ก.ย. 61 บังคับใช้ระบบ · การเขา้ใชง้านในระบบนใี้หใ้ช้username และ password เดียวกับรายงานผลการ
ล ำดับอนันต์ และ อนุกรมอนันต์ · 4 ล...
Transcript of ล ำดับอนันต์ และ อนุกรมอนันต์ · 4 ล...
ล ำดบอนนต และ
อนกรมอนนต
31 Oct 2016
สารบญ
ทบทวนล ำดบเลขคณต ............................................................................................................................................................ 1
ทบทวนล ำดบเรขำคณต ........................................................................................................................................................... 3
ทบทวนล ำดบเวยนเกด............................................................................................................................................................. 5
ล ำดบพหนำม ........................................................................................................................................................................... 6
ลมตของล ำดบ .......................................................................................................................................................................... 8
กำรหำลมตในรปเศษสวน ..................................................................................................................................................... 12
กำรหำผลบวกอนกรมดวยซกมำ ........................................................................................................................................... 18
ทบทวนอนกรมเลขคณต ....................................................................................................................................................... 26
ทบทวนอนกรมเรขำคณต ...................................................................................................................................................... 29
อนกรมเรขำคณตดดแปลง .................................................................................................................................................... 31
อนกรมเทเลสโคปค ............................................................................................................................................................... 34
อนกรมอนนต ......................................................................................................................................................................... 40
อนกรมเรขำคณตอนนต ........................................................................................................................................................ 45
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 1
ทบทวนล ำดบเลขคณต
ล ำดบเลขคณต คอ ล ำดบทเพมหรอลดอยำงคงท โดยกำรบวก
เรำเรยกคำคงท ทน ำมำบวก วำ “ผลตำงรวม” ซงแทนดวยสญลกษณ 𝑑 เชน 5 , 8 , 11 , 14 → 𝑑 = 3 1 , 3 , 5 , 7 → 𝑑 = 2
5 , 3 , 1 , −1 → 𝑑 = −2 5 , 5 , 5 , 5 → 𝑑 = 0
1 , 3
2 , 2 ,
5
2 → 𝑑 =
1
2
จะเหนวำ ถำเอำสองพจนทอยตดกนในล ำดบเลขคณต มำลบกน (พจนขวำ ลบ พจนซำย) จะไดผลลพธเทำกบ 𝑑 เสมอ เชน ล ำดบเลขคณต 5 , 8 , 11 , 14 , … จะเหนวำ 8 − 5 = 11 − 8 = 14 − 11 = 3 = 𝑑
สตรพจนทวไปของล ำดบเลขคณต คอ
แบบฝกหด
1. ก ำหนดให 4 พจนแรกของล ำดบเลขคณต คอ 2𝑎 + 1 , 2𝑏 − 1 , 3𝑏 − 𝑎 และ 𝑎 + 3𝑏 เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ ำนวนจรง พจนท 1000 ของล ำดบเลขคณตนเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/17]
2. จ ำนวนเตมทมคำตงแต 100 ถง 999 ทหำรดวย 2 ลงตว แตหำรดวย 3 ไมลงตว มจ ำนวนเทำกบเทำใด
[PAT 1 (ก.ค. 52)/36]
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
2 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
3. พจำรณำกำรจดเรยงล ำดบของจ ำนวน 2, 5, 8, 11, 14, … ในตำรำงดงตอไปน
จ ำนวน 2012 อยในหลกทเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/50]
4. บทนยำม ให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง เรยกพจน 𝑎𝑛 วำ พจนค ถำ 𝑛 เปนจ ำนวนค และ
เรยกพจน 𝑎𝑛 วำ พจนค ถำ 𝑛 เปนจ ำนวนค ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบเลขคณต โดยทมจ ำนวนพจนเปนจ ำนวนค และผลบวกของพจนคทงหมด เทำกบ 36 และผลบวกของพจนคทงหมดเทำกบ 56 ถำพจนสดทำยมำกกวำพจนแรก เปนจ ำนวนเทำกบ 38 แลวล ำดบเลขคณต {𝑎𝑛} น มทงหมดกพจน [PAT 1 (ต.ค. 53)/38]
5. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5 และ 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4, 𝑏5, 𝑏6 เปนล ำดบเลขคณตของจ ำนวนจรงบวก
โดยท 𝑎1 = 𝑏2 , 𝑎5 = 𝑏5 และ 𝑎1 ≠ 𝑎5 ถำ (𝑏6−𝑏4)+(𝑏6−𝑏1)𝑎4−𝑎2
= 𝑥
𝑦 เมอ ห.ร.ม. ของ 𝑥 กบ 𝑦 เทำกบ 1
แลว 𝑥2 + 𝑦2 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/36]
หลกท 1
หลกท 2
หลกท 3
หลกท 4
หลกท 5
2 5 8 23 20 17 14 11
26 29 32 47 44 41 38 35 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 3
ทบทวนล ำดบเรขำคณต
ล ำดบเรขำคณต คอ ล ำดบทเพมหรอลด อยำงคงท โดยกำร “คณ” เรำเรยกคำคงท ทน ำมำคณ วำ “อตรำสวนรวม” ซงแทนดวยสญลกษณ 𝑟 เชน 2 , 6 , 18 , 54 → 𝑟 = 3 3 , −6 , 12 , −24 → 𝑟 = −2
5, 5, 5, 5 → 𝑟 = 1 10, 5, 5
2 , 5
4 → 𝑟 = 1
2
1, √2 , 2 , 2√2 → 𝑟 = √2
จะเหนวำ ถำเอำสองพจนทอยตดกนในล ำดบเรขำคณต มำหำรกน
โดยเอำพจนขวำเปนตวตง หำรดวย พจนซำยทอยตดกน จะไดผลลพธเทำกบ 𝑟 เสมอ
เชน ในล ำดบเรขำคณต 2 , 6 , 18 , 54 , … จะเหนวำ 62 =
18
6 =
54
18 = 3 = 𝑟
สตรพจนทวไปของล ำดบเรขำคณต คอ
แบบฝกหด
1. ถำผลคณของล ำดบเรขำคณต 3 จ ำนวนทเรยงตดกน เทำกบ 343 และผลบวกของทงสำมจ ำนวนน เทำกบ 57
แลวคำมำกทสดในบรรดำ 3 จ ำนวนน เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/49]
2. ก ำหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 26𝑥2 + 𝑏𝑥 − 216 เมอ 𝑏 เปนจ ำนวนจรง ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 เปนจ ำนวนจรงสำมจ ำนวนเรยงกนแบบล ำดบเรขำคณต และเปนค ำตอบของสมกำร 𝑓(𝑥) = 0
แลว จงหำคำ 𝑏 [PAT 1 (ต.ค. 55)/19*]
𝑎𝑛 = 𝑎1𝑟𝑛−1
4 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
3. ก ำหนดให 𝑥, 𝑦, 𝑧 เปนล ำดบเรขำคณต มอตรำสวนรวมเทำกบ 𝑟 และ 𝑥 ≠ 𝑦
ถำ 𝑥, 2𝑦, 3𝑧 เปนล ำดบเลขคณต แลว คำ 𝑟 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/17]
4. ให 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 เปนจ ำนวนจรง โดยท 2𝑎 , 3𝑏 , 4𝑐 เปนล ำดบเรขำคณต และ 1𝑎
, 1
𝑏 , 1
𝑐 เปนล ำดบเลขคณต
คำของ 𝑎𝑐+𝑐
𝑎 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/39]
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 5
ทบทวนล ำดบเวยนเกด
ล ำดบเวยนเกด คอ ล ำดบตองใชพจนกอนหนำในกำรค ำนวณพจนถดๆไป
ล ำดบประเภทน จะยงยำก เพรำะสดทำย เรำมกตอง “ไลหำตงแต 𝑎1 ขนมำ” จนกวำจะถงพจนทเรำตองกำร
แบบฝกหด 1. ให {𝑏𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑏1 = −3 และ 𝑏𝑛+1 =
1+𝑏𝑛
1−𝑏𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …
คำของ 𝑏1000 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/39]
2. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบของจ ำนวนเตม โดยมสมบตดงน 𝑎𝑘 + 𝑎𝑘+1 + 𝑎𝑘+2 = 2576 − 𝑘 เมอ 𝑘 = 1, 2, 3, …
ถำ 𝑎1 = 12 , 𝑎2 = 2556 และ 𝑎3 = 7 แลวคำของ 𝑎2558 เทำกบเทำใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/37]
3. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนล ำดบซงสอดคลองกบเงอนไข 1
𝑎𝑛+
1
𝑎𝑛−1= 1 ส ำหรบทกจ ำนวนนบ 𝑛
ถำ 𝑎1 + 𝑎2+. . . +𝑎100 = 250 แลว |𝑎2552 − 2.5| มคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/47]
6 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
ล ำดบพหนำม
เรองน ไมอยในหลกสตร แตนกเรยนสวนใหญนยมใหสอน จงน ำมำรวมในเอกสำรดวย
ในกรณทสตรของ 𝑎𝑛 สำมำรถเขยนเปนพหนำมได จะมสตรกำรหำพจนทวไปอย วธนจะไดสตร 𝑎𝑛 ทซบซอนไปนด แตรบประกนวำไดชวร (ถำ 𝑎𝑛 สำมำรถเขยนเปนพหนำมได) 1. หำผลตำงของแตละคพจนทตดกน ไปเรอยๆ จนกวำจะไดผลตำงของทกคเทำกน
2. น ำตวแรกของแตละแถว ไปแทนในสตร
ในกรณทตองท ำ 4 แถวถงจะเทำ กบวก (𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)(𝑛−4)(1)(2)(3)(4)
𝑑4 หรอตวอนๆ ตอไปไดเรอยๆ
ตวอยำง จงหำพจนทวไปของล ำดบ 5, 7, 12, 20, …
วธท ำ หำผลตำงของแตละคไปเรอยๆ จนกวำทกตวจะหำงกนคงท
5 7 12 20 𝑎1 = 5 2 5 8 𝑑1 = 2 3 3 𝑑2 = 3
แทนสตร จะได 𝑎𝑛 = 5 +(𝑛−1)
(1)(2) +
(𝑛−1)(𝑛−2)
(1)(2)(3)
= 5 + 2𝑛 − 2 +3(𝑛2−3𝑛+2)
2 =
3𝑛2−5𝑛+12
2 #
ตวอยำง จงหำพจนท 10 ของล ำดบ 1, 5, 12, 24, 43, 71, …
วธท ำ หำผลตำงของแตละคไปเรอยๆ จนกวำทกตวจะหำงกนคงท
1 5 12 24 43 71 𝑎1 = 1 4 7 12 19 28 𝑑1 = 4 3 5 7 9 𝑑2 = 3 2 2 2 𝑑3 = 2
แทนสตร จะได 𝑎𝑛 = 1 +(𝑛−1)
(1)(4) +
(𝑛−1)(𝑛−2)
(1)(2)(3) +
(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)
(1)(2)(3)(2)
ดงนน 𝑎10 = 1 +(10−1)
(1)(4) +
(10−1)(10−2)
(1)(2)(3) +
(10−1)(10−2)(10−3)
(1)(2)(3)(2)
= 1 + (9)(4) +(9)(8)
(1)(2)(3) +
(9)(8)(7)
(1)(2)(3)(2) = 1 + 36 + 108 + 168 = 313 #
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ 𝑑1 ? ? ? ? ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ 𝑑2 ? ? ? ⋁ ⋁ ⋁ 𝑑3 𝑑3 𝑑3
…
𝑎𝑛 = 𝑎1 +(𝑛−1)
(1)𝑑1 +
(𝑛−1)(𝑛−2)
(1)(2)𝑑2 +
(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)
(1)(2)(3)𝑑3
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 7
แบบฝกหด 1. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบตอไปน
1. −6 , −3 , 2 , 9 , 18 , … 2. 2 , −1 , −6 , −13
2. จงหำ พจนท 8 ของล ำดบ 1 , 3 , 13 , 37 , 81 , 151
8 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
ลมตของล ำดบ
ในคณตศำสตรพนฐำน เรำไดรจก “ล ำดบจ ำกด” และ “ล ำดบอนนต” ไปแลว
ล ำดบจ ำกด คอ ล ำดบทมจ ำนวนพจน เปนจ ำนวนจ ำกด เชน 3 , 5 , 7 , 9 , 11 ล ำดบอนนต คอ ล ำดบทมพจนตอไปเรอยๆ ไมสนสด เชน 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , …
จะเหนวำ ล ำดบอนนต จะม “…” ตอทำย เพอบอกวำมพจนตอไปเรอยๆ
ในหวขอน เรำจะศกษำกำรประมำณคำของ “ตวสดทำย” ในล ำดบอนนต
จะเหนวำ ล ำดบอนนต จะมพจนตอทำยไปเรอยๆ ดงนน ล ำดบอนนต จะไมมตวสดทำย
อยำงไรกตำม เรำสำมำรถ “ประมำณ” ตวสดทำยของล ำดบอนนต “บำง” ล ำดบได
เชน 1
2 ,
1
3 ,
1
4 ,
1
5 , … ตวสดทำยจะมคำประมำณ 0 เพรำะ สวนเพมขนเรอยๆ ในขณะทเศษเปน 1 ตลอด
0.3 , 0.33 , 0.333 , … ตวสดทำยจะมคำประมำณ 0.33333333333… ซงจะเทำกบ 13
3 , 3 , 3 , 3 , … ตวสดทำยจะมคำประมำณ 3
แตอยำงไรกตำม ล ำดบอนนตสวนใหญ จะไมสำมำรถหำคำประมำณของตวสดทำยได
เชน 1 , 3 , 5 , 7 , … ล ำดบน เพมขนอยำงไมมขอบเขต จงไมสำมำรถประมำณตวสดทำยได
−1 , −3 , −5 , −7 , … ล ำดบน ลดลงอยำงไมมขอบเขต จงไมสำมำรถประมำณตวสดทำยได
3 , −3 , 3 , −3 , … ล ำดบน แกวงไปแกวงมำ ท ำใหบอกไมได วำตวสดทำยประมำณ 3 หรอ −3
“ลมตของล ำดบ” แทนดวยสญลกษณ n
lim 𝑎𝑛 หมำยถง คำประมำณของพจนสดทำย ในล ำดบอนนต {𝑎𝑛}
เชน ล ำดบ 12 ,
1
3 ,
1
4 ,
1
5 , … มลมตของล ำดบ คอ 0
ล ำดบ 3 , 3 , 3 , 3 , … มลมตของล ำดบ คอ 3
ล ำดบ 1 , 3 , 5 , 7 , … หำลมตของล ำดบไมได เปนตน
ในกรณทโจทยใหสตรพจนทวไปมำ กำรหำ n
lim 𝑎𝑛 จะท ำไดโดยกำรแทน 𝑛 ดวย ∞ ลงไป
หลกในกำรค ำนวณคำประมำณ เกยวกบ ∞ จะมดงน ∞ + ∞ → ∞ ∞ − ∞ → ไมร ∞ + 𝑘 → ∞ ∞ − 𝑘 → ∞ 𝑘 − ∞ → −∞
∞ × ∞ → ∞ ∞ × 𝑘 → {
∞ เมอ 𝑘 เปนบวก −∞ เมอ 𝑘 เปนลบไมร เมอ 𝑘 ประมำณ 0
∞
𝑘 → { ∞ เมอ 𝑘 เปนบวก
−∞ เมอ 𝑘 เปนลบ
𝑘
∞ → 0
∞
∞ → ไมร
∞𝑘 → {
∞ เมอ 𝑘 เปนบวก 0 เมอ 𝑘 เปนลบไมร เมอ 𝑘 ประมำณ 0
𝑘∞ →
{
∞ เมอ 𝑘 > 1 1 เมอ 𝑘 = 10 เมอ 0 < 𝑘 < 1ไมร เมอ 𝑘 ประมำณ 0
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 9
ถำแทน 𝑛 ดวย ∞ แลวไดผลเปน “ไมร” แปลวำเรำตองจดรปเพมกอน แลวคอยแทนใหม ถำแทนแลว ค ำนวณคำประมำณได ∞ หรอ −∞ หรอ แกวงไปแกวงมำ ใหตอบวำ
nlim 𝑎𝑛 หำไมได
เชน n
lim 2𝑛 = หำไมได n
lim 1
3𝑛+1 = 0
n
lim 3𝑛 = หำไมได n
lim 1
2−5𝑛 = 0
n
lim 4 = 4 n
lim 4𝑛2 + 1 = หำไมได
n
lim (−1)𝑛 = แกวงระหวำง 1 กบ −1 = หำไมได
ตวอยำง จงหำคำของ n
lim4𝑛+1
𝑛−1
วธท ำ ถำแทน 𝑛 ดวย ∞ จะได ∞∞
ซงประมำณคำตอไมได
ขอน เรำจะจดรป 4𝑛+1𝑛−1
กอน โดยดง 𝑛 จำกเศษและสวนมำตดกน → 4𝑛+1𝑛−1
= 𝑛(4+
1
𝑛)
𝑛(1−1
𝑛) =
4+1
𝑛
1−1
𝑛
จำกนน คอยแทน 𝑛 ดวย ∞ ลงไปใหม จะได 4+
1
𝑛
1−1
𝑛
= 4+
1
∞
1−1
∞
= 4+0
1−0 = 4 #
ในกรณทแทนแลวได ∞∞
เรำจะมวธจดรป โดยกำรดง 𝑛𝑘 จำกทงเศษและสวนมำตดกน
เชน n
lim 2𝑛
3𝑛+5 =
nlim
2𝑛
𝑛(3+5
𝑛) =
nlim
2
3+0 =
2
3
n
lim𝑛2−3𝑛+4
2𝑛2+5 =
nlim
𝑛2(1−3
𝑛+4
𝑛2)
𝑛2(2+5
𝑛2)
= n
lim1−0+0
2+0 =
1
2
n
lim 2𝑛2−𝑛+3
4𝑛3−𝑛2+5𝑛−1 =
nlim
𝑛2(2−1
𝑛+3
𝑛2)
𝑛2(4𝑛−1+5
𝑛−1
𝑛2) =
nlim
2−0+0
4𝑛−1+0−0 = 0
n
lim 2𝑛5+3
𝑛3+2𝑛−2 =
nlim
𝑛3(2𝑛2+3
𝑛3)
𝑛3(1+2
𝑛2−2
𝑛3) =
nlim
2𝑛2+0
1+0−0 = หำไมได
n
lim 4𝑛+3
√𝑛2+5𝑛−2 =
nlim
𝑛(4+3
𝑛)
𝑛(√1+5
𝑛−2
𝑛)
= n
lim4+0
√1+0−0 = 4
สดทำย ตองรจกค ำศพท 2 ค ำ ถำ
nlim 𝑎𝑛 หำคำได จะเรยกส ำดบนนวำเปนล ำดบ “คอนเวอรเจนต” (ล ำดบลเขำ)
ถำ n
lim 𝑎𝑛 หำไมได จะเรยกส ำดบนนวำเปนล ำดบ “ไดเวอรเจนต” (ล ำดบลออก)
เชน 𝑎𝑛 = 1
3𝑛+1 เปนล ำดบคอนเวอรเจนต เพรำะ
nlim
1
3𝑛+1 หำคำได เทำกบ 0
𝑎𝑛 = 4𝑛+1
𝑛 เปนล ำดบคอนเวอรเจนต เพรำะ
nlim
4𝑛+1
𝑛 หำคำได เทำกบ 4
𝑎𝑛 = 3𝑛 เปนล ำดบไดเวอรเจนต เพรำะ n
lim 3𝑛 หำคำไมได เปนตน
เรำจะดงให 𝑛𝑘 ตำมพหนำมทดกรนอยกวำ ระหวำงเศษกบสวน
10 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
แบบฝกหด
1. จงพจำรณำวำล ำดบตอไปน เปนล ำดบคอนเวอรเจนต หรอ ไดเวอรเจนต พรอมทงหำลมตของล ำดบ ในกรณท {𝑎𝑛} เปนล ำดบคอนเวอรเจนต
1. 𝑎𝑛 = 𝑛 2. 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 10
3. 𝑎𝑛 =1
𝑛 4. 𝑎𝑛 = 3𝑛
5. 𝑎𝑛 = (−2)𝑛 6. 𝑎𝑛 = (−1)2𝑛
7. 𝑎𝑛 =(−1)𝑛
𝑛 8. 𝑎𝑛 =
3𝑛2−2
2𝑛+1
9. 𝑎𝑛 = 2+2𝑛2−3𝑛
𝑛2−2𝑛+1−2𝑛3 10. 𝑎𝑛 =
3𝑛3+2𝑛2−3𝑛+5
2𝑛3−3𝑛2+4𝑛−1
11. 𝑎𝑛 = 𝑛+1
√𝑛−2 12. 𝑎𝑛 =
√3𝑛+2
√𝑛−2
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 11
2. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1 = 2 และ
𝑎𝑛 = (𝑛+1
𝑛−1) (𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛−1) ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, … แลวคำของ
nlim
𝑛
𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛 เทำกบเทำใด
[PAT 1 (ต.ค. 53)/37]
3. ก ำหนดให { 𝑎𝑛 } เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1 = 1 และ 𝑎𝑛 + 1 ≤ 𝑎𝑛+1 และ 𝑎𝑛+5 ≤ 𝑎𝑛 + 5
ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … แลวคำของ n
lim1
𝑛
n
k 1
(𝑎𝑘 + 6 − 𝑘) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/40]
4. ก ำหนดให 𝑡𝑛 = 2𝑛 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … และ 𝑎𝑛 = 5𝑡𝑛 + 5−𝑡𝑛 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, …
คำของ n
lim 𝑎𝑛+1
𝑎1𝑎2…𝑎𝑛 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 55)/36]
12 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
กำรหำลมตในรปเศษสวน หวขอน จะพดถงวธหำ
nlim 𝑎𝑛 แบบงำยๆ โดยใชวธดๆ แลวตอบ
วธคอ เรำจะพยำยำมเขยน 𝑎𝑛 ใหอยในรปเศษสวน แลวดวำ ระหวำงเศษกบสวน ใครชนะ โดยเรำจะน ำ “ตวแรงสดของเศษ” มำเทยบกบ “ตวแรงสดของสวน” โดยใชหลกดงน
พหนำมดกรมำก ชนะ พหนำมดกรนอย (ดกร = ก ำลงสงสดของ 𝑛 ในพหนำม) เอกซโพเนนเชยลฐำนมำก ชนะ เอกซโพเนนเชยลฐำนนอย
เอกซโพเนนเชยล ฐำน > 1 ชนะ พหนำม
เอกซโพเนนเชยล ฐำน < 1 แพ พหนำม
เชน 2𝑛+3𝑛
𝑛2+3𝑛−5 →
เอกซโพฐำน 3พหนำมดกร 2 → เศษชนะ 2𝑛−3𝑛
3𝑛+2∙5𝑛 →
เอกซโพฐำน 3เอกซโพฐำน 5 → สวนชนะ
2𝑛+𝑛2
𝑛1000 →
เอกซโพฐำน 2พหนำมดกร 1000 → เศษชนะ 𝑛2
(0.1)𝑛 →
พหนำมดกร 2เอกซโพฐำน < 1 → เศษชนะ
5∙2𝑛+3𝑛
4∙3𝑛+5 →
เอกซโพฐำน 3เอกซโพฐำน 3 → เสมอ 23𝑛−5𝑛
810(3𝑛)−7𝑛 →
(23)𝑛
7𝑛 →
เอกซโพฐำน 8เอกซโพฐำน 7 → เศษชนะ
2𝑛+1
𝑛2−5𝑛+2 →
พหนำมดกร 1พหนำมดกร 2 → สวนชนะ
(𝑛2+1)3
4𝑛5−1 →
(𝑛2)3
4𝑛5 →
พหนำมดกร 6พหนำมดกร 5 → เศษชนะ
3𝑛2+1
𝑛2−1 →
พหนำมดกร 2พหนำมดกร 2 → เสมอ
4𝑛3+20𝑛2−5𝑛+1
𝑛2−7𝑛3+4𝑛−3 →
พหนำมดกร 3พหนำมดกร 3 → เสมอ
√𝑛−1
√𝑛+13 →
พหนำมดกร 12
พหนำมดกร 13
→ เศษชนะ √𝑛3−1
𝑛 →
พหนำมดกร 32
พหนำมดกร 1 → เศษชนะ
เมอตดสนไดแลววำใครชนะ ใหตอบn
lim 𝑎𝑛 ดงน
ถำ เศษชนะ → ตอบ หำไมได
ถำ สวนชนะ → ตอบ 0
ถำ เสมอกน → ตอบ สมประสทธตวแรงสดของเศษสมประสทธตวแรงสดของสวน
(สมประสทธ = ตวเลขทมำคณ)
เชน n
lim 2𝑛+3𝑛
𝑛2+3𝑛−5 = หำไมได
nlim
2𝑛−3𝑛
3𝑛+2∙5𝑛 = 0
n
lim 2𝑛+5𝑛
3𝑛−7𝑛 = 0
nlim
23𝑛−5𝑛
810(3𝑛)−7𝑛+5 = หำไมได
n
lim 5∙2𝑛+3𝑛
4∙3𝑛+5 =
1
4
nlim
2𝑛+1
𝑛2−5𝑛+2 = 0
n
lim 3𝑛2+1
𝑛2−1 =
3
1 = 3
nlim
4𝑛3+20𝑛2−5𝑛+1
𝑛2−7𝑛3+4𝑛−3 =
4
−7 = −
4
7
n
lim (𝑛2+1)
2
𝑛3−5 = หำไมได
nlim
(𝑛3+1)2
2𝑛6−5 =
1
2
เอกซโพ → 𝑛 เปนเลขชก ำลง พพนำม → 𝑛 เปนฐำน
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 13
n
lim 2𝑛+𝑛2
𝑛1000 = หำไมได
nlim
(𝑛2+1)2+3𝑛4
5𝑛4−5 =
4
5
n
lim 𝑛2−5𝑛−𝑛3−3
−𝑛2+3 = หำไมได
nlim
2𝑛2−5𝑛+4
3𝑛3+4𝑛2−2𝑛+5 = 0
n
lim 𝑛2−5𝑛−𝑛3−3
−𝑛2+3𝑛3−5 = −
1
3
nlim
(2𝑛+3)(3𝑛−2)
7𝑛2−3 =
6
7
n
lim (𝑛)(𝑛2−3𝑛+1)(3𝑛+1)
(2𝑛−1)4 =
3
16
nlim
(𝑛−1)2(2−𝑛2)
7𝑛3−3 = หำไมได
n
lim √𝑛
𝑛2−1 = 0
nlim
√𝑛−1
√𝑛+13 = หำไมได
n
lim √𝑛3
+2
2√𝑛−5 = 0
nlim
5−𝑛
√𝑛2+1+√4𝑛2−5 = −
1
3
n
lim (32)𝑛
= n
lim 3𝑛
2𝑛 = หำไมได
nlim
√𝑛3+2
2𝑛−5 = หำไมได
n
lim (−1
2)𝑛
= n
lim (−1)𝑛
2𝑛 =
แกวง 1 กบ −1เอกซโพฐำน 2 = 0
ในกรณท 𝑎𝑛 ไมไดอยในรปเศษสวน เรำจะมวธท ำใหเปนเศษสวน โดยกำรคณดวยคอนตเกต ทงเศษและสวน
โดยกำรคณดวยคอนจเกต จะท ำใหเขำสตร (น+ ล)( น− ล) = น2 − ล2 ได
หมำยเหต : คอนจเกต คอ ตวทเหมอนกน ยกเวนเครองหมำยตรงกลำง เปลยนเปนตรงขำม
เชน คอนจเกต ของ √𝑛 + 2 คอ √𝑛 − 2
คอนจเกต ของ 3√𝑛 − 2√𝑛 − 1 คอ 3√𝑛 + 2√𝑛 − 1 เปนตน
ตวอยำง จงหำคำของ n
lim √𝑛 + 1 − √𝑛
วธท ำ เปลยนรปใหเปน เศษสวน โดยกำรคณดวยคอนจเกต = √𝑛 + 1 + √𝑛 ทงเศษและสวน ดงน
จะเหนวำขำงลำงแรงกวำ ดงนน n
lim √𝑛 + 1 − √𝑛 = 0 #
√𝑛 + 1 − √𝑛 = (√𝑛+1−√𝑛)(√𝑛+1+√𝑛)
(√𝑛+1+√𝑛)
= (√𝑛+1)
2−(√𝑛)
2
√𝑛+1+√𝑛
= 𝑛+1−𝑛
√𝑛+1+√𝑛
= 1
√𝑛+1+√𝑛
14 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
แบบฝกหด 1. จงพจำรณำวำล ำดบตอไปน เปนล ำดบคอนเวอรเจนต หรอ ไดเวอรเจนต พรอมทงหำลมตของล ำดบ ในกรณท {𝑎𝑛}
เปนล ำดบคอนเวอรเจนต
1. 𝑎𝑛 =1−3𝑛
5∙3𝑛+4 2. 𝑎𝑛 =
2𝑛+1
2−3𝑛
3. 𝑎𝑛 = (2
3)𝑛
4. 𝑎𝑛 =3𝑛
0.9𝑛
5. 𝑎𝑛 =22𝑛+1−3𝑛
4∙2𝑛+5∙3𝑛 6. 𝑎𝑛 =
2𝑛−1
3𝑛2−5𝑛+2
7. 𝑎𝑛 =4𝑛2+3𝑛−2
2𝑛2+𝑛−1 8. 𝑎𝑛 =
3+2𝑛2−𝑛
2−3𝑛
9. 𝑎𝑛 =4𝑛3−1
2𝑛−𝑛3 10. 𝑎𝑛 =
3𝑛+𝑛2+1−𝑛2
2−3𝑛2
11. 𝑎𝑛 = 2 − 𝑛 12. 𝑎𝑛 =1
𝑛
13. 𝑎𝑛 =3𝑛2+2𝑛
(𝑛+1)(𝑛−1) 14. 𝑎𝑛 =
(𝑛+2)(2𝑛−5)
3𝑛−(2𝑛+1)(2𝑛−1)
15. 𝑎𝑛 = 5 16. 𝑎𝑛 =√5𝑛3+2+√𝑛+2
2𝑛√𝑛+1
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 15
2. ก ำหนดให 𝛽 เปนจ ำนวนจรง และให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรงทนยำมโดย 𝑎𝑛 =𝛽𝑛−7
𝑛+2
ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … ถำผลบวก 9 พจนแรกมคำมำกกวำผลบวก 7 พจนแรกของล ำดบ {𝑎𝑛} เปนจ ำนวนเทำกบ 𝑎108 แลว
nlim 𝑎𝑛 มคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/35]
3. พจำรณำล ำดบ 𝑎𝑛 และ 𝑏𝑛 ตอไปน ล ำดบใดบำง เปนล ำดบลเขำ [A-NET 49/1-16]
𝑎𝑛 = {𝑛2
2𝑛+1เมอ 𝑛 ≤ 100
2 เมอ 𝑛 > 100 𝑏𝑛 = {
2 เมอ 𝑛 ≤ 100𝑛2
2𝑛+1เมอ 𝑛 > 100
4. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนล ำดบเลขคณตทสอดคลองกบเงอนไข n
lim (𝑎𝑛−𝑎1
𝑛) = 5
ถำ 𝑎9 + 𝑎5 = 100 แลว 𝑎100 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/29]
16 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
5. ถำ 𝑎𝑛 เปนล ำดบเลขคณตซง n
lim (𝑎𝑛+12 −𝑎𝑛
2
𝑛) = 4 แลว √𝑎17−𝑎9
2 มคำเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-15]
6. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1 = 1 และ
𝑎𝑛 = (1 −1
4) (1 −
1
9)…(1 −
1
𝑛2) ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, 4, … คำของ
nlim 𝑎𝑛 เทำกบเทำใด
[PAT 1 (ม.ค. 58)/44]
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 17
7. คำของ x
lim (√𝑥(𝑥 − 1) − 𝑥 + 2) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/19]
8. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = √𝑛2 + 16𝑛 + 3 − √𝑛2 + 2 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … คำของ n
lim √𝑎𝑛3 เทำกบเทำใด
[PAT 1 (ม.ค. 57)/20]
18 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
กำรหำผลบวกอนกรมดวยซกมำ
ในคณตศำสตรพนฐำน เรำไดรจกสญลกษณ ∑ ไปแลว
โดย สญลกษณ b
ai จะหมำยถงกำรน ำกอน มำบวกซ ำๆกน หลำยๆกอน
โดยกอนแรก ให 𝑖 = 𝑎 และ กอนถดไป ใหเพม 𝑖 ขนทละ 1 ไปเรอยๆ จนจบกอนสดทำยท 𝑖 = 𝑏
เชน 6
3i
𝑖2 + 1 = (32 + 1) + (42 + 1) + (52 + 1) + (62 + 1)
= 10 + 17 + 26 + 37 = 80
4
1i
𝑖(𝑖 + 1) = (1)(1 + 1) + (2)(2 + 1) + (3)(3 + 1) + (4)(4 + 1)
= 2 + 6 + 12 + 20 = 40
และสมบตทส ำคญของ ∑ มดงน
ถำหลง ∑ เปนคำคงท ใหเอำคำคงทคณจ ำนวนพจนทน ำมำบวกกนไดเลย
เชน 4
1i
7 = 7 × 4 = 28 8
1i
5 = 5 × 8 = 40
10
1i
−3 = −3 × 10 = −30 9
3i
−2 = −2 × 7 = −14
ดง “คำคงท” ทคณหรอหำรอย ออกมำคณหรอหำร นอก ∑ ได
เชน 5
1i
4𝑖 = 4 5
1i𝑖
9
1i
−2𝑖2 = −2 9
1i𝑖2
12
9i
𝑖
3 =
1
3
12
9i𝑖
6
1i
−3𝑖3
4 = −
3
4
6
1i𝑖3
∑ กระจำยในกำรบวกลบได แตกระจำยในกำรคณหำรไมได
เชน 5
3i
2𝑖 − 𝑖 = 5
3i2𝑖 −
5
3i𝑖
แต 4
3i
𝑖(𝑖 + 1) ≠
4
3
4
31
iiii
ถำจะกระจำย 4
3i
𝑖(𝑖 + 1) เรำตองเปลยน 𝑖(𝑖 + 1) ใหอยในรปของกำรบวกลบกอน
เชน 4
3i
𝑖(𝑖 + 1) = 4
3i
𝑖2 + 𝑖
= 5
3i𝑖2 +
5
3i𝑖
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 19
ในกำรหำผลบวกของอนกรมดวยซกมำ เรำตองทองสตรเพม 3 สตร ดงน
เชน 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = (5)(5+1)(2∙5+1)
6 =
(5)(6)(11)
6 = 55
1 + 2 + 3 + … + 12 = 12
2(12 + 1) = 6 × 13 = 78
13 + 23 + 33 + … + 83 = [8
2(8 + 1)]
2 = (4 × 9)2 = 1296
จำกควำมรทงหมดทกลำวมำ เรำจะสำมำรถหำผลบวกของอนกรมบำงชนดได
โดยมขนตอนงำยๆ คอ เขยน ∑ → กระจำย → ใชสตร เชน ถำตองกำรหำคำของ 9 + 16 + 25 + … + 121 จะมขนตอนกำรท ำ ดงน 1) เขยน ∑ : กำรเขยน ∑ ตองร 2 อยำง คอ “สตรพจนทวไป” กบ “จ ำนวนพจน”
โดยเรำตองเอำสตรพจนทวไป มำเปลยน 𝑛 เปน 𝑖 แลวเตมจ ำนวนพจนไวขำงบน ∑ ขอนไมใชทงอนกรมเลขคณต หรออนกรมเรขำคณต ตองเดำสตรพจนทวไปเอง
จะเหนวำ 9 + 16 + 25 + … + 121 = 32 + 42 + 52 + … + 112
จะไดสตรพจนทวไปคอ 𝑎𝑛 = (𝑛 + 2)2
หำจ ำนวนพจนทบวกกน โดยแกสมกำร
ดงนน 9 + 16 + 25 + … + 121 = 9
1i
(𝑖 + 2)2
2) กระจำย : ขนตอน ตองใชสมบตของ ∑ กระจำยเขำไปใหลกทสด ดงน
3) ใชสตร : #
1 + 2 + 3 + … + 𝑛 =
n
i 1
𝑖 = 𝑛
2(𝑛 + 1)
12 + 22 + 32 + … + 𝑛2 =
n
i 1
𝑖2 = (𝑛)(𝑛+1)(2𝑛+1)
6
13 + 23 + 33 + … + 𝑛3 =
n
i 1
𝑖3 = [𝑛
2(𝑛 + 1)]
2
(𝑛 + 2)2 = 112 𝑛 = 9
9
1i
(𝑖 + 2)2 = 9
1i
𝑖2 + 4𝑖 + 4
= 9
1i𝑖2 +
9
1i
4𝑖 + 9
1i
4
= 9
1i𝑖2 + 4
9
1i𝑖 + 36
= (9)(10)(19)
6 + 4 ∙
9
2∙ 10 + 36
= 285 + 180 + 36 = 501
20 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
ตวอยำง จงหำคำของ 12
1i
𝑖(𝑖 + 2)
วธท ำ ขอนใจด ท ำเปนรป ∑ มำใหแลว ทเหลอกแค เอำไปกระจำยกบแทนสตร ดงน #
แบบฝกหด
1. จงหำคำในแตละขอตอไปน
1. 1 + 2 + 3 + … + 20 2. 13+23+33+...+103
1+2+3+...+10
3. 12+22+32+...+𝑘2
𝑘
2. จงหำคำของ (1)(1) + (2)(3) + (3)(5) + … + (8)(15)
12
1i
𝑖(𝑖 + 2) = 12
1i
𝑖2 + 2𝑖
= 12
1i𝑖2 +
12
1i2𝑖
= 12
1i𝑖2 + 2
12
1i𝑖
= (12)(13)(25)
6 + 2 ∙
12
2∙ 13
= 650 + 156
= 806
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 21
3. คำของ
9999
1n
1
(√𝑛+√𝑛+1)( √𝑛4 + √𝑛+1
4) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/40]
4. ถำ {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรงท 𝑎𝑛 =2+4+6+⋯+2𝑛
𝑛2 ส ำหรบทกจ ำนวนเตมบวก 𝑛
แลว n
lim 𝑎𝑛 มคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 53)/35]
5. ถำ 𝐴 = n
lim (2𝑛𝑘
1+8+27+...+𝑛3) มคำเปนจ ำนวนจรงบวกแลว แลวคำของ 𝐴 เทำกบเทำใด
[PAT 1 (ก.ค. 52)/30]
22 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
6. n
lim (3𝑛+12𝑛+27𝑛+ … +3𝑛3
1+8+27+ … +𝑛3) มคำเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-16]
7. ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, 4, … ให 𝑎𝑛 = 1 + 2 + 3 + … + 𝑛
คำของ n
lim𝑎2𝑎3𝑎4…𝑎𝑛
(𝑎2−1)(𝑎3−1)(𝑎4−1)…(𝑎𝑛−1) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/37]
8. ก ำหนดให 𝑎𝑛 =1
𝑛𝑘[1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) +⋯+ (𝑛 +⋯+ 𝑛)⏞
𝑛 พจน
] โดยท 𝑘 เปนคำคงตวทท ำให
nlim 𝑎𝑛 = 𝐿, 𝐿 > 0 แลว 6(𝐿 + 𝑘) มคำเทำใด [A-NET 51/2-8]
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 23
9. ก ำหนดให 12+22+32+⋯+𝑛2
1(2)+2(3)+3(4)+⋯+(𝑛−1)𝑛 =
231
228 จงหำคำของ 𝑛 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/42]
10. ให {𝑎𝑛} เปนล ำดบเลขคณต โดยท 𝑎1 = 2 และ 𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 < … สมมตวำ 𝑎2, 𝑎4, 𝑎8 เรยงกนเปน
ล ำดบเรขำคณต จงหำคำของ 𝑛 ทท ำให (𝑎1−1)3+(𝑎2−1)
3+ … +(𝑎𝑛−1)3
𝑎13+𝑎2
3+ … +𝑎𝑛3 =
391
450 [PAT 1 (พ.ย. 57)/38]
11. ก ำหนดแบบรป 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, … จ ำนวนในพจนท 5060 ของรปแบบนมคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/46]
24 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
12. หนงสอเลมหนงม 500 หนำ หนำแรกมค ำผด 1 ค ำ เวนไป 1 หนำ หนำทสำมมค ำผด 1 ค ำ เวนไป 3 หนำ หนำทเจด มค ำผด 1 ค ำ เวนไป 5 หนำ เปนเชนนตอๆไป จ ำนวนหนำทไมมค ำผดจะเพมขนทละ 2 หนำ จ ำนวนค ำผดในหนงสอเลมนเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 57)/44]
13. พจำรณำกำรจดเรยงล ำดบของจ ำนวนค 1, 3, 5, 7, 9, … ในตำรำงดงตอไปน
จำกตำรำงจะเหนวำ จ ำนวน 15 อยต ำแหนงท 2 (จำกซำย) ของแถวท 4
อยำกทรำบวำ จ ำนวน 361 จะอยต ำแหนงใดในแถวทเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/25]
แถวท 1 1
แถวท 2 3 5
แถวท 3 7 9 11
แถวท 4 13 15 17 19
แถวท 5 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 25
14. พจำรณำรปตอไปน
ใหเตมจ ำนวนเตมบวก 1, 2, 3, … , 11 ลงในชองรปสเหลยมชองละ 1 จ ำนวน โดยใหผลบวกของจ ำนวนในแนวตงเทำกบ 43 และผลบวกของจ ำนวนในแนวนอน เทำกบ 28 จ ำนวน 𝑥 ในชองรปสเหลยมมม เทำกบเทำใด
[PAT 1 (ม.ค. 53)/49]
15. จำกตำรำงทก ำหนดให มชองวำงทงหมด 16 ชอง ดงรป
ใหเตมจ ำนวนเตมบวก 1, 2, 3, … , 16 ลงในชองสเหลยมชองละ 1 จ ำนวน โดยใหผลบวกของจ ำนวนในแตละแถว ((ก) และ (ข)) และในแตละหลก ((ค) และ (ง)) มคำเทำๆกน
ถำเตมจ ำนวนเตมบวก 1, 5, 13 ดงปรำกฏในตำรำงแลว จ ำนวน 𝑥 ในตำรำง เทำกบเทำใด
[PAT 1 (ก.ค. 53)/47]
𝑥
แนวตง
แนวนอน
1 5
𝑥 13
หลก (ค) หลก (ง)
แถว (ก)
แถว (ข)
26 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
ทบทวนอนกรมเลขคณต
สตรส ำหรบหำผลบวกของอนกรมเลขคณต ม 2 สตร ดงน
เมอ 𝑆𝑛 คอ ผลบวกของอนกรม 𝑎1 คอพจนแรก , 𝑎𝑛 คอพจนสดทำย
𝑛 คอจ ำนวนพจนทน ำมำบวก
𝑑 คอผลตำงรวมในล ำดบเลขคณต
แบบฝกหด
1. ถำล ำดบเลขคณตชดหนงมผลบวก 10 พจนแรกเทำกบ 205 และผลบวกอก 10 พจนถดไปเทำกบ 505 แลว ผลบวก 55 พจนแรกของล ำดบเลขคณตนเทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/36]
2. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบเลขคณต โดยมสมบต ดงน (ก) 𝑎15 − 𝑎13 = 3
(ข) ผลบวก 𝑚 พจนแรกของล ำดบเลขคณตน เทำกบ 325 และ
(ค) ผลบวก 4𝑚 พจนแรกของล ำดบเลขคณตน เทำกบ 4900
แลวพจน 𝑎2𝑚 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/17]
𝑆𝑛 = 𝑛
2(𝑎1 + 𝑎𝑛) (1)
𝑆𝑛 = 𝑛
2[2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑] (2)
สตรแรก จะใชเมอเรำรพจนสดทำย
นอกนน ใชสตรทสอง
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 27
3. ก ำหนดอนกรมเลขคณต 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎201 ถำ 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + … + 𝑎201 = 303
แลวจงหำคำของ 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + … + 𝑎200 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/15]
4. ให {𝑎𝑛} และ {𝑏𝑛} เปนล ำดบเลขคณตของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1+𝑎2+ … +𝑎𝑛𝑏1+𝑏2+ … +𝑏𝑛
= 𝑛+1
2𝑛−1 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …
คำของ 2𝑏100𝑎100
เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 58)/38]
28 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
5. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎𝑛+1 = 𝑛2 − 𝑎𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …
คำของ 𝑎1 ทท ำให 𝑎101 = 5100 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/16]
6. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎1000 เปนล ำดบของจ ำนวนจรงทสอดคลองกบ 𝑎1
𝑎1+2 =
𝑎2
𝑎2+3 =
𝑎3
𝑎3+4 = … =
𝑎1000
𝑎1000+1001
และ 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎1000 = 250000 แลวคำของ 𝑎1 + 𝑎1000 เทำกบเทำใด
PAT 1 (เม.ย. 57)/36]
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 29
ทบทวนอนกรมเรขำคณต
สตรส ำหรบหำผลบวกของอนกรมเรขำคณต จะม 2 สตร ดงน
เมอ 𝑆𝑛 คอ ผลบวกของอนกรม 𝑎1 คอพจนแรก , 𝑎𝑛 คอพจนสดทำย
𝑛 คอจ ำนวนพจนทน ำมำบวก
𝑟 คออตรำสวนรวมในล ำดบเรขำคณต
แบบฝกหด
1. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนล ำดบทสอดคลองกบ 𝑎𝑛+2
𝑎𝑛= 2 ส ำหรบทกจ ำนวนนบ 𝑛
ถำ
10
1n
𝑎𝑛 = 31 แลว
2552
1n
𝑎𝑛 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/30]
2. ล ำดบเรขำคณตชดหนง มอตรำสวนรวมเปนจ ำนวนจรงบวก
ถำผลบวกของสองพจนแรก เทำกบ 20 และผลบวกของสพจนแรก เทำกบ 65
แลว ผลบวกของหกพจนแรก เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 55)/34]
𝑆𝑛 = 𝑎1−𝑎𝑛𝑟
1−𝑟 (1)
𝑆𝑛 = 𝑎1(1−𝑟
𝑛)
1−𝑟 (2)
สตรแรก จะใชเมอเรำรพจนสดทำย
นอกนน ใชสตรทสอง
30 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
3. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยทม 𝑎1 = 2 และ 𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1 + 1 ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, 4, …
และก ำหนดให 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛 ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ม.ค. 57)/26] 1. 2𝑆𝑛 = 5(3𝑛−1) − 2𝑛 + 1 2. 2𝑆𝑛 = 2(3𝑛) + 3𝑛−1 − 𝑛 − 1
3. 4𝑆𝑛 = 4(3𝑛) + 3𝑛−1 − 4𝑛 − 1 4. 4𝑆𝑛 = 5(3𝑛) − 2𝑛 − 5
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 31
อนกรมเรขำคณตดดแปลง หวขอน จะพดถงอนกรมทเกดจำกกำรดดแปลงอนกรมเรขำคณต เอำไปผสมกบอนกรมอน เชน (3 ∙ 2) + (5 ∙ 22) + (7 ∙ 23) + … + (15 ∙ 27)
เกดจำกกำรผสมระหวำงอนกรมเรขำคณต 2 , 22 , 23 , … , 27 กบ อนกรมเลขคณต 3 , 5 , 7 , … , 15
อนกรมประเภทน ไมสำมำรถท ำในขนตอนเดยวเหมอนทผำนมำได
แตตองใชวธ “หกกบตวมนเอง” ใหกลำยเปนอนกรมเรขำคณตทงำยขนกอน ดงน 1. สมมตใหผลบวกทตองกำรหำ เทำกบ 𝑥 → สมกำร (1)
2. คณหรอหำรทงสองขำง ดวย อตรำสวนรวม (𝑟) ของล ำดบเรขำคณต → สมกำร (2)
3. เขยน สมกำร (1) กบ (2) ใหเลขชก ำลงของ 𝑟 ตรงกน
น ำสมกำร (1) กบ (2) มำลบกน จะเกดกำรหกกน ไดเปนอนกรมทงำยขน
ตวอยำง จงหำคำของ (3 ∙ 2) + (5 ∙ 22) + (7 ∙ 23) + … + (21 ∙ 210)
วธท ำ อนดบแรก สมมตใหผลบวกทตองกำรหำ เทำกบ 𝑥
ถดมำ คณทงสองขำง ดวย อตรำสวนรวม (𝑟) ของล ำดบเรขำคณต จะเหนวำขอน 𝑟 = 2
จำกนน เขยน (1) กบ (2) ใหเลขชก ำลงตรงกน แลวเอำ (1) − (2) โดยลบเปนหลกๆ
(ตวแรกกบตวสดทำย จะไมมคลบ ใหชกลงมำ / เปลยนเครองหมำย เหมอนตอนลบพหนำมตำมปกต) จะเหนวำผลลบ มสวนทเปนอนกรมเรขำคณต และสำมำรถใชสตร 𝑆𝑛 =
𝑎1−𝑎𝑛𝑟
1−𝑟 ตอได
ดงนน (3 ∙ 2) + (5 ∙ 22) + (7 ∙ 23) + … + (15 ∙ 27) = 38914 #
(3 ∙ 2) + (5 ∙ 22) + (7 ∙ 23) + … + (19 ∙ 29) + (21 ∙ 210) = 𝑥 (1)
(3 ∙ 22) + (5 ∙ 23) + (7 ∙ 24) + … + (19 ∙ 210) + (21 ∙ 211) = 2𝑥 (2)
อนกรมเรขำคณต = 2∙22−2∙210∙2
1−2 = 4088
(3 ∙ 2) + (5 ∙ 22) + (7 ∙ 23) + (9 ∙ 24) + … + (21 ∙ 210) = 𝑥 (1) (3 ∙ 22) + (5 ∙ 23) + (7 ∙ 24) + … + (19 ∙ 210) + (21 ∙ 211) = 2𝑥 (2)
(3 ∙ 2) + (2 ∙ 22) + (2 ∙ 23) + (2 ∙ 24) + … + ( 2 ∙ 210) − (21 ∙ 211) = −𝑥
−
6 + 4088 − 43008 = −𝑥 −38194 = −𝑥 38194 = 𝑥
32 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
แบบฝกหด
1. จงหำผลบวกของอนกรมตอไปน
1. 1 ∙ 2 + 2 ∙ 22 + 3 ∙ 23 + … + 7 ∙ 27
2. 1 ∙ 2 − 2 ∙ 22 + 3 ∙ 23 − … + 7 ∙ 27
3. 1 ∙ 1 + 3 ∙ 31 + 5 ∙ 32 + … + 11 ∙ 35
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 33
4. 1
20+2
2+
3
22+⋯+
6
25
2. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = n
k 1
𝑘
2𝑘 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … คำของ
nlim
2𝑛(6−3𝑎𝑛)
√𝑛2+5𝑛+1 เทำกบเทำใด
[PAT 1 (ม.ค. 57)/37]
3. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 𝑛23𝑛
32𝑛+1 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … จงหำคำของ
1n
𝑎𝑛 [PAT 1 (ต.ค. 58)/20]
34 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
อนกรมเทเลสโคปค มอนกรมจ ำนวนมำก ทไมใชอนกรมเลขคณต ไมใชอนกรมเรขำคณต และใชสมบตของ ∑ ไมได
ถำจะหำผลบวกของอนกรมแบบแปลกๆ เรำจะตองใชเทคนคอนๆมำชวย ตำมลกษณะของอนกรม
ในหวขอน จะพดถงเทคนคกำร “สอง” พจนรอบขำงมำหกกน (Telescope = กลองสอง) หวใจของเรองน คอ กำรจดรปแตละพจนในอนกรม ใหเปน “ผลลบ” โดยเมอแยกเปนผลลบไดแลว เรำจะหวงวำ พจนคทอยตดกน จะมบำงตวตดกนได
วธจดรปพจนใหเปนผลลบ จะมอย 2 วธ คอ กำรใชคอนจเกต กบ กำรแตกเศษสวน
คอนจเกต คอ ตวทเหมอนกน ยกเวนเครองหมำยตรงกลำง เปลยนเปนตรงขำม
เชน คอนจเกต ของ √𝑛 + 2 คอ √𝑛 − 2
คอนจเกต ของ 3√𝑛 − 2√𝑛 − 1 คอ 3√𝑛 + 2√𝑛 − 1 เปนตน โดยกำรคณดวยคอนจเกต จะท ำใหเขำสตร (น+ ล)( น− ล) = น2 − ล2 ได
ตวอยำง จงหำคำของ 99
1i
1
√𝑖+1+√𝑖
วธท ำ ลองจดรปโดยกำรคณดวยคอนจเกต จะได
เมอเขยนพจนในรปผลลบไดแลว ใหกระจำย ∑ ดวยควำมหวงวำจะมบำงตว ตดกนได
จะเหนวำ “ตวหนำของพจนหนำ” ตดกบ “ตวหลงของพจนหลง” ไดทกคพจน
สดทำย จะตดกนได “เกอบ” หมดทกตว สงทยำกกคอ ตองคดใหรอบคอบวำ “เหลอตวไหน” เนองจำก “ตวหนำของพจนหนำ” ตดกบ “ตวหลงของพจนหลง” ดงนน จะเหลอ “ตวหลงของพจนหนำสด” = −√1 กบ “ตวหนำพจนหลงสด” = √100
ดงนน 99
1i
1
√𝑖+1+√𝑖 = −√1 + √100 = −1 + 10 = 9 #
1
√𝑖+1+√𝑖 =
1
√𝑖+1+√𝑖∙√𝑖+1−√𝑖
√𝑖+1−√𝑖
= √𝑖+1−√𝑖
(𝑖+1)−(𝑖)
= √𝑖 + 1 − √𝑖
99
1i
1
√𝑖+1+√𝑖 =
99
1i
√𝑖 + 1 − √𝑖
= (√2 − √1) + (√3 − √2) + (√4 − √3) + (√5 − √4) + … +
(√98 − √97) + (√99 − √98) + (√100 − √99)
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 35
นอกจำกคอนจเกต อกวธทแปลงรปพจนใหเปนผลลบได คอ วธ “แตกเศษสวน” วธน จะคลำยๆกบตอนทเรำลบเศษสวน เพยงแคครำวนเรำจะท ำกลบ เพอแตกเศษสวนใหกลำยเปนผลลบ
เชน 1
(3)(5) = (
1
3−1
5) (
1
2)
1
(2)(6) = (
1
2−1
6) (
1
4)
1
(2)(3) = (
1
2−1
3)
2
(4)(7) = (
1
4−1
7) (
2
3)
5
(4)(9) = (
1
4−1
9) 5
(2)(3)(5) = (
1
(2)(3)−
1
(3)(5)) (
5
3)
เมอน ำควำมรเรองกำรแตกเศษสวนไปใชแปลงพจนใหเปนผลลบ เรำจะหำผลบวกของอนกรมบำงขอได
เชน 20
1i
1
(𝑖)(𝑖+1) =
20
1i
(1
𝑖−
1
𝑖+1)
= (1
1−1
2) + (
1
2−1
3) + (
1
3−1
4) + … + (
1
19−
1
20) + (
1
20−
1
21)
= 1
1 −
1
21 =
20
21
12
1i
2
(3𝑖−1)(3𝑖+2) =
12
1i
(1
3𝑖−1−
1
3𝑖+2) (
2
3) = (
2
3)
12
1i
(1
3𝑖−1−
1
3𝑖+2)
= (2
3) [(
1
2−1
5) + (
1
5−1
8) + (
1
8−
1
11) + ⋯+ (
1
32−
1
35) + (
1
35−
1
38)]
= (2
3) [1
2−
1
38]
= 2
3 ∙ 18
38 =
6
19
8
1i
3
(2𝑖+1)(2𝑖+3)(2𝑖+5) =
8
1i
(1
(2𝑖+1)(2𝑖+3)−
1
(2𝑖+3)(2𝑖+5)) (
3
4)
= (3
4)
8
1i
(1
(2𝑖+1)(2𝑖+3)−
1
(2𝑖+3)(2𝑖+5))
= (3
4) [(
1
3∙5−
1
5∙7) + (
1
5∙7−
1
7∙9) + (
1
7∙9−
1
9∙11) + ⋯+
(1
15∙17−
1
17∙19) + (
1
17∙19−
1
19∙21)]
= (3
4) [
1
3∙5−
1
19∙21]
= (3
4) [
133−5
5∙19∙21] =
32
665
1
𝑎𝑏 = (
1
𝑎−1
𝑏) (
1
𝑏−𝑎)
1
𝑎𝑏𝑐 = (
1
𝑎𝑏−
1
𝑏𝑐) (
1
𝑐−𝑎)
1
𝑎𝑏𝑐𝑑 = (
1
𝑎𝑏𝑐−
1
𝑏𝑐𝑑)(
1
𝑑−𝑎)
1
𝑎−1
𝑏 =
𝑏−𝑎
𝑎𝑏
1
𝑎𝑏−
1
𝑏𝑐 =
𝑐−𝑎
𝑎𝑏𝑐
1
𝑎𝑏𝑐−
1
𝑏𝑐𝑑 =
𝑑−𝑎
𝑎𝑏𝑐𝑑
36 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
8
1i
𝑖2
(2𝑖−1)(2𝑖+1) =
8
1i
(1
2𝑖−1−
1
2𝑖+1) (
𝑖2
2) = (
1
2)
8
1i
(𝑖2
2𝑖−1−
𝑖2
2𝑖+1)
= (1
2) [(
12
1−12
3) + (
22
3−22
5) + (
32
5−32
7) +⋯+ (
72
13−72
15) + (
82
15−82
17)]
= (1
2) [12
1+ (
22
3−12
3) + (
32
5−22
5) +⋯+ (
82
15−72
15) + (−
82
17)]
= (1
2) [12
1+(2−1)(2+1)
3+(3−2)(3+2)
5+⋯+
(8−7)(8+7)
15+ (−
82
17)]
= (1
2) [1 + 1 + 1 + ⋯+ 1 + (−
82
17)]
= (1
2) [8 −
64
17]
= 4 − 32
17 =
68−32
17 =
36
17
แบบฝกหด
1. จงหำผลบวกของอนกรมตอไปน
1. 1
3∙5+
1
5∙7+
1
7∙9+⋯+
1
13∙15 2.
10
1i
3
4𝑖2−1
2. ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 1 +1
𝑛−
1
𝑛2 และ 𝑏𝑛 = 1 −
1
𝑛−
1
𝑛2
จงหำจ ำนวนเตมบวก 𝑛 ทท ำให 𝑎2𝑎3…𝑎𝑛𝑏2𝑏3…𝑏𝑛
= 1331 [PAT 1 (ต.ค. 55)/49]
3. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรงโดยท 𝑎𝑛 = 1
4+8+12+⋯+4𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …
ผลบวกของอนกรม 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯ เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/18]
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 37
4. ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 2 + 4 + 6 + … + 2𝑛 และ 𝑏𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛
คำของ n
lim [2
𝑏1+
3
𝑏2+
4
𝑏3+⋯+
𝑛+1
𝑏𝑛] เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/34]
5. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎𝑛 =
n
k 1
𝑘2
(2𝑘−1)(2𝑘+1) ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …
n
lim16
𝑛𝑎𝑛 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/16]
6. ให 𝑎 เปนจ ำนวนจรงบวก และให {𝑏𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑏𝑛 = (𝑎 + 𝑛 − 1)(𝑎 + 𝑛) ส ำหรบ
𝑛 = 1, 2, 3, … ถำ 𝑎 สอดคลองกบ n
lim (𝑎+1
𝑏1𝑏2+𝑎+2
𝑏2𝑏3+⋯+
𝑎+𝑛
𝑏𝑛𝑏𝑛+1) =
1
312 แลวคำของ 𝑎2 + 57 เทำกบ
เทำใด [PAT 1 (พ.ย. 57)/35]
38 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
7. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 𝑛2
16𝑛2−4 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … ถำ
nlim
𝑎1+𝑎2+𝑎3+ … +𝑎𝑛
𝑛 =
𝑎
𝑏 โดยท 𝑎 และ 𝑏 เปนจ ำนวน
เตมบวก ซง ห.ร.ม. ของ 𝑎 และ 𝑏 เทำกบ 1 แลว 𝑎2 + 𝑏2 เทำกบเทำใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/20]
8. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = √1+ (1 +1
𝑛)2+√1 + (1 −
1
𝑛)2 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …
คำของ 1𝑎1+
1
𝑎2+⋯+
1
𝑎20 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/39]
9. จงหำคำของ n
lim 1𝑛(√1 +
1
12+
1
22+√1 +
1
22+
1
32+⋯+√1+
1
𝑛2+
1
(𝑛+1)2)
[PAT 1 (ม.ค. 55)/35]
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 39
10. ก ำหนดให 𝑏𝑛 = n
k 1 (
𝑘
𝑘4+𝑘2+1) จงหำคำ 𝑐 ทท ำให
nlim (−1 + 𝑐𝑏𝑛) = 4 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/37*]
11. ถำ {𝑎𝑛} และ {𝑏𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎𝑛 = 2𝑛
𝑛(𝑛+2) และ 𝑏𝑛 =
3𝑛
5𝑛+18 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …
แลวอนกรม 𝑎1𝑏1+𝑎2
𝑏2+𝑎3
𝑏3+ … มผลบวกเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 58)/42]
12. ถำ 𝐴 = 1
1∙2 +
1
3∙4 + … +
1
(2015)(2016) และ 𝐵 =
1
(1009)(2016) +
1
(1010)(2015) + … +
1
(2016)(1009)
แลวคำของ 20𝐴11𝐵
เทำกบเทำใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/44]
40 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
อนกรมอนนต อนกรมอนนต หมำยถง กำรน ำตวเลขในล ำดบอนนต มำบวกกน ไปเรอยๆ อยำงไมมทสนสด
เชน 1 + 3 + 5 + 7 + … 1 + 4 + 9 + 16 + …
0.3 + 0.03 + 0.003 + … 1
2 +
1
4 +
1
8 +
1
16 + …
ในเรองน เรำจะไดเรยนวธประมำณคำผลบวกของอนกรมอนนตเหลำน
อยำงไรกตำม ตองรกอนวำอนกรมอนนต “สวนใหญ” หำคำประมำณของผลบวกไมได
เชน 1 + 3 + 5 + 7 + … ผลบวกเพมอยำงไมมขอบเขต จงไมสำมำรถประมำณคำผลบวกได
1
10 +
1
10 +
1
10 + … ถง 1
10 จะมคำนอย แตถำบวกอยำงไมสนสด ผลบวกกจะเพมอยำงไมมขอบเขตได
จงไมสำมำรถประมำณคำผลบวกได
(−1) + (−2) + (−3) + … ผลบวก เปนคำตดลบอยำงไมมขอบเขต จงไมสำมำรถประมำณคำผลบวกได
3 + (−3) + 3 + (−3) + … ผลบวกแกวงไปมำระหวำง 3 กบ 0 จงประมำณคำผลบวกไมได
1
2 +
1
3 +
1
4 +
1
5 +
1
6 +
1
7 + … ผลบวกเพมไดอยำงไมมขอบเขต เพรำะ จบกลม 1
2 กกลมกได ดงน
แต 0.3 + 0.03 + 0.003 + … ประมำณคำผลบวกได 0.333333… = 13
1
2 +
1
4 +
1
8 +
1
16 + … ประมำณคำผลบวกได 1 เพรำะ
ค ำศพททใช จะใชค ำวำ คอนเวอรเจนต กบ ไดเวอรเจนต คลำยๆกบในเรองล ำดบอนนต
ถำสำมำรถหำผลบวกของอนกรมอนนตได จะเรยกวำ อนกรม “คอนเวอรเจนต” (อนกรมลเขำ) ถำไมสำมำรถหำผลบวกของอนกรมอนนตได จะเรยกวำ อนกรม “ไดเวอรเจนต” (อนกรมลออก)
เรำจะเคยเจอค ำวำ คอนเวอรเจนต กบ ไดเวอรเจนต ในเรองล ำดบอนนตมำแลว
ในเรองน เรำจะตองสำมำรถบอกควำมสมพนธ ระหวำง ล ำดบ / อนกรม ทเปน คอนเวอรเจนต / ไดเวอรเจนต ได ในล ำดบอนนต เรำจะสนใจ “ตวท ∞” แตในเรองอนกรมอนนต เรำจะสนใจ “ผลบวก ∞ ตว”
คอนเวอรเจนต ไดเวอรเจนต
ล ำดบอนนต หำคำประมำณของ ตวท ∞ ได ตวท ∞ มคำมำกสดๆ, ตดลบสดๆ , หรอแกวง อนกรมอนนต หำคำประมำณของ ผลบวก ∞ ตว ได ผลบวก ∞ ตว มคำมำกสดๆ, ตดลบสดๆ , หรอแกวง
= 1
2+ (
1
3+1
4) + (
1
5+1
6+1
7+1
8) +⋯
> 1
2+ (
1
4+1
4) + (
1
8+1
8+1
8+1
8) +⋯
= 1
2 +
1
2 +
1
2 +
1
2 +
1
2 + …
= มำกไดอยำงไมมขอบเขต
1
2
1
4
1
8
1
16
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 41
จำกควำมหมำยดงกลำว จะเหนวำ “อนกรม คอนเวอรเจนตยำกกวำ ล ำดบ” เพรำะอนกรมอนนตตองหำคำของ “ทกตวบวกกน” ในขณะทล ำดบอนนต หำคำของ “ตวสดทำย” ตวเดยว
เนองจำก “อนกรม คอนเวอรเจนตยำกกวำ ล ำดบ” ดงนน ถำเขยนแผนภำพ จะไดดงน อนกรม → คอนยำก → คอนชองเดยว
ล ำดบ → คอนงำย → คอน 2 ชอง
จำกแผนภำพน จะท ำใหเรำสรปควำมสมพนธระหวำง ล ำดบ / อนกรม ทเปน คอนเวอรเจนต / ไดเวอรเจนต ไดดงน ล ำดบไดเวอรเจนต จะท ำใหเกด อนกรมไดเวอรเจนต เสมอ
ล ำดบคอนเวอรเจนต จะท ำใหเกด อนกรมคอนเวอรเจนต หรอ ไดเวอรเจนต กได
อนกรมคอนเวอรเจนต ตองมำจำก ล ำดบคอนเวอรเจนต เทำนน
อนกรมไดเวอรเจนต จะมำจำก ล ำดบคอนเวอรเจนต หรอ ไดเวอรเจนต กได
ตวอยำงของล ำดบทคอนเวอรเจนต แตท ำใหเกดอนกรมไดเวอรเจนต
เชน ล ำดบ 32 , 4
3 , 5
4 , 6
5 , … → คอนเวอรเจนต มลมตของล ำดบ = 1
อนกรม 32 +
4
3 +
5
4 +
6
5 + … → ไมคอนเวอรเจนต เพรำะทกตวทมำบวก เกน 1 หมด
บวกไป ∞ ตว จะมำกขนไดอยำงไมมขอบเขต
หรอ ล ำดบ 12 , 1
3 , 1
4 , 1
5 , … → คอนเวอรเจนต มลมตของล ำดบ = 0
อนกรม 12 +
1
3 +
1
4 +
1
5 + … → ไมคอนเวอรเจนต เพรำะจบกลม 1
2 กกลมกได ดงแสดงในหนำทแลว
ในเรองน เรำนยมใชสญลกษณ 𝑆∞ แทนผลบวกของอนกรมอนนต
นอกจำกน ยงมสญลกษณอกหลำยแบบ ทหมำยถง 𝑆∞ ได เชน
1i𝑎𝑖 ,
nlim 𝑆𝑛 ,
nlim
n
i 1 𝑎𝑖
ในกำรหำ 𝑆∞ เรำนยมหำ 𝑆𝑛 แบบไมอนนตทตดตวแปร 𝑛 ออกมำกอน โดยใชควำมรทเรยนมำในบทกอนหนำ
แลวคอยแทน 𝑛 ดวย ∞ (หรอพดอกแบบวำ “เทคลมต ให 𝑛 → ∞”)
ตวอยำง จงหำคำของ 12∙3+
1
3∙4+
1
4∙5+⋯
วธท ำ เรำตองหำผลบวก 𝑛 ตวแรก หรอ 𝑆𝑛 แบบไมอนนต ออกมำกอน แลวคอยเทคลมตให 𝑛 → ∞
เขยนพจนทวไปของล ำดบน ออกมำกอน จะได 𝑎𝑛 = 1
(𝑛+1)(𝑛+2)
ดงนน 𝑆𝑛 =1
2∙3+
1
3∙4+
1
4∙5+⋯+
1
(𝑛+1)(𝑛+2)
ขอน เปนอนกรม Telescopic ตองแยกแตละพจนเปนผลลบ แลว “สอง” ตวขำงๆ มำหก ดงน
เทคลมตให 𝑛 → ∞ จะได 𝑆∞ =
1
2−0 =
1
2 #
คอน ได อนกรมคอน
ล ำดบคอน อนกรมได ล ำดบคอน
อนกรมได ล ำดบได
𝑆𝑛 = 1
2∙3+
1
3∙4+
1
4∙5+⋯+
1
(𝑛+1)(𝑛+2)
= (1
2−1
3) + (
1
3−1
4) + (
1
4−1
5) +⋯+ (
1
𝑛+1−
1
𝑛+2)
= 1
2−
1
𝑛+2
42 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
แบบฝกหด
1. จงพจำรณำวำอนกรมตอไปน เปนอนกรมคอนเวอรเจนต หรอ อนกรมไดเวอรเจนต พรอมทงหำผลบวกของอนกรม ในกรณทเปนอนกรมคอนเวอรเจนต
1. 1 + 2 + 3 + 4 + … 2. 10 + 7 + 3 + (−1) + (−4) + …
3.
1i
7
10𝑖 4.
1i
(−1)𝑖
5.
1i
1
(2𝑖−1)(2𝑖+1) 6.
1i
1 +1
2𝑖
7.
1i
1
𝑖2+𝑖 8.
2i
1
𝑖2−1
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 43
2. ขอใดตอไปน ถกตอง 1. ล ำดบคอนเวอรเจนต จะท ำใหเกดอนกรมคอนเวอรเจนตเสมอ
2. อนกรมไดเวอรเจนต ตองเกดจำก ล ำดบไดเวอรเจนตเทำนน
3. ล ำดบไดเวอรเจนต จะท ำใหเกดอนกรมคอนเวอรเจนต หรอไดเวอรเจนตกได 4. อนกรมคอนเวอรเจนต ตองเกดจำก ล ำดบคอนเวอรเจนตเทำนน
3. ขอใดตอไปนเปนจรง [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-14]
1. ถำ ล ำดบ 𝑎𝑛 ลเขำ แลว อนกรม
1n
𝑎𝑛 ลเขำ
2. ถำ อนกรม
1n
𝑎𝑛 ลเขำ แลว อนกรม
1n
(1 +𝑎𝑛
2𝑛) ลเขำ
4. ก ำหนดให 𝑆𝑘 = 13 + 23 + 33 +⋯+ 𝑘3 ส ำหรบ 𝑘 = 1, 2, 3, …
คำของ n
lim (1
√𝑆1+
1
√𝑆2+
1
√𝑆3+⋯+
1
√𝑆𝑛) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/41]
5. ก ำหนดให 𝑆𝑛 =
n
k 1
(1
√𝑘(𝑘+1)+𝑘√𝑘+1) ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … คำของ
nlim 𝑆𝑛 เทำกบเทำใด
[PAT 1 (ม.ค. 53)/36]
44 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
6. ถำ
2n
1
𝑛4−𝑛2= 𝐴 แลว
2n
1
𝑛2 มคำเทำกบขอใดตอไปน [PAT 1 (ก.ค. 52)/31]
1. 3
4+ 𝐴 2. 5
4+ 𝐴 3. 3
4− 𝐴 4. 5
4− 𝐴
7. ให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 = 𝑛2𝑎𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …
ถำ 𝑎1 = 100 แลวn
lim 𝑛2𝑎𝑛 มคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/34]
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 45
อนกรมเรขำคณตอนนต
จะเหนวำบทน ไมมหวขอ “อนกรมเลขคณตอนนต” เพรำะอนกรมเลขคณตอนนตเกอบทงหมด จะเปนอนกรมไดเวอรเจนต หำผลบวกไมได (ยกเวน 0 + 0 + 0 + … ) เพรำะอนกรมเลขคณต จะเพมหรอลดอยำงคงทไปเรอยๆ ท ำใหผลบวก เพมหรอลดไปเรอยๆอยำงไมมขอบเขต เชน 1 + 3 + 5 + 7 + … → บวกไป ∞ ตว จะไดผลบวกมคำมำกไดอยำงไมมขอบเขต
20 + 19 + 18 + … → ตวหลงๆ จะตดลบกนสดๆ ดงนน ผลบวกมคำตดลบไดอยำงไมมขอบเขต
1
100 +
1
100 +
1
100 + … → อนนเปนอนกรมเลขคณต ท 𝑎1 = 100 และ 𝑑 = 0
ถงแม 1100
จะนอย แตบวกไป ∞ ตว กจะยงไดผลบวกมคำมำกสดๆได
ส ำหรบ อนกรมเรขำคณตอนนต จะมบำงอนคอนเวอรเจนต บำงอนไดเวอรเจนต
|𝑟| < 1 → คอนเวอรเจนต → หำผลบวกอนกรมอนนตไดจำกสตร |𝑟| ≥ 1 → ไดเวอรเจนต → หำผลบวกอนกรมอนนตไมได
ดงนน ถำเจอโจทยอนกรมเรขำคณตอนนต กอยำเพงรบใชสตร แตใหเชคใหแนใจวำ |𝑟| < 1 กอน จงจะใชสตรได
ทส ำคญ ตอนใชสตรน ตองแมนเรองเศษสวนซอน กลำวคอ 𝑎
𝑏 𝑐
𝑑
= 𝑎
𝑏÷𝑐
𝑑 ,
𝑎 𝑏
𝑐
= 𝑎 ÷𝑏
𝑐 ,
𝑎
𝑏
𝑐 =
𝑎
𝑏÷ 𝑐
เชน 1
2+1
4+1
8+⋯ → |𝑟| = |
1
2| < 1 → 𝑆∞ =
1
2
1−1
2
=
1
21
2
= 1
2×2
1 = 1
1 + (−2) + 4 + (−8) + … → |𝑟| = |−2| ≥ 1 → ไดเวอรเจนต หำผลบวกไมได
3 − 6
5 +
12
52 −
24
53 + … → |𝑟| = |−
2
5| < 1 → 𝑆∞ =
3
1−(−2
5) =
37
2
= 3 ×2
7 =
6
7
1i 2
(−3)𝑖 =
2
−3 +
2
(−3)2 +
2
(−3)3 + … → |𝑟| = |
1
−3| < 1
→ 𝑆∞ =
2
−3
1−(1
−3)
= −2
34
3
= −2
3×3
4 = −
1
2
𝑆∞ = 𝑎1
1−𝑟
1i 2𝑖+3
5𝑖−1 =
1i 2𝑖
5𝑖−1+
3
5𝑖−1
=
1i 2𝑖
5𝑖−1 +
1i 3
5𝑖−1
= 2
1−(2
5) +
3
1−(1
5)
= (2 ÷3
5) + (3 ÷
4
5)
= 10
3 +
15
4 =
85
12
1i 1−(3∙2𝑖)
(−3)𝑖 =
1i 1
(−3)𝑖−
3∙2𝑖
(−3)𝑖
=
1i 1
(−3)𝑖 −
1i 3∙2𝑖
(−3)𝑖
=
1
−3
1−(1
−3) −
3∙2
−3
1−(2
−3)
= (−1
3÷4
3) − (−2 ÷
5
3)
= −1
4+6
5 =
19
20
46 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
ตวอยำง จงหำคำของ 12+2
4+3
8+
4
16+⋯
วธท ำ ขอนเปนอนกรมเรขำคณตดดแปลงอนนต โดยมเศษเปนอนกรมเลขคณต แตสวนเปนอนกรมเรขำคณต
เทคนคกำรหำผลบวกของอนกรมเรขำคณตดดแปลง ตองน ำอนกรมมำ “หกกบตวมนเอง”
ดงนน 12 +
2
4 +
3
8 +
4
16 + … = 2 #
แบบฝกหด
1. จงพจำรณำวำอนกรมตอไปน เปนอนกรมคอนเวอรเจนต หรอ อนกรมไดเวอรเจนต พรอมทงหำผลบวกของอนกรม ในกรณทเปนอนกรมคอนเวอรเจนต
1.
1i
2
3𝑖 2.
1i
(−1
2)𝑖
3.
1i
(−1)𝑖 4.
1i
(3
2)𝑖
5.
1i
2𝑖+3𝑖
22𝑖 6.
1i
2𝑖+1
3𝑖
𝑆∞ = 1
1−1
2
= 11
2
= 2
ใหสงทตองกำรหำ เทำกบ 𝑥 1
2+2
4+3
8+
4
16+⋯ = 𝑥 (1)
คณสองขำงดวย 2 1 +2
2+3
4+4
8+⋯ = 2𝑥 (2)
(2) − (1) 1 +1
2+1
4+1
8+⋯ = 𝑥
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 47
2. ก ำหนดใหอนกรมตอไปน
𝐴 =
1000
1k
(−1)𝑘 𝐵 =
20
3k
𝑘2 𝐶 =
100
1k
𝑘 𝐷 =
1k
2 (1
2)𝑘
คำของ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/23]
3. ให 𝑇(𝑥) = sin 𝑥 − cos2 𝑥 + sin3 𝑥 − cos4 𝑥 + sin5 𝑥 − cos6 𝑥 + …
แลวคำของ 3𝑇 (𝜋3) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/6]
4. ถำ 1
𝑎+1
3+
𝑎
32+𝑎2
33+⋯ เปนอนกรมเรขำคณต ซงมผลบวกเทำกบ 4
3 แลว 𝑎 มคำเทำใด [A-NET 49/2-7]
5. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเรขำคณตซง
1n
𝑎𝑛 = 4 แลว จงเขยน 𝑎2 ในรปของ 𝑟
48 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
6. ผลบวกของอนกรม 3 + 11
4+33
16+⋯+
3𝑛+2𝑛−2
4𝑛−1+⋯ เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 53)/17]
7. ก ำหนดให 𝑎𝑛 =2𝑛+1+3𝑛−1
4𝑛 และ 𝑏𝑛 =
1
1+2+⋯+𝑛 ถำ 𝐴 และ 𝐵 เปนผลบวกของอนกรม
1n
𝑎𝑛 และ
1n
𝑏𝑛
ตำมล ำดบ แลว 𝐴 + 𝐵 เทำกบเทำใด [A-NET 50/1-19]
8. ถำ n
lim𝑛2𝑏+1
2𝑛2𝑎−1= 1 แลวผลบวกของอนกรม
1n
(𝑎𝑏
𝑎2+𝑏2)𝑛 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/29]
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 49
9. ให 𝑘 เปนคำคงท และถำn
lim𝑘(𝑛5+𝑛)+3𝑛4+2
(𝑛+2)5= 15 + 6 +
12
5+⋯+ 15(
2
5)𝑛−1
+⋯
แลว 𝑘 มคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/40]
10. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 1+2+22+23+ … +2𝑛
32𝑛 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, …
คำของ n
lim (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/23]
11. ก ำหนดให {𝑎𝑛} และ {𝑏𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 3𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 และ 2𝑛𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …
ถำ 𝑎5 = 2 แลว อนกรม 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 + … มผลบวกเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 59)/35]
50 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
12. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 2
4𝑛2−1− (−
1
3)𝑛
ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … จงหำคำของ
1n
𝑎𝑛 [PAT 1 (ม.ค. 59)/24]
13. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛, … เปนล ำดบเลขคณตของจ ำนวนจรง
โดยท 25
1
n
𝑎𝑛 = 1900 และ
1n
𝑎𝑛
4𝑛−1 = 8 คำของ 𝑎100 ตรงกบขอใดตอไปน [PAT 1 (ม.ค. 59)/20]
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 51
14. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1 = 1
6 และ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 −
1
3𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, 4, …
ขอใดถกตองบำง [PAT 1 (พ.ย. 57)/20] 1.
nlim 𝑎𝑛 = 0
2. อนกรม 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … เปนอนกรมลเขำ มผลบวกเทำกบ 0.75
15. ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ม.ค. 55)/15]
1. ส ำหรบ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ ำนวนเตมบวก จะไดวำ
1n
𝑎𝑛+𝑏𝑛
(𝑎+𝑏)𝑛 =
𝑎2+𝑏2
𝑎𝑏
2. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเลขคณตของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛
𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑚 =
𝑛2
𝑚2
ส ำหรบจ ำนวนเตมบวก 𝑛 และ 𝑚 ทแตกตำงกน แลว 𝑎𝑚𝑎𝑛
= 2𝑚−1
2𝑛−1
52 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
16. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 , … เปนล ำดบเรขำคณตของจ ำนวนจรงบวก โดยม 𝑟 เปนอตรำสวนรวม และ
𝑎1+𝑎3
𝑎2+𝑎4 +
𝑎3+𝑎5
𝑎4+𝑎6 +
𝑎5+𝑎7
𝑎6+𝑎8 + … +
𝑎2011+𝑎2013
𝑎2012+𝑎2014 = 2012
คำของ 1 + 5𝑟 + 12𝑟2 + 22𝑟3 +⋯ เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/34]
17. จงหำคำ 𝑥 > 0 ทท ำให 1 + 6
1+𝑥+
15
(1+𝑥)2+
28
(1+𝑥)3+⋯ =
27
4 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/36]
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 53
ทบทวนล ำดบเลขคณต
1. 4001 2. 300 3. 2 4. 20
5. 205
ทบทวนล ำดบเรขำคณต
1. 49 2. 156 3. 1
3 4. 2.5
ทบทวนล ำดบเวยนเกด
1. 2 2. 1704 3. √5
2
ล ำดบพหนำม
1. 1. 𝑎𝑛 = 𝑛2 − 7 2. 𝑎𝑛 = 3 − 𝑛2
2. 393
ลมตของล ำดบ
1. 1 ได 2. ได 3. คอน , 0 4. ได
5. ได 6. คอน , 1 7. คอน , 0 8. ได
9. คอน , 0 10. คอน , 32 11. ได 12. คอน , √3
2. 0 3. 6 4. 24.96
กำรหำลมตในรปเศษสวน
1. 1. คอน , − 1
5 2. คอน , 0 3. คอน , 0 4. ได
5. ได 6. คอน , 0 7. คอน , 2 8. ได
9. คอน , −4 10. คอน , 0 11. ได 12. คอน , 0
13. คอน , 3 14. คอน , −1
2 15. คอน , 5 16. คอน , √5
2
2. 2 3. 𝑎𝑛 4. 515 5. 2√24
6. 0.5 7. 3
2 8. 2
กำรหำผลบวกอนกรมดวยซกมำ
1. 1. 210 2. 55 3. (𝑘+1)(2𝑘+1)
6
2. 372 3. 9 4. 1 5. 8
6. 4 7. 3 8. 20 9. 115
54 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต
10. 14 11. 10 12. 22 13. 10, 19
14. 5 15. 9
ทบทวนอนกรมเลขคณต
1. 4840 2. 121
2 3. 300 4. 3.97
5. 50 6. 500
ทบทวนอนกรมเรขำคณต
1. 21276 − 1 2. 166.25 3. 4
อนกรมเรขำคณตดดแปลง
1. 1. 1538 2. 626 3. 3646 4. 15
4
2. 3 3. 24
อนกรมเทเลสโคปค
1. 1. 2
15 2. 10
7
2. 36 3. 1
2 4. 2.25 5. 4
6. 201 7. 257 8. 7 9. 1
10. 10 11. 8 12. 2750
อนกรมอนนต
1. 1. ได 2. ได 3. คอน , 0.777… 4. ได
5. คอน , 12 6. ได 7. คอน , 1 8. คอน , 3
4
2. 4 3. - 4. 2 5. 1
6. 3 7. 200
อนกรมเรขำคณตอนนต
1. 1. คอน , 1 2. คอน , − 1
3 3. ได 4. ได
5. คอน , 4 6. คอน , 2
2. 7917 3. 6√3 − 1 4. 1.5 5. 4𝑟 − 4𝑟2
6. 40
3 7. 5 8. 2
3 9. 25
10. 2556
11. 97.2 12. 54 13. 598
14. 1 15. 1, 2 16. 16 17. 2
ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 55
เครดต
ขอบคณ คณครเบรด จำก กวดวชำคณตศำสตรครเบรด ยำนบำงแค 081-8285490
และ คณ Gunta Serikijcharoen ทชวยตรวจสอบควำมถกตองของเอกสำรดวยครบ