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9 微分方程

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9.3 可分離微分方程

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可分離微分方程

一個可分離微分方程 (separable equation) 是指一個一階微分方程，其表示式可以分解成 x與 y的函數相乘。

形如下者：

可分離的意思便是方程式表示式可以分解成兩個部分。

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可分離微分方程

若 f(y) 不為 0，則我們可以將方程式改寫為

其中 h(y) = 1/f(y) 。

寫成這樣的目的是我們可以將微分方程式改寫成 x, y分離的兩個部分：

h(y) dy = g(x) dx

這樣的微分形式(differential form)。

其中等式一邊是 x，一邊是 y。

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可分離微分方程

接著我們可以兩邊同時做不定積分

上式告訴我們 y可以用隱函數的形式寫成 x的函數，在某些情況下我們有可能解得 y對 x的明確表示式。

66

可分離微分方程

我們可以反過來檢驗這是微分方程式的解：兩邊同時微分

因此

於是有

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範例一

(a) 解方程式

(b) 找出滿足初始條件 y(0) = 2 的解。

解:

(a)首先我們發現這是可分離的微分方程，於是改寫如下

y2 dy = x2 dx

兩邊同時積分

88

範例一 / 解

其中 C為一常數。(注意到等式兩邊均為不定積分，因此

積分結果會得到兩個積分常數，再合併)

接著解 y = y(x)，得到

cont’d

99

範例一 / 解

我們可以再改寫常數為 K = 3C ，得到

(b) 將 x = 0代入上式，為了滿足初始條件 y(0) = 2 ，我們可以解得 於是有 K = 8 。

因此這個初始值問題的解為

cont’d

1010

垂直軌跡

1111

垂直軌跡

一組曲線 F 的垂直軌跡 (orthogonal trajectory) ，是指一條曲線在與 F 中的曲線相交時，在交點相交的角度為直角。如下圖所示

圖七

垂直軌跡

1212

垂直軌跡

舉例說明，給定一組通過原點的直線 y = mx，其中 m為參數。

我們會發現 x2 + y2 = r2，這些以原點為圓心的同心圓會是上述這組直線的垂直軌跡。

同時，我們也會發現任意直線

y = mx會是這些同心圓的垂

直軌跡。

這時候我們可以說這一組直線與

這組同心圓互為垂直軌跡。

圖八

1313

範例五

求一組曲線 x = ky2的垂直軌跡，其中 k為參數。

解:

我們發現 x = ky2會形成一組拋物線，對稱於 x 軸。

要找到垂直軌跡，我們必須要知道垂直軌跡在相交點的斜率，這個可以從 x = ky2微分得到。

1414

我們得到的微分方程式中包含 k，不過我們想解垂直所有拋物線的軌跡，所以需要得到的是一次滿足所有 k的方程式。

為了消掉參數 k，我們可以利用函數 x = ky2，可知道 k =

x/y2，因此微分方程式可以改寫為

或者

範例五 / 解cont’d

1515

這表示這一組拋物線在 (x,y)點時的切線斜率為

y = y/(2x).

因此垂直軌跡在 (x,y) 的切線斜率就必須要跟 y/2x 相乘為 –

1。因此有

這剛好是可分離微分方程，變數分離後兩邊同時積分得到

範例五 / 解cont’d

1616

範例五 /解

得到

移項後

得到橢圓表示式，其中 C為積分常數。

因此這組拋物線的垂直軌跡便是由上式

所決定的這組橢圓。

如右圖所示。

cont’d

圖九

1717

混合問題

1818

混合問題

典型的混合問題便是在一個容器中裝入具有某種溶質的混合溶液。

在容器中以固定速率輸入已知濃度的溶液，攪拌混合後，再以固定速率釋出容器。

我們假設 y(t) 表示在容器中的溶質質量，則 y (t) 便表示溶質的變化率，這便與溶液的輸出入速率有關。

從數學的角度來看，想理解這個問題便必須要用到微分方程。

我們也可以應用到類似的其他問題：化學反應、河川湖泊的汙染物、藥物在血液內的擴散。

1919

範例六

一個容器裝著 5000公升含有 20公斤鹽類的溶液。

該容器每分鐘有 25公升濃度 0.03公斤每升的水流入，

而有同樣流速在容器內充分混合的水流出。

試問在半個小時後有多少的鹽還留在容器內？

解:

假設 y(t) 是在 t分鐘後還留在容器內的鹽類質量。

設定初始條件 y(0) = 20 ，而我們的問題是要求 y(30) 的値。首先我們便需要根據條件來找題設滿足的微分方程式。

2020

範例六 /解

注意到 dy/dt是鹽分的變化率，因此也就是

我們計算輸入的速度

而溶液會維持容納 5000公升的液體，因此容器內的濃度為y(t)/5000 。

cont’d

輸入變化率 –輸出變化率

輸入變化率

2121

範例六 / 解

由於水的流出速度為 25 L/min ，因此

因此代入方程式得到

直接解方程式：

cont’d

輸出變化率

2222

範例六 / 解

由於 y(0) = 20 ，可解得常數 –ln 130 = C，因此

有

|150 – y | = 130e–t/200

由初始值 y(0) = 20 ，而式子右邊恆正，因此 150 – y 恆正，可直接拆開絕對值。

cont’d

2323

範例六 / 解

因此 |150 – y | = 150 – y，移項得到

y(t) = 150 – 130e–t/200

因此半小時後的鹽類質量為

y(30) = 150 –130e–30/200

38.1kg

cont’d