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(1)
Movimento Harmônico Simples vertical
y = 0
yo = mg/k
y’
m
m
Equilíbrio
Novo
equilíbrio
yo=mg/k
Corpo
oscilando
y’=y-yo
ymg
Fe
A força que a mola exerce sobre o corpo é:
Fe = -ky
Pela Segunda Lei de Newton, na direção y:
Se mudamos de variável para y = y’+yo teremos:
Mas, kyo= mg então:
Assim podemos ignorar o efeito da gravidade se tomamos o deslocamento
respeito da posição y’=0
A solução é:
Suporte rígido
Elasticidade, k
Massa, m
Palheta
Amortecimento, b
(2)
Movimento Harmônico Simples Amortecido
Quando a amplitude de um objeto que oscila diminui
devido a forças externas dizemos que o movimento é
amortecido.
Um exemplo é dado na figura. Uma massa m ligada a
uma mola de constante k oscila verticalmente.
A massa oscilante está ligada a uma palheta
submergida em um líquido.
O líquido exerce uma força de amortecimento
Fd que é dada pela equação: Fd = -bv
O sinal negativo indica que a força se opõe ao movimento da massa
oscilante.
O parâmetro b é chamado constante de amortecimento.
A força resultante sobre a massa m é: FR = -bv-kx
A partir da Segunda Lei de Newton obtemos: FR = -bv-kx = ma
Substituindo v por dx/dt e a por d2x/dt2 obtemos a equação diferencial:
02
2
kxdt
dxb
dt
xdm
/ 2 ( ) co sbt m
mx t x e t
(3)
Solução da equação diferencial
02
2
kxdt
dxb
dt
xdm
Movimento Harmônico Simples Amortecido
02
0 zzm
bz tiBez
02
0
2 zzm
ibz
02
0
2
m
ib
2
0
2
42
1
2
m
ibi
m
b2
0
02
12
m
bi
m
b
Constante complexa
(4)
Movimento Harmônico Simples Amortecido
2
0
02
12
m
bi
m
b '
2 i
m
b2
0
02
1'
m
b
tit
m
bt
m
ibi
ti BeBeBez''
22
iAeB
itit
m
b
Aez'
2 )(2'ti
tm
b
eAe
)(2'
ReRe tit
m
b
eAexz
textxt
m
b
m
'2 cos
Suporte rígido
Elasticidade, k
Massa, m
Palheta
Amortecimento, b / 2 ( ) co sbt m
mx t x e t
(5)
A Segunda Lei de Newton para o Oscilador
Harmônico Amortecido é (como vimos):
02
2
kxdt
dxb
dt
xdm
A solução desta equação é:
Na figura abaixo desenhamos x(t) contra t.
Podemos interpretar a solução acima como uma
função co-seno com uma amplitude que
depende do tempo segundo
m
bt
mex 2
Movimento Harmônico Simples Amortecido
Suporte rígido
Elasticidade, k
Massa, m
Palheta
Amortecimento, b
(6)
Como vimos a frequência angular ’ do oscilador
harmônico amortecido é dada pela equação:
2
2
4'
m
b
m
k
Movimento Harmônico Simples Amortecido
2
0
02
1'
m
bou
Se b aumenta ’ diminui !
Se b = 2m0 temos ’=0
E se b > 2m0 ????
criticamente amortecido
super amortecido
Suporte rígido
Elasticidade, k
Massa, m
Palheta
Amortecimento, b
(7)
Para um oscilador harmônico a energia
mecânica é constante e é igual a E = ½ k xm2
Para um oscilador harmônico amortecido a
energia mecânica não é constante, ela diminui
com o tempo.
Quando o oscilador é sub amortecido podemos
substituir xm por
m
bt
m extx 2
Neste caso encontramos que m
bt
m
bt
m eEexktxmE
0
222
2
1
2
1
A energia mecânica diminui exponencialmente com o tempo!
Movimento Harmônico Simples Amortecido
Suporte rígido
Elasticidade, k
Massa, m
Palheta
Amortecimento, b
(8)
Movimento Harmônico Simples Amortecido
O tempo necessário para diminuir a energia “e” vezes é chamado
A grandeza Q = o = o m/b é o fator de qualidade
Este fator se relaciona com a perda de energia por ciclo (dE/dt):
t
m
bt
eEeEE
00
EdtdteEdE
t
o
11
Por ciclo temos que: dt = T e dE = E
Q
T
E
E
22
0
cicloE
EQ
2ou
Suporte rígido
Elasticidade, k
Massa, m
Palheta
Amortecimento, b
(9)
Movimento Harmônico Simples Amortecido
A frequência em termos de Q pode ser escrita
da seguinte forma:
Interpretação: se Q >> 1 ’ o
2
0
02
1'
m
bQ = o
20
2
0
04
11
21'
Qm
b
Exercícios
(10)
Movimento Harmônico Simples Amortecido. Exercícios
O sistema de suspensão do automóvel cede 10 cm quando o chassis é
colocado no lugar. Além disso, a amplitude das oscilações diminui de 50%
a cada ciclo. Estime os valores de (a) a constante elástica k e (b) a
constante de amortecimento b do sistema mola-amortecedor de uma das
rodas, supondo que cada roda sustente 500 kg.
Pela lei de Hooke temos:
Se a amplitude diminui 50% a cada ciclo, isso significa que:
cmN
cm
smkg
k 22
109.410
8.9500
'2
2
2
1
Tondee m
bT
k m/Como nos solicitam estimar, podemos aproximar:
49000
500,
N / m
kg9.9 rad / s Portanto T = 0,63 s
(11)
Movimento Harmônico Simples Amortecido. Exercícios
Tomando o log a ambos lados da equação2
12
m
bT
e
obtemos:
32 500 kg2
ln2 0.69 1.1 10 kg/s.0.63 s
mb
T
=2 2
( 2) + 4= 1086
2 2b
mkln
ln kg / s
O resultado exato teria sido utilizando
Teríamos obtido:
2
2
4'
m
b
m
k
Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (57) (59) (89)
Suporte rígido
Elasticidade, k
Massa, m
Palheta
Amortecimento, b
móvel
(12)
Para compensar as perdas é necessário injetar
energia no sistema, ou seja forçá-lo. Para isso
aplicamos uma força de excitação externa Fext
de uma determinada frequência angular .
Movimento Harmônico Simples Forçado
Pela Segunda Lei de Newton, na direção na
direção x:
ou
Vamos utilizar o método aplicado no caso de oscilações amortecidas, ou
seja, vamos re-escrever esta equação na forma complexa!
(13)
Movimento Harmônico Simples Forçado
A parte Re z vai satisfazer a equação real!!!
Como a força externa obriga o sistema a oscilar na sua frequência
esperamos que a solução seja:
Substituindo na equação teremos:
Substituindo B na solução temos....
(14)
Movimento Harmônico Simples Forçado
A parte real é:
Onde pode ser calculado a partir de:
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜃)
𝑡𝑔𝜃 =𝑏𝜔
𝑚 𝜔02 −𝜔2
móvel
(15)
Movimento Harmônico Simples Forçado
onde a amplitude A ou xm varia com a frequência
segundo a equação já obtida.
Como vimos o deslocamento é dado por
Am
pli
tud
e
menor
amortecimento
A maior amplitude se obtém quando
=0 Esta situação é chamada
ressonância.
Todas as estruturas possuem uma ou
mais frequências naturais e se a
frequência da força externa se iguala a
uma destas frequências naturais é
possível danificar a estrutura.
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜃)
(16)
Movimento Harmônico Simples Forçado. Exercícios
Nove pêndulos com os seguintes comprimentos são pendurados numa
viga horizontal: (a) 0,10 (b) 0,30 (c) 0,40 (d) 0,80 (e) 1,2 (f) 2,8 (g) 3,5
(h) 5,0 (i) 6,2 m. A viga sofre oscilações horizontais com frequências
angulares na faixa de 2,00 a 4,00 rad/s. Quais dos pêndulos entram
“fortemente” em oscilação?
Com =2/T podemos utilizar a equação
Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (61) (63)
g
LT 2
para calcular a frequência dos pêndulos.
Assim, os únicos pêndulos que possuem os valores apropriados de são
(d) e (e).