簡捷法

5-1實用管理科學

陳明德、陳武林著前程文化

Ch5線性規劃之解法 -- 簡捷法

簡捷法簡捷法可用來找尋端點，並評估何者為最佳解。先考慮所有決策變數值皆為零的基本解，再算出是否有其他解的目標函數值較此點為佳。線性規劃問題若有最佳解，此解必定會落在可行區域的「端點」上。




範例說明題目請見課本 106-107因不等式為小於等於，故於不等式左邊加入寬裕變數，即可將模型變成標準式。Max Z = X1 + 4X2 + 0S1 + 0S2 (5.1)s.t.

X1 + 5X2 + S1 = 10 (5.2)2X1 + 6X2 + S2 = 16 (5.3)X1, X2, S1, S2 0 (5.4)




專有名詞基本解 (basic solution) : 標準式的線性規劃中包含 n 個變數與 m(< n) 個線性方程式；令 n-m 個變數為零，再解 m 個聯立方程式，求出剩餘 m個變數值基本可行解 (basic feasible solutions)：滿足所有非負限制式的基本解非基本變數 (nonbasic variables) ：基本可行解中令其為０的變數．（ n-m 個 )基本變數 (basic variables) ：基本可行解中須求解的變數（＞＝０； m 個）基底（ basis): 所有基本變數的集合．




求解流程補充




簡捷法運算步驟 (1/2)

最大化問題 ( 且限制式皆 <=0) ，其運算步驟：

將問題表示為線性規劃模型。在每個限制式中加入寬裕變數，以表示成標準式。構建最初的簡捷列表。選擇於列 - 中具有最大正值的非基本變數為進入變數，將此變數所在的欄設為主軸欄。

jC jZ




簡捷法運算步驟 (2/2)

對於每一列計算比值 / ，其中 > 0 ，j 為主軸欄。選擇比值最大的列為主軸列，將此列所對應的變數設為離開變數。執行基本列運算，將主軸欄轉換成單位欄，位於主軸列上者為 1 ，其餘者為 0 。執行最佳化檢驗。若所有欄之 cj - zj 0 ，則已找到最佳解；否則，回覆到步驟 4 。

ib ija




範例說明 (1/5)

題目請見課本 106-107因不等式為小於等於，故於不等式左邊加入寬裕變數，即可將模型變成標準式。Max Z = X1 + 4X2 + 0S1 + 0S2 (5.1)s.t.

X1 + 5X2 + S1 = 10 (5.2)2X1 + 6X2 + S2 = 16 (5.3)X1, X2, S1, S2 0 (5.4)




範例說明 (2/5)求得一組基本解 (basic solution)令 X1 =0 ， S2 = 0 ，則上述線性方程式變成：

5X2 + S1 = 10 (5.5)6X2 + = 16 (5.6)

由 (5.6) ， X2 = 8/3 ，代入 (5.5) ， S1 = - 10/3 。我們得到線性系統的解如下，

X1 = 0X2 = 8/3S1 = - 10/3S2 = 0

此組解稱為是弘光線性規劃問題的一組基本解。




範例說明 (3/5)

求基本解步驟：考慮一個以標準式表示的線性規劃問題，其中包含 n 個變數與 m(< n) 個線性方程式；令 n-m 個變數為零，再解 m 個聯立方程式，求出剩餘 m 個變數值。我們稱這 n-m 個設為零的變數為非基本變數另外 m 個變數則稱為基本變數。




範例說明 (4/5)基本可行解：一組基本可行解是一組滿足所有非負限制式的基本解。弘光問題中，令 X1 =0 ， S2 = 0 ，求得 X2 = 8/3 ，S1 = - 10/3 ，這組解並非一組基本可行解，因 S1為負數，違反非負的限制。然而，若令 X1 = 0 ， X2 = 0 ，可求得寬裕變數 S1 = 10 ， S2 = 16 ，我們得到線性系統的解如下，

X1 = 0X2 = 0S1 = 10S2 = 16




範例說明 (5/5)

此組解為一組基本可行解，因為所有變數值皆大於等於零，滿足非負的限制式。簡捷法是一種重複的求解過程，從一組基本可行解 ( 端點 ) 到另一組基本可行解 ( 端點 ) ，直到求得最佳解為止。




列表式標準式限制式有兩個特性< 特性一 > 須滿足以下條件：

在限制式中，那些包含基本變數的欄中只有其基本變數係數為 1 其餘基本變數的係數皆為 0 。

< 特性二 >要求每個限制方程式的右側值皆為非負數，所得到的基本解為可行解。

若將 n-m 個非基本變數令為 0 ，這 m 個基本變數值則等於這 m 個限制式的右側值。倘若一個線性規劃問題滿足上述兩個特性，則稱其已表示為一列表式。




簡捷列表符號模式介紹 (1/2)

介紹簡捷列表的一般表示，其符號如下：cj = 變數 j 的係數bi = 限制式 i 的右側值aij = 限制式 i 中第 j 個變數的係數A = mn 的矩陣，其構成元素為 aij




簡捷列表符號模式介紹 (2/2)

c1 c2 … cn

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 … a2n b2

… … … …am1 am2 … amn bm

因此，弘光問題的簡捷列表為：X1 X2 S1 S2 1 4 0 0 1 5 1 0 10 2 6 0 1 16




建立簡捷列表 (1/5)

為改善目標值，其做法是將某一個非基本變數換成基本變數，而將目前某個基本變數換成非基本變數。以弘光問題，表示如下：

X1 X2 S1 S2

Basis CB 1 4 0 0

S1 0 1 5 1 0 10

S2 0 2 6 0 1 16





另一組新的基本可行解來改善目標函數值是否可行？在簡捷列表下方加上兩列：第一列標示為zj ，表示當矩陣 A 的第 j 行所對應的變數移至基底，目標函數值的減少量；第二列標示為 cj - zj ，則表示當矩陣 A 的第 j 行所對應的變數移至基底，目標函數值的淨變化量。





介紹 zj 列值如何計算：若 X1 = 0 變成 1 ，改變時，若仍要滿足方程式成立，其餘變數中某些變數須同時改變運用簡捷法時，只須改變基本變數即可。例如：第一個限制式 X1 + 5X2 + S1 = 10

目前基本變數 S1 ，若 X2 仍為非基本變數，其值仍為 X2=0 ，若將 X1 = 0 變成 X1 = 1 ，則 S1 必須減少 1 ，變成 S1 = 9 。





欲計算 zj 列的值，則可以將 CB 欄位中的係數乘以矩陣 A 的第 j 行中同列的係數，然後再加總。如：

z1 = 0(1) + 0(2) = 0

z2 = 0(5) + 0(6) = 0

z3 = 0(1) + 0(0) = 0

z4 = 0(0) + 0(1) = 0

因目標函數中 X1 係數 c1 = 1 ， c1 - z1 = 1 - 0 = 1 ，這表示將變數 X1 移至基底， X1 每增加一單位，目標函數值將增加 1





X2 同理，建立初始簡捷列表如下：X1 X2 S1 S2

Basis CB 1 4 0 0S1 0 1 5 1 0 10S2 0 2 6 0 1 16

zj 0 0 0 0 0 目標函數值cj - zj 1 4 0 0

目前可行解目標值 ( ＝ 0) ，其值 0(10) + 0(16) = 0 。




尋找下一個較佳解 (1/2)進入基底的變數選擇法從 cj - zj 列中選擇一個可以使得目標函數值的單位改善量最大的變數。若有多個變數，習慣選擇這些變數最左欄者。離開基底的變數選擇法

若進入變數是位於簡捷列表的第 j欄，對每一列 i，若 aij > 0 則計算比值 bi/aij 。若第 i*列的比值最小，則將此列所對應的基本變數從基底移除。若有多列有相同比值，則習慣上選擇這些列中位於最上列者所對應的基本變數。




說明選擇變數的演算過程，在簡捷表最右側多增加了一欄來表示比值 bi/aij 。

進入 ( 主軸欄 )

X1 X2 S1 S2 bi / ai2

Basis CB 1 4 0 0S1 0 1 5 1 0 10 10/5=2 離開 ( 主軸

列 )S2 0 2 6 0 1 16 6/6=8/3

zj 0 0 0 0 0 cj - zj 1 4 0 0

尋找下一個較佳解 (2/2)




計算下一個簡捷列表 (1/4)

運用基本列運算，將簡捷列表轉換成同義的另一組限制方程式系統，基本列運算會改變變數的係數與右側值。執行基本列運算的主要目的是要將簡捷列表變成一種容易找出新基本可行解的型式





回顧弘光：進入 ( 主軸欄 )

X1 X2 S1 S2Basis CB 1 4 0 0S1 0 1 5 1 0 10 離開 ( 主軸列 )S2 0 2 6 0 1 16

為使 = 1 ，我們執行基本列運算將第一列 ( 即主軸列 ) 乘上 1/5 ，如下： 1/5(1X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 ) = 1/5(10)

a12





同理可得新簡捷表，如下：X1 X2 S1 S2

Basis CB 1 4 0 0

X2 4 1/5 1 1/5 0 2

S2 0 4/5 0 -6/5 1 4

計算結果的意義弘光問題最初之基本可行解為X1 = 0 、 X2 = 0 、 S1 = 10 、 S2 = 16

簡捷法運算後，利潤變為 8 ，基本可行解為： X1 = 0 、 X2 = 2 、 S1 = 0 、 S2 = 4

b





最初基本可行解對應到點 1 ，經變換運算後，沿X2 方向移離原點，在可行區域內，最遠可至點 2 ，新的基本可行解即對應到此點。




往較佳解移動 (1/4)

可否找到一組較佳基本可行解，必須重新計算 zj 與cj - zj ，建立簡捷列表：

X1 X2 S1 S2

Basis CB 1 4 0 0 X2 4 1/5 1 1/5 0 2

S2 0 4/5 0 -6/5 1 4

zj 4/5 4 4/5 0 8

cj - zj 1/5 0 -4/5 0

依據進入基底的變數選擇法，選擇了 X1 為進入變數，因其 c1 – z1 = 1/5 是 cj - zj 列中最大的正數。

b




往較佳解移動 (2/4)接著決定離開變數，由於進入變數是位於簡捷列表的第 1欄，對每一列 i，若 ai1 > 0 則計算比值 bi/ai1 ，如下：進入 ( 主軸欄 )

X1 X2 S1 S2

Basis CB 1 4 0 0X2 4 1/5 1 1/5 0 2 2/(1/5)=10S2 0 4/5 0 -6/5 1 4 4/(4/5)=5 離開 zj 4/5 4 4/5 0 8

cj - zj 1/5 0 -4/5 0

因第 2列比值最小，將此列所對應的基本變數從基底移除

i1

i

a

bb




往較佳解移動 (3/4)執行基本列運算步驟，可得簡捷列表：

X1 X2 S1 S2Basis CB 1 4 0 0 X2 4 0 1 1/2 -1/4 1 X1 1 1 0 -3/2 5/4 5 zj 1 4 1/2 1/4 9 cj - zj 0 0 -1/2 -1/4

得基本可行解 X1 = 5 、 X2 = 1 、 S1 = 0 、 S2 = 0目標函數值為 : Z = X1 + 4X2 = 1(5) + 4(1) = 9

b




往較佳解移動 (4/4)

由於列 cj - zj 中的所有數皆非正數，則表示當矩陣的任一欄所對應的變數移至基底，目標函數值的淨變化量皆為非正值，即無法增大目標函數值，因此這組解已經是最佳解，此時的最大利潤值為 9 。




最佳解條件當簡捷列表中 cj - zj 列的所有數皆為 0或負數時，則表示已經找到最佳解，即為基本可行解。




一般情況之簡捷列表 (1/7)

題目請見課本 p122-123

將題目模型變成標準式，即於小於等於不等式左邊加上寬裕變數，於大於等於不等式左邊減去剩餘變數，將模型變成標準式之後加入新人工變數： a3 (0)

X1 + 5X2 + S1 = 10 (5.10)

2X1 + 6X2 + + S2 = 16 (5.11)

X1 + X2 - S3 + a3 = 5 (5.12)





若令 X1 = X2 = S3 = 0 ，可得解： X1 = 0 、X2 = 0 、 S1 = 10 、 S2 = 16 、 S3 = 0 、 a3 = 5

雖此解不是實際問題的可行解，確為可行解，可作為簡捷法運算的初始解，只要在得到最佳解之前將其移出基底，就不會違反實際問題的可行性。




一般情況之簡捷列表 (3/7)將其成本設為非常大正數，一般用 M 來表示。則目標函數為： Max X1 + 4X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – Ma3建立初始的簡捷列表

X1 X2 S1 S2 S3 a3Basis CB 1 4 0 0 0 -MS1 0 1 5 1 0 0 0 10 S2 0 2 6 0 1 0 0 16a3 -M 1 1 0 0 -1 1 5 zj -M -M 0 0 M -M -5M cj – zj 1+M 4+M 0 0 -M 0




一般情況之簡捷列表 (4/7)第一次主軸變換，進入變數為 X2 ，離開變數為 S1 ，運算結果如下：

X1 X2 S1 S2 S3 a3

Basis CB 1 4 0 0 0 -MX2 4 1/5 1 1/5 0 0 0 2S2 0 4/5 0 -6/5 1 0 0 4a3 -M 4/5 0 -1/5 0 -1 1 3 zj 4 0 M -M 8-3M

cj - zj 0 0 -M 0

M5

4

5

4 M

5

1

5

4

M5

4

5

1 M

5

1

5

4




一般情況之簡捷列表 (5/7)第二次主軸變換，進入變數為 X1 ，離開變數為a3 ，運算結果如下：

X1 X2 S1 S2 S3 a3

Basis CB 1 4 0 0 0 -MX2 4 0 1 1/4 0 1/4 -1/4 5/4S2 0 0 0 -1 1 1 -1 1 X1 1 1 0 -1/4 0 -5/4 5/4 15/4

zj 1 4 3/4 0 -1/4 1/4 35/4 cj - zj 0 0 -3/4 0 1/4 4

1 M





第三次主軸變換，進入變數為 S3 ，離開變數為S2 ，運算結果如下：

X1 X2 S1 S2 S3 a3

Basis CB 1 4 0 0 0 -M

X2 4 0 1 1/2 -1/4 0 0 1

S3 0 0 0 -1 1 1 -1 1

X1 1 1 0 -6/4 5/4 0 0 5

zj 1 4 1/2 1/4 0 0 9

cj - zj 0 0 -1/2 -1/4 0 -M





因上表之 cj - zj 列上的值皆非正數，且人工變數 a3 已經移離基底，所以已得最佳解倘若，線性規劃問題 cj - zj 列上的所有值皆非正數，仍有至少一個人工變數 aj 不為 0 ，則此線性規劃問題無解。




HW1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 9,10, 12

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