6.2 廣義乘冪律與替代法的積分
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6.2 廣義乘冪律與替代法的積分
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6.2 廣義乘冪律與替代法的積分
學習目標 以廣義乘冪律求不定積分。 以替代法求不定積分。 以廣義乘冪律求解實際生活的問題。
P.6-12 第六章 積分與其應用
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廣義乘冪律
在 6.1 節提到以基本乘冪律
來求得只為 x 之乘冪函數的反導數 ,本節將介紹可求更複雜函數之反導數的技巧。
P.6-12 第六章 積分與其應用
1
, 11
nn x
x dx C nn
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廣義乘冪律
首先考慮 2x(x2 + 1)3 的反導數,也就是我們要找到導數為 2x(x2 + 1)3 的函數,求反導數的過程也可以如下所示。
求解的關鍵在於積分函數中有 2x 的因式,而 2x 也恰是 (x2 + 1) 的導數。
P.6-12 第六章 積分與其應用
2 4 2 3
2 42 3
2 42 3
[( 1) ] 4( 1) (2 )
( 1)( 1) (2 )
4
( 1) 2 ( 1)
4
4
dx x x
dx
d xx x
dx
xC x x dx
利用連鎖律
兩邊同時除以
寫成積分形式
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廣義乘冪律
令 u = x2 + 1 ,則可寫成
這就是積分的廣義乘冪律 (General Power Rule) 的一例。
P.6-12 第六章 積分與其應用
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廣義乘冪律
P.6-12~6-13 第六章 積分與其應用
在運用廣義乘冪律時,注意積分函數含有 u 的乘冪與 u 的導數 du/dx 等因式。請看範例 1 的說明。
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範例 1 應用廣義乘冪律
求下列不定積分。
P.6-13 第六章 積分與其應用
4 2
2 32 2
3(3 1) (2 1)( )
43 2
(1 2 )
x dx x x x dx
xx x dx dx
x
a. b.
c. d.
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範例 1 應用廣義乘冪律 (解)
P.6-13 第六章 積分與其應用
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範例 1 應用廣義乘冪律 (解)
P.6-13 第六章 積分與其應用
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學習提示
範例 1(b) 為應用廣義乘冪律時常忽略的一種狀況,即乘冪為 n = 1 ,此時
P.6-13 第六章 積分與其應用
2
2
du uu dx C
dx
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學習提示
切記,可對函數微分來驗算不定積分的答案,譬如對範例 1(d) 的函數微分就可看出正確與否。
P.6-13 第六章 積分與其應用
2
2
2 2
1( )
1 21
1 2
4
(1 2 )
F x Cx
dC
dx x
x
x
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檢查站 1
求下列不定積分。
P.6-13 第六章 積分與其應用
2 3 2
2
(3 6)( 6 )
2 2
x x x dx
x x dx
a.
b.
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廣義乘冪律
有時積分函數中沒有導數 du/dx ,則須做些調整才能應用廣義乘冪律。
P.6-14 第六章 積分與其應用
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範例 2 乘除以常數
求 x(3 - 4x2)2 dx 。
P.6-14 第六章 積分與其應用
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範例 2 乘除以常數 (解)
令 u = 3 - 4x2。若要應用廣義乘冪律,在積分函數中須有 du/dx = - 8x 的因式,因此乘除以常數 - 8 。
P.6-14 第六章 積分與其應用
歐亞書局 P.6-14 第六章 積分與其應用
範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(b) 。
代數技巧代數技巧
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學習提示
若要以連鎖律來驗算範例 2 的結果,可對
微分再化簡,即可得原來的積分函數。
P.6-14 第六章 積分與其應用
1 2 324
(3 4 )x
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檢查站 2
求 x3(3x4 + 1)2 dx 。
P.6-14 第六章 積分與其應用
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範例 3 不能應用廣義乘冪律的例子
求 - 8(3 - 4x2)2 dx 。
P.6-14 第六章 積分與其應用
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範例 3 不能應用廣義乘冪律的例子 (解)
令 u = 3 - 4x2。如同範例 2 ,若要應用廣義乘冪律,在積分函數中須有 du/dx = - 8x 的因式,因此乘除以常數,再將該常數提出積分外。然而,這個方法不可用於變數; 也就是,
P.6-14 第六章 積分與其應用
2 2 2 218(3 4 ) (3 4 ) ( 8 )x dx x x dx
x
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範例 3 不能應用廣義乘冪律的例子 (解)
也只有將積分函數展開,再利用基本乘冪律才能求得不定積分。
P.6-14 第六章 積分與其應用
2 2 2 4
3 5
8(3 4 ) ( 72 192 128 )
128 72 64
5
x dx x x dx
x x x C
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學習提示
在範例 3 中,切記積分時不可將變數移到積分符號外;若是可行,就可把所有的積分函數移到積分符號外,如此一來就不需要所有的積分法則,只留下 dx = x + C 。
P.6-14 第六章 積分與其應用
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檢查站 3
求 2(3x4 - 1)2 dx 。
P.6-14 第六章 積分與其應用
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廣義乘冪律
當積分函數中的 du/dx 有多餘的常數,只須將其移到積分符號之外,下個例子即說明此點。
P.6-14 第六章 積分與其應用
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範例 4 應用廣義乘冪律
求 。
P.6-15 第六章 積分與其應用
2 37 1x x dx
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範例 4 應用廣義乘冪律 (解)
令 u = x3 + 1 。可由同時乘除以常數 3
得到所需的 du/dx = 3x2,接著將 du/dx 中不需要的常數 提出積分符號之外。
P.6-15 第六章 積分與其應用
7
3
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範例 4 應用廣義乘冪律 (解)
P.6-15 第六章 積分與其應用
2 3 2 3 1/2
3 1/2 2
3 1/2 2
3 3/2
3
7
7 1 7 ( 1)
7 ( 1) (3 )
37
( 1) (3 ) 3
7 ( 1)
3 3 /
3
2
x x dx x x dx
x x dx
x x dx
xC
改寫成有理指數
乘除以常數
將 提出
廣義乘冪
3 3/214 ( 1)
9x C
律
化簡
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檢查站 4
求 。
P.6-15 第六章 積分與其應用
25 - 1x x dx
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範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(c) 。
P.6-15 第六章 積分與其應用
代數技巧代數技巧
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探索探索
計算下列各函數的導數,並請問何者為 的反導數?
1 3x
P.6-15 第六章 積分與其應用
3/2
2 3/23
2 3/29
( ) (1 3 )
( ) (1 3 )
( ) (1 3 )
F x x C
F x x C
F x x C
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替代法
範例 1 、 2 和 4 所用的積分技巧,有賴於是否可在積分函數中辨認或創造出 un du/dx 。然而,若積分函數較為複雜,就很難應用這樣的基本積分公式,此時可使用另一種積分技巧,即替代法 (substitutions) 或變數變換法 (change of variables) 。此法將改寫積分為 u 和 du ; 也就是,令 u = f (x) 時,則 du = f (x) dx,而且廣義乘冪律的形式為
P.6-15 第六章 積分與其應用
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範例 5 以替代法求積分
求 。
P.6-15 第六章 積分與其應用
1 3xdx
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範例 5 以替代法求積分 (解)
首先令 u = 1 - 3x ,則 du/dx = - 3 和 du = - 3 dx ,即 dx = du ,再以下列步驟求得不定積分。
P.6-15 第六章 積分與其應用
1
3
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範例 5 以替代法求積分 (解)
P.6-15~6-16 第六章 積分與其應用
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
1
3
1 3 (1 3 )
1
3
1
3 3 / 22
1
3
9
xdx x
u du
u du x
C
u C
x d
u
改寫成有理指數
取代 和
提出
應
用乘冪律
3/2
2 1 3 ( )
91 3Cx x u
化簡
以 換回
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檢查站 5
求 。
P.6-16 第六章 積分與其應用
1 2xdx
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替代法
積分替代法的基本步驟總結於下列的準則。
P.6-16 第六章 積分與其應用
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範例 6 以替代法求積分
求 。
P.6-16 第六章 積分與其應用
2 1x x dx
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範例 6 以替代法求積分 (解)
考慮替代 u = x2 - 1 ,可得 du = 2x dx。將原積分乘除以常數 2 可得積分公式所需的 2x dx 。
P.6-16 第六章 積分與其應用
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範例 6 以替代法求積分 (解)
再以微分來驗算答案。
P.6-16 第六章 積分與其應用
2 3/2 2 1/2
2 1/2
2
1 1 3( 1) ( 1) (2 )
3 3 2
1 (2 )( 1)
2
1
dx C x x
dx
x x
x x
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檢查站 6
以替代法求 。
P.6-16 第六章 積分與其應用
2 4x x dx
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替代法
學會本節的兩個積分技巧就可更有效率地算出積分;對於簡單的積分,除了辨認之外,再乘除以適當的常數而造出 du/dx 就可解決,對於較複雜的積分,可以利用範例 5 和 6 所引用的變數變換法來解題。本節習題建議以辨認導數與替代法將題目各做一次。
P.6-17 第六章 積分與其應用
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探索探索
若要計算下列的積分,試問那個方法較好?請說明理由。
P.6-17 第六章 積分與其應用
2 21 1 x dx x x dx 或
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延伸應用:消費傾向
在 2005 年,美國四口家庭的貧窮線約為 $20,000 ,低於或等於此線的家庭將花費他們的全部所得;也就是,會使用 100% 的所得於購買民生必需品,譬如食物、衣服和住宅。當所得水準增加時,平均消費會略低於 100% ,譬如收入 $22,000 的家庭能存 $440 ,而只消費 $21,560 (收入的 98%) 。當所得增加時,消費與儲蓄的比例傾向於遞減,而消費對可支配所得的變化率稱為邊際消費傾向 (marginal propensity to consume) 。 (資料來源:美國普查局 )
P.6-17 第六章 積分與其應用
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範例 7:決策-分析消費
在 2005 年,美國四口家庭對可支配所得 x 的邊際消費傾向可表示為
其中 Q 代表消費掉的所得。試以此模型來估計 2005 年四口家庭所得為 $33,000 的開銷。該家庭的開銷是否會超過 $30,000 ?
P.6-17 第六章 積分與其應用
0.02
0.98, 20,000
( 19,999)
dQx
dx x
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範例 7:決策-分析消費(解)
首先對 dQ/dx 積分以求得消費金額 Q 的模型。利用 x = 20,000 和 Q = 20,000 的起始條件
P.6-17 第六章 積分與其應用
0.02
0.02
0.02
0.98
0.98
0.98
( 19,999)
0.98
( 19,999)
( 19,999)
( 19,999)
( 19,999) 19,999
dQ
dx x
Q dxx
x dx
x C
x
Q
邊際消費傾向
積分可得
改寫
廣義乘冪律
C利用起始條件求得
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範例 7:決策-分析消費(解)
根據此模型, 2005 年四口家庭所得為 $33,000 的開銷約為 $30,756 ,所以消費金額超過 $30,000 , Q 的圖形畫在圖 6.4 。
P.6-18 第六章 積分與其應用
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範例 7:決策-分析消費(解)
P.6-17 圖 6.4 第六章 積分與其應用
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學習提示
在範例 7 中以起始條件來求 C 值時, Q 以 20,000 代入, x 也以 20,000 代入, Q = (x - 19,999)0.98 + C
20,000 = (20,000 - 19,999)0.98 + C
20,000 = 1 + C
19,999 = C
P.6-18 第六章 積分與其應用
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檢查站 7
根據範例 7 的模型,試問四口家庭消費額為 $30,000 的所得為何?
P.6-18 第六章 積分與其應用