1

النهايات واالتصال

النهايات

:مفهوم النهاية

: لنأخذ الدالة

عندما ما هي قيمة الدالة (أ)

ولكنها ال تساوي تقترب من العدد عندما هل هناك عدد تقترب منه الدالة ( ب)

بالضبط

:بالشكل التالي من خالل تكوين جدول لدراسة سلوك الدالة السؤال هذانجيب على

:من خالل الجدول أعاله نستنتج اآلتي

تقترب من من اليسار أو من اليمين فإن من عندما تقترب

من اليسار هي 1من عندما تقترب ونستطيع القول أن نهاية الدالة

:ويعبر عن هذا بالرموز كاآلتي

2

اليمينمن 1من عندما تقترب أن نهاية الدالة كذلك ستطيع القولون

:ويعبر عن هذا بالرموز كاآلتي هي

:وبشكل عام

:من اليمين ومن اليسار ونقول أن تقترب من العدد عندما من العدد إذا اقتربت

:مالحظات

إذا كانت النهاية اليمنى ال تساوي النهاية اليسرى فإننا نقول أن النهاية غير موجودة.

غير موجودة

حتى إذا كانت قيمة النهاية ال تعتمد على قيمة الدالة في تلك النقطة ، أي قد تكون لنهاية قيمة

.الدالة غير معرفة عند تلك النقطة

: إذا كانت :مثال

: فأوجد

قيمة غير معرفة

:لكن

3

:جبر النهايات

ليس من السهل إيجاد نهايات الدوال عن طريق تكوين الجداول التي تبين سلوك الدالة لهذا ال

:بد من بعض األساليب التي تساعد على إيجاد النهايات وهي

فيها أعداد صحيحة موجبة فإن دالة كثيرة حدود أي قوى إذا كانت

:أوجد النهايات التالية: مثال

4

:قوانين النهايات

:أعداد حقيقية وكانت إذا كانت

:فإن

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

:فأوجد النهايات التالية وكانت إذا كانت : مثال

1)

2)

3)

4)

5

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

6

:إذا كانت الدالة معرفة من أكثر من قاعدة مثل -5

ضمن مجال القاعدة األولى تقع -أ

ضمن مجال القاعدة الثانية تقع -ب

على الحد الفاصل بين المجالين تقع -جـ

(:حاالت عدم التعيين)نهاية المقادير غير المحددة عند نقطة

:اب النهايات هيمن أهم حاالت عدم التعيين التي تظهر عند حس

:إلزالة حاالت عد التعيين نتبع األساليب التالية

التحليل/ أ

إلزالة هذه الحالة نحلل البسط إلى عوامله األولية

أسلوب الضرب في المرافق/ ب

بضرب كل من البسط والمقام في مرافق البسط

إلى ما ال نهاية هبذت امالنهاية عند/ ج

بأعلى قوة البسط والمقام على يقسم كل من

بأعلى قوة إلزالة هذه الحالة يقسم كل من البسط والمقام على

7

:إذا كانت الدالة معرفة من أكثر من قاعدة مثل

:فقد تنشأ إحدى ثالث حاالت إذا أردنا إيجاد

:ضمن مجال القاعدة األولى تقع - أ

:إذا كانت: مثال

:فأوجد

:لقاعدة الثانيةضمن مجال ا تقع -ب

:على الحد الفاصل بين المجالين تقع -جـ

: إلى ما ال نهاية حساب النهاية عندما تؤول

.بأعلى قوة يقسم كل من البسط والمقام على

8

9

:إلزالة حاالت عد التعيين نتبع األساليب التالية

:التحليل/ أ

:فقأسلوب الضرب في المرا/ ب

11

االتصال

:إذا تحققت الشروط التالية متصلة عند النقطة نقول أن الدالة

معرفة أي أن معرفة في الدالة -1

موجودة ؛ أي أن النهاية موجودة -2 ؛ أي أن تساوي قيمة الدالة عند قيمة النهاية عند -3

2هل الدالة متصلة عند : مثال

هل الدالة متصلة في :تمرين

بشكل عام كثيرات الحدود تكون متصلة عند كل نقاط المجال المعرفة عليها هذه : مالحظة

الدوال

هل الدالة متصلة في : تمرين