探究 1:计算下列多项式的积 , 你能发现什么规律 ?(1) (x+3)(x-3)= ;

(2) (m+2)(m-2)= ;

(3) (2x+1)(2x-1)= ;[ 想一想 ]: 这几道题目有什么共同特点 ? 从计算结果你能发现什么规律 ?

猜想 :(a+b)(a-b)= ?

=xx22-3-322xx22-9-9

mm22-4-4 =mm22-2-222

4xx22-1-1=(2x2x))22-1-122

a2-b2

a2-ab+ab+b2(a+b)(a-b) ==a2-b2

证明 :

a

bb

a

ba -

ba +

b

(1) 图中阴影部分的面积为 ________.(2) 将阴影部分拼成右图的一个长方形 , 这个长

方形的长是 ____, 宽是 ____, 面积是 _________.(3) 比较 (1)(2) 的结果即可得到 :

(a+b)(a-b)=a2-b2

如图 15.3 – 1, 在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b的小正方形 (a ＞ b). 则

a2-b2

(a+b)(a-b)(a+b) (a-b)

探究 2:

ba -

ba

(a+b)(a-b)=a2-b2

两个数的和与这两个数的差的积 , 等于这两个数的平方差 .

公式的结构特征 :(1) 左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数 .

(2) 右边是乘式中两项的平方差 ( 相同项的平方减去相反项的平方 ).

(3) 公式中的 a,b 可以代表数 , 字母 , 单项式或者多项式 .

【例 1】运用平方差公式计算：

(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b)

(3) (-x+2y)(-x-2y) (4) (a-b+c)(a-b-c)

(a + b) (a - b) = a2 - b2

分析 :

⑴ (3x+2)(3x-2) 3x 3x

a a

2 2

b b( + ) ( - ) = a2 - b2

=(3x)2 -22

用公式关键是识别公式中的两数 a, b.

(a + b) (a - b) = a2 - b2

解 : ⑴ (3x+2)(3x-2)

=(3x)2

3x 3x-

2222

= 9x2 - 4 ⑵ (b+2a)(2a-b);b -b+2a 2a=(2a+b)(2a-b)2a 2a=(2a)2

=4a2 – b2

b b

- b2

位置变化！ (3) (-x+2y)(-x-2y)

= (-x)2-(2y)2

= x2-4y2

(4) (a-b+c)(a-b-c)

(a + b) (a - b) = a2 - b2

变式一 变式一 (( －－ 3X3X ＋＋ 2)(2)( －－ 3X3X －－ 2)2)

变式二 变式二 ( ( －－ 3X3X －－ 2)(3X2)(3X －－ 2)2)

变式三 变式三 (( －－ 3X3X ＋＋ 2)(3X2)(3X ＋＋ 2)2)

= (-3x)2-22

=(-2)2-(3x)2

=22-(3x)2

当当““ a”a” 或或““ b”b” 是一是一分数 分数 或是或是负数 负数 或是或是数与字母的乘积 数与字母的乘积 时时 ,, 要用括号把这个数整个括起来要用括号把这个数整个括起来 ..

最后的结果又要去掉括号。 最后的结果又要去掉括号。

口答计算

)2

1)(

2

1(

)3)(3(

)5)(5(

)1)(1(

aa

aa

xx

xx 12 x

252 x92 a

4

12 a

(1)(1)(1+2x)(1(1+2x)(1−−2x)=12x)=1−−2x2x2 2

(2) (2a(2) (2a22+b+b22)(2a)(2a22−−bb22)=2a)=2a44−−bb44

(3) (3m+2n)(3m(3) (3m+2n)(3m−−2n)=3m2n)=3m22−−2n2n22

1.1. 指出下列计算中的错误：指出下列计算中的错误：

第二数被平方时，未添括号。第二数被平方时，未添括号。

第一数被平方时，未添括号。第一数被平方时，未添括号。

第一数与第二数被平方时，都未添括号。第一数与第二数被平方时，都未添括号。

纠 错 练 习

2 、判断下列式子是否可用平方差公式。 (1)(-a+b)(a+b) (2) (-a+b)(a-b) (3)(a+b)(a-c) (4)(2+a)(a-2) （ 5 ）

（ 6 ） (1-x)(-x-1)

（ 7 ） (-4k3+3y2)(-4k3-3y2)

)241

)(241

( yxyx

是

否 是

是

是

是

否

3. 请你判断下列计算对不对？为什么？

(1) (x2+2)(x2-2)=x4-2 ( )

(2)(4x-6)(4x+6)=4x2-36 ( )

(3) (2x+3)(x-3)=2x2-9 ( )

(4) (5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 ( )

(5) (mn-1)(mn+1)=mn2-1 ( )

×

√

×

×

×

1.(200 + 5) (200 - 5)2.(1 + 3b)(1 - 3b)3.(4a + 3)(4a - 3)4.(3x + 2y2)(3x - 2y2)5.[(x + y) + z] [(x + y) –z ]

= 200 2- 52

= 12 - (3b)2

= (4a)2 - 32

= (3x)2- (2y²)2

= (x+y)2 - z2

练习 4

运用平方差公式计算：((aa++bb)()(aa−−bb) ) == aa22−−bb22..

5. 利用平方差计算 :(1) (3a+2b)(3a-2b)

(2) (a5-b2)(a5+b2)

(3) (a+2b+2c)(a+2b-2c)

(4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

例 2 计算： ⑴ 102 ×98;

⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);

(3) (a+3)(a-3)(a2+9)

(4) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)

(5) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

⑴ 102 ×98

谁是a?

谁是b?

102

= (100+2)

98

(100-2)

= 1002-22

= 10000-4

= 9996

⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)y y y y2 2

= y2 - 22

1 5

- (y2+4y-5)

= y2-4-y2-4y+5

= -4y+1

例 2 计算：

(3) (a+3)(a-3)(a2+9)

(4) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)

(5) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (22n+1)

运用平方差公式计算：

1) (a+2b+3)(a+2b-3) 2) (a+2b-3)(a-2b+3)3) (a-2b+3)(a-2b-3)4) (a-2b-3)(a+2b-3)5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)

6) (x+y+m+n)(x+y-m-n)

[(a+2b)+3][(a+2b)-3][a+(2b-3)] [a-(2b-3)][(a-2b)+3] [(a-2b)-3][(a-3)-2b] [(a-3)+2b]

[(-5b)+(3a-2c)] [(-5b)-(3a-2c)]

[(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]

1. 将下列各式变形为可利用平方差公式计算的形式：

2 、利用平方差公式计算：

1 、 (b + 2a )(2a - b)

2 、 (- 4a - 1)(4a - 1)

3 、 (3 + 2a)( - 3 + 2a)

4 、 ( -0.3x - 1)( -0.3x + 1)5 、 [x + (y + 1)] [x - (y + 1)]6 、 (a + b + c) (a + b - c)7 、 (a + b + c) (a – b + c) 8 、 (x + 3) (x - 3) (x2 + 9) (x4 + 81)

4a2 － b2

1 － 16a2

4a2 － 9

0.09x2-1

前 4 题口答，后四题板演

a2-b2=(a+b)(a-b) 逆向思维训练： 1 、 ( )( ) = n2 - m2

2 、 ( )( )= 4x2 - 9y2 3 、 ( )( ) = 25 - a²

n + m n - m

2x + 3y 2x - 3y

5 + a 5 - a

）10

11（）

4

11）（

3

11）（

2

11(

:：3

2222

求值例

说明说明 : 平方差公式也可以逆用 , 即 :a2-b2=(a+b)(a-b)

1. 下列多项式相乘，正确的有 ( )

(1)(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2

(2)(a-b+c)(-a+b-c)=b2-(a+c)2

(3)(a-b+c)a-b-c)=a2-(b-c)2

(4)(a+b-c)(a-b+c)=(b-c)2-a2

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

A

2 、巧算： 99×101× 10001

3 、计算：

1002-992+982-972+….+22-12

4 、已知： (m+35)2=13302921,

求 (m+45)(m+25) 的值。

例 4 ： 解方程 :

6x+7(2x+3)(2x-3)-281 1

( )( ) 42 2

x x

解： 6x ＋ 7 （ 4x2 － 9 ）－ 28 （ x2 － 1/4)=4

6x+28x2-63-28x2+7=4

6x=63-7+4

6x=60

∴x=10

1. 你能运用平方差公式编３个因式，使其积等于 x4 - y4 吗？

( )( )( )=x4 - y4 2. 你能运用平方差公式编若干个因式，使其积等于 216 －１吗？

( )( )….( )=216 - 13. 你会计算下列各式吗？

(1)(2+1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)

(2)(3+1)(32 +1)(34 +1)(38 +1)(316 +1)

(3)(x+1)(x2 +1)(x4 +1)(x8 +1)(x16 +1)

知识拓展 :

X － y X ＋ y X2 ＋ y2

2 ＋ 1 22 ＋ 1 28 ＋ 1

216 － 1

0.5 （ 332 － 1 ）X32 － 1X － 1

1. 1. 试用语言表述平方差公式试用语言表述平方差公式 ((aa++bb)()(aa−−bb))==aa22−−bb22

。。 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。2. 2. 应用平方差公式时要注意一些什么？应用平方差公式时要注意一些什么？

运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相同的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；

变成公式标准形式后，再用公式。 或提取两−”号中的“−”号，

要利用加法交换律，3. 3. 对于不符合平方差公式标准形式者，对于不符合平方差公式标准形式者，

小 结

一个长方形的长为 （√ 19 + √7 ）厘米，宽为（√ 19 - √7 ） 厘米，它的面积是多少？

解 :(√19 - √7 )(√19 + √7 )

=(√19 )2 – (√7 )2

= 19 - 17= 2 ( 平方厘米 )

5. 计算：1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)4) (x+ )(x2+ )(x- )

解： 1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y) = (y2-4) –(9-y2) = y2-4 –9+y2

= 2y2-13

2

1

2

1

3

1

3

19

1

5. 计算：1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)4) (x+ )(x2+ )(x- )

解： 2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x) = –3x(x2-1) - x(4-9x2) = –3x3+3x – 4x+9x3

= 6x3-x

2

1

2

1

3

1

3

19

1

5. 计算：1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)4) (x+ )(x2+ )(x- )

2

1

2

1

3

1

3

19

1

= -16y2+1+12y2-12y-9= -4y2-12y-8

解 :3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)2

12

1

= -4(4y2- )+3(4y2+2y-6y-3)4

1

5. 计算：1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)4) (x+ )(x2+ )(x- )

2

1

2

1

3

1

3

19

1

解： 4) (x+ )(x2+ )(x- )3

1

3

19

1

= [(x+ )(x- )](x2+ )3

1

3

19

1

= (x2- )(x2+ )9

1

9

1

= x4- 81

1