ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΘΗΝΑ 2011

Νικόλαος Μ. ΣταυρακάκηςΚαθηγητής Ε.Μ.Π.

Γραμμική και μη Γραμμική Θεωρία

με εφαρμογές από τη φύση και τη ζωή

ΠΡΟΛΟΓΟΣ της 2ης ΕΚΔΟΣΗΣ

Στην παρούσα δεύτερη βελτιωμένη έκδοση έγινε προσπάθεια να αντιμετωπι-

στούν οι όποιες αβλεψίες, ατέλειες, παροράματα, λάθη και αστοχίες υπεισήρ-

θαν στην πρώτη έκδοση πριν από 13 χρόνια. Επίσης γίνεται προσπάθεια να

συμπληρωθεί το κενό με τις δύο συνιστώσες, που επισημαίνεται στον πρόλογο

της πρώτης έκδοσης, ώστε η εισαγωγική αυτή προσέγγιση της θεωρίας των δια-

φορικών εξισώσεων να είναι σύμφωνη με τις απαιτήσεις της εποχής μας.

Η πρώτη από αυτές, έχει σχέση με τη σύντομη παρουσίαση εισαγωγικών

στοιχείων της Θεωρίας Διακλάδωσης. Αυτό γίνεται στο Κεφάλαιο 8 (Ενότητα

8.7) με την παρουσίαση προσεκτικά επιλεγμένων στοιχειωδών παραδειγμάτων

των πιο αντιπροσωπευτικών περιπτώσεων διακλαδώσεων στη μία και στις δύο

διαστάσεις.

Η δεύτερη συνιστώσα αφορά τη χρήση προγράμματος των υπολογιστικών

μαθηματικών – Mathematica - στη μελέτη και γεωμετρική παράσταση χαρακτη-

ριστικών περιπτώσεων των διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων. Αυτό γί-

νεται συστηματικά και διατρέχει όλα τα κεφάλαια της παρούσας έκδοσης.

Άλλα νέα στοιχεία της παρούσας έκδοσης μπορούν να συνοψιστούν στα α-

κόλουθα σημεία. Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται προσπάθεια αναδιατύπωσης της ενό-

τητας της Μαθηματικής Προτυποποίησης εμπλουτίζετε και επικαιροποιείτε η

βιβλιογραφία στη θεωρία του Χάους και την Ιστορία των Μαθηματικών. Στο

Κεφάλαιο 3 αναδιατυπώνονται τα θέματα σχετικά με τα θεωρήματα Ύπαρξης

και επεκτασιμότητας (Ενότητες 3.2, 3.3) και προστίθεται η Ενότητα 3.5, που α-

φορά το θέμα της Συνεχούς Εξάρτησης και Διαφορισιμότητας των Λύσεων ως

προς Αρχικές Συνθήκες και Παραμέτρους. Στο Κεφάλαιο 8 προστίθεται η Ενό-

τητες 8.6 με την παρουσίαση των Αλγεβρικών Κριτηρίων Ευστάθειας και η Ε-

νότητα 8.7 με την παρουσίαση στοιχειωδών παραδειγμάτων διακλαδώσεων

στη μία και στις δύο διαστάσεις, όπως αναφέρουμε παραπάνω.

Στην έκδοση αυτή ακόμα έγινε προσπάθεια να παρουσιασθεί φωτογραφικό

υλικό, το οποίο αφορά τους πιο σημαντικούς Μαθηματικούς και άλλους Επι-

στήμονες σχετικούς με τα αναπτυσσόμενα αντικείμενα.

xii ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΗΣ 2ΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ

Επίσης, ευχαριστώ τον Κώστα Καλαϊτζή και τους συνεργάτες του καθώς

και τη διεύθυνση και το προσωπικό των Εκδόσεων Παπασωτηρίου, για την ι-

διαίτερα επιμελημένη παρουσίαση της 2ης έκδοσης του βιβλίου.

Τέλος, σε όσους θα επιθυμούσαν να συμβάλλουν με κάθε τρόπο στη βελτίω-

ση του συγγράμματος αυτού, τους καλώ και πάλι να αποστέλλουν τις παρατη-

ρήσεις τους, στην ηλεκτρονική διεύθυνση: nikolas@central.ntua.gr. Η συμβο-

λή τους, θα είναι σημαντική. Εκ των προτέρων, τους ευχαριστώ.

Νικόλαος Μ. Σταυρακάκης

ΑΘΗΝΑ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2011

Τις απαντήσεις των προβλημάτων θα τις βρείτε στο: www.papasotiriou.gr στη σελίδα του βιβλίου.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

1.1 Εισαγωγικές έννοιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Λύσεις Διαφορικών Εξισώσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Α. Έννοια Λύσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Β. Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Γεωμετρικά Χαρακτηριστικά Λύσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Α. Διανυσματικά Πεδία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Β. Ορθογώνιες Διαδρομές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Μαθηματική Προτυποποίηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Συνοπτική Ιστορική Αναδρομή στις Συνήθεις Διαφορικές

Εξισώσεις: Από το Ταυτόχρονο στο Χάος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

2.0 Eισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1 Eξισώσεις Xωριζομένων Mεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Πλήρεις Eξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Oλοκληρώνων Παράγοντας ή Πολλαπλασιαστής Euler . . . . . . . . . . . 51

2.4 Γραμμικές Eξισώσεις - Εξίσωση Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5 Εξίσωση Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

xiv ΠEPIEXOMENA

2.6 Oμογενείς και Σχεδόν Oμογενείς Eξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.7 Mέθοδος Oλοκλήρωσης μέσω Παραγώγισης:

Εξίσωση D’ Alembert – Lagrange και Εξίσωση Clairaut . . . . . . . . . . . 80

2.8 Aντικατάσταση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.9 Προβλήματα Eπισκόπησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

3.1 Eισαγωγικά Στοιχεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.2 Θεωρήματα Ύπαρξης και Mονοσήμαντου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A. Συνθήκη Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

B. Θεώρημα Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Γ. Θεώρημα Peano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3 Mέγιστο Διάστημα Ύπαρξης και Eπέκταση της Λύσης . . . . . . . . . . . 104

3.4 Aνίσωση Gronwall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.5 Συνεχής Εξάρτηση και Διαφορισιμότητα των Λύσεων

ως προς Αρχικές Συνθήκες και Παραμέτρους . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.6 Προβλήματα Eπισκόπησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ

ΤΑΞΗΣ

4.1 Mη-Γραμμικές Διαφορικές Eξισώσεις Eιδικών Mορφών . . . . . . . . . 121

4.2 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις – Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.3 Oμογενείς Διαφορικές Eξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

A. Γενική Θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

B. Mέθοδος Yποβιβασμού Tάξης (D’ Alembert, 1760) . . . . . . . . . . . 138

4.4 Oμογενείς Eξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.5 Mη-Oμογενείς Γραμμικές Eξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

A. Mέθοδος Mεταβολής των Σταθερών (Lagrange, 1774) . . . . . . . . . 154

B. Mέθοδος Προσδιορισμού των Συντελεστών (Euler, 1753) . . . . . . 158

4.6 Μέθοδοι Διαφορικών Τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.7 Eφαρμογές. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.8 Aνακεφαλαίωση – Προβλήματα Eπισκόπησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΩΝ – ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

5.1 Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Α. Βασικές Έννοιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Β. Ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.2 Δυναμοσειρές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Α. Κριτήρια Σύγκλισης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Β. Ακτίνα Σύγκλισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Γ. Πράξεις Δυναμοσειρών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

ΠEPIEXOMENA xv

5.3 Λύση - Σειρά γύρω από Ομαλό Σημείο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

5.4 Εξίσωση Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

5.5 Λύση - Σειρά γύρω από Κανονικό Ανώμαλο Σημείο . . . . . . . . . . . . . 229

Α. Εξίσωση Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

B. Θεωρία Fuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

– Yπεργεωμετρική Εξίσωση Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

– Εξίσωση Bessel I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Γ. Θεωρία Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

– Eξίσωση Bessel II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

5.6 Σημείο στο Άπειρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

5.7 Προβλήματα Eπισκόπησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

6. ΓPAMMIKA ΣYΣTHMATA ΣYNHΘΩN ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ EΞIΣΩΣEΩN

6.1 Eισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

6.2 Mέθοδος Aπαλοιφής – Διαφορικοί Tελεστές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

6.3 Γραμμικά Συστήματα – Γενική Θεωρία. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

A. Oμογενή Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

B. Mη-Oμογενή Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6.4 Γραμμικά Συστήματα με Σταθερούς Συντελεστές . . . . . . . . . . . . . . . 300

A. Oμογενή Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

I. Aυτοσυζυγή Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

II. Eκθετικός Πίνακας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

III. Mη-Aυτοσυζυγή Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

a) Ιδιοτιμές Πραγματικές και Άνισες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

b) Ιδιοτιμές Mιγαδικές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

c) Ιδιοτιμές Eπαναλαμβανόμενες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

B. Mη-Oμογενή Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

I. Mέθοδος Μεταβολής των Σταθερών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

II. Mέθοδος Προσδιορισμού των Συντελεστών . . . . . . . . . . . . 331

7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

7.1 Ιστορικό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

7.2 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

7.3 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

7.4 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

7.5 Εφαρμογές στις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . 359

7.6 Συνάρτηση Μοναδιαίου Βήματος (Heaviside) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

7.7 Συνάρτηση Ώθησης - Συνάρτηση δ-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

7.8 Συνέλιξη. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

7.9 Ολοκληρωτικές και Ολοκληροδιαφορικές Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . 401

Α. Ολοκληρωτικές Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

xvi ΠEPIEXOMENA

Β. Ολοκληροδιαφορικές Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

7.10 Παράρτημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

Α. Βασικοί Τύποι του Μετασχηματισμού Laplace. . . . . . . . . . . . . . . 415

B. Πίνακας Μετασχηματισμών Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

8. ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ: ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΚΑΤΑ LIAPUNOV

– ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΗΣ

8.1 Ιστορικό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

8.2 Εισαγωγή – Αυτόνομα Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

8.3 Ευστάθεια Γραμμικών Συστημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

Α. Γενική Θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

Β. Επίπεδα Αυτόνομα Γραμμικά Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

8.4 Ευστάθεια Σχεδόν Γραμμικών Συστημάτων στο Επίπεδο

Γραμμικοποίηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

8.5 Άμεση Μέθοδος ή Δεύτερη Μέθοδος Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

A. Eισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

Β. Θεωρήματα Ευστάθειας και Αστάθειας κατά Lyapunov. . . . . . . . 453

8.6 Αλγεβρικά Κριτήρια Ευστάθειας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

8.7 Eισαγωγή στη Θεωρία Διακλάδωσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

9. ΣΕΙΡΕΣ, ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

9.1 Eισαγωγή – Oρισμός Σειρών Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

9.2 Συντελεστές Fourier και Σύγκλιση Σειρών Fourier. . . . . . . . . . . . . . . 486

A. Yπολογισμός Συντελεστών Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

B. Σύγκλιση Σειρών Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

9.3 Aνισότητα Bessel και Ταυτότητα Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

9.4 Πράξεις στις Σειρές Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

9.5 Πολλαπλές Σειρές Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

9.6 Oλοκλήρωμα Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

9.7 Πεπερασμένος Mετασχηματισμός Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

A. Hμιτονικός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

B. Συνημιτονικός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

9.8 Mετασχηματισμός Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

A. Eισαγωγή – Bασικές Έννοιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

B. Iδιότητες Mετασχηματισμού Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

Γ. Mετασχηματισμός Fourier σε Διαστάσεις 2 και 3 . . . . . . . . . . . . . 537

9.9 Eπίλογος: Aπό την ανάλυση Fourier στα κυματίδια . . . . . . . . . . . . . 540

9.10 Πίνακες Μετασχηματισμών Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

ΠEPIEXOMENA xvii

10. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ

10.1 Eισαγωγή – Eφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

10.2 Γραμμικά Συνοριακά Προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

10.3 Φασματική Θεωρία – Προβλήματα Iδιοτιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

A. Σύντομο ιστορικό: Οι απαρχές της Φασματικής Θεωρίας . . . . . . 565

B. Χαρακτηριστικά παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

10.4 Προβλήματα Sturm – Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

A. Eισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

B. Iδιότητες συμμετρικών τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

Γ. Ταξινόμηση προβλημάτων Sturm – Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

i. Oμαλά συστήματα Sturm – Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

ii. Περιοδικά συστήματα Sturm – Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

iii. Ιδιάζοντα συστήματα Sturm – Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

10.5 Γενικευμένες Σειρές Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

10.6 Mη-Oμογενή Συνοριακά Προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

10.7 Θεωρήματα Διαχωρισμού και Σύγκρισης του Sturm . . . . . . . . . . . . . 603

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

Eυρετήριο Μαθηματικών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

Eυρετήριο Πινάκων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

Eυρετήριο Εφαρμογών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630