圆锥曲线的切线及切点弦方程

近几年，圆锥曲线考试的热点为直线与圆锥曲线相切或相交问题，直线与圆锥曲线交于两点时弦长问题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题，或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的最值等问题。

点 在椭圆 上，

直线 与直线 垂直， 为坐标原点，直线 的倾斜角为 ，

直线 的倾斜角为 .

证明 : 点 是椭圆与直线 的唯一交点；

0 0( , )P x y2 2

2 21( 0)

x ya b

a b

2l 0 01 2 2: 1xx yy

la b

P

2l

1l

0 0cos , sin , (0, )2

x a y b

opO

09 年安徽高考试题

20 0xx yy r 。

0 02 2

1xx yy

a b

复习：2 2 2

0 0( , )x y r M x y 过圆 上一点 的切线方程:1 ：

2 2

0 0 2 2( , ) 1

x yP x y

a b 设 为椭圆 上的点，则过该点的切线方程为：2 ：

3 ：2 2

0 0 2 2( , ) 1

x yP x y

a b 设 为双曲线 上的点，则过该点的切线方程为：

0 02 2

1xx yy

a b

4 ： 0 0( , ) 2P x y px2设 为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：

0 0( )yy p x x

圆锥曲线切线的几个性质 性质 1 过椭圆（双曲线，抛物线）的准线与其长（实）轴所在直线的交点作椭圆（双曲线，抛物线）的两条切线，则切点弦长等于该椭圆（双曲线，抛物线）的通径．

Y

X

B

A

F2F1 A2A1O

1PF AB

性质 2 过椭圆（双曲线，抛物线）的焦点 F1的直线交椭圆

（双曲线，抛物线）于 A， B两点，过 A， B两点作椭圆（双曲

线，抛物线）的切线交于点 P，则 P 点的轨迹是焦点 F1 的对应

的准线，并且．

X

Y

P

BF2F1 O

A

例题 1 ： 如图，设抛物线 的焦点为 F ，动点 P 在直线 上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA 、 PB ，

且与抛物线 C 分别相切于 A 、 B 两点 . 求△ APB 的重心 G 的轨迹方程 .

2: xyC 02: yxl

解：设切点 A 、 B 坐标分别为 2 20 1 1 1 0( , ) ( , )(( )x x x x x x和

∴ 切线 AP 的方程为： ;02 200 xyxx

;02 211 xyxx 切线 BP 的方程为：

解得 P 点的坐标为： 1010 ,

2xxy

xxx PP

PP

G xxxx

x

310

,3

4

3

)(

33

2

102

101021

2010 pPP

G

yxxxxxxxxxyyyy

所以△ APB 的重心 G 的坐标为：

由点 P 在直线 l上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：

).24(3

1,02)43( 22 xxyxyx 即

所以 243 GGp xyy

20 0xx yy r 。

0 02 2

1xx yy

a b

0 02 2

1xx yy

a b

0 0( )yy p x x

圆锥曲线的切点弦方程2 2 2

0 0( , )P x y x y r 设 为圆 外一点，则切点弦的方程为：◆

2 2

0 0 2 2( , ) 1

x yP x y

a b 设 为椭圆 外一点，过该点作椭圆的两条切线，

切点为A，B则弦AB的方程为：

◆

2 2

0 0 2 2( , ) 1

x yP x y

a b 过 为双曲线 的两支作两条切线，则切点弦方程为：◆

0 0( , ) 2P x y px2设 为抛物线y 开口外一点，则切点弦的方程为：◆

例题2：

2 2

2 21 ( ,0)

x yP m

a bA B AB

对于圆锥曲线 ，过点 ，作两条切线，

切点为 ， ，求证直线 恒过定点

1 1 2 2( , ( , )A x y B x y证：设 ），

1 11 2 2

1x x y y

A la b

则过 点的切线方程 ：

Y

XH

B

A

F2F1 OP

2 22 2 2

1x x y y

B la b

则过 点的切线方程 ：

1 21 2 2 2

P 1 1mx mx

l la a

因为 在直线 和直线 上，所以 和

2 2

( ,0)a a

AB x Hm m

所以直线 的方程为 ，即恒过定点

例题3： 2 2x 2 1, 4 3 12

A,B

AB OMN

y P x y 已知椭圆 是在直线 上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别为 ，问当直线 与两坐标轴围成的三角形 面积最小，最小值为多少？

P 0 0解：设 点坐标为P（x , y）,所以切点弦所在直线方程为：

0 0

1 1( ,0),N(0, )

x 2yM所以

P

A BN

y

O

00

OMN

1S

4x y

02 1.yy 0xx

P

A B MN

y

O

0 04 3 12x y 又00

4 3x y

000 0 0 0

33, 4 3 2

2x y x y x y 当且仅当 ，即 ，

OMN

1 3S AB 4 1

12 2x y 此时 ，直线 方程为

M 1,

M A,B

4 2M

3AB

Q x

Q

2 2已知 ：x +(y-2) 是 轴上的动点，QA,QB分别切 于 两点。

（1）：如果 AB ，求直线 的方程；

（2）：求动弦 的中点的轨迹方程。

4 2 1(t 0) AB ,

3 3 解：设Q ，， 的中点为N, AB MN

例题4：

M

Q

A

B

N2Q 3 t 4 9

t= 5

由射影定理 M ，

Q 5 0 直线M 的方程为 2x+5y-2

(2) (t 0) AB tx-2(y-2)=1设Q ，，则直线 的方程为

Q 1,2

y

x直线M 的方程为

t

6

4 4N

2

2 2

t 2t交点 的坐标为（ , ）,

t t

46

4

x

yN

2

2

2

t

t2t

t

点 的参数方程为

2 73 0

2N y y 2点 的轨迹方程为x

M

Q

A

BN

思考题：

2

l y x+3 P

y 2 A,B. PAB

P

x

已知 是直线： 上一点，过点 作抛物线

的两条切线，切点分别为 求 面积的最小值。

l

P

B

A

x

y