第五章第五章

計量管制圖計量管制圖

5.1 概論 凡產品品質特性可藉由量測得知，且可以連續性

尺規表示者，則屬計量值品質特性，如：長度、重量、高度、濃度、時間、厚度或強度等。

計量值管制圖能提供資訊為：1. 提供產品製程品質之發展傾向。2. 提供產品品質改善資訊。3. 提供製程能力分析資訊。4. 訂定及管制產品規格。5. 確認造成缺失原因為隨機或非隨機事件。6. 提供生產決策所需資訊。

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計量值管制圖 計量值管制圖是以連續函數為考量，由樣本集中趨勢統計量 ( 如：平均數、中位數或眾數等 ) 及離散趨勢統計量 ( 如：全距或標準差 ) 推估及管制產品製程品質之準度與精度。

因此一般計量值管制圖多是由兩個管制圖組成。

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5.2 管制圖之誤差 修華特博士所提出的管制圖假設品質特性分布為常態分配，並以平均數 (μ) 為中心， ±3σ 為管制界限。

以常態分配言， ±3σ 以外機率 (α) 為 0.0027 。因此，修華特博士管制圖也稱為 0.0027 機率管制圖。

當管制機率改變時，其管制上 / 下限範圍相對的需要一起改變。例如管制機率為： 0.002 、 0.010 及0.050 時 ， 其 常 態 分 配 之 Z 值 分 別 為 ：±3.09 、 ±2.57 、 ±1.96σ ，其管制界限需修正之比例，如表 5.1 所示。

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管制圖之誤差

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管制圖之誤差 當製程變動時，欲檢查出該變動情形與樣本數有絕對關係。第一個樣本即可檢查出製程變動的情形，其機率為 1 － β ；若第一個樣本沒檢查出來，由第二個樣本檢查出製程變動情形，其機率為 β× (1 － β) ；

同理，若於第 r個樣本才檢查出製程變動情形，其機率為：

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管制圖之誤差 若當製程變動時，在指定管制變異範圍 ( 如 ±3σ) 及樣本大小 (n) 時，可能檢查出變動的情形所需之平均樣本數，即為上式之期望值，亦稱為平均連串長度 (Average Run Length, ARL) 。

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於 ±3σ 管制界限下，當製程變動 Kσ，其 管制圖之平均連串長度與樣本大小之關係，如圖 5.1 所示。

以修華特博士觀點而言，當製程在管制狀態下，平均連串長度為：

管制圖之誤差

X

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管制圖之誤差 因此當製程在管制狀態下其平均連串長度為 ARL0

＝ 1/α ，當製程失控狀態下其平均連串長度為ARL1 ＝ 1/(1 － β) 。

若以樣本大小 n = 5 ，檢測 1 個 σ 的變動，其期望樣本數為 5 ；若將樣本大小增加至 n = 16 ，則檢測 1 個 σ 的變動，其期望樣本數降為 1 ，如圖 5.1所示。

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管制圖之誤差

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例題 5.1

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解

平均數與全距管制圖 ( － R control chart) 是以平均數管制圖 ( control chart) 與全距管制圖 (R control chart) 一起管制品質特性，其中平均數管制圖是管制平均數的變化，即管制產品品質之集中趨勢；全距是管制產品品質差異程度，即離散趨勢。

5.3 平均數與全距管制圖X

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X

平均數與全距管制圖 一般平均數與全距管制圖為達合理、有效且經濟之目的，大多每次取 3 至 5 個樣本 (n) ，共取 20 至 25 個樣組 (k) ，即同時考量樣本組內變化及組間變化，且盡量使每組樣本之組內變異小，組間變異大，方能將整個製程品質反應於平均數與全距管制圖。

以圖 5.2 為例，其組內變異雖不大，但組間變化卻正負相反。因此每次取樣的樣本不見得要多，但每次取樣的間隔時間卻是很重要影響因素。

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平均數與全距管制圖

一、管制圖之建立步驟1. 選定產品品質特性；2. 訂定樣本大小 (n = 3 至 5 個樣本 ) 及抽樣次

數 (k = 20 至 25 組樣組 ) ；

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平均數與全距管制圖3. 依規定的取樣時程蒐集樣本資料 ( ) ；4. 計算每次抽樣樣組之平均數 ( ) 及全距 ( ) ；

5. 計算各樣組之平均數的平均數 ( ) 及其全距之平均數 ( ) ；

iX

jX

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jR

XR

平均數與全距管制圖6. 計算管制界限；

(1) 平均數管制圖之管制界限

(2) 全距管制圖之管制界限

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平均數與全距管制圖7. 繪製管制界限，並將各樣組之平均數及全距，

分別繪入平均數管制圖與全距管制圖內，再以直線連接；

8. 若有任何點超出管制界限或非隨機散布者，需將超出管制界限或非隨機散布的點摒除，重新計算其管制界限。

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二、管制界限之計算群體標準差 (σ) 與樣本全距之平均數 ( ) ，及群體標準差 (σ) 與樣本全距之標準差 ( ) 之 間 統 計 量 推 估 關 係 如 下 ：

其中 d1 ， d3為常數，查 3σ 管制界限因子表，詳如附錄 E(p.467) 。

平均數與全距管制圖

R

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σ R

平均數與全距管制圖

19

平均數與全距管制圖

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平均數與全距管制圖

21

平均數與全距管制圖

22

平均數與全距管制圖

23

平均數與全距管制圖

24

平均數與全距管制圖

25

平均數與全距管制圖

26

平均數與全距管制圖

27

平均數與全距管制圖

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例題 5.2

29

例題 5.2

30

解

例題 5.2

31

例題 5.2

32

例題 5.2

33

例題 5.3

34

解

例題 5.3

35

例題 5.4

36

解

例題 5.4

37

平均數與標準差管制圖 ( － S control chart) 係以平均數管制圖 ( control chart) 管制產品品質特性之集中趨勢變異，並以標準差管制圖 (S control chart) 管制產品品質特性之離散變異。

當樣本數 (n) < 10 時，建議使用 － R 管制圖，當樣本數 (n) ≥10 時，則建議使用 － S 管制圖。

5.4 平均數與標準差管制圖

X

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X

X

X

平均數與標準差管制圖 樣本標準差 (S) 的平均數 ( ) 與樣本標準差的標準差 (σS) ，與群體標準差 (σ) 之間統計 量 的 推 估 關 係 為 ：

其中 c4 、 c5為一常數，且為樣本數 (n) 的函數，如附錄 E 所示。

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S

平均數與標準差管制圖

40

平均數與標準差管制圖

41

平均數與標準差管制圖

42

平均數與標準差管制圖

43

平均數與標準差管制圖

44

例題 5.5

45

例題 5.5

46

解

例題 5.5

47

例題 5.5

48

5.5 中位數與全距管制圖

49

中位數與全距管制圖

50

中位數與全距管制圖

51

例題 5.6

52

例題 5.6

53

解

例題 5.6

54

例題 5.6

55

例題 5.6

56

例題 5.6

57

5.6 個別值與移動全距管制圖 個別值與移動全距管制圖 (X － Rm control

chart) 是針對平均數與全距、平均數與標準差、中位數與全距等資料不易獲得時，如：破壞性檢驗、檢驗成本高、產品產量少、產品生產期程長或特殊製程產品等，可以產品品質特性量測值之間的變異，判定其製程穩定性。

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個別值與移動全距管制圖

一、個別值管制圖之管制界限

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個別值與移動全距管制圖

二、移動全距管制圖之管制界限

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例題 5.7

61

解

例題 5.7

62

例題 5.7

63

5.7 移動平均數管制圖移動平均數管制圖係以移動平均數 ( ) 為縱座標，抽樣間隔為橫座標，本管制圖運用於連續生產型之製程管制計畫，如：石化產品、飲料或食品等。

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mX

移動平均數管制圖 經由管制圖曲線之平順程度，可判讀產品品質特性之變化傾向，則其管制界限為：

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例題 5.8

66

解

例題 5.8

67

5.8 最大值與最小值管制圖 其計算方式如下：

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例題 5.9

69

解

例題 5.9

70

例題 5.9

71

5.9 全距與標準差管制圖 全距 (R) 及標準差 (S) 均屬離散趨勢統計量，因此全距與標準差 (R － S) 管制圖重點在於產品品質特性精度的管制。

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全距與標準差管制圖

73

全距與標準差管制圖 其管制界限係數值經統計量演算後，如表 5.10及表 5.11 所示。

74

全距與標準差管制圖

75

全距與標準差管制圖

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例題 5.10

77

解

例題 5.10

78

點管制圖 (dot control chart) 係每次取 3 至 5個樣本，將其平均數標示於管制圖上，如圖5.12 所示。點管制圖係運用於連續型自動化生產模式，如： IC 製造、零組件製造、及封裝產業等。

其管制中心值、管制上限及管制下限為：

5.11 點管制圖

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點管制圖 點管制圖繪製方式係將管制上下限分上下兩區，安全管制範圍訂在 ±2σ 以內， ±2σ 至 ±2.5σ為警戒區， ±2.5σ 至 ±3σ 為拒絕區，如圖 5.12所示，其可能之情況與對策，如表 5.12 所示。

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點管制圖

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點管制圖

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點管制圖 一般將製程管制上下限訂定在規格上 / 下限之一半，以利掌握製程缺失，並確保製程公差 (±3σ) 管制在規格允差一半 (±Δ/2) 以內，如圖 5.13 所示。將自量測的資料點入圖 5.13 ，即完成點管制圖。

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點管制圖

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例題 5.13

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解

例題 5.13

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