浅谈高等代数的知识体系

主 讲 侯维民教授

高等代数是中学代数到抽象代数的过渡作用是通过下述三个转变实现的 , 三个转变组成了高等代数知识体系的三条主线 .

一 . 从具体的教学对象向抽象的代数系统的转变

数字 .多项式 .n元数组 .矩阵 数域上向量空间 向量空间的线性变换 群 .环域简介 欧式空间

这种转变的优点

1. 利用公理化方法 , 将实质相同的数学对象统一研究 , 避免了逐一研究的繁烦 .

2. 抛开数学对象的表面形式 , 从公理出发 , 集中研究内部结构 , 促进了研究的深化 .

3. 用代数系统的观点易于发现许多问题的联系 .

4. 代数系统的一般结论有广泛的应用 .

二 . 从各类数学对象的传统表示向统一的矩阵表示的转变数 . 多项式 . 矩阵 . 几何向量的传统表示 各类对象统一的矩阵表示 各类对象之间关系的矩阵表示

这种转变的优点 : a. 用熟悉又相对单一的矩阵理论统一研究向量空间 ,线性变换 , 欧式空间 , 二次型的各类问题 .

b. 矩阵表示贯穿了线性代数的各个章节 , 所以许多人说线性代数实质上是矩阵代数 .

三 . 从数学对象间的具体关系到集合元素间的抽象关系的转变

整数的整除关系

集合的包含关系 集合间的编序关系

多项式的整除关系

矩阵的等价 , 合同 , 相似

线性方程组的同解

向量空间 , 欧式空间的同构 二次型的等价 ……

三 . 从数学对象间的具体关系到集合元素间的抽象关系的转变

集合间的等价关系

等价标准型

等价分析

这种转变的优点 :

1.为后继课程用公理化方法研究集合上的抽象关系 , 代数结构的商结构奠定基础 .

2.用集合抽象关系的一般理论指导各种教学对象间的具体关系的研究 .

高等代数的三个转变构成了理论体系的三条主线 , 看到了这三条主线 , 就看到了课程内容的系统性 ,整体型 .