8 ATh Derivada Substancial WOC
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Noção de Derivada Substancial (ou Material)
A variação das grandezas físicas “transportadas” ou “associadas”a um determinado elemento de fluido em movimento (ex.: velocidade, de uma partícula de água) deve levar em conta:
1) A variação da grandeza em ordem ao tempo, num determinado local do espaço (derivada parcial em ordem ao tempo - derivada local);
2) A variação da grandeza do ponto de vista espacial, isto é, a variação da grandeza de ponto para ponto num determinado instante de tempo (derivada em ordem ao espaço – derivada advectiva).
Derivada Substancial (ou Material)de uma grandeza pontual
A variação temporal de uma grandeza pontual ou seja de uma grandeza “associada” ou “transportada” por
uma partícula fluida em movimentopode ser obtida analisando a
variação total dessa grandeza ao longo da trajectória
Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f
)(ˆˆˆ posiçãovectorkzjyixx ++=r
) - (),,,(),( Escalar ouVector pontualgrandezatzyxftxf =r
)( fdetotalldiferenciadzzfdy
yfdx
xfdt
tfdf
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
dtdz
zf
dtdy
yf
dtdx
xf
tf
dtdf
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
kwjviukzjyixdtd
dtxdV ˆˆˆ)ˆˆˆ( ++=++==rr
u v w
zfw
yfv
xfu
tf
dtdf
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=→
)ˆˆˆ:( kz
jy
ix
recordando∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇r
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fdtdescreverentãoPodemos )(
: ∇•+
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Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f
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)( fdetotalldiferenciadzzfdy
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+∂∂
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+∂∂
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+∂∂
+∂∂
=∇r
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DtDfescreverentãoPodemos )(
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•+∂∂
=
Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f
)(ˆˆˆ posiçãovectorkzjyixx ++=r
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)( fdetotalldiferenciadzzfdy
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VtDt
DescreverentãoPodemos
Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f
)(ˆˆˆ posiçãovectorkzjyixx ++=r
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)( fdetotalldiferenciadzzfdy
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+∂∂
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+∂∂
+∂∂
+∂∂
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u v w
zfw
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+∂∂
+∂∂
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+∂∂
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zw
yv
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tDtDentãoOu
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂=
)()()()()(:
Derivada Substancial (ou Material)de uma grandeza pontual
A variação temporal de uma grandeza“transportada” ou “associada” a um elemento de fluido em
movimentofoi obtida determinado a
variação dessa grandeza ao longo da trajectória percorrida pelo elemento de fluido (perspectiva lagrangeana) sendo
possível relacioná-la com a prespectiva euleriana
Descrição de Lagrange - Variáveis de Lagrange
O Observador está solidário com o elemento de fluido colhendo a informação sobre as alterações (pressão, velocidade, temperatura, etc.) que o referido elemento de fluido vai sofrendo ao longo do escoamento. (segue o elemento de fluido ao longo da sua trajectória)
As variáveis (x,y,z,t) associadas a este processo de observação dizem-se Variáveis de Lagrange.
Descrição de LAGRANGE – Imagine que a embarcação consegue PERSEGUIR UMA PARTÍCULA DE FLUIDO INDIVIDUALIZADA medindo a sua TEMPERATURADescrição de LAGRANGE – O tripulante OBSERVA a VARIAÇÃO DA TEMPERATURA COM O TEMPO:
DtTempD )(
Descrição de Euler - Variáveis de Euler
O Observador é Exterior ao escoamento de onde colhe a informação sobre as características do escoamento
(pressão, velocidade, temperatura, etc.). (por exemplo tem a visão da distribuição das
velocidades instantâneas do escoamento ou seja conhece as linhas de corrente)
As variáveis (Velocidade ou Temperatura - função da posição e do tempo) associadas a este processo de
observação dizem-se Variáveis de Euler.
1) Descrição de EULER – O Observador verifica que a TEMPERATURA varia:
- Ao LONGO DAS SUCESSIVAS POSIÇÕES OCUPADAS PELA EMBARCAÇÃO; - Nessas POSIÇÕES a TEMPERATURA vai VARIANDO com o TEMPO (Ex. basta analisar os registos das diversas embarcações que ao longo do DIA passam nas MESMAS POSIÇÕES)
Derivada Substancial da grandeza pontual TEMPERATURA
emp)( )( )(
)(: TVt
TempDtTempDescreverentãoPodemos ∇•+
∂∂
=rr
Perspectiva Euleriana(observar do lado de fora
do escoamento)
Perspectiva Lagrangeana(observar de dentro do escoamento)
Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f
fradgVftDt
DfescreverentãoPodemos )(
:rr
•+∂∂
=
Perspectiva Euleriana(observar do lado de fora
do escoamento)
Perspectiva Lagrangeana(observar de dentro do escoamento)
Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f (cont.)
(VERIFICAÇÃO)
⇔∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
⇔∂∂
+∂∂
+∂∂
•+++∂∂
=
fz
wy
vx
utf
dtdf
fkz
jy
ix
kwjviutf
dtdf
)(
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(
fVft
fdtdescreverentãoPodemos )( : ∇•+
∂∂
=r
zfw
yfv
xfu
tf
dtdf
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
Derivada Substancial de uma grandeza pontual f / EXEMPLO DE APLICAÇÃO
A aceleração de uma partícula em variáveis de Euler relativamente a um sistema inercial de coordenadas rectangulares resulta da aplicação da expressão:
( ) ⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
•++=∇• Vz
wy
vx
uVkz
jy
ix
kwjviuVVrrrr ˆˆˆˆˆˆ)(
( ) ktwj
tvi
tukwjviu
ttV ˆˆˆˆˆˆ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=++∂∂
=∂∂r
VVtV
dtVdaVfdoconsideranfV
tf
dtdf rr
rrrrr
)(,)( ∇•+∂∂
==→=∇•+∂∂
=
( )
kzwwk
ywvk
xwu
jzvwj
yvvj
xvui
zuwi
yuvi
xuukwjviu
zw
yv
xuVV
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)(
∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇•rr
kzww
ywv
xwu
twj
zvw
yvv
xvu
tvi
zuw
yuv
xuu
tu
dtVd ˆˆˆ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=r
ax ay az
Cf. Eq. (2.57) NB
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 1
:min tedirectamenaplicandodtVdeDeterr
zw
yv
xu
tDtD
dtd
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂==→
)()()()()()(
Derivada Substancial de uma grandeza pontual genérica designada por f
)ˆˆˆ(,)()()()()( kwjviuVzVw
yVv
xVu
tV
DtVD
⋅+⋅+⋅=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=→r
rrrrr
kzwwj
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zuw
zkwjviuw
zVw
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yvvi
yuv
ykwjviuv
yVv
kxwuj
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xuu
xkwjviuu
xVu
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tu
tkwjviu
tV
ˆˆˆ)ˆˆˆ()(
ˆˆˆ)ˆˆˆ()(
ˆˆˆ)ˆˆˆ()(
ˆˆˆ)ˆˆˆ()(
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂
⋅+⋅+⋅∂=
∂∂
→
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂
⋅+⋅+⋅∂=
∂∂
→
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂
⋅+⋅+⋅∂=
∂∂
→
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂
⋅+⋅+⋅∂=
∂∂
→
r
r
r
r
kzww
ywv
xwu
twj
zvw
yvv
xvu
tvi
zuw
yuv
xuu
tu
dtVd ˆˆˆ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=r
ax ay az
Aceleração de uma partícula em variáveis de Euler relativamente a um sistema inercial de coordenadas rectangulares
VVtV
dtVdkajaiaa zyx
rrrr
r)(ˆˆˆ ∇•+
∂∂
==++=
zuw
yuv
xuu
tua x ∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
zvw
yvv
xvu
tva y ∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
zww
ywv
xwu
twa z ∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
Aceleração Local
AceleraçãoAdvectiva
(Convectiva)
Visualização de tipos de escoamentos
Escoamento VARIÁVEL0≠
∂∂
tVr
0≠∂∂
tVr
Ex. 1:
Ex. 2:
Ex. 1:
( ) ( ) ( ) ( ) advectiva aceleração existe Não ; 1100 ⇒== tVtVtVtV baba
rrrr
( ) ( ) ( ) ( ) LOCAL ACELERAÇÃO Existe ; 1010 ⇒>> tVtVtVtV bbaarrrr
)( 0tVa
r)( 0tVb
r0t
1t
)( 1tVb
r)( 1tVa
r)( 0tVa
r)( 0tVb
r
0t
0)( =∇• VVerrr
0)( ≠∇• VVerrr
(Escoam. UNIFORME)
(e UNIFORME)
)( 0tVa
r)( 0tVb
r
0t
Visualização de tipos de escoamentos
Escoamento VARIÁVEL0≠
∂∂
tVr
0≠∂∂
tVr
Ex. 1:
Ex. 2:
Ex. 2:
( ) ( ) ( ) ( ) ADVECTIVA ACELERAÇÃO Existe ; 1100 ⇒<< tVtVtVtV baba
rrrr
( ) ( ) ( ) ( ) LOCAL ACELERAÇÃO Existe ; 1010 ⇒>> tVtVtVtV bbaarrrr
)( 0tVa
r)( 0tVb
r
0t
1t
)( 1tVb
r)( 1tVa
r
0)( =∇• VVerrr
0)( ≠∇• VVerrr
(Escoam. NÃO UNIFORME)
(e NÃO UNIFORME)
Visualização de tipos de escoamentos
Escoamento PERMANENTE0=
∂∂
tVr
0=∂∂
tVr
Ex. 1:
Ex. 2:
Ex. 1 (Prof. Quintela p.41: Escoamento UNIFORME é um caso particular do esc. PERM.) ? . . .
( ) ( ) advectiva aceleração existe Não C te ⇒== tVtV ba
rr
tea CtV =)(r
( ) local aceleração existe Não ⇒= tea CtVr
Constante Nível
teb CtV =)(r
Constante Nível
( ) local aceleração existe Não ⇒= teb CtVr
1 m3s-1
1 m3s-1
)(0)( UNIFORMEVVe =∇•rrr
0)( ≠∇• VVerrr
(e UNIFORME)
Visualização de tipos de escoamentos
Ex. 2:
( ) ( ) ADVECTIVA ACELERAÇÃO Existe ⇒< tVtV ba
rr
Escoamento PERMANENTE0=
∂∂
tVr
0=∂∂
tVr
Ex. 1:
Ex. 2:
1 m3s-1
1 m3s-1
tea CtV =)(r
teb CtV =)(r
Constante Nível
Constante Nível
( ) local aceleração existe Não ⇒= tea CtVr
( ) local aceleração existe Não ⇒= teb CtVr
0)( =∇• VVerrr
0)( ≠∇• VVerrr
VARIADO (≠VARIÁVEL)
e NÃO UNIFORME
1 l/s
1 l/s
Nível constante
TrajectóriaLinha de corrente
Visualização de tipos de escoamentos
Se o escoamento é PERMANENTE ⇒ trajectórias coincidem com linhas de corrente
Se as trajectórias coincidem com linhas de corrente ⇒ escoamento PERMANENTE
Nível variável
Linha de corrente
Se as trajec. não coincidem com as linhas de corrente ⇒ escoamento é VARIÁVEL
t=0t=dtt=2dtt=3dt
TrajectóriaEx.: t=0
Trajectória
Se o escoam. é VARIÁVEL ⇒ as trajec. não coincidem com as linhas de corrente
Caracterize o tipo de escoamento que ocorre no troço SC da conduta de diâmetro constante que liga dois reservatórios de pequenas dimensões e nível constante.
1 m3s-1
1 m3s-1
Constante NívelConstante Nível
S
C
Escoamento PERMANENTE (mas não UNIFORME)
Se o escoamento é UNIFORME ⇒ escoamento RECTILÍNEOSe o escoamento é RECTILÍNEO ⇒ escoamento UNIFORME
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 2
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 3. Um líquido escoa-se no interior de um espaço limitado por uma superfície de revolução de
equação Z r2 = A e com fundo horizontal.
O campo de velocidades do escoamento é representado pela equação: V = 1
2 B x î + 1
2 B y ˆ j – B z ̂k
a) Verifique a equação da continuidade; b) Calcule o caudal escoado na secção aa; c) Calcule o caudal escoado na secção bb; d) Defina as linhas de corrente; e) Defina as trajectórias; f) Classifique o tipo de escoamento.
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
zuw
yuv
xuu
tua x ∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
zvw
yvv
xvu
tva y ∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
zww
ywv
xwu
twa z ∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
PERMANENTEEscoamtw
tv
tu .0;0;0 ⇒=
∂∂
=∂∂
=∂∂
kzBjyBixBV ˆ21ˆ
21ˆ
21
−+=r
VARIADOEscoamCONCLUSÃOUNIFORMENÃOEscoamx
BxBzuw
yuv
xuu
.:.0:
,0:,00041 2
⇒≠∀
≠∀≠−+=∂∂
+∂∂
+∂∂
Nas próxima aulas iremos alargar o conceito de derivada substancial a Sistemas Materiais introduzindo a noção de Volume e Superfícies de controlo e depois aprender conceitos suplementares de hidrocinemáticaque nos permitirão dar resposta às questões a), b), c) e d) as quais resolveremos nas aulas teóricas especificamente reservadas para o efeito, mais para o final do semestre.