http://gorkunova.ucoz.ru

МНОГОГРАННИКИ

Типовые задачи

В-9

1. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

А КК В

СМ

М

С1D1

A1

B2

C2D2

A2

D

B1

AC2 – диагональ прямоугольника DMC2D2

DC22 = DM2 + MC2

2 DM = D2C2 = 1MC2 = AA2 = 2

DC22 = 12 + 22 = 5

Ответ: 5

По т.Пифагора:

2. Найдите расстояние между вершинами А и С2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

А КК В

СМ

М

С1D1

A1

B2

C2D2

A2

D

B1

AC2 – диагональ прямоугольного параллелепипеда d2 = a2 + b2 + h2

AC22 = AK2 + AD2 + AA2

2 AK = D2C2 = 1AD = A2D2 = 2AA2 = 2AC2

2 = 12 + 22 + 22 = 9

AC2 = 3 Ответ: 3

3. Найдите расстояние между вершинами В1 и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

A B

CD

A1B1

C1

D1

C2

B2

D2

A2

1

2

2

1

2

K

MF

N

K B1

C1

N

F

D2

A2

M

B1D2 – диагональ прямоугольного параллелепипеда

d2 = a2 + b2 + h2

B1D22 = KB1

2 + KM2 + KA22

KB1 = AB = 2KM = A2D2 = 2KA2 = ½ . AA2 = 1B1D2

2 = 22 + 22 + 12 = 9

B1D2 = 3 Ответ: 3

A B

CD

A1B1

C1

D1

C2

B2

D2

A2

1

2

2

1

2

4. Найдите угол АBD многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте градусах.

ABD – угол, образованный стороной и диагональю квадрата ABCD:

АВ = 2, AD = A2D2 = 2

Диагональ квадрата делит прямой угол пополам,

ABD = 450

Ответ: 45

A B

CD

A1B1

C1

D1

C2

B2

D2

A2

1

2

2

1

2

5. Найдите тангенс угла B2A2C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте градусах.

B2A2C2 – угол, образованный стороной и диагональю прямоугольника А2В2С2D2:

Ответ: 45

2

1

A2 B2

C2D2

21

2

22

22222

BA

CBCAtgB

A B

CD

A1B1

C1D1

C2

B2

D2

A2

1

2

2

1

2

6. Найдите угол САD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте градусах.

CAD2 – угол ACD2, стороны которогоравны:

АС = AD2 = CD2

АС – диагональ квадрата ABCD : AB = 2, AD = A2D2 = 2

АD2 – диагональ квадрата AA2D2D : AA2 = 2, A2D2 = 2

СD2 – диагональ квадрата CKD2D : CD = AB = 2, DD2 = 2

K

ACD2 – правильный, CAD2 = 600

Ответ: 60

7. Найдите квадрат расстояния между вершинами В2 и D3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

B2D3 – диагональ прямоугольногопараллелепипеда A2B2C2D2A3B3C3D3

d2 = a2 + b2 + h2

a = A2B2 = C3D3 = 1

b = B2C2 = BC = 3

H = B2B3 = C2C3 = 1

B2D32 = A2B2

2 + B2C22 + B2B3

2

B2D32 = 12 + 32 + 12 = 11

Ответ: 11

8. Найдите квадрат расстояния между вершинами В и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

K

M

BD2 – диагональ прямоугольногопараллелепипеда KBCMA2B1C1D2

d2 = a2 + b2 + h2

a = KB = A2B2 + B2B1 = 1 + 1 = 2

b = BC = 3

H = BB1 = CC1 = 1

BD22 = KB2 + BC2 + BB1

2

BD22 = 22 + 32 + 12 = 14

Ответ: 14

9. Найдите квадрат расстояния между вершинами А и С3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

K

M

F

E AC3 – диагональ прямоугольногопараллелепипеда AKMDFB3C3E

d2 = a2 + b2 + h2

a = AK = AB - KB = 3 - 1 = 2

b = KM = BC = 3h = KB3 = MC2 + C2C3 = 1 + 1 = 2

AC32 = AK2 + KM2 + KB3

2

AC32 = 22 + 32 + 22 = 17

Ответ: 17

10. Найдите тангенс угла С2С3В2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

B2C2

C3

32

22

CC

CBtg

B2C2 = BC = 3

C2C3 = 1

31

3tg

Ответ: 3

11. Найдите тангенс угла С3D3В3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

B3C3

D3

33

33

DC

CBtg

B3C3 = BC = 3

C3D3 = 1

31

3tg

Ответ: 3

12. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

K

DC2 – диагональ прямоугольногопараллелепипеда CDEKMTNC2

d2 = a2 + b2 + h2

a = CD = FE – FK = 2 – 1 = 1

b = DE = A2D2 = 1

h = DT = FD2 = 2

DC22 = CD2 + DE2 + DT2

BD22 = 12 + 12 + 22 = 6

Ответ: 6

M

N

T

13. Найдите угол D2EF многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

FE

FDtg 2

FD2 = 2

FE = 2

045,12

2 tg

Ответ: 45

14. Найдите угол EAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

AD2 – диагональ квадрата AFD2A2 со стороной, равной 2

AЕ – диагональ квадрата AFЕТ со стороной, равной 2

Т

N

D2Е – диагональ квадрата FЕND2 со стороной, равной 2

AD2 = AE = D2E

AED2 – равносторонний, EAD2 = 600

Ответ: 60