76 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

สถตและการวเคราะหขอมล (เนอหาตอนท 3)

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล มจ านวนตอนทงหมดรวม 27 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทน า (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการน าเสนอขอมล - การส ารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คากลางฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ต าแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน


2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมการค านวณทางสถต 2 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

16. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 17. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 18. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 19. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 20. แบบฝกหด (พนฐาน 5) 21. แบบฝกหด (ขนสง) 22. สอปฏสมพนธ เรอง การน าเสนอขอมล 23. สอปฏสมพนธ เรอง การวดคากลางของขอมล 24. สอปฏสมพนธ เรอง การวดการกระจายของขอมล 25. สอปฏสมพนธ เรอง การแจกแจงปกต


3

26. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงเสนตรง 27. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงพาราโบลาและความสมพนธเชงชก าลง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถตและการวเคราะหขอมล นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


4

เรอง สถตและการวเคราะหขอมล (แนวโนมเขาสสวนกลาง 2) หมวด เนอหา ตอนท 3 (3/14) หวขอยอย 1. มธยฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) 2. คากลางอนๆ (ขอมลไมแจกแจงความถ) 3. การเลอกใชคากลาง 4. แผนภาพตน-ใบ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. สามารถหามธยฐานของขอมลทไมแจกแจงความถได 2. สามารถหาคากลางอนๆ ไดแก เรขาคณต ฮารโมนก และกงกลางพสย ของขอมลทไมแจก

แจงความถได 3. สามารถเลอกใชคากลางไดอยางเหมาะสม 4. สามารถน าเสนอขอมลในรปแผนภาพตน-ใบได 5. สามารถอานขอมลทน าเสนอในรปแผนภาพตน-ใบและน าไปใชในการค านวณคากลาง

ตางๆ ของขอมลได ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายและค านวณคามธยฐานของขอมลทไมแจกแจงความถได 2. อธบายสมบตของมธยฐานและน าไปใชได 3. อธบายความหมายและค านวณคากลางอนๆ ของขอมลทไมแจกแจงความถได 4. ใหเหตผลในการเลอกใชคากลางจากขอมลทก าหนดใหได 5. น าเสนอขอมลดวยแผนภาพตน-ใบได 6. ระบขอดของการน าเสนอขอมลในรปแผนภาพตน-ใบ และน ามาใชค านวณคากลางของ

ขอมลได


5

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


6

1. มธยฐาน


7

1. มธยฐาน

ในสอตอนนยงคงมงทจะค านวณคากลางของขอมลทยงไมไดแจกแจงความถโดยจะกลาวถง มธยฐาน คาเฉลยเรขาคณต คาเฉลยฮารโมนก และกงกลางพสย อกทงการเลอกใชคากลางใหเหมาะสมกบขอมลทก าหนดให และสดทายไดกลาวถงการน าเสนอขอมลอกรปแบบหนง คอการใชแผนภาพตน-ใบ

ในชวงนไดกลาวถงบทนยามและการค านวณหาคามธยฐาน ซงเปนคากลางอกคาหนงทนยมใชเปนตวแทนของขอมล ครควรย ากบนกเรยนวา การหามธยฐานของขอมลนนตองมการเรยงขอมลจากนอยไปมาก หรอจากมากไปนอยกอน ดงนนขอมลทจะน ามาหามธยฐานจงตองเปนขอมลทสามารถเปรยบเทยบกนได หมายเหต ในสอและคมอชดนจะเรยงขอมลจากนอยไปมากเทานน


8

เนองจากขอมลทสนใจในตอนนเปนขอมลทยงไมแจกแจงความถนกเรยนนาจะสงเกตกนไดไมยากวาหลงจากเรยงขอมลจากนอยไปมาก ขอมลในต าแหนงทเทาไรจะเปนขอมลทอยตรงกลางของขอมลทงหมด ส าหรบสญลกษณทใชแทนมธยฐานไมวาขอมลนนจะเปนระดบประชากรหรอตวอยางอาจใช Med หรอ Me ทงนมาจากค าวา Median นนเอง นอกจากนครควรย ากบนกเรยนวาสงทนกเรยนตองค านวณกอนเมอเรยงขอมลจากนอยไปมาก (หรอจากมากไปนอย) แลวคอต าแหนงของมธยฐาน แลวจากต าแหนงจงน าไปสมธยฐานซงเปนค าตอบทตองการ

ในต าราบางเลมอาจกลาววามธยฐานคอจ านวนจรงทเมอเรยงขอมลทสนใจจากนอยไปมาก (หรอจากมากไปนอย) แลว มขอมลทมคานอยกวาหรอเทากบจ านวนจรงนอยรอยละ 50 และมขอมลทมคามากกวาหรอเทากบจ านวนจรงนอยรอยละ 50 เชนกน ดงนนส าหรบบทนยามของมธยฐานในลกษณะน ขอมล 150, 155, 177, 180 อาจม

จ านวนจรงใดๆ ในชวง (155,177) เปนมธยฐานกได แตโดยทวไปแลวจะเลอกใหเปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลสองขอมลทอยระหวางกลางของขอมลทงหมดดงทไดน าเสนอไปในสอชดน


9

เมอมาถงตอนนครอาจใหนกเรยนชวยกนอภปรายสถานการณตอไปน เพอใหเขาใจความหมายของมธยฐานมากขน

สถานการณ ในป 1980 มรายงานวามธยฐานของอายของประชากรในประเทศสหรฐอเมรกาเทากบ 30 ป แตในป 2011 จะเพมขนเปน 36 ป ถาอตสาหกรรมผลตเครองอ านวยความสะดวกตางๆ ของประเทศสหรฐอเมรกา เจาะกลมลกคาทมอายอยในชวง 18 30 ป แลวการทมธยฐานของอายของประชากรเพมขนมผลกระทบกบอตสาหกรรมนหรอไมอยางไร นอกจากนครอาจใหตวอยางเหลานเพมเตม

ตวอยาง 1 ส าหรบจ านวนจรง a และ d ใดๆ จงหามธยฐานของขอมล , , 2 , ..., ( 1)a a d a d a N d

วธท า ส าหรบขอมลทก าหนดใหมอยทงสน N ตว หาก d เปนจ านวนจรงบวก ขอมลชดนจะเรยงจากนอยไปมาก หาก 0d ขอมลชดนจะเทากนหมด และหาก d เปนจ านวนจรงลบ ขอมลชดนจะเรยกจากมากไปนอย

ดงนนต าแหนงของมธยฐานของขอมลชดนคอ 1

2

N

นนคอถา N เปนจ านวนค มธยฐานของขอมลชดนเปน 1

2

Na d

แตถา N เปนจ านวนค มธยฐานของขอมลชดนเปน 1

2 2 1

2 2

N Na d a d

Na d

สงเกตวาในกรณท N เปนจ านวนค มธยฐานมคาเทากบขอมลตวหนงในชดน และมคาเทากบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเชนกน

ตวอยาง 2 ส าหรบจ านวนจรง a และจ านวนจรงบวก r ใดๆ จงหามธยฐานของขอมล 2 1, , , ..., Na ar ar ar

วธท า ส าหรบขอมลทก าหนดใหมอยทงสน N ตว หาก (0,1)r ขอมลชดนจะเรยงจากมากไปนอย หาก 1r ขอมลชดนจะเทากนหมด และหาก (1, )r ขอมลชดนจะเรยกจากนอยไปมาก ดงนนต าแหนง

ของมธยฐานของขอมลชดนคอ 1

2

N

นนคอถา N เปนจ านวนค มธยฐานของขอมลชดนเปน 1

2

N

ar

แตถา N เปนจ านวนค มธยฐานของขอมลชดนเปน 1

2 221

2 2

N NNar ar r

ar


10

ตวอยาง 3 ขอมลชดหนงเรยงล าดบจากนอยไปมากไดเปน 1, 2, 3, 3, , , 6, 6, 9, 12a b ถาฐานนยมและ

มธยฐานของขอมลชดนเปน 3 และ 4 ตามล าดบแลวจงหาคา ab วธท า จากขอมลและโจทยทวาฐานนยมของขอมลชดนเปน 3 ท าใหไดวา 3a

และต าแหนงของมธยฐานคอ 10 15.5

2 ดงนนจากโจทยทวามธยฐานของขอมลชดนเปน 4

ท าใหไดวา 34

2 2

a b b

นนคอ 5b จะไดวา 15ab


11

ในชวงนไดใหสมบตของมธยฐานทส าคญ จะเหนวาสมบตแรกคลายกบสมบตของคาเฉลยเลขคณตทวา 2

1

( )N

ii

x a มคานอยทสดเมอ a แต 1

| |n

ii

x a มคานอยทสดเมอ a Me

โดยอาศยอสมการสามเหลยม ทกลาววา ส าหรบจ านวนจรง a และ b ใดๆ จะไดวา | | | | | |a b a b

ท าใหการพสจนสมบตขอ 1 ของมธยฐานนนสามารถแสดงไดดงน พสจน ให Me เปนมธยฐานของขอมล

1 2 3, , , ...,

Nx x x x ทเรยงจากนอยไปมากและ a เปนจ านวนจรงใดๆ

กรณ N เปนจ านวนคจะไดวา 1

2

NMe x ดงนน


12

1

1 2 1 1

2

1 2 1 1 3 1

2 2 2

1 1 2 3 1 1

2 2 2

1 1 2 3

2

| |

| | | | ... | | ... | | | |

| | | | | | | | ... | | | | | |

( ) ( ) ... ( ) | |

( ) ( ) ... (

N

ii

N N N

N N N N N

N N N N N

N N N

x a

x a x a x a x a x a

a x x a a x x a a x x a x a

x x x x x x x a

x x x x x x1

2

1 2 1

1 1

2 2

1 2 1 1

2

1

)

... 0 ...

| | | | ... | | ... | | | |

| |

N

N N

N N

N N N

N

ii

Me x Me x x Me x Me

x Me x Me x Me x Me x Me

x Me

พจน พจน

กรณ N เปนจ านวนคจะไดวา 1

2 2

2

N Nx x

Me ดงนน

1

1 2 11

2 2

1 2 11

2 2

1 1 21

2 2

1 2

2

2

| |

| | | | ... | | | | ... | | | |

| | | | | | | | ... | | | |

( ) ( ) ... ( )

...

N

ii

N N N N

N N N N

N N N N

N

N

x a

x a x a x a x a x a x a

a x x a a x x a a x x a

x x x x x x

Me x Me x Me x

พจน

11

2

2

1 2 11

2 2

1

...

| | | | ... | | | | ... | | | |

| |

N N N

N

N N N N

N

ii

x Me x Me x Me

x Me x Me x Me x Me x Me x Me

x Me

พจน


13

แบบฝกหดเพมเตมเรองมธยฐาน

จงหามธยฐานของขอมลทก าหนดใหตอไปน 1. 18, 10, 15, 13, 17, 15, 12, 15, 18, 16, 11

2. 3.2, 2.5, 2.1, 3.7, 2.8, 2.0

3. 7, 2, 3, 3, 0, 4

4. 2, 3, 5, 3, 2, 3, 4, 3, 5, 1, 2, 3, 4

5. จงยกตวอยางขอมลชดหนงทม 5 ตว และขอมลอกชดหนงทม 6 ตว แตค านวณแลวไดมธยฐานของขอมลทงสองนเทากน

6. หนทดลองสบตวถกปลอยไปในเขาวงกตเพอใหวงหาทางออก เวลาทหนแปดตวใชในการหาทางออกเปนดงน 100, 38, 122, 95, 116, 56, 135, 104 วนาทในขณะทหนอกสองตวยงหาทางออกไมได จากขอมลน จง

พจารณา ก. การหาคาเฉลยเลขคณตส าหรบระยะเวลาทหนทดลองทงสบตวใชในการวงหาทางออกจากขอมลนเปนไปไดหรอไม ถาได จงหาคาเฉลยเลขคณตและใหความหมายซงสอดคลองกบสถานการณทก าหนดใหน ข. หารหามธยฐานของระยะเวลาทหนทดลองทงสบตวใชในการวงหาทางออกเปนไปไดหรอไม ถาได จงหาคามธยฐานและใหความหมายซงสอดคลองกบสถานการณทก าหนดใหน


14

2. คากลางอนๆ


15

2. คากลางอนๆ ในชวงนไดใหบทนยามและสตรในการค านวณคากลางอนๆ

ส าหรบสญลกษณแทนคาเฉลยเรขาคณตของขอมลไมวาจะเปนระดบประชากรหรอตวอยางมกจะใช . .G M หรอ

GM


16

หลงจากนกเรยนไดทราบสตรในการค านวณคาเฉลยเรขาคณตแลวครควรใหนกเรยนไดอานหมายเหตดงๆ พรอมกน จากนนใหครยกตวอยางนประกอบ

ตวอยาง 4 ส าหรบจ านวนจรง a และจ านวนจรงบวก r ใดๆ จงหาคาเฉลยเรขาคณตของขอมล

2 1, , , ..., Na ar ar ar

วธท า 1 2 3 ... ( 1) 1

2 1 2. . ( )( )...( )N N

NN NGM a ar ar ar ar ar

หมายเหต 1. ขอมลทก าหนดใหในตวอยาง 4 เรยกวาล าดบเรขาคณต ซงนกเรยนจะไดศกษาโดยละเอยดในสอเรองล าดบและอนกรม โดยอาจารยศนสนยและอาจารยไพโรจน 2. ในกรณท N เปนจ านวนค คาเฉลยเรขาคณตของขอมลทก าหนดใหในตวอยาง 4 จะเทากบมธยฐานของขอมลชดน ซงสอถงความเปน “คากลาง” ของขอมลจรงๆ

ส าหรบสญลกษณแทนคาเฉลยฮารโมนกส าหรบขอมลระดบประชากรและตวอยางนนใช . .H M หรอ HM

หลงจากทนกเรยนไดทราบสตรในการค านวณคาเฉลยฮารโมนกแลว ครควรย าอกครงวาคาเฉลยฮารโมนกมความสมพนธอยางลกซงกบคาเฉลยเลขคณต กลาวคอ น าขอมลทงหมดมากลบเศษเปนสวน แลวหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหม จากนนกลบน าคาเฉลยเลขคณตของขอมลใหมมากลบเศษเปนสวนอกครงเพอใหไดเปนคาเฉลยฮารโมนก นอกจากนครควรหยดใหนกเรยนชวยกนอานหมายเหตส าหรบคาเฉลยฮารโมนกพรอมๆ กน


17

หลงจากนกเรยนเขาใจตวอยางทยกในสอชดนแลวครควรยกตวอยางนประกอบ

ตวอยาง 5 ส าหรบจ านวนจรง a และ d ใดๆ ทท าให 1 1 1 1, , , ...,

2 ( 1)a a d a d a N d เปน

จ านวนจรงบวกทงหมด จงหาคาเฉลยฮารโมนกของขอมลชดน

วธท า 1. .

( ) ( 2 ) ... ( ( 1) ) 1

2

NH M

a a d a d a N d Na d

สงเกตวาในกรณท N เปนจ านวนค คาเฉลยฮารโมนกของขอมลทก าหนดใหในตวอยางนจะเปนขอมลต าแหนงตรงกลางของขอมลชดนพอด ในขณะทเมอ N เปนจ านวนค คาเฉลยฮารโมนกของขอมลทก าหนดใหในตวอยางนจะเปนจ านวนจรงทเปนคาเฉลยฮารโมนกของขอมลสองขอมลทอยต าแหนงตรงกลางของขอมลชดน ซงสอถงความเปน “คากลาง” ของขอมลชดนนนเอง หมายเหต ขอมลในตวอยาง 5 เปนล าดบฮารโมนก ซงนกเรยนจะไดศกษารายละเอยดของล าดบนในสอเรองล าดบและอนกรม โดยอาจารยศนสนยและอาจารยไพโรจน


18

เมอมาถงตอนนครอาจชวนใหนกเรยนชวยกนอภปรายวาส าหรบขอมลชดใดๆ ทเลอกมาชดหนง หากสามารถหาไดทงคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเรขาคณต และคาเฉลยฮารโมนก แลวคาเฉลยทงสามนจะเรยงล าดบกนไดหรอไม อยางไร และจะเปนจรงเชนนกบขอมลทกๆ ชดหรอไม โดยครอาจเรมจากขอมลชดทมเพยงสองตวคอจ านวนจรงบวก a และ b ใดๆ กอน จะไดวา . . . . . .AM GM H M พสจน ให a และ b เปนจ านวนจรงบวกใดๆ เนองจาก 20 ( ) 2a b a ab b


a bab นนคอ . . . .AM GM เมอ . .AM แทนคาเฉลยเลขคณตของขอมล

จะเหนไดวาหาก a b จะไดวา . . . .AM GM

ตอมาเนองจาก 2

1 1 1 2 10

a ba b ab


1 1ab

a b

นนคอ . . . .GM H M

จะเหนไดวาหาก a b จะไดวา . . . .GM H M ท าใหสรปไดวา . . . . . .AM GM H M ส าหรบการขยายแนวคดสขอมลทประกอบดวย

1 2 3, , , ...,

Nx x x x นนสามารถท าไดในท านองเดยวกน คร

อาจใหนกเรยนลองพจารณาเมอ N มคานอยๆ กอน

นอกจากน ยงมคากลางอกแบบหนงทนกเรยนจะไดใชในสถตและการวเคราะหขอมลระดบมธยมศกษาตอนปลายกลาวคอ ส าหรบขอมลชดหนงทประกอบดวย

1 2 3, , , ...,

Nx x x x จะไดวาคารากก าลงสองเฉลย (root

mean square ใชตวยอเปน . .RMS หรอ RMS ) ของขอมลชดนค านวณไดโดย

2

1. . .

N

ii

xRM S

N คากลางชนดนนกเรยนจะไดใชในการวดการกระจายของขอมล ซงอาจารยกฤษณะ

อรรถาธบายไวโดยละเอยดในสอเรอง สถตและการวเคราะหขอมล ตอนดงกลาว ขอสงเกต ส าหรบจ านวนจรงบวก a และ b จะไดวา 2 2 22 ( ) 0a ab b a b ดงนน 2 2 2a b ab นนคอ 2 2 2 2 22( ) 2 ( )a b a ab b a b

ท าใหไดวา 2 2

2 2

a b a b จงสรปไดวา ส าหรบขอมลทประกอบดวยจ านวนจรงบวก a และ b

ใดๆ . . . . . . . . .RM S AM GM H M ซงอสมการนยงคงเปนจรงส าหรบขอมลทประกอบดวยจ านวนจรงบวก

1 2 3, , , ...,

Nx x x x เชนกน


19

มาถงตอนนไดพดถงบทนยามและวธการค านวณหากงกลางพสยของขอมลซงเปนการหาคากลางของขอมลอยางเรวๆ แตอาจเปนคากลางทมความแมนย านอย นอกจากนยงไดน าคากลางตางๆ ทไดกลาวถงตงแตสอตอนทแลวจนถงตอนนมารวบรวมเขาไวดวยกน

ตวอยาง 6 ส าหรบจ านวนจรงบวก x ใดๆ ก าหนดใหขอมลชดหนงคอ 10, 3, , 6, 6x ถาคาเฉลยเลขคณต

ของขอมลชดนเทากบกงกลางพสยของขอมลชดนแลวจงหาคา x

วธท า จากโจทยจะไดวา 10 3 6 6 25

5 5

x x

ก าหนดให M แทนกงกลางพสยของขอมลชดน

กรณ 3x จะไดวา 10

2

xM ดงนน 25 10

5 2

x x จะไดวา 0x

กรณ 3 10x จะไดวา 13

2M ดงนน 25 13

5 2

x จะไดวา 7.5x

กรณ 10x จะไดวา 3

2

xM ดงนน 25 3

5 2

x x จะไดวา 3511.67

3x


20

ยงไปกวานนในสอตอนนไดพยายามขยายแนวคดสการหาคากลางของขอมลทแจกแจงความถแลว โดยตวอยางทยกใหในสอยงเปนขอมลทแจกแจงความถแลว แตไมไดอยในรปอนตรภาคชน ท าใหการหาคากลางตางๆ ของขอมลเหลานไมซบซอนและสามารถน าหลกในการหาคากลางส าหรบขอมลทยงไมไดแจกแจงความถมาใชได อยางไรกดในการหาต าแหนงของมธยฐานนน หากเปนขอมลทแจกแจงความถแลว จะถอวาขอมลมอยเปนจ านวน

มหาศาลท าให N และ 1N มคาใกลเคยงกนมาก ท าใหต าแหนงของมธยฐานในกรณนจะใชสตร 2

N แทน

1

2

N แตครไมควรยดสงเหลานเปนสรณะในการตดสนวานกเรยนหามธยฐานผดหรอถก เนองจากในทสดแลว

มธยฐานทไดจะเปนคาประมาณ และการไดคามธยฐานจากขอมลต าแหนงท 2

N หรอ 1

2

N นนไมท าให

ความหมายของมธยฐานในแงของการเปนต าแหนงทแบงขอมลออกเปนสองสวน สวนละประมาณ 50% เปลยนแปลงไป


21

3. การเลอกใชคากลาง


22

3. การเลอกใชคากลาง กอนทจะใหขอสรปเกยวกบการเลอกใชคากลางแบบตางๆ ของขอมลทก าหนดให ครควรทบทวนกอนวาคากลางทไดเรยนรมามแบบไหนบาง จากนนควรหยดใหนกเรยนไดอานขอสงเกตเกยวกบขอดขอเสยของคากลางแตละแบบพรอมๆ กน เพอใหนกเรยนเลอกใชคากลางแบบตางๆ ไดอยางเหมาะสมกบลกษณะของขอมล และสงทตองการวเคราะห นอกจากนควรถามกระตนนกเรยนถงเหตผลวาท าไมขอดหรอขอเสยจงเปนเชนทสอไดน าเสนอไว


23

4. แผนภาพตน-ใบ


24

4. แผนภาพตน-ใบ

ในชวงสดทายไดพดถงการน าเสนอขอมลอกแบบหนงในรปของแผนภาพตน-ใบ ซงการน าเสนอแบบนท าใหการค านวณคากลางของขอมลสะดวกขน

เมอมาถงตอนนครอาจใหตวอยางเพมเตม

ตวอยาง 7 ถาน าหนก (เปนกโลกรม) ของสมาชกในครอบครวสองครอบครวทมอยครอบครวละหกคน เขยนเปนแผนภาพตน-ใบไดดงน

ครอบครวท 1 ครอบครวท 2

8 6 4 3 4 9

8 6 6 4 2 2 4 5 3

จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยมของน าหนกของครอบครวทงสองน


25

วธท า ครอบครวท 1 จะได 30(3) 40(3) 8 6 4 8 6 6 12441.33

6 3

กโลกรม ตอมาเนองจากขอมลเรยงจากนอยไปมากแลวจงไดวา มธยฐาน 38 4642

2 กโลกรม

และฐานนยมคอ 46 กโลกรม

ครอบครวท 2 จะได 30(2) 40(3) 50(1) 4 9 2 2 4 3 12742.33

6 3

กโลกรม ตอมาเนองจากขอมลเรยงจากนอยไปมากแลวจงไดวา มธยฐาน 42 4242

2 กโลกรม และ

ฐานนยมคอ 42 กโลกรม

แบบฝกหดเพมเตมเรองแผนภาพตน-ใบ

จากแผนภาพตน-ใบของขอมลทก าหนดใหตอไปน จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยมของขอมลชดดงกลาว 1.

1 3 5 7

2 3 4 6

3 0 1 2 2 4 0 1

2.

1 1 1 4 6 9 2 2 5 5 7 8 3 4 4 6 8

4 2 3 3 3

5 4 6


26

สรปสาระส าคญประจ าตอน


27

สรปสาระส าคญประจ าตอน


28


29

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


30

แบบฝกหดระคน 1. ขอมลชดหนงเมอเรยงจากนอยไปมากแลวอยในรป 15, 15, , , 20a b ถามธยฐานของขอมลชดนคอ 16

และคาเฉลยเลขคณตเปน 17 แลวจงหา ab

2. นกเรยนกลมหนงมสคน โดยมสองคนทน าหนกเทากน และน าหนกนอยกวานกเรยนอกสองคนทเหลอ ถาน าหนกของนกเรยนทงสคนนมฐานนยม มธยฐาน และกงกลางพสย เปน 45, 47.5 และ 48.5 กโลกรม

ตามล าดบแลว จงหาคาเฉลยเลขคณตของน าหนกของนกเรยนทงสคนน

3. ขอมลชดหนงประกอบดวย 1 2 3 20, , , ...,x x x x โดยมสมบตวา

202

1

( )i

n

x a มคานอยทสดเมอ

8a และ 20

1

| |i

n

x b มคานอยทสดเมอ 5b ขอใดตอไปนถกตอง

ก. ขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตนอยกวามธยฐาน ข. ผลรวมของขอมลชดนทงหมดเทากบ 100

4. คาแรงงานตอวน (เปนบาท) ของคนงานกลมหนงจ านวน 8 คนเมอเรยงจากนอยมากแลวไดเปน 150, 152, 158, 162, 170, 177, , 180x

จงหาคา x ทท าใหคาเฉลยเลขคณตของคาแรงงานตอวนของคนงานกลมนเทากบมธยฐานของคาแรงงานตอวนของคนงานกลมน 5. ก าหนดใหขอมล

1 2 3 10, , , ...,x x x x ทเรยงจากนอยไปมากแลวอยในรป

, 5, 5, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 15a ถากงกลางพสยของขอมลชดนคอ 9 และ

ก าหนดให b และ c เปนจ านวนจรงทท าให 10

2

1

( )i

n

x b มคานอยทสดและ 10

1

| |i

n

x c มคานอยทสด

ตามล าดบแลว จงหา abc

6. กลองหาใบมน าหนกเปน 15.5, 14.8, 14.5, 15.2, a กโลกรม โดยคาเฉลยเลขคณตของน าหนกกลอง

ทงหาใบนเปน 15 จงหามธยฐานและกงกลางพสยของน าหนกกลองทงหาใบน 7. ขอมลชดหนงประกอบดวย

1 2 3 4 5, , , ,x x x x x เมอเรยงจากนอยไปมากไดเปน 1.5, 4, , 6, 13.5a และ

5

1

| 6 | 15i

i

x จงหามธยฐานของขอมลชดน

8. ขอมลชดหนงประกอบดวย 1 2 3 13, , , ...,x x x x โดยท | 5 |

nx n ทก {1, 2, 3, ..., 13}n จง

หาจ านวนจรง a ทท าให 13

1

| |i

n

x a มคานอยทสด

9. แผนภาพตน-ใบของขอมลแสดงน าหนก (กโลกรม) ของนกเรยนกลมหนงเปนดงน 4 2 1 0

5 0 8 3 2 2 6 0 3 1 4


31

ถาสมเลอกนกเรยนมา 2 คนจากนกเรยนกลมน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทมน าหนกมากกวาฐานนยมของน าหนกของนกเรยนกลมนเปนเทาใด

10. ก าหนดขอมลสองชดดงน ขอมลชด A : 1, 3, 2, 2, 5, 3, 4, 4, 3

ขอมลชด B : 1, 2, 4, 1, 2, 5, 2, 5, 1, 5, 5, 3

จงหาคาเฉลยเลขคณตและมธยฐานของขอมลทงสองชดน


32

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


33

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองมธยฐาน 1. 15 2. 2.65 3. 3 4. 3 5. ขอมลชดทหนงทเรยงจากนอยไปมากแลวเปน

1 2 3 4 5, , , ,x x x x x และ

ขอมลชดทสองทเรยงจากนอยไปมากแลวเปน 1 2 3 3 5 6, , , , ,x x x x x x

6. ก. การหาคาเฉลยเลขคณตส าหรบระยะเวลาทหนทดลองทงสบตวใชในการวงหาทางออกเปนไปไมได เนองจากขอมลมไมครบสบตว ข. มธยฐานของระยะเวลาทหนทดลองทงสบตวใชในการวงหาทางออกไดเทากบ 110 วนาท หมายความวาในกลมนมหนประมาณ 50% ทใชเวลาวงหาทางออกนอยกวา 110 วนาท และอกประมาณ 50% ทใชเวลาวงหาทางออกมากกวา 110 วนาท

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองแผนภาพตน-ใบ 1. 27 ; 28Me ; 32Mo 2. 31.05 ; 31Me ; 43Mo

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 304 2. 48 กโลกรม 3. ก. และ ข. ผด 4. 179 บาท 5. 192

6. 15Me กโลกรม; กงกลางพสย 15 กโลกรม

7. 5 8. 3 9. 111

10. 3A

; 3A

Me และ 3B

; 2.5B

Me


34

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


35

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


36


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


37


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา




การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

76 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

Documents

Transcript of 76 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...