積算基準(単価・歩掛)kijun... · 2015-07-30 · 総則-1 工事費の積算基準及び単価の公表について(建築・住宅編) 1. 総則 (1)はじめに
不定積分法則
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不定積分法則組員名單
4A128003 黃俊霖4A128006 林長葦4A128020 黃資盛4A128052 林修銘4A128053 林聖耀
代換積分法 我們已學會利用微積分基本定理求一些基本函數
的不定積分,但非所有的函數都是那麼容易積分的,如,
若利用之前的微分積分基本定理來求 F’(x) 且F(x) 滿足 F’(x)= ,在此並不容易看出其 F(x) 為何。因此向此種類型的題目,可以引進新的變數來代替,將其改寫成為「較簡單的函數」,使其較容易得到反導函數。
我們以下面的範例來介紹代換積分法: 【範例】:求 解:令 = = ,則 = 2x or 此時 = . = 我們會發現原本的函數要找其反導函數是不容易的,若將函數做代換後, 發現變成較簡單的函數,使得容易找到反導函數,因此 = = + C 再把 = 1 + 代回上式, 我們得到 = ( + C 以上的方程式稱作代換積分法。
例題 1:解一:令則 = 因為 = => =
所以 = . =
= + C = - + C
計算 (
(1) 若是奇數,我們使用的公式,且令來代換。(2) 若是奇數 ,則我們使用的公式,且令來代換。
2. 在計算 ( 時, (1) 若是偶數且,
則我們使用的公式,且令來代換。
(2) 若是奇數且 1 ,則我們使用的公式,
且另來代換。
例題 1
解 : 令,則 = = - + C = + C
例題 2.
解: 令 tan ,則 = 所以
分部積分法給定兩個可微分函數與,則由道函數的乘法公式,
我們有: ()’對上式兩邊積分,則可得到下式:
由微分與積分的運算得到:
再將式子移項即可得到分部積分公式如下:
為了方便記憶,我們可將符號改寫成較簡單的形式。令,
則其積分公式的符號改寫如下
例題 1
解:
6-3 積分的技巧 由於積分較微分難,所以積分就是要學一些方
式去解各種類型。 當我們遇到下類似、、時,可以使用三角函數
代換來解題,所以這一些類型是代換積分法的延伸
第一型:若被積函數包含, 令, 則 第二型:若被積函數包含, 令, 則 第三型,若被積函數包含, 令, 則
第一型例題 1.
解:設,則
=(+C) 因此 且 sin2 所以
第二型例題
解:設,則
第三型例題 設,, 則 且
因為
所以
有理式函數積分 當我們遇到類似有理式函數 的積分時, 即計算, 我們發現若用之前所學的代換積分式解不
出來,因此本節試著將有理式函數寫成部份分式,再逐項積分。
以下將介紹有理函數積分的步驟及規則。
(1.) 若有理式函數,的最高次小於的最高次方,即
。 如再計算時,我們可先將分母因式分解
接著再將此有理函數拆開:
我們將其通分,然後對應解 A 、 B 、 C ,可得下列等式:
所以我們可將其分解為:
因此
(2.) 若有理式函數,的最高次大的最高次方,即
如再計算時,因為的次方大於 ,所以先利用長除法得到
我們將的分母因式分解 接著再將此有理函數拆開:
我們將其通分,然後對應 A 、 B ,可得下列等式:
所以我們可將其分解為: 因此
總結 : 有理式積分五步驟 步驟一: (1) 若是一個假分式 ( 即分子之最高次方大於或等
於分母之最高次方,即 ) ,則我們會利用除法將表示成一個商再加上一個真分式,即,而是一個真分式,是一個多項式。
步驟二: 若是ㄧ個真分式,我們要將作因式分解 步驟三: (1) 若分母 的形式出現 時,我們要將它化成下列
形式: =+
(2) 若分母 的形式出現時,我們要將它化成下列形式:
=+ (3) 若分母 的形式出現時,我們要將它化成下列
形式: =+ 步驟四: 利用比較等式兩邊之係數關係決定未知常數 ,, ,與,, ,
可嘗試利用學過的積分技巧來計算有理式函數的積分。
參考資料 http://
www.topmath.org/university/new1calculus/060301.swf
http://csm00.csu.edu.tw/0166/2005calculus/44.htm