a a a a br - mebk12.meb.gov.trmebk12.meb.gov.tr/meb_iys_dosyalar/43/07/846641... · Kareköklü...
Transcript of a a a a br - mebk12.meb.gov.trmebk12.meb.gov.tr/meb_iys_dosyalar/43/07/846641... · Kareköklü...
KAREKÖKLÜ SAYILAR-1
Bu içerikte, karekökün tanımı ve tam kare doğal sayıların hangileri olduğu ve bu sayıların kareköklerinin
nasıl ifade edilebileceği incelenecektir.
Not:
Örnek: Aşağıda verilen karekök alma işlemi ile ilgili problemleri çözünüz.
Alanı 281 br olan
karenin bir kenar
uzunluğu kaçtır?
Her birinin alanı 21br
olan 94 karesel cebir
karosuna en az kaç karo
eklenirse karesel bölge
edilebilir?
Her birinin alanı 21br
olan 73 karesel cebir
karosundan en az kaç
karo çıkarılırsa karesel
bölge edilebilir?
Karesel bir bölge elde
edebilmek için 43
karesel cebir karosuna
alanı 21br olan en az
kaç karo eklemeliyiz?
Ders: Konu: TEOG
MİKRO ANLATIM
ÇALIŞMA DEFTERİ
Yaprak No: Copyright:
Matematik Kareköklü
Sayılar-1 7 Bilal KICIROĞLU
Kazanım: Tam kare doğal sayılarla bu sayıların karekökleri arasındaki ilişkiyi modelleriyle açıklar
ve kareköklerini belirler.
Not: Buna göre; alanı verilen karenin bir kenar uzunluğunu hesaplamak için kullanılan işleme karekök
alma işlemi ve bu işlem için gerekli "" sembolüne karekök sembolü denir. Eğer karekök
"" şeklinde ise buna negatif karekök denir.
Yanda verilen karenin alanı 236 br ise bir kenarının uzunluğu kaç br 'dir?
Karenin alanı, bir kenarının kendisiyle tekrarlı çarpımı olduğundan, sorunun cevabı
tabi ki br6 'dir.
Bu sorunun cevabı için gerekli işlemler karekök alma işlemi ile gerçekleştirilebilir ve bu işlem şu şekilde yapılır:
Karenin alanı: 2aaaA şeklinde hesaplanabilir. O halde;
bra
aa
a
6
0636
36
22
2
Karekökün içerisinden tam olarak çıkabilen doğal sayılarda sanki karekök işlemine
gerek yokmuş gibi gözükür. Ancak bize verilen karenin alanı 220br olsaydı ve bir
kenar uzunluğu bize sorulsaydı, kendisiyle tekrarlı çarpımı 220br olan bir doğal
sayı tanımlanamadığından karenin bir kenar uzunluğunun br20 şeklinde ifade
edilmesi gerekirdi. Dolayısıyla sorunun cevabını ifade etmek için karekök işlemine ve karekök sembolüne ihtiyaç duyardık.
Not: Karekök işlemi 0 ve 0'dan büyük tüm sayılar için tanımlandığından karekökün içerisindeki sayı
negatif olamaz. Başka bir deyişle; karesel bölgenin alanı hiçbir zaman negatif bir değer alamayacağından
karekök içerisindeki "121,60,49" şeklindeki ifadeler hatalıdır.
Ancak "121,60,49" şeklindeki ifadeler eksi işareti karekökün dışında olduğundan negatif
karekök şeklinde tanımlanan ifadelerdir. Karekök içerisinde eksi olan ifadelerle bu tür ifadeler birbirine
karıştırılmamalıdır.
Örnek: Aşağıda verilen örnekleri inceleyerek alanları verilen karelerin bir kenar uzunluklarını karekök alma
işlemini uygulayarak hesaplayınız.
Karenin Alanı: Bir Kenar Uzunluğu: Karenin Alanı: Bir Kenar Uzunluğu:
21br br111 2 2121 br br1111121 2
24 br br224 2 2144 br br1212144 2
29 br .............................. 2169 br ..............................
216 br .............................. 2196 br ..............................
225 br .............................. 2225 br ..............................
236 br .............................. 2256 br ..............................
249 br .............................. 2289 br ..............................
264 br .............................. 2324 br ..............................
281 br .............................. 2361 br ..............................
2100 br .............................. 2400 br ..............................
2625 br .............................. 210000 br ..............................
Örnek: Aşağıda verilen örnekleri inceleyerek verilen kareköklü sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
3681225
225,6,81
572136
136,5,72
16,289,64
..............................
4,121,12
..............................
100,13,49
..............................
36,1,361
..............................
9,121,0
..............................
256,196,3
..............................
324,400,14
..............................
KAREKÖKLÜ SAYILAR-2
Bu içerikte, tam kare olmayan sayıların kareköklerini strateji kullanarak tahmin etme konusu
incelenecektir. Bu işlem iki şekilde incelenecektir; birincisi her işleme uygun ve en yakın sonucu veren
matematiksel yöntem, ikincisi ise pratik yöntem olacaktır.
Örnek: Daha önce de bahsettiğimiz gibi alanı 220 br olan karesel bir bölgenin bir kenar uzunluğunu doğal
sayı cinsinde hesaplamak mümkün değildir. Çünkü kendisiyle tekrarlı çarpımı 20 yapan
tanımlayabildiğimiz herhangi bir sayı yoktur. O halde biz 20 sayısını sayı doğrusunda gösterirken hangi iki
tam sayının arasında olduğunu ve hangisine daha yakın olduğunu tanımlayabiliriz. Öyleyse şimdi 20
sayısının yaklaşık değerini hesaplayalım.
20 sayısı değerini tam sayı cinsinden ifade edebildiğimiz 16 ve 25 sayılarının arasında yer
almaktadır. O halde; 252016 şeklinde bir sılama yapabiliriz ve dahası 16 sayısına biraz daha
yakın olduğunu da söyleyebiliriz. 416 ve 525 olduğundan;
5204 20 sayısı 4 ve 5 tam sayıları arasında ve
4 tam sayısına daha yakın bir bölümdedir.
Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayıların sayı doğrusundaki yerlerini yukarıdaki örnekte olduğu gibi ifade ediniz.
43 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine
daha yakındır? .....................................................................................
77 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine
daha yakındır? .....................................................................................
85 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine
daha yakındır? .....................................................................................
3 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine daha
yakındır? .....................................................................................
17 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine
daha yakındır? .....................................................................................
114 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine
daha yakındır? .....................................................................................
140 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine
daha yakındır? .....................................................................................
264 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine
daha yakındır? .....................................................................................
12 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine
daha yakındır? .....................................................................................
200 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine
daha yakındır? .....................................................................................
Ders: Konu: TEOG
MİKRO ANLATIM
ÇALIŞMA DEFTERİ
Yaprak No: Copyright:
Matematik Kareköklü
Sayılar-2 8 Bilal KICIROĞLU
Kazanım: Tam kare olmayan sayıların kareköklerini strateji kullanarak tahmin eder.
Not: Şimdi de 20 sayısının onda birler basamağına kadar yaklaşık değerini iki şekilde hesaplayalım.
Birinci Yol; İkinci Yol:
4,4 252016 aralığındadır.
20 4x2=84 20-16=4
- 16 x 4 25-16=9
400 336 4/9=0,4 O halde; 4,420
Not: Bunların dışında kareköklü sayının değerini en yakın onda birler basamağına kadar belirlemek istersek
yani sayının onda birler basamağına yuvarlanmış şeklini bulmak istersek, bölme işleminde bölünen sayıya en
yakın sonucu veren rakamı onda birler basamağına yazarız. Aşağıdaki örneği dikkatlice inceleyiniz.
Örnek: 88 sayısının değerini en yakın onda
birler basamağına kadar tahmin ediniz.
1008881 aralığındadır.
1981100
78188
3808315196,988 hesap makinesinde bulunan sonuçtur. Eğer bu sonucu onda birler basamağına yuvarlarsak
4,988 elde ederiz yani onda birler basamağı 4,0 şeklinde gelir.
77 sayısının değerini onda birler basamağına kadar
tahmin ediniz.
96 sayısının değerini onda birler basamağına kadar
tahmin ediniz.
Not: 243 sayısının değerini onda birler basamağına kadar tahmin ediniz.
15,5
432 1x2=25 15x2=305
- 1 x 5 x 5
143 125 1525
- 125
1800
156 sayısının değerini onda birler basamağına kadar
tahmin ediniz.
335 sayısının değerini onda birler basamağına kadar
tahmin ediniz.
Pratik yöntemde 20 ile 16 ve 25 ile 16
arasındaki farkı buluruz. Sonra da küçük sayısı
büyük sayıya bölerek yalnızca onda birler
basamağındaki sayıyı belirleyebiliriz. Bu
yöntem onda birler basamağı dışındaki
basamaklar için doğru sonucu vermez. Sadece
virgülden sonraki ilk basamağı doğru bir
şekilde belirleyebiliriz.
Bu yöntemde önce kendisiyle çarpımı 20
sayısına en yakın tam sayıyı yazarız. Sonra 20
ile 16'nın farkını alırız. Daha sonra farkın sağına
iki adet sıfır ve karesini aldığımız tam sayının
sağına da virgül ekleriz. Daha sonra da karesini
aldığımız tam sayının her zaman 2 katını alır ve
çıkan sonucun sağına eklediğimiz sayı ile elde
ettiğimiz sayıyı çarparak sağına iki sıfır
eklediğimiz sayıya en yakın sonuca ulaşmaya
çalışırız.
Üç basamaklı sayılarda ilk önce sayıları sağdan başlayarak ikişer ikişer
gruplandırırız. Sonra da kendisiyle çarpımı 2 sayısına en yakın tam sayıyı
yazar ve yukarıdaki notta Birinci Yol için anlatılan işlemleri aynen sırası
ile uygularız.
70 19 70 19 57 76 0,3 0,4 13 -6 70 'e -6 sayısı 13 sayısından daha yakın olduğundan 0,4 sayısı
88 kareköklü sayısının değerinin en yakın onda birler
basamağıdır yani onda birler basamağına göre yuvarlanmış şeklidir.
KAREKÖKLÜ SAYILAR-3
Bu içerikte, tam kare olmayan bir doğal sayının ba şeklinde nasıl yazıldığını ve ba şeklinde yazılan
bir kareköklü sayının katsayısının kök içine nasıl alındığını inceleyeceğiz. Ayrıca ba şeklinde verilen
kareköklü sayıları sıralayacağız.
Örnek: Tam kare bir doğal sayının katı şeklinde yazılabilen kareköklü sayıları ba şeklinde yazabiliriz.
Örneğin; 20 sayısını ele alalım. 20 sayısını asal çarpanlarına ayırırsak;
20 2
10 2 20 sayısının asal çarpanları içerisindeki çarpanlardan karesel olanlarını belirleyelim.
5 5 52220 20 sayısının asal çarpanlarıdır.
1
525252220 2 Karesel ifade kök dışına karesini bırakarak çıkabilir.
Diğer çarpan kök içinde kalır.
Not: Tam kare bir doğal sayının katı şeklinde yazılabilen baba 2 kareköklü sayılar ba şeklinde
ifade edilebilir. Sayının tam kare bir doğal sayının katı olup olmadığını da asal çarpanlarına ayırarak belirleyebiliriz.
Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayıları yukarıdaki örnekte belirtildiği gibi ba şeklinde yazınız.
.........................8 .........................12 .........................18 .........................20
.........................24 .........................28 .........................32 .........................40
.........................45 .........................48 .........................50 .........................54
.........................63 .........................72 .........................75 .........................96
.........................98 ......................108 ......................112 ......................125
......................128 ......................147 ......................150 ......................162
.......................175 ......................180 .......................200 .......................216
......................242 ......................245 ......................250 ......................300
.......................363 .......................392 .......................500 .....................1000
Ders: Konu: TEOG
MİKRO ANLATIM
ÇALIŞMA DEFTERİ
Yaprak No: Copyright:
Matematik Kareköklü
Sayılar-3 9 Bilal KICIROĞLU
Kazanım: Kareköklü bir sayıyı ba şeklinde yazar ve ba şeklindeki ifadede katsayıyı kök
içine alır.
Örnek: ba şeklinde verilen aşağıdaki ifadeleri örneği inceleyerek baba 2 şeklinde yazınız.
12343232 2 45595353 2
...............................................................27 ...............................................................26
............................................................311 ...............................................................38
...............................................................65 ...............................................................54
...............................................................73 ...............................................................66
...............................................................132 ............................................................710
Not: O halde yüksek mertebeden kuvveti olan şu ifadeleri de şu şekilde baba 2 şeklinde yazabiliriz.
3223222642 cbacbacba yxyxyyxxyx 21221253
52510 222 3333333 25122515051
..............................................................528 ..............................................................7101
........................................................108 ba ........................................................127 yx
Örnek: ba şeklinde verilen aşağıdaki ifadeleri örnekleri inceleyerek baba 2 şeklinde yazarak
küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
133,8,35
117133
648
7535
358133
7564117
15,38,103
22515
19238
900103
1031538
900225192
35,5,25
62,9,37
112,13,53
167,14,56
KAREKÖKLÜ SAYILAR-4
Bu içerikte, kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinin nasıl yapıldığını inceleyeceğiz.
Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayılarla toplam ve çıkarma işlemlerini örneklerde gösterildiği gibi çözünüz.
223137322132723 36915339315
Not: Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken katsayılar toplanır veya çıkarılır ortak kareköklü çarpan sonuca çarpan olarak yazılır.
............................................555105 ....................................................611619
.........................................3731238 ......................................7971472
..................................1025102710 ......................................7117772
.........................1112118114116 .........................23236224216
.........................393153637 .........................1522151615154
.........................563 aaaa .........................453836 xxxx
.........................2 bbbb ....................5432 yyyyy
.........................3162936212 .........................9117 baba
Örnek: Aşağıdaki örneği inceleyerek kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini verilen kareköklü
sayıları ba şeklinde yazarak çözünüz.
2624222422328 22 ..............................................10827
..............................................45125 ...............................16212898
..................................15021624 ......................................5018200
.........................2437548147 ..................6403601000250
Ders: Konu: TEOG
MİKRO ANLATIM
ÇALIŞMA DEFTERİ
Yaprak No: Copyright:
Matematik Kareköklü
Sayılar-4 10 Bilal KICIROĞLU
Kazanım: Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar.
Örnek: Aşağıdaki örneği inceleyerek kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini verilen kareköklü
sayıları katsayılarını da dikkate alarak ba şeklinde yazarak çözünüz.
2262202621022232102223200283 22
..........................................................................................................................12339272
......................................................................................................................452531254
........................................................................................................................24754566
....................................................................................................................................507729
....................................................................................................................................272485
....................................................................................................................................205455
......................................................................................................................................275483
....................................................................................................................................4510204
...........................................................................................................................8320027
.....................................................................................................................636175285
...........................................................................................................................3124276
..........................................................................................................................125206511
.......................................................................................................................272125756
.........................................................................................................................2518884
...................................................................................................................752275124
...........................................................................................................271083127312
............................................................................................................50730084276
...........................................................................................................63328445220
.........................................................................................................12218575232
KAREKÖKLÜ SAYILAR-5
Bu içerikte, kareköklü sayılarla çarpma işleminin nasıl yapıldığını inceleyeceğiz.
Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayılarla çarpma işlemlerini örneklerde gösterildiği gibi çözünüz.
102152735723 63232332332 2
Not: Kareköklü sayılarla çarpma işlemini yapılırken kareköklerin katsayıları kendi arasında ve kareköklü sayılarda kendi arasında çarpılır.
Not: aaa
....................................................232 ....................................................6611
..............................................3257 ..................................................22
320
35
2
....................................................122312 .................................................726
..................................................665 ................................................5153
...........................................2437 ...............................................2735
....................................................23 aa ................................................523108
...................................................5553 ........................................................235
.........................................29228 ..................................................247
Örnek: Aşağıdaki örnekleri inceleyerek kareköklü sayılarla çarpma işlemlerini dağılma özelliğinden
yararlanarak çözünüz.
21531023532523325
155103555235552535525 2
236620181262063342534632534
Ders: Konu: TEOG
MİKRO ANLATIM
ÇALIŞMA DEFTERİ
Yaprak No: Copyright:
Matematik Kareköklü
Sayılar-5 11 Bilal KICIROĞLU
Kazanım: Kareköklü sayılarla çarpma işlemini yapar.
5326
3378
731024
105733
64545
536510
56322
3635
Örnek: Aşağıdaki örneği inceleyerek kareköklü sayılarla çarpma işlemlerini iki kare farkı özelliğinden
yararlanarak çözünüz.
1565565665655665656 22
Not: 2222 babababababbaababa
Yukarıdaki çarpma işleminde de görüldüğü gibi baba şeklindeki çarpımlar pratik olarak 22 ba
işlemi ile hesaplanabilirler. 22 ba şeklindeki bu hesaplamaya iki kare farkı adı verilir. İki kare farkını
cebirsel ifadeler konusunda daha detaylı bir şekilde işleyeceğiz. Dolayısıyla kareköklü sayılarla yapılan bazı çarpma işlemlerinin sonuçlarını iki kare farkı ile ortaya koymak mümkündür. O halde yukarıdaki işlem;
15656565622
şeklinde de yapılabilir.
3232
106106
5757
222222
325325
213213
KAREKÖKLÜ SAYILAR-6
Bu içerikte, kareköklü sayılarla bölme işleminin nasıl yapıldığını ve karma örnekleri inceleyeceğiz.
Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayılarla bölme işlemlerini örneklerde gösterildiği gibi çözünüz.
236
12
2
6
62
126 6323292
2
18
4
8
24
188 2
Not: Kareköklü sayılarla bölme işlemini yapılırken kareköklerin katsayıları kendi arasında ve kareköklü sayılarda kendi arasında bölünür.
..........................................................34
1512 .........................................................
39
27144
........................................................215
645
......................................................
612
2496
..........................................................26
824 .....................................................
212
3272
......................................................7
285 ...................................................
105
4080
........................................................6
530
..................................................
37
7535
.........................................................10
620
.....................................................
6
545
.....................................................2
3213
...........................................................
22
86
...........................................................6
187 .....................................................
215
12845
.....................................................28
24
........................................................
34
1292
........................................................3
1513 .....................................................
77
2142
.....................................................713
9165
.....................................................
1911
5744
Ders: Konu: TEOG
MİKRO ANLATIM
ÇALIŞMA DEFTERİ
Yaprak No: Copyright:
Matematik Kareköklü
Sayılar-6 12 Bilal KICIROĞLU
Kazanım: Kareköklü sayılarla bölme işlemini yapar.
Kareköklü sayılarla karma işlemleri yapar.
Örnek: Aşağıdaki karma örnekleri kareköklü sayılarla işlemlerin özelliklerinden yararlanarak çözünüz.
50200
1832583
45209
9040
700252
63228
62
96600
832
3122
341227
10875
12545203
4904090
116
332332
2525
1313
27323
8232
632
522522
3001223527
6006554242
4
51
36
1
9
1
16132241 1361314
Örnek: 3 sayısının yaklaşık değeri 7,1 olduğuna
göre; 108 'in yaklaşık değeri nedir?
Örnek: Bir karenin alanı 272 br olduğuna göre
çevresi kaç birimdir?
KAREKÖKLÜ SAYILAR-7
Bu içerikte, ondalık kesirlerin kareköklerini ve bu kareköklerle yapılan işlemleri inceleyeceğiz.
Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayılarla bölme işlemlerini örneklerde gösterildiği gibi çözünüz.
4,010
4
10
4
100
1616,0
2
2
5,110
15
10
15
100
225
100
25225,2
2
2
Not: Kareköklü sayılarda ondalık kesirlerin karekökleri hesaplanırken önce ondalık kesir rasyonel kesre çevrilir daha sonra da pay ve paydanın karekökü alınır.
..........................................................36,0 .........................................................69,1
........................................................01,0 ......................................................89,2
..........................................................81,0 .....................................................24,3
......................................................0001,0 ...................................................96,1
.....................................................64,0 ...........................................................0025,0
10
106
1010
106
10
6
10
6
10
366,3
2
10
1013
1010
1013
10
13
10
1699,16
Not: Yukarıdaki örneklerde 3
32
33
32
3
2
şeklinde gösterilen işleme paydayı kökten kurtarma
işlemi denir. Bu işleme bazı kaynak kitaplarda yer verildiğinden ihtiyacınız olabilir. İşlemde kareköklü rasyonel sayının paydasında yer alan kareköklü sayı ile hem pay hem de payda çarpılmaktadır. Siz de aşağıdaki örnekleri yukarıda gösterildiği şekilde karekökü paydadan kurtararak çözünüz.
........................................................9,0 ..................................................1,12
.........................................................9,4 .....................................................4,14
Ders: Konu: TEOG
MİKRO ANLATIM
ÇALIŞMA DEFTERİ
Yaprak No: Copyright:
Matematik Kareköklü
Sayılar-7 13 Bilal KICIROĞLU
Kazanım: Ondalık kesirlerin kareköklerini belirler.
Kareköklü sayılarla karma işlemleri yapar.
Örnek: Aşağıdaki karma örnekleri kareköklü sayılarla işlemlerin özelliklerinden yararlanarak çözünüz.
1,04,09,0
259719
16
911
19611
817
16
71
4
12
9
51
649
68121 22
25,2225,08
01,0
1
04,0
1
09,0
1
36
1
64
1
16
91
16
71
16
25
49
1
10
6,19
5
2 3
04,0
716
Örnek: ba 2,3 ise 72 'nin a ve b
türünden nasıl ifade edilebileceğini gösteriniz. (72 sayısı asal çarpanlarına ayrılır.)
2323
23 323272 ab 09,0
25,2
1,36
61,3
zyx 5,3,2 ise 180 x, y ve z
türünden nasıl ifade edilebilir? ...................................................................................
44,181,0