المحددات

إعداد

صباح عبد الله عبد مدرس المناهج وطرق تدريس العظيم

الرياضياتكلية التربية – جامعة السويس

النظم علي مربعة مصفوفة أ كانت : 2 × 2إذا حيث

| | = أ بالرمز له ويرمز أ المصفوفة محدد فإن أ

الثانية، الرتبة بمحدد ويسمي

– = = | | : ص ع و س أ كالتالي المعروف العدد وهو

الثانية الدرجة محدد

و ع

ص س

ص س

و ع

اآلخر القطر

القطر الرئيسي

ضرب حاصل يساوي الثانية الرتبة محدد قيمة أن ويالحظعنصري ضرب حاصل منه ا Hمطروح الرئيسي القطر عنصري

اآلخر القطر

النظم علي المصفوفة محدد الثالثة، 3 × 3يسمي الرتبة محدد

الرتبة محدد قيمة واليجاد

: فإن الثالثة

– ( – ) – ( – ) – ( ز = ح د جـ و ز ط د ب و ح ط هـ أ

هـ (

الثالثة الرتبة محدد

جـ ب أ

و هـ د

ط ح ط ز ح

و هـ

أ ب- =

و د

ط زجـ-

د هـ

ح ز

جـ ب أ

و هـ د

ط ح ز

المحدد األصغر المناظر ألي عنصر في مصفوفة

النظم علي أ المصفوفة كانت : 3 × 3إذا حيث

31أ 21أ 11أ

32أ 22أ 12أ= أ

33أ 23أ 13أ

أ للعنصر المناظر األصغر المحدد له 11فإن يرمزأ | | 11بالرمز

وهو 32أ 22أ

33أ 23أوالعمود الصف بحذف المحدد هذا علي حصلنا أننا الحظ

أ العنصر علي :11المتقاطعين كاآلتي

31أ 21أ 11أ

32أ 22أ 12أ

33أ 23أ 13أ

بالمثل

أ للعنصر المناظر األصغر المحدد له 21فإن يرمزأ | هو | 21بالرمز

32أ 12أ

33أ 13أ

أ للعنصر المناظر األصغر المحدد له 31فإن يرمزأ | هو| 31بالرمز

22أ 12أ

23أ 13أ

أ للعنصر المناظر األصغر المحدد له 12فإن يرمزأ | هو| 12بالرمز

31أ 21أ

33أ 23أ

الرتبة من محددات هي المحددات وجميع وهكذا،الثانية

النظم- 1 علي مربعة مصفوفة أ كانت :3 × 3إذا الصورة علي

: حيث | | أ بالرمز له يرمز أ ومحدد ،

أ| |

مهمة مالحظات

31أ 21أ 11أ

32أ 22أ 12أ= أ

33أ 23أ 13أ

31أ + 21أ - 11أ=

32أ 12أ

33أ 13أ

32أ 22أ

33أ 23أ

22أ 12أ

23أ 13أ

| 31أ | 31أ | + 21أ | 21أ | - 11أ | 11أ=

ا- 2 Hمسبوق له المناظر األصغر المحدد في عنصر كل ضربنا أننا الحظ

+ - + المناظر األصغر المحدد وإشارة الترتيب علي ، ، باإلشارات

: بالقاعدة تتعين هـ و أ للعنصر

إشارة | | ) - نفس هي هـ و أ هـ ( + 1إشارة و

أ | إشارة إشارة | ) -21فمثال نفس سالبة 2 + 1 ( 1هي وهي

أ | إشارة | ) -31وإشارة نفس موجبة 3 + 1 ( 1هي وهي

مهمة مالحظات

الصف، رتبتي نجمع ما لعنصر مناظر أصغر محدد أي إشارة لتحديد: العنصر هذا عند يتقاطعان اللذين والعمود

•. موجبة اإلشارة كانت زوجيHا الرتبتين مجموع كان فإذا•. سالبة اإلشارة كانت فرديHا الرتبتين مجموع كان إذا

: كاآلتي تكون األصغر للمحدد اإلشارات قاعدة أن ونالحظ

وبعبارة أخري:

+ - +- + -

+ - +

3 ) ( ومحدداتها- عمود أو صف أي عناصر بداللة المحدد فك يمكن

. مناسبة بإشارة ولكن الصغري

مهمة مالحظات

محدد المصفوفة

المثلثية

فمثال

أو ) الرئيسي القطر تحت التي عناصرها جميع مصفوفة هي المثلثية المصفوفةأصفار( فوقه

،

2 3

0 5،6 4 0

1 0 0

2 5 7

0 9 5

2 6 8

0 0 1

قطرها عناصر ضرب حاصل يساوي المثلثية المصفوفة محدد قيمة أن ونالحظالرئيسي

: أن 0 0 11أأي

33أ 22أ 11أ= 0 22أ 12أ

33أ 23أ 13أ

: أن 0 0 11أأي

33أ 22أ 11أ= 0 22أ 12أ

33أ 23أ 13أ

باستخدام المحدد نفك ذلك ولبرهاناألول الصف عناصر

0 0 11أ

33أ 22أ 11أ ( = 0 × 23أ – 33أ× 22أ ) 11أ= 0 22أ 12أ

33أ 23أ 13أ

إيجاد مساحة سطح مثلث بمعلومية باستخدام المحددات المثلث، سطح مساحة إليجاد المحددات استخدام يمكنك

كاآلتي رؤوسه إحداثيات

) ( ) ( : ع ، د ، جـ ص ، ب ، أ س رؤوسه الذي المثلث سطح مساحة

: حيث) ( | | م هي و ، هـ

ب 1أ

د م = 1جـ

و 1هـ

12

: أن الحظتعني مم قيمةالموجبة

حل نظام من المعادالت الخطية بطريقة كرامر

في- 1 الخطية المعادالت أنظمة حلمجهولين

مجهولين في الخطية المعادالت من نظام لدينا كان إذاكاآلتي:

ص + ب س أم=

ن + = ص د س جـ

مصفوفة المعامالت

هي المصفوفة

التي عناصرها

معامال المجهولين ترتيب بعد

النظام

ب أ

د جـ

أ ب

د جـ

المعامالت مصفوفة محدد إذن = ∆ له ويرمز

الرمز له ويرمز س المجهول محدد= س ∆

ب م

د ن

∆ الرمز له ويرمز ص المجهول محدد

= ص

م أ

ن جـ

س قيمة إليجاد : ص ،

فيكون:

ـــــــــس = ـــــ

س ∆

∆ =

ـــــــــــــــــــــــــــ

=ــــــــــــــــــ

ـــــــــ

ب م

د ن

ب أ

د جـ

ن – ب د م

جـ – ب د أ

ـــــــــص = ـــــ

ص ∆

∆ =

ـــــــــــــــــــــــــــ

ب أ

د جـ

م أ

ن جـ =

ـــــــــــــــــــــــــــ

جـ – ب د أ

جـ - م أن

ثالثة- 1 في الخطية المعادالت أنظمة حلمجاهيل

مجهولين في الخطية المعادالت من نظام لدينا كان إذاكاآلتي:

ب + 1أ جـ + 1س م = 1ص ع

المعامالت مصفوفة محدد إذن = ∆ له ويرمز

الرمز له ويرمز س المجهول محدد= س ∆

∆ الرمز له ويرمز ص المجهول محدد

= ص

، س قيمة إليجاد : ع ، ص

ب + 2أ جـ + 2س ن = 2ص ع

ب + 3أ جـ + 3س ك = 3ص ع

1جـ 1ب 1أ

2جـ 2ب 2أ

3جـ 3ب 3أ

ب 1جـ 1م

ب 2جـ 2ن

ب 3جـ 3ك

جـ 1أ 1م

جـ 2أ 2ن

جـ 3أ 3ك

∆ الرمز له ويرمز ع المجهول ع محدد

=

م 1ب 1أ

ن 2ب 2أ

ك 3ب 3أ

= = ، ــــــــــــــــــــ ص ، ــــــــــــــــــ س فإن صفر ≠ ∆ أن فرضنا إذا واآلنــــــــــــــــــــــــ = ع

س ∆

∆

ص ∆

∆

ع ∆

∆