3משימה

עבור אלו מרובעים חיצוניים המרובע הפנימי הוא מלבן? שכנעו כי המרובעים החיצוניים שציינתם אכן מתאימים.

תשובה:

עבור המרובעים: מעויין, דלתון)קעור וקמור( וריבוע נוצר המרובע הפנימי מלבן.

בעמוד הבא אוכיח זאת בעזרת מעויין

ABCDלפנינו מעויין A

B

C

D

נעביר לו אמצעי צלעות

E F

G H

A

B

C

D

במשימה הקודמת כבר מקביליתEFGHהוכחנו ש

E F

G H

A

B

C

D

E F

G H

אנו יודעים שבמעוין כל הצלעות שוות ומכיוון

שאמצע צלע חוצה את אנו יודעים ש:2הצלע ל

AF=FD=DH=HC=HG=GB=BE=EA

ומשום כך אנו יודעים AFE ו CGHשמשולשים

הם BEG ו DFHו משולשים שווה שוקיים

A

B

C

D

E F

G H

בגלל שהוכחנו במשימה הקודמת

היא EFGHשמקבילית אנו יודעים

שהצלעות הנגדיות שלה שוות כלומר

EF=GH

אנו גם יודעים מהסעיף

EA=AFהקודם ש

=GC=CH

ולכן המשולשים AEFו CHG חופפים

על פי משפט החפיפה צ.צ.צ

אנו גם יודעים EB=BG=FD=DHש

ולכן גם המשולשים BEG ו DFH חופפים

על פי משפט החפיפה צ.צ.צ

A

B

C

D

E F

G H

ידוע שבמעוין הזויות הנגדיות שוות.

E1 ו F1נסמן את זויות aב

b ב E2 ו F2ואת זויות

בסעיף הקודם הוכחנו הם CGHו AEFש

משו''ש ולכן זויות הבסיס שלהן שוות בגלל שסכום

180זויות במשולש הוא מעלות ובגלל שזויות הבסיס שוות הזויות

180-2a הנותרת תהיה

נעשה את אותו התהליך BEG ו DFHבמשולשים

180-2a

180-2a

180-2b 180-2b

a a

aa

b

bb

b

A

B

C

D

E F

G H

180-2a

180-2a

180-2b 180-2b

a a

aa

b

bb

b

ידוע שסכום זויות סמוכות במשולש הוא מעלות.180

לכן נבנה משוואה:

180-2a+180-2b=180

360-2a-2b=180

-2a-2b=-180/:(-2)

a+b=90

Fנסתכל על זוית שעליה נמצאות הזויות

a,b ו r מכיוון שאנו יודעים שסכומם של

aוb ובגלל 90 הוא שסכום זויות בזוית

180שטוחה הוא מעלות אנו יודעים

90 היא בת rשזוית מעלות.

r

לפי הוכחה קודמת הוכחנו שאמצעי צלעות במרובע יוצרים מקבילית והוכחנו שאחת מזויות המקבילית

מעלות90היא בת

מקבילית בעלת זוית ישרה היא מלבן!