A matematikatanulás néhány problémája az agykutatások

tükrébenA munkamemória szerepe a matematikai

problémamegoldásbanAmbrus András egyetemi docens, ELTE TTK Matematikatanítási és Módszertani Központ

• Üdvözlés, köszönet

• Néhány eset a magyar matematikatanítási gyakorlatból

• Elméleti háttér, a munkamemória szerkezete, funkciói, szerepe (Három magyarországi epizód: Kalocsa, Pintér K., másodfokú egyenlőtlenség megoldása)

• Konkrét feladatok elemzése

• The more ways we teach, the more people we reach • And, the more ways we reach each • And, the more deeply what we teach will reach • Minél többféle módszerrel tanítunk, annál több

tanulót érünk el És minél többféleképp érünk el minden tanulót • Amit tanítunk annál mélyebben ereszt gyökeret (

www.KaganOnline.com)

• „Néha találkozom matematikatanárokkal, akik panaszkodnak, hogy a gyerekek nem tudnak helyes ábrákat készíteni. Ezért ezek a tanárok a szimbolikus, algebrai módszereket preferálják. Úgy vélik ezt könnyebb megtanítani és a gyerekek könnyebben le tudják írni. Ötödik osztályban tanító tanár mondta a gyerekeknek: Mi már olyan okosak vagyunk, hogy nem szükséges szakaszokat rajzolnunk szöveges feladatok megoldásánál, fel tudjuk írni az egyenleteket anélkül is.

• Tankönyvsorozatunkban csak a hetedik osztályban használunk szisztematikusan változókat, 5-6. osztályokban a szöveges szituációkat szakaszokkal szemléltetjük és következtetésekkel oldjuk meg a feladatokat. „ (PINTÉR 2009)

• A MATEMATIKATANÍTÁS FŐBB CÉLJAI• Matematikai szakértelem, jártasság • Fogalmi megértés: a matematikai fogalmak, műveletek, relációk

felfogása, megértése • Procedurális(eljárási) folyékonyság: eljárások rugalmas, pontos,

hatékony, megfelelő végrehajtásának készsége• Stratégiai kompetencia: matematikai problémák

megfogalmazásának, reprezentációjának, megoldásának képessége

• Releváns (a helyzethez alkalmazkodó) következtetések: logikai gondolkodás, reflexió, magyarázat, igazolás képessége

• Produktív diszpozíció: szokássá vált hajlam a matematikát értelmesnek, hasznosnak tekinteni. Hit a bölcsességben és a saját hatékonyságban.

• (SCHOENFELD, 2007)

• A munkamemória szerkezete Baddeley szerint • CENTRAL EXECUTIVE • (KÖZPONTI SZABÁLYOZÓ)• Rehearsal Rehearsal •

Ismétlés Ismétlés• Fonológiai tár Epizodikus tár Képi-téri tár• (belső beszéd) (belső szem)

• Fonológiai tár: Beszédalapú információk rövid időre való tárolása, fenntartása, un. „belső beszéd” (artikuláció) segítségével való ismétlése, képi jelek nyelvi jellé kódolása. Az artikuláció teszi lehetővé a nyelvi információ fenntartását annyi ideig, ameddig az információ feldolgozásban szükség van az információra. Hosszú mondat esetén az első részt már ismételni kell belülről, hogy a teljes mondatot fölfogjuk. Fontos szerepe van a problémák szövegének megértésében, az utasítások felfogásában.

• Vizuális – téri tár

• Képi, téri információk tárolása és fenntartása az információ feldolgozása céljából. Agyunk jobb agyféltekéjéhez kötődik. Külön terület felelős az alak és szín felvételére, tárolására illetve a téri információk felvételére, tárolására.

• Epizodikus tár (munkahelyként szolgál, tudatosság döntő szerepet játszik a működésében)

• Korlátozott kapacitású, a központi szabályozó integrálja az alrendszerekben tárolt információkat és a hosszútávú memóriából előhívott releváns információkat egy egységes multi dimenzionális reprezentációvá az epizodikus tárban. (Prózai szöveg felfogása, egy szöveges feladat belső reprezentációja)

• Összekapcsolja a különböző kódokat (vizuális, verbális, észlelési és a hosszú távú memóriából előhívott információkat.

• Központi szabályozó • (Supervisori Attentional System, Kontrollált

figyelem) • Funkciói: tervezési folyamatok• Ellenőrző és döntési folyamatok megindítása és

szabályozása• Következtetések, nyelvi megértés • Ismétlés segítségével az információk átvezetése

a hosszú távú memóriába • Kódolt információ megfejtése Áttérés egyik (rész)feladatról egy másikra

Reprezentációk Tárgyi Képi Szimbolikus„öt” öt újj o o o o o V, öt, 5 „fél” fél alma ½, fél 0,5 Eltolás asztal biz. Irányban és távra T

• REPREZENTÁCIÓK Lineáris függvény

• Tárgyi reprezentáció: Egy gyalogos 4 km-t tesz meg óránként. Vizsgáljuk a megtett utat az eltelt idő függvényében

• Képi reprezentáció: grafikon

• Szimbolikus reprezentáció: f(x) = 4x

• y=4x

• FOGALOMKÉPZET• Shlomo Vinner izraeli matematikadidaktikus vezette be a

fogalomképzet (concept image) elnevezést a nemzetközi matematikadidaktikai szakirodalomban. Fogalomképzetnek nevezzük a fogalom nevéhez kapcsolt teljes kognitív struktúrát, mely tartalmazza a vizuális reprezentációkat (képek, diagramok, grafikonok), mentális képeket (belső kapcsolatokat), konkrét tapasztalatokat, tevékenységeket, példákat, élményeket, tulajdonságokat, eljárásokat.

• A felsorolásból kitűnik, hogy a képek, példák, konkrét tapasztalatok jelentős szerepet játszanak a hatékony fogalomképzet kialakításában. A valós világból választott bevezető és alkalmazási feladatoknak ezért is van fontos szerepük a matematikatanításban.

• A problémamegoldás néhány releváns kérdése Schoenfeld “A problémamegoldás egy nagyon összetett folyamat, mely tartalmazza a verbális és nem verbális mentális folyamatokat is. Eddig szinte kizárólag a verbális szempontra koncentrálódtak a kutatások. De csak a verbális probléma megoldási készségekkel nem jutnak messzire a diákok. A matematikusok csak egyetlen módját ismerik a nem verbális rész fejlesztésének, ami kemény munkát jelent: gyakorlás,gyakorlás, még több gyakorlás másrészt sikeres probléma megoldók megfigyelése probléma megoldás közben.

(SCHOENFELD, 2007)

• A legtöbb tanuló képtelen alkalmazni az alapvető matematikai elveket új környezetben amíg nem lát a tanár által lépésről-lépésre bemutatott megoldásokat.

• Ilyen esetekben lehetőséget kell adni a tanulóknak, hogy a tanár lépéseit alkalmazzák egy új problémahelyzetben

• (EVERS, 2004)

• Az a tapasztalatom, ahhoz, hogy egy módszert, ötletet alkalmazás-képesen elsajátítsanak a tanulók, azzal legalább háromszor kell találkozniuk. (Időben jól elkülönült esetekben. Egyszerre megoldott három feladat nem helyettesíti a többszöri találkozást.) Egyszer, amikor megmutatják nekik, vagy rávezetik őket. Ezt egy ismétléssel fel kell eleveníteni. Az a legjobb, ha harmadszor már valamivel összekapcsolva, összehasonlítva kerül felelevenítésre.(KATZ SÁNDOR)

• Problémamegoldás és a munkamemória • Sikeres problémamegoldás tényezői:• - a probléma ismert adatainak, ismeretlen adatainak (célok),

megoldási tervek, a feladathoz releváns információk emlékezetben tartása egy magas aktivitási és elérhetőségi szinten.

• - Irreleváns, zavaró információk elnyomása • - Sikeres megoldás megtalálása függhet a sikertelen megoldási

kísérletek tanulságainak aktiválásától mindaddig, amíg sikerül integrálni a részinformációkat egy egésszé (megoldássá)

• - Két ötlet közötti kapcsolat csak akkor jön létre, ha ezek belső reprezentációi egy aktivizált állapotban egyszerre vannak jelen a munkamemóriában. A kontrollált figyelem szükséges a megoldási lépések, részfeladatok integrálására.

• A munkamemória kapacitás növelésének módszerei• Csoportosítás (chunking) 6, 7, 4, 3, 1, 9 • 674 319 Faktoriális „5!” Öt tényezős szorzat helyett • Automatizált folyamatok Az a problémamegoldó van előnyben

például, aki tudja kívülről az a oldalú szabályos háromszög magasságát, nem kell kiszámítania, koncentrálhat a feladatra. Akinek még ezt is meg kell tennie, tovább terheli munkamemóriája kapacitását.

• Többszörös kódolás Kutatások bizonyítják, hogy egy verbális információra jobban emlékezünk, ha egy releváns vizuális információ is kapcsolódik hozzá illetve ha a befogadó el tud képzelni egy szemléletes képet az adott verbális információhoz. A verbáis illetve vizuális reprezentációk agyunk különböző területein tárolódnak. Példa: exponenciális függvény szimbolikus definíciója, grafikonja, egy konkrét exponenciális növekedés: tengeri barna alga hetente megduplázza az addigi hosszát. Vizsgáljuk az idő-hossz kapcsolatot.

• Problémamegoldási nehézségek a munkamemória kapacitásával kapcsolatban

• 1. Funkcionális rögzöttség:képtelenség egy ismerős objektum, fogalom új módon való alkalmazására: 2x + 4 csak algebrai szempontból való tekintése

• 2. Beállítódás: Merev ragaszkodás egy bevált megoldáshoz, még ha egy egyszerűbb módszer is létezik. Másodfokú egyenletnél ha nincs konstans tag, a megoldó képlet alkalmazása.

• Koordinátageometriában csúcspontjainak koordinátáival adott háromszög területének kiszámítása. (legegyszerűbb téglalappá való kiegészítéssel)

• 3. Nem releváns, tévútra vezető információk elnyomása

FELADAT KÖRNYEZET: Tények, fogalmak és ezek relációinak szerkezete, melyek a problémát, feladatot képezik.

KÜLSŐ INFORMÁCIÓK (Hozzáférhetőség külső információkhoz)

A probléma állítása, irányító megjegyzések, célok, segédanyagok ( táblázatok, megjegyzések, kiegészítő szöveges magyarázatok, felmérések)

• KÜLSŐ MEMÓRIA (A megoldó által létrehozott információk külső rögzítése)

• Lehetővé teszi részmegoldások ellenőrzését

• Hosszútávú memóriából előhívott ismeretek, melyek hasznosak lehetnek a megoldás szempontjából

• A megoldó megjegyzései a megoldás során

• 1. Példa

• Egy évvel ezelőtt Kati édesapja kétszer olyan idős volt mint amennyi Kati lesz akkor amikor az apa négyszer olyan idős lesz mint Kati most. Az apa 26 éves volt amikor Kati megszületett. Milyen idős most Kati illetve az édesapja?

• x• Kati életkora most: • Az apa 26 évvel idősebb mint Kati, tehát most 26 + x éves

• x 26 • Egy évvel ezelőtt Kati x-1 éves, az édesapja x + 26 – 1 = 25 + x éves volt

• Az apa életkora amikor négyszer olyan idős lesz mint Kati most

• x x x x

• Mivel Kati 26 évvel fiatalabb mint apja, ezért 4x – 26 éves lesz. • Egy évvel ezelőtt az apa kétszer olyan idős volt mint Kati lesz• x + 25 = 2 (4x – 26)• x = 11

• Egy edényben 160 köbcentiméter 1,2 gramm/köbcentiméter sűrűségű oldat van, egy másikban 200 köbcentiméter 0,8 gramm/köbcentiméter sűrűségű. Az első edényből valamennyit átöntünk a másodikba, majd keverés után ugyanannyit az elsőbe. Mennyi az átöntött folyadék, ha a visszaöntés után mindkét edényben egyenlő tömegű folyadék lesz?

• Start helyzet • I. edény II. edény • Térfogat: 160 köbcm 200 köbcm • Sűrűség: 1,2 gramm/köbcm 0,8 gr/köbcm • Tömeg: 192 gr 160 gr • I. átöntés első edényből a másodikba x köbcm • I. edény x köbcm II. edény • Térfogat: 160 – x köbcm 200 + x köbcm• Sűrűség: 1,2 gr/köbcm (160 + 1,2 x)/(200+x)• II. átöntés második edényből az elsőbe x köbcm • I. edény x köbcm II. edény • Tömeg 176 gr 176 gr • Térfogat(I): 160-x köbcm 1,2-es, x köbcm (160 + 1,2 x)/(200+x)-es • Tömeg I.edény: (160-x)1,2 + x (160+1,2x)/(200+x)• (160-x)1,2 + x (160+1,2x)/(200+x) = 176

012

222

22

axax

aaxxx

4

1041

414144412 2222

aalsoa

aaaaaaD

2

4121

2

412121

aax

aax

x 0 x + a 0

axx

• I. a ¼ A paraméter ezen értékeire a diszkrimináns negatív, tehát nincs megoldás a valós számok halmazán.

• II. a = ¼ Egy megoldás van. Lásd tanulói megoldásokat! • III. a = 0, két megoldás van • IV. 0 a ¼ A paraméter ezen értékeire a diszkrimináns pozitív értéket

vesz fel, a két megoldást vizsgálni kell. Az első megoldás nem okoz problémát, mivel mindkét összeadandó pozitív, a gyök is pozitív lesz. X + a is nyilván pozitív ezen értékekre.

• A második gyöknél külön meg kell vizsgálni az 1 – 2a és a négyzetgyökös kifejezés viszonyát. Az előbbi nagyobb – amit négyzetre emeléssel igazolhatunk – tehát a második gyök is pozitív.

• V. a 0 Az első gyökkel nincs gond, hiszen csak pozitív számok szerepelnek benne. A második gyök esetén az x + a kifejezés

• kifejezés értéke negatív lesz, mivel a gyökalatti kifejezés értéke nagyobb mint 1m mert Ez a gyök tehát nem elégíti ki a második feltételt negatív a értékekre, tehát csak egy megoldása lesz az eredeti egyenletnek.

141 a

Geometrical solution Let us consider the functions and g(x) = x + a. We draw the graphs of these functions in a common Cartesian coordinate system.

• Jelenkori elmekutatások matematikatanulással kapcsolatos vonatkozásai. (LAKOFF, NUNEZ)

• Az ész megtestesülése: testünk jellegzetességei, agyunk és mindennapi tevékenységünk a világban alakítja, strukturálja az emberi fogalmakat, emberi okoskodásokat. Ez vonatkozik a matematikai fogalmakra és következtetésekre is.

• A kognitív tudattalan. A legtöbb gondolat tudattalan – nem freudi értelemben, hanem egyszerűen azt jelenti, hogy elérhetetlen a direkt önmegfigyelés számára. Nem tudunk belenézni közvetlenül a fogalmi rendszereinkbe illetve az alacsonyabb szintű gondolkodási folyamatainkba. A legtöbb matematikai gondolatra is igaz ez.

• Metaforikus gondolkodás. Az ember a legtöbb esetben az absztrakt fogalmakat konkrét kifejezésekkel értelmezi, felhasználva az észlelési- motorikus rendszerre épített elveket, módokat, következtetéseket. Az absztraktnak a konkréttal való felfogását koncepcionális metaforának nevezzük. A matematikai gondolkodás is felhasznál metaforákat, például a kategóriák metaforái a konténerek (zárt térrész), a kategória elemei – tárgyak a konténerben, egy zárt térrész a másikban – a kategória egy alkategóriája.