indiai és kínai matematikusok már ismerték, sőt a kínaiak bizonyítást is adtak rá.
![Page 3: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/3.jpg)
Püthagorasz életéről
Püthagorasz, i.e VI. század
görögül: Πυθαγόραςlatinosan: Pythagoras
ión származású filozófus és matematikus
a püthagoreus iskola megalapítója
![Page 4: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/4.jpg)
Püthagorasz életéről
Püthagorasz mellszobra a Vatikánban
![Page 5: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/5.jpg)
Püthagorasz életéről
Püthagorasz mellszobra, Rómában található a Capitolium Múzeumban
![Page 6: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/6.jpg)
Püthagorasz életéről
Püthagorasz középkori ábrázolása a nürnbergi krónikában
![Page 7: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/7.jpg)
Püthagorasz életéről
Püthagorasz ábrázolása egy
III. századbeli pénzérmén
![Page 8: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/8.jpg)
Püthagorasz életéről
Raphael festménye
Püthagoraszról
![Page 9: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/9.jpg)
Püthagorasz életéről
Püthagorasz ión származású, a Kis-Ázsiához közel eső Samos szigeten született, a különböző források alapján valamikor i.e. 586 és 570 között.
Édesapja ékszer- és dísztárgy-készítő volt.
![Page 10: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/10.jpg)
Püthagorasz életéről
Samos szigete az Égei-tengerben
![Page 11: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/11.jpg)
Püthagorasz életéről
![Page 12: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/12.jpg)
Püthagorasz életéről
![Page 13: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/13.jpg)
Püthagorasz életéről
![Page 14: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/14.jpg)
Püthagorasz életéről
Ifjúkorában Püthagorasz annyira szerette a tudományokat, hogy fiatalon elhagyta hazáját, és Egyiptomba ment, ahol megtanulta az egyiptomiak nyelvét, és tanulmányozta azok titkos írásait.
Egyiptomból visszatért Samosra, majd körülbelül i.e.530-ban a dél-itáliai Krotón városba költözött.
![Page 15: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/15.jpg)
A pitagoreus iskoláról
Itt alapította meg filozófiai és vallási iskoláját, a pitagoreus-iskolát.
Ez az idealista, arisztokrata beállítottságú társulat misztikus és titokzatos szövetséggé vált, amely a maga korában jelentős befolyással bírt, nemcsak Krotón városában, hanem a görög városállamok laza szövetségében, a Magna Graeciában is.
![Page 16: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/16.jpg)
A pitagoreus iskoláról
A pitagoreusok hittek a lélekvándorlásban, vegetariánusok voltak, és hosszú hajat, fehér gyapjúköntöst viseltek.
Szigorúan előírt életmóddal és zenével tisztították meg lelküket, majd különböző próbák után léphettek a szövetségbe.
![Page 17: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/17.jpg)
A pitagoreus iskolárólEzután avatták be őket a számok és a
harmónia misztériumába, amelyben való elmélyülés biztosította számukra az örök igazság megismerését és az istenhez való felemelkedést.
Hittek abban, hogy egy isten van, aki a világot a számok közötti kapcsolatoknak, törvényeknek megfelelően teremtette.
![Page 18: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/18.jpg)
A pitagoreus iskoláról
A pitagoreusok nevéhez kötődik:a számelméleti kutatások
megindítása, a szabályos sokszögek és a szabályos
testek tanulmányozása, az irracionális számok felfedezése, a számtani illetve mértani
középarányos fogalmának bevezetése.
![Page 19: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/19.jpg)
A pitagoreus iskoláról
Püthagorasz Krotóni házigazdájának lányát vette feleségül, életrajza két gyermeküket említi, egy leány és egy fiú gyermeket.
Iskolájának növekvő befolyása miatt szervezkedni kezdtek a pitagoreus ellenesek is, akik végül felgyújtották az iskola központját, egy Milón nevű atléta házát.
![Page 20: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/20.jpg)
A pitagoreus iskoláról
Egyes hagyományok szerint a gyújtogatók elfogták és megölték Püthagoraszt, más töredékek szerint Metapontiumba száműzték, ahol hamarosan meghalt (a hagyományok szerint bánatában halálra éheztette magát).
Ez körülbelül i.e. 500 illetve 496 körül történhetett.
![Page 21: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/21.jpg)
A pitagoreus iskoláról
Tanítványainak egy részét lemészárolták, a többieket száműzték, az iskola termeit porig égették.
Püthagorasz írásos művet nem hagyott maga után. Tanításait írásos formában tanítványai őrizték meg.
![Page 22: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/22.jpg)
Tudományos eredményei
Bár a róla elnevezett tételt nem ő találta fel, sőt nem is ő bizonyította először, és nem tudni mi az amire valóban ő jött rá, és mi az, amire tanítványai, bizonyosnak látszik, hogy személyesen fedezte fel a rezonancia alaptörvényét, mely szerint a hang magassága a rezgő húr hosszának függvénye.
![Page 23: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/23.jpg)
Tudományos eredményei
Felismerte, hogy az akkordok hangközeit a húrhosszak számarányaival fejezhetjük ki.
A 2:1 arány az oktávnak, a 3:2 arány a kvintnek, a 4:3 arány pedig a kvartnak felel meg.
![Page 24: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/24.jpg)
Tudományos eredményei
Középkori fametszet mutatja ahogyan Püthagorasz hangolja a harangokat
![Page 25: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/25.jpg)
Püthagorászról
A hagyományok szerint Püthagorasz minden egyes beszédét, előadását függöny mögött tartotta. Ő maga nem volt látható, csak hallható.
Önmagát félistennek tartotta, és állítólag a következő kijelentést tette: ”Vannak emberek és istenek s olyan lények mint Püthagorasz.”
![Page 26: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/26.jpg)
Püthagoraszról
Püthagorasz emlékmű Samos szigetén.
![Page 27: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/27.jpg)
A Pitagorasz-tétel
A Pitagorasz tételt már jóval Püthagorasz előtt is ismerték, sőt ismert volt a bizonyítása is.
Az ókori egyiptomiak mindenesetre ismerték, hogy a 3,4 és 5 oldalú háromszög derékszögű, és ezt igen ügyesen használták ki a földterületek mérésében és a piramisok építésében, a következőképpen:
![Page 28: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/28.jpg)
A Pitagorasz-tétel
Vettek egy hosszú kötelet, arra egyforma közönként 3+4+5=12 csomót kötöttek, összefogták 3, 4 és 5 oldalú háromszöggé és ezzel mérték a derékszöget.
![Page 29: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/29.jpg)
A Pitagorasz-tétel
![Page 30: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/30.jpg)
A Pitagorasz-tétel
A Pitagorasz-tételt kétféle megfogalmazásban ismerjük.
1.TÉTEL: Tetszőleges derékszögű
háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogóra rajzolt négyzet területével.
![Page 31: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/31.jpg)
2.TÉTEL: Bármely derékszögű háromszög
leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével.
A szokásos jelölésekkel: .2 2 2b ca
![Page 32: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/32.jpg)
A Pitagorasz-tétel
Egyes források szerint a Pitagorasz-tételnek közel száz bizonyítása található különböző munkákban.
Ezek közül a két legismertebb, a tétel kétféle megfogalmazására vonatkozó bizonyítás a következő:
![Page 33: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/33.jpg)
A Pitagorasz-tétel
1.Bizonyítás: az a+b oldalú négyzetek
területeinek darabolása alapján
![Page 34: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/34.jpg)
A Pitagorasz-tétel
2. Bizonyítás: a befogótétel alapján
![Page 35: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/35.jpg)
Pitagorasz-tételének megfodítása
TÉTEL:Ha egy háromszög két oldalának
négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.
![Page 36: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/36.jpg)
Pitagoraszi számhármasok
Szóljunk még néhány szót a pitagoraszi számhármasokról is.
Pitagoraszi-számhármasoknak nevezzük azokat a pozitív egész (a,b,c) számokból álló hármasokat, melyekre teljesül.
Ekkor Pitagorasz-tételének értelmében a, b és c egy derékszögű háromszög oldalai.
2 2 2a b c
![Page 37: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/37.jpg)
Pitagoraszi számhármasokA pitagoraszi számhármasok
előállításának módját a pitagoreusok találták meg.
Írjuk fel két sorban felül a négyzetszámokat, és alul a páratlan számokat.
Az alsó sorban található négyzetszám a felső sorban felette lévő két négyzetszámmal együtt pitagoraszi számhármast alkot. Valóban:
![Page 38: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/38.jpg)
Pitagoraszi számhármasok
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 1961 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
Az alsó sorban az első négyzetszám a 9, felette van a 16 és a 25, következik, hogy 3, 4 és 5 pitagoraszi számhármas.
Ugyanígy a következő négyzetszám a 25, felette 144 és 169 található, tehát az 5, 12 és 13 pitagoraszi számhármas.
![Page 39: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/39.jpg)
Pitagoraszi számhármasok
Azt, hogy számtalan sok ilyen pitagoraszi számhármas létezik, Euklidész bizonyította be.
Ha n természetes számot jelöl, akkor pitagoraszi számhármasok például a következők:
3n,4n,5n 5n,12n,13n 7n,24n,25n8n,15n,17n 9n,40n,41n 11n,60n,61n12n,35n,37n stb.
![Page 40: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/40.jpg)
A pitagorasz-tétel alkalmazása
Pitagorasz tételének számtalan sok alkalmazása van úgy a geometriában mint az analitikus mértanban.
Legyen az elkövetkezendő matematikaóráitok tananyaga ezen széleskörű alkalmazások megismerése.
![Page 41: A Pitagorasz tétel](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062502/56814b73550346895db85f76/html5/thumbnails/41.jpg)
IrodalomjegyzékSain Márton: Matematikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Budapest,1977
Breznai Gyula: Pitagorasz tétele, Tankönyvkiadó Budapest, 1971-1972
K. A. Ribnyikov: A matematika története,Tankönyvkiadó, Budapest, 1968
Sain Márton: Nincs királyi út! ,Gondolat, Budapest, 1986
www.wikipedia.comwww.wikimedia.org