1.3 Lebesgue 積分入門1.3{2 1 Lebesgue 積分概観 Riemann 積分に対する不満...

1.3–1

1.3 Lebesgue積分入門

1 Lebesgue積分概観

2 Lebesgue可測集合

3 Lebesgue可測関数

4 Lebesgue積分の定義

5 Riemann積分と Lebesgue積分

6 収束定理と Fubiniの定理

1.3–2

1 Lebesgue積分概観

◆ Riemann積分に対する不満

• 積分できない関数がたくさんある.

• 極限操作 (極限と積分順序の交換, 項別積分など) を保証する条件がきつい. (例えば, 一様収束)

ÝÑ Lebesgue積分の導入

　ż b

a

fpxq dx (fpxq ě 0) に対する積分の定義を比べてみよう.

1.3–3

◆ Riemann積分の考え方

定義域の分割　 ∆ : a “ x0 ă x1 ă x2 ă ¨ ¨ ¨ ă xn “ b　に対して,

ż b

a

fpxq dx :“ lim|∆|Ñ0

nÿ

j“1

fpξjq|Ij | pξj P Ijq

ここで, Ij :“ rxj´1, xjs, |Ij | :“ xj ´ xj´1

右辺は ξj の選び方および |∆| p:“ max1ďjďn

|Ij |q Ñ 0 とするときの

分割の列の取り方に依存しないという意味での極限を表す.

この極限が存在するための条件は,

|∆| Ñ 0 なる分割の列 t∆u に対して,nÿ

j“1

`

supIj

f ´ infIj

f˘

¨ |Ij | Ñ 0

となること.

1.3–4

x1 x2 xj−1 xj xn−1xj+1a

x0

||b

xn

||

(Riemann積分)

1.3–5

◆ Lebesgue積分の考え方

値域の分割　 δ : 0 “ y0 ă y1 ă ¨ ¨ ¨ ă ym ă ¨ ¨ ¨ Ñ 8　に対して,

ż b

a

fpxq dx :“ lim|δ|Ñ0

8ÿ

k“1

ηk|Ek| pηk P ryk, yk`1sq

ここで, Ek :“ tx | yk ď fpxq ă yk`1u, |Ek| :“ Ek の「長さ」.

右辺は ηk の選び方および |δ| p:“ supkě1

pyk ´ yk´1qq Ñ 0 とすると

きの分割の列の取り方に依存しないという意味での極限を表す.

この極限の存在条件は,

f´1prc, dqq “ tx | c ď fpxq ă du の形の集合が「長さ」をもつこと.

(このとき 0 ď8ř

k“1

pyk ´ yk´1q|Ek| ď |δ|pb ´ aq に注意せよ.)

1.3–6

a b

y1

y2

yk−1

yk

yk+1

Ek

ym

y0 = 0

Ek−1

(Lebesgue積分)

1.3–7

2 Lebesgue可測集合 (in RN )

定義 E Ă RN に対して,

‚ E の Lebesgue外測度

µ˚pEq :“ inf! 8ř

n“1|Qn|

ˇ

ˇ

ˇE Ă

8Ť

n“1Qn

)

P r0,8s

(Qn は N 次元直方体, |Qn| はその N 次元体積)

Q

E

‚ E が有界のとき, N 次元直方体 Q Ą E を取り,

µ˚pEq :“ |Q| ´ µ˚pQzEq (Q の取り方に依らない) と定めて,

E が Lebesgue可測 defô µ˚pEq “ µ˚pEq

E の Lebesgue測度 µpEq :“ µ˚pEq p“ µ˚pEqq (E : Lebesgue 可測)

1.3–8

‚ E が非有界のとき, Bn :“ tx P RN | |x| ď nu pn P Nq とおいて,

E が Lebesgue可測 defô @n P N : E X Bn が Lebesgue可測

E の Lebesgue測度 µpEq :“ limnÑ8

µpE X Bnq (E : Lebesgue 可測)

以下, Lebesgue可測, Lebesgue測度をそれぞれ可測, L測度と略記

《注》 1⃝ E Ă RN の L測度 µpEqは通常の N 次元体積の拡張概念.

2⃝ E が有界のとき, 一般に 0 ď µ˚pEq ď µ˚pEq ă 8 が成り立つ.

従って, 非有界の場合も含めて,

µ˚pEq “ 0を満たす E (L零集合と呼ばれる) は可測集合

1.3–9

定理 3.1 RN の可測集合族M “ MN は σ 加法族である. すなわち,

(1) H, RN P M (2) E P M ñ RNzE P M

(3) tEnu8n“1 Ă M ñ

8Ť

n“1En,

8Ş

n“1En P M

定理 3.2 RN の L測度 µ “ µN は次を満たす.

(1) µpHq “ 0

(2) tEnu8n“1 Ă M, En X Em “ H

pn ‰ mq

ñ µ´ 8Ť

n“1En

¯

“8ř

n“1µpEnq

(3) E P M ñ µpEq “ inftµpGq | E Ă G, Gは開集合 u

“ suptµpKq | K Ă E, K はコンパクト u

《注》 RN のすべての開集合, 閉集合を含む最小の σ 加法族B “ BN を Borel 集合族, その元を Borel集合と呼ぶ: M “ tE Y Z | E P B, µpZq “ 0u

1.3–10

《例》 Q Ă R1

Q “ tan | n P Nu と表され (可算無限集合),

@ε ą 0に対して,

Q Ă

8ď

n“1

`

an ´ε

2n`1, an `

ε

2n`1

˘

6 0 ď µ˚pQq ď

8ÿ

n“1

ε

2n“ ε

ε ą 0の任意性により, µ˚pQq “ µpQq “ 0.

−3

1

−3

2

−3

3

−3

4

−2

1

−2

2

−2

3

−2

4

−1

1

−1

2

−1

3

−1

4

0

1

0

2

0

3

0

4

1

1

1

2

1

3

1

4

2

1

2

2

2

3

2

4

3

1

3

2

3

3

3

4

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

【問 3.1】 Q “ tan | n P Nu となる数列 tanu8n“1,

an ‰ am pn ‰ mq, を具体的に構成する手続きを１つ述べよ. 更に, その数列において, a1000 および an “ 1

1000なる n P N を求めよ (プログラムを示せ).

1.3–11

《例》 Cantor集合 C Ă R1

I0 “ r0, 1sから始めて, 帰納的に, In´1 に属する各閉区間の真ん中 1{3を取り除いて得られる閉区間の集まりを In とする. このとき, C “

Ş8n“0 In を Cantor集合と

呼ぶ.

0 ď µpCq ď µpInq “

´2

3

¯n

Ñ 0 pn Ñ 8q

であるから, µpCq “ 0.

I0 = [0, 1]

1 = [0, 1

3] ∪ [ 2

3, 1]I

2 = [0, 1

9] ∪ [ 2

9, 1

3] ∪ [ 2

3, 7

9] ∪ [ 8

9, 1]I

I3 = [0, 1

27] ∪ [ 2

27, 1

9] ∪ · · · ∪ [ 8

9, 25

27] ∪ [ 26

27, 1]

C は非可算無限集合であることが知られている.

1.3–12

3 Lebesgue可測関数

定義可測集合 E Ă RN に対して,

• f : E Ñ R “ r´8,8s が (Lebesgue)可測関数defô @c P R : f´1ppc,8sq P M

MをBで置き換えたものを Baire関数 (= Borel可測関数)

• 複素数値関数 f : E Ñ C の可測性は, 実部 Re f と虚部 Im f がともに可測であることで定義される.

1.3–13

定理 3.3 E Ă RN が可測集合のとき,

(1) f, g : E Ñ R が可測, c P Rñ f ˘ g, cf, fg, suptf, gu, inftf, gu も可測.

(2) f : E Ñ R が可測関数, h : R Ñ R が Baire関数ñ h ˝ f も可測.

(3) fn : E Ñ R pn P Nq が可測ñ inf

nPNfn, sup

nPNfn, lim

nÑ8

fn, limnÑ8

fn, limnÑ8

fn も可測.

ここで, 例えば, limnÑ8

fnpxq “ limnÑ8

supkěn

fkpxq

《注》連続関数や連続関数列の極限関数は Baire関数, 従って可測.

　逆に, 可測関数は次に述べるように, ある意味で連続関数に近い.

1.3–14

定理 3.4 可測関数 f, fn pn P Nq : E pĂ RN : 可測 q Ñ R に対して,

(1) (Luzinの定理)

@ε ą 0 DF p閉 q Ă E : µpEzF q ă ε かつ f |F は連続(2) (Egorovの定理)

µpEq ă 8 かつ fn Ñ f a.e. on E ならば,

@ε ą 0 DF p閉 q Ă E : µpEzF q ă ε かつ fn Ñ f on F (一様)

《注》可測集合 E 上で定義された命題関数 P pxq px P Eqに対して,

P pxq a.e. on Edefô DE0 (L零集合) @x P EzE0 : P pxqが真

p a.a. x P E q

キーワード a.e. (= almost everywhere = ほとんど至る所),

a.a. (= almost all = ほとんどすべての)

1.3–15

4 Lebesgue積分の定義

可測集合E 上の可測関数 f に対し, Lebesgue積分ż

E

f dµを定める.

(1) f が単関数 ě 0, 即ち fpEq “ ty1, y2, . . . , ymu Ă r0,8sのとき,

ż

E

f dµ :“mÿ

k“1

yk ¨ µ`

f´1ptykuq˘

(f´1ptykuqは可測)

(2) f が可測関数 ě 0のとき, E 上で limnÑ8

fn “ f となる可測単関数の単調増加列 tfnu8

n“1 を構成できる. これを用いてż

E

f dµ :“ limnÑ8

ż

E

fn dµ (tfnuの取り方に依らない!)

1.3–16

例えば, 次のように選べばよい:

fnpxq :“

$

&

%

k ´ 1

2nif

k ´ 1

2nď fpxq ă

k

2npk “ 1, 2, . . . , 2nnq

n if fpxq ě n

a b

1.3–17

(3) f が一般のときは, f “ f` ´ f´ pf˘ :“ maxt0,˘fuq と表し,

ż

E

f dµ :“

ż

E

f` dµ ´

ż

E

f´ dµ

右辺の積分の少なくとも一方が有限のとき,ş

Ef dµの値 P R が定まる. (f が

複素数値なら実部 Re f と虚部 Im f に分けて考える.)

特に, この値が有限, すなわちş

E|f | dµ ă 8 となる可測関数 f を可積分であ

るといい, E 上で可積分な関数全体の集合を L1pEq で表す:

L1pEq :“␣

f (E 上で可測)ˇ

ˇ

ż

E

|f |dµ ă 8(

1.3–18

《注》 Lebesgue積分は Riemann積分の拡張であり, Riemann積分と同様な計算法則が成り立つ. 例えば, E が可測で f, g P L1pEqのとき,

• (線型性)

ż

E

paf ` bgq dµ “ a

ż

E

f dµ ` b

ż

E

g dµ

• (正値性) f ě 0 ñ

ż

E

f dµ ě 0 また,ˇ

ˇ

ˇ

ż

E

f dµˇ

ˇ

ˇď

ż

E

|f | dµ

定義 (Lebesgue空間)　可測集合 E Ă RN 上の可測関数 f に対して,

f P LppEqdefô

$

’

’

’

&

’

’

’

%

∥f∥p “ ∥f∥LppEq :“´

ż

E

|f |p dµ¯1{p

ă 8

p1 ď p ă 8q

∥f∥8 “ ∥f∥L8pEq :“ ess supE

|f | ă 8

但し, ess supE

|f | :“ inf␣

Mˇ

ˇ µ`

tx P E | |fpxq| ą Mu˘

“ 0(

.

1.3–19

《注》 Lebesgue空間に関して次の事柄に注意する.

• Lpノルム ∥¨∥p は三角不等式 ∥f ` g∥p ď ∥f∥p ` ∥g∥p を満たす.

• ∥f∥p “ 0 は f “ 0 a.e. on E を意味する. LppEq を扱う際には,

f “ g a.e. on E なる f, g は同一視される.

• 開集合 D ĂRN , 0 ď k ď 8 に対し,

Ck0 pDq :“

␣

f P CkpDqˇ

ˇ tx P D | fpxq ‰ 0u Ť D(

1 ď p ă 8 ならば Ck0 pDq は LppDq において稠密, すなわち

@f P LppDq Dtfnu8n“1 Ă Ck

0 pDq : ∥f ´ fn∥p Ñ 0 pn Ñ 8q

1.3–20

5 Riemann積分と Lebesgue積分

まず, N 次元直方体上の有界関数の Riemann積分の定義は既知として, 一般の Riemann積分 (特に広義 Riemann積分)を復習する.

DQ

⊂ R2

以下, Riemann積分 = Ｒ積分, Lebesgue積分 = Ｌ積分と省略.

1.3–22

(2) 有界集合 D (体積確定)上の有界関数 f のＲ積分

• D を含む N 次元直方体 Qを取り,

f が D 上でＲ積分可能defô fDpxq :“

"

fpxq px P Dq

0 px R Dqが (Q 上で) Ｒ積分可能

f の D 上でのＲ積分ż

D

fpxq dx :“

ż

Q

fDpxq dx

• f が D 上でＲ積分可能 ô f の不連続点全体が零集合

1.3–23

(3) D (体積確定)が非有界または f が非有界の場合

• D の任意の体積確定コンパクト集合上でＲ積分可能となる f が対象.

• D のコンパクト部分集合列 tKnu8n“1 を

@n : Kn Ă Kn`1 かつ @K (コンパクト) Ă D Dn1 : K Ă Kn1

が成り立つように取り,

f が D 上で広義Ｒ積分可能 defô lim

nÑ8

ż

Kn

|fpxq| dx ă 8

f の D 上での広義Ｒ積分ż

D

fpxq dx :“ limnÑ8

ż

Kn

fpxq dx

この定義は tKnuの取り方に依らない.ş

D|fpxq|dx ă 8 となるので絶対

収束する広義Ｒ積分とも呼ばれる.

1.3–24

《注》区間D Ă R1 上では, 必ずしも絶対収束しない広義Ｒ積分が定義される.

【問 3.2】˚ sinx

xは r0,8q上で Lebesgue積分の意味では値が定まらないこと

を示せ. 更に,

ż 8

0

sinx

xdx :“ lim

RÑ8

ż R

0

sinx

xdx (絶対収束しない広義Ｒ積分)

の値を求めよ. (例えば複素積分を用いて計算できる.)

1.3–25

以上の準備のもとで, Ｌ積分と (広義)Ｒ積分の関係を述べると,

定理 3.5 体積確定集合 A Ă RN 上の関数 f が上の意味で (広義)Ｒ積分可能ならば, f は A上でＬ積分可能であって, 積分の値は一致する:

ż

A

fpxq dx “

ż

A

f dµ

《注》上の定理より, Ｌ積分の表記ş

Ef dµ を用いる代わりにＲ積分の表記

ş

Efpxq dx を用いても不都合は生じない. 以下では, Ｌ積分に対してもＲ積分

と同じ表記法を用いる.

1.3–26

6 収束定理と Fubiniの定理

とても実用的な定理を挙げる. (E は RN の可測集合, I は R1 の区間)

まず, E 上で可測な関数列 tfnu8n“1 に対して,

fn Ñ f a.e. on E ñ

ż

E

fpxq dx “ limnÑ8

ż

E

fnpxq dx (‹)

を保証する条件を考える. (極限と積分の交換)

定理 3.6 (Beppo Leviの収束定理あるいは単調収束定理)

0 ď f1pxq ď ¨ ¨ ¨ ď fnpxq ď fn`1pxq ď ¨ ¨ ¨ を満たすとき, p‹qが成立.

定理 3.7 (Lebesgueの収束定理あるいは優収束定理)

|fnpxq| ď gpxq p@nq なる g P L1pEqが存在するとき, p‹qが成立.

1.3–27

Lebesgueの収束定理の系として次の 2つの有益な定理が成立する.

定理 3.8 (項別積分)　 tfnu8n“1 Ă L1pEq のとき,

8ÿ

n“1

ż

E

|fnpxq| dx ă 8 ñ

ż

E

´

8ÿ

n“1

fnpxq

¯

dx “

8ÿ

n“1

ż

E

fnpxq dx

定理 3.9 (積分記号下の微分)　 fpx, λq px P E, λ P Iq に対して,

(1) fpx, ¨q P CpIq p@xq かつ |fpx, λq| ď Dgpxq p@λq pg P L1pEqq

ñ F pλq :“

ż

E

fpx, λq dx P CpIq

(2) fpx, ¨q P C1pIq p@xq かつfp¨, λq P L1pEq p@λq, |fλpx, λq| ď Dhpxq p@λq ph P L1pEqq

ñ F pλq P C1pIq で, F 1pλq “

ż

E

fλpx, λq dx

1.3–28

《例》 Ipαq “

ż 8

0

e´x2

cosαxdx pα P Rq とおく.

x ě 0において,

|e´x2

cosαx| ď e´x2

かつż 8

0

e´x2

dx “

?π

2ă 8,

ˇ

ˇ

ˇ

B

Bα

`

e´x2

cosαx˘

ˇ

ˇ

ˇď xe´x2

かつż 8

0

xe´x2

dx “1

2ă 8.

よって, 積分記号下での微分が許され (定理 3.9),

I 1pαq “

ż 8

0

B

Bα

`

e´x2

cosαx˘

dx “

ż 8

0

e´x2

p´xq sinαxdx

“1

2

ż 8

0

`

e´x2˘1sinαxdx “ ´

1

2

ż 8

0

e´x2`

sinαx˘1dx “ ´

α

2Ipαq.

Ip0q “

?π

2を用いて I 1pαq “ ´

α

2Ipαq を解いて, Ipαq “

?π

2e´α2{4.

1.3–29

【問 3.3】 1 ď p ă 8とする. tfnu8n“1 が E 上で可測で,

|fnpxq|p ď gpxq p@nq なる g P L1pEqが存在し, fn Ñ f a.e. on E

とする. このとき, Lebesgue の収束定理を用いて ∥fn ´ f∥p Ñ 0 を示せ.

【問 3.4】区間 I 上の連続関数列 tφnptqu8n“1 に対して,

|φnptq| ď Mn p@t P I, @n P Nq,8ÿ

n“1

Mn ă 8

を満たす正数列 tMnu8n“1 が存在したとする. このとき, WeierstrassのM テストに

より, Φptq :“ř8

n“1 φnptq も I 上で連続となる. この事実を,

fpx, tq :“ φnptq pn ´ 1 ă x ď nq

で定まる ( tをパラメータとする) xの階段関数 fpx, tq に定理 3.9(1)を適用することにより説明せよ. 更に, この状況で定理 3.9(2) に対応する命題はどのように述べられるか考えよ.

1.3–30

積分の順序交換は次の定理に尽きる.

定理 3.10 (Fubiniの定理)

E Ă RM , F Ă RN が可測 (ñ E ˆ F Ă RM`N も可測),

fpx, yq が E ˆ F 上で可測なとき,

fpx, yq ě 0 または fpx, yq P L1pE ˆ F q ならば,

(1) fpx, yqは"

a.a. y P F に対し x P E の可測関数

a.a. x P E に対し y P F の可測関数

(2)

ż

E

fpx, yq dx は y P F の可測関数,ż

F

fpx, yq dy は x P E の可測関数

(3)

żż

EˆF

fpx, yq dxdy “

ż

E

´

ż

F

fpx, yq dy¯

dx “

ż

F

´

ż

E

fpx, yq dx¯

dy

1.3–32

【問 3.5】 p ą 0, q P Rのとき, 次の問いに答えよ.

(1) Re`

ep´p`iqqx˘

“ e´px cos qx に注目して,ż 8

0

e´px cos qx dx を計算せよ.

(2) Fubiniの定理を用いて,ż 8

0

e´px sin qx

xdx,

ż 8

0

e´px 1 ´ cos qx

x2dx を求めよ.

(3) (2)の結果を用いて,

ż 8

0

e´px´ sin qx

x

¯2

dx を求めよ.

(4) (2), (3)において p Ñ 0 としたら, どのような結果が得られるか.

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