南京外国语学校 陈光立南京外国语学校 陈光立210008210008

guanglichen1943@yahoo.com.cnguanglichen1943@yahoo.com.cn

实行新课程标准，提高教学质量，教育理念是灵魂，教材建设是关键，教师素质是根本，课堂教学是核心，教学评价是导向，现代化技术是推进器 .

数学知识是人类认识的一种成果，包括人对周围事物“数”与“形”方面的经验和“有秩序的论理体系”两个方面。当前，人们把数学知识分为明确知识（如数学事实、数学原理等）和默会知识（如数学思想方法、解决问题的策略等），这是比较科学的；数学知识、技能类化（系统化、概括化）的结果就成为数学能力；一个人数学素养的高低，主要体现在是否能“数学地看问题”和“数学地思维”．

祝愿我们数学教育工作者做出无愧于时代的贡献，给我们所有的学生

一双能用数学视角观察世界的眼睛，

一个能用数学思维思考世界的头脑，

一副为谋国家富强人民幸福的心肠．

―― 张孝达

数学知识是人类认识的一种成果，包括人对周围事物“数”与“形”方面的经验和“有秩序的论理体系”两个方面。当前，人们把数学知识分为明确知识（如数学事实、数学原理等）和默会知识（如数学思想方法、解决问题的策略等），这是比较科学的；数学知识、技能类化（系统化、概括化）的结果就成为数学能力；一个人数学素养的高低，主要体现在是否能“数学地看问题”和“数学地思维”。

M. Kline 在《西方文化中的数学》中指出，数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的物质、道德和社会生活，试图回答人类自身存在提出的问题，努力去理解和控制自然，尽力去探索和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵．

数学的理性精神被看成西方文明的核心

数学教育方法的核心是学生的再创造 . 教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而是应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识 .

Freudenthal

对数学价值的认识数学思想对于人类进步和社会发展的重要影响数学是探索自然现象、社会现象基本规律的工 具和语言 纯粹数学的重要作用

向被教育者提供参与社会生活与建设必要的数学基础知识和基本技能教

育上的启示

向被教育者提供必要的智能训练和思维工具，提高思维水平向被教育者展示并使其认识数学在人类社会发展中的独特而重要作用向被教育者提供提出问题、思考问题、解决问题的机会

传统观念：上课就是不折不扣执行教案或者事先设定的教学思路的过程，教学活动是教师主导的独角戏，而且主要是完成知识传授而不需顾及学生情感的独角戏 .

新的教育理念：教学过程是展示学生展示学生的过程，是让学生展示让学生展示的过程 .焕发出生命活力的课堂才是理想的课堂 .

一、关注学生主动建构

改进学生学习方式是数学教育改革的核心改进学生学习方式是数学教育改革的核心． 我国的数学教育比较强调教师的传授，强调经过学生艰苦努力，反复的练习而达到对知识的理解，而对学生的自主探究、合作交流等重视不够，学生学得比较被动．所以，把发挥学生主动性，变被动学习为主动学习主动学习，重视学生亲身实践实践，给学生提供探索探索的空间，使学习过程成为学生在自己已有经验基础上的主动建主动建构构过程等作为改革的重点，有现实意义．

学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，新课程倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程 . 这有利于激发学生的学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯， 体验知识的发现和创造历程，发展他们的创新意识 .

当前，强调学生对研究过程的参与以及对科学概念、科学方法、科学态度的全面掌握为目标的探究教学已成为一种基本教学模式．然而，改进学生学习方式并不等于排斥接受学习．实际上，接受学习并不一定就是被动的．“举一反三”“融会贯通”“触类旁通”等都是能动的接受学习的写照．学习方式的被动或主动，关键并不在于它是“接受的”还是“发现的”，而在于教学活动中学生主体的思维参与程度，能否为学生创设更多的主动建构的机会．．

现代教育理论研究认为 : 教育现代化等于“情感化”加上“技术化” . 改革课堂教学、提高课堂教学质量 ,让学生积极参与教学过程的关键是教师教育观念的转变 ,是教学方法的情感化 . 师生之间的情感交流 ,师生间心理距离的接近 ,师生之间、学生之间的相互激励作用 ,无疑会大大提高课堂教学的效率 .从某种意义上讲 ,良好的师生关系与和谐的学习氛围已成为比讲课本身更重要的学习因素 .

相互尊重 平等对话 选择微笑 学会倾听 相互尊重 平等对话 选择微笑 学会倾听 善待挫折 宽容失败 鼓励探索 因势利导善待挫折 宽容失败 鼓励探索 因势利导

二、发展以学生为主体的教学 所有教学都归结为两个字：所有教学都归结为两个字：主动 . . 学生主学生主动学习是最终的目标动学习是最终的目标 . . 学生是自己活动中的主学生是自己活动中的主体，他们必须通过自主活动来认识事物、掌握体，他们必须通过自主活动来认识事物、掌握知识，使自己的身心获得发展．教师必须为学知识，使自己的身心获得发展．教师必须为学生主动学习提供空间，生主动学习提供空间，教师就是为学生设计一个主动思维的舞台，创设主动建构的情境，而不只是提供主动获取知识的机会 . . 知识不是目知识不是目标，而是通过知识的获得过程，使学生形成科标，而是通过知识的获得过程，使学生形成科学的思维方式，使学生获得研究方法学的思维方式，使学生获得研究方法 ..

现代教育正在从“知识中心”向“人本中心”转化，它使教育更关心学生个性充分、自由、自主、全面的发展 . 教师要给学生提供的是学习资源、学习方法和学习氛围，帮学生搭建知识的“脚手架” ，让学生主动、积极地攀向知识的高峰，真正成为学习的主人！

教师应该具备真正的学生意识 (是否按照学生思维来思考教学 )、童年意识 ( 是否把学生提出的稚嫩问题和“天真”想法当作宝贵的教学资源 )．

教师应该知道敬畏生命，并以“给知给知识注入生命，知识因此而鲜活，给生命融识注入生命，知识因此而鲜活，给生命融入知识，生命因此而厚重入知识，生命因此而厚重” 这样的座右铭来激励自己。

教师也是教学过程中的主体，因为教师是教学过程的认识者、组织者，他对教学过程所涉及的各种因素 (如教学内容、学生 )进行认识，这是一个科学探索的过程，是体现教师创造性的过程．课堂教学对教师而言，“不只是为学生成长所作的付出，不只是别人交付任务的完成，它同时也是自己生命价值和自身发展的体现．” 教学过程中教师的主导是他发挥主体作用的一种具体表现形式．

课堂教学过程中，“双主体”观更能客观地反映师生关系：学生是学的主体，主要表现在思维的自主；教师是教的主体，是整个教学活动的设计者、组织者和引导者．

主导 — 主体 — 主线主导 — 主体 — 主线

理想教师应该是 一个胸怀理想、充满激情和诗意的教师． 一个自信、自强，不断挑战自我的教师． 一个善于合作、具有人格魅力的教师． 一个充满爱心、受学生尊敬的教师． 一个追求卓越、富有创新精神的教师． 一个关注人类命运、具有社会责任感的教师． 一个坚韧、刚强、不向挫折弯腰的教师．

一名理想的教师，应该不断地追求成一名理想的教师，应该不断地追求成功，设计成功，更重要的是撞击成功． 功，设计成功，更重要的是撞击成功．

定位、设计、操作、反思

三、关于课堂教学的四个环节

1 ．定位：课标－教材－学情－目标

2 ．设计：目标－过程－方法－手段

（教学情境、新授课、习题课、复习课）

良好的教学情境能促进学生主动学习．教学情境是一堂课的起点，对课堂教学的成败起着十分重要的作用．

重视课堂教学情境设计

情境设计应贴近学生生活，切忌舍近就远生搬硬套

情境设计应紧扣教学目标，切忌喧宾夺主随意编造

情境设计应讲究教学效益，切忌故弄玄虚花里胡哨 情境设计应根据实际需要，切忌乱用媒体追求新潮

情境设计应注重整体贯通，切忌有头无尾穿鞋戴帽

新课程倡导教学设计的特点——有效教学的保证

它不是对课堂情景进行面面俱到的预设，它只描述大体的轮廓，它只明确需要努力实现的三维目标，它给各种不确定性的出现留下足够的空间——并把这些不可预测的事件作为课堂进一步展开的契机． 　　

它是教师构思教学的过程，它凝聚着教师对教学的理解、感悟和教育的理想、追求，闪烁着教师的教学智慧和创造精神．一句话，它是教师教学过程中的创造性劳动．

它是课前构思与实际教学之间的反复对话，是一次次实践之后的对比、反思和提升，它一直处于自我校正、自我完善的动态发展之中．至少，它的重要意义并不体现在课前的一纸空文，而是展现于具体的教学过程、情境和环节之中，完成于教学之后．

它始终充满悬念，因而可能不断产生令人激动的亮点．惟其如此，它才能与教学现实实现融合，并因此而丰富自己，获得旺盛的生命力，才有可能凝炼为可供愉悦对话的文本．

加强校本教研，重视集体备课下的再创造

设计好一个初始问题就从根本上设计好了一节课，因为学生解决初始问题的活动是按照一定的规律展开，可以说，在初始问题确定以后，课的大体发展方向和框架就已经确定了——它是会按照自身的逻辑展开的．

教师在设计好初始问题 ( 以及提出问题的方案 )，准备好概略性解决方案 (不止一个 )和几种适应学生状况的思维模式以后，再重点地弄清关键部分的细节，就可以去上课了．当然，在上课时你可能会遇到不少意外的情况 ,但是只要坚持过程性教学原则，不回避问题和矛盾，只要熟悉并应用数学文化的规范，就一定会上好 课——而且会出乎意料的精彩、自然和富有创造性．

3 ．操作：二次创造 实践检验 反馈评价 教学机智

(1) 教学情境

(2) 师生互动(3) 因势利导

(4) 评价小结

反思是教师职业成长的发动机

反思的作用： 一是通过强调教师对自己的教学实践的考察，立足于对自己的行为表现及其行为之依据的回顾、诊断、自我监控和自我调适达到对不良的行为、方法和策略的优化和改善，提高教学能力和水平，并加深对教学活动规律的认识理解，从而适应不断发展变化着的教育要求． 二是赋于教师新的角色定位：教师成为研究者，使教师工作获得尊严和生命力，表现出与其他专业如律师、医师相当的学术地位．

4 ．反思

成长＝经验＋反思 如果一个教师仅仅满足于获得经验而不对经验进行深入的思考，那么，他永远只能停留在一个新手型教师的水准上．

对课堂上遇到的问题进行调查研究；每天记录自己在教学工作中获得的经验、心得， 并与指导老师共同分析；与专家型教师相互观摩彼此的课，然后与对方交 换看法．

教学反思是青年教师成长的捷径之一

教学案例教学案例

提高数学素养

课堂教学总的要求：

提供知识背景

创设问题情境

展示思维过程培养数学能力

参数方程

点距点距

→回顾反思

问题情境→学生活动

→意义建构

→数学理论→数学运用

提出问题 体验数学 感知数学

建立数学 理解数学应用数学

内容组织主要形式

问题情境：包括实例、情景、问题、叙述等 意图：提出问题学生活动：包括观察、操作、归纳、猜想、

验证、 推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动；

意图：体验数学意义建构：包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等 .

意图：感知数学

数学理论：包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序等．

意图：建立数学数学运用：包括辨别、解释、解决简单问

题、解决复杂问题等． 意图：运用数学回顾反思：包括回顾、总结、联系、整合、拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等．

意图：理解数学

案例 1 函数的概念

问题 1： 在初中我们是如何认识函数这个概念的？

((一一 ))问题情境问题情境 教师提出本节课的研究课题：教师提出本节课的研究课题： 在初中，我们把函数看成是刻画和描述两个在初中，我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，今天我们将进变量之间依赖关系的数学模型，今天我们将进一步学习有关函数的知识一步学习有关函数的知识 ..

(二 ) 学生活动1. 让学生就问题 1 略加讨论，作为讨论的一部分，教师出示教材中的三个例子，并提出问题 2 ．

10

O

24

6

8

1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

θ/ 0C

t /h

－ 2

(3) 图 2-1-1 为某市一天 24小时内的气温变化图．

函数的传统定义：变量的观点函数的传统定义：变量的观点

(二 ) 学生活动2 ．问题 2： 在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？

在初中我们是如何认识函数这个概念的？

　 通过对问题 2 的讨论，帮助学生回忆初中所学的函数概念，再引导学生回答问题 1 ．

(三 ) 建构数学 1 ．建构 问题 3：如何用集合的观点来理解函数的

概念？ 问题 4：如何用集合的语言来阐述上面 3

个例子中的共同特点？

结论：函数是建立在两个非空数集之间的单值对应．

22 ．反思．反思（（ 11 ）结论是否正确地概括了上面例子的共）结论是否正确地概括了上面例子的共同特征同特征 ??

（（ 22 ）比较上述认识和初中函数概念是否有）比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异？本质上的差异？（（ 33 ）一次函数、二次函数、反比例函数等）一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有上述特征？ 是否也具有上述特征？ （（ 44 ）进一步，你能举出一些“函数”的例）进一步，你能举出一些“函数”的例子吗？它们具有上述特征吗？子吗？它们具有上述特征吗？ （作为例子，可以讨论课本 P24 练习）

一般地，设 A ， B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f ，对于集合 A 中的每一个元素 x ，在集合 B 中都有惟一的元素 y 和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数 (function) ，通常记为

y＝ f (x) ， x ∈A ．其中，所有的输入值 x 组成的集合 A叫做函数 y＝ f (x) 的定义域 (domain)

问题 5：如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素．

( 四 ) 数学理论

函数的近代定义：集合语言、对应的观点函数的近代定义：集合语言、对应的观点

(五 ) 数学运用 1 ．定义的直接应用 例 1 ．（课本 P23例 1 ） 例 2 ．（课本 P23例 2 ） 2 ．已知函数确定函数的值域． 例 3 ．（课本 P23例 3 ）

(注意把握难度 )

(六 )总结反思

问题 6：“初中的”函数定义和今天的定义有什么区别？

问题 7：你认为对一个函数来说，最重要的是什么？

(一 )问题情境1．情境：第 2.1.1开头的第三个问题；2．问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下降的？

你在图象中，读到哪些信息？●●怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征？

10

O

24

6

8

1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

θ/ 0C

t /h

－ 2

案例 2 函数的单调性

（ 1 ）

y

xO

y＝ 2x＋1 ，x R∈

y＝ (x－ 1)2－ 1，

x R∈

（ 2 ）

y

xO

1

1 2

(( 二二 ))学生活动学生活动问题 1：观察下列函数的图象（如图 1），指出 图象变化的趋势

)),0(( 1

xx

y

6

5

4

3

2

1

-1

x

y y=1x

O

问题 2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”

的意思吗？ 在某一区间内， 当 x 的值增大时，函数值 y也增大 图象在该区间内呈上升趋势

当 x 的值增大时，函数值 y反而减小 图象在该区间内呈下降趋势

函数的这种性质称为函数的单调性．

(三 ) 建构数学

问题 3：如何用数学语言来准确地表述函数的单

调性呢？

怎样表述在区间（ 0 ， + ）上当 x 的值增大时，函数 y 的值也增大？

能不能说，由于 x＝ 1 时， y＝ 3 ； x

＝ 2 时， y＝ 5 就说随着 x 的增大，函数值y也随着增大 ?

能不能说，由于 x＝ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，…时，相应地 y＝ 3 ， 5 ， 7 ， 9 ，…就说随着 x 的增大，函数值 y 也随着增大？ 如果有 n 个正数 x1< x2<x3<······< xn ，它们的函数值满足 y1< y2<y3<······< yn ．能不能就说在区间 (0 ， +∞) 上随着 x 的增大，函数值 y 也随着增大 ? 无限个呢？

通过讨论，结合图通过讨论，结合图 (2)(2) 给出 给出 f f ((xx)) 在区间在区间 II

上是单调增函数的定义 上是单调增函数的定义

如果对于区间 (o ， +∞) 上任意任意两个值 x1 和 x2 ，当 x1 < x2 时，都有 y1 < y2 ，那么可以说随着 x 的增大，函数值 y 也增大．

问题 4：如何定义单调减函数？给出函数单调性和单调区间的概念

(( 四四 ))数学理论数学理论

函数的单调性是函数的“局部性质”，它与区间密切相关

)0( 1

xx

y

((五五 )) 数学运用数学运用11 ．例题．例题例例 11 作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间．．

（（ 11 ）） yy ＝－＝－ xx 22 ＋＋ 22 ； ；

（（ 22 ））

xy

1提问：能不能说，函数提问：能不能说，函数 ((xx≠0)≠0) 在整个定义在整个定义

域上是单调减函数？域上是单调减函数？

引导讨论，从图象上观察或取特殊值代入验证引导讨论，从图象上观察或取特殊值代入验证否定结论．（如取否定结论．（如取 xx11==－－ 11 ，， xx22=2=2 ）．）．

例 2 观察下列函数的图象 并指出它们是否为定义域上的增函数：

（ 1 ） y＝ (x－ 1)2 （ 2 ） y=|x－ 1|－ 1

2 ．练习练习第 1 、第 2 、第 5 题．

(六）回顾小结 本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法．

.),0(1

)( 3 上是增函数在区间证明函数例 x

xf

教学目标：

教学重点：用二分法求方程的近似解教学难点：二分法求方程近似解的算法

掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算机或计算器求方程的近似解；理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系； 培养学生利用现代信息技术和计算工具的能力；培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及辩证思维的能力； 鼓励学生大胆探索，激发学生学习数学的兴趣，培养学生探寻和欣赏数学美，形成正确的数学观 .

案例 3 用二分法求方程的近似解

中学电视台“ 幸运 52”录制现场

有奖竞猜

问题情境 ( 提出问题 )

请同学们猜一猜某物品的价格

问题 1 ．能否求解以下几个方程 (1) 2x=4-x

(2) x2-2x-1=0

(3) x3+3x-1=0

问题 2 ．不解方程 , 能否求出方程 (2) 的近似解？

指出：用配方法可求得方程 x2-2x-1=0 的解，但此法不能运用于解另外两个方程 .

学生活动 意义建构 ( 体验数学、感知数学 )

由图可知：方程 x2-2x-1=0 的一个根 x1 在区间 (2,3) 内，

另一个根 x2 在区间 (-1,0) 内．

x

y

1 20 3

y=x2-2x-1

-1

画出 y=x2-2x-1 的 图象 ( 如图 )

结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1 的图象，我们发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0 ，这表明此函数图象在区间 (2, 3)上穿过 x轴一次，可得出方程在区间 (2,3)上有惟一解 .

问题 3 ．不解方程，如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解（精确到 0.1 ） ?

思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？

由于 2.375 与 2.4375 的近似值都为2.4, 停止操作 , 所求近似解为 2.4 。

数离形时少直观，形离数时难入微！

2-

3+

x

y

1 20 3

y=x2-2x-1

-1

2-

3+

2.5+

2.25- -

2.375-

2-

3+

2.25-

2.5+

2.375-2.4375

+

2-

2.5+

3+

2 32.5

2-

3+

2.5+

2.25-

2 2.5

2.25

由于 2.375 与 2.4375 的近似值都为 2.4, 停止操作 , 所求近似解为 2.4 。

1 ．简述上述求方程近似解的过程

x1 (2,3)∈∵ f(2)<0, f(3)>0

x1 (2,2.5)∈∴f(2)<0, f(2.5)>0

x1 (2.25,2.5)∈∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0

x1 (2.375,2.5)∈∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0

x1 (2.375,2.4375)∈∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0

∵f(2.5)=0.25>0

∵ f(2.25)= -0.4375<0

∵ f(2.375)= -0.2351<0

∵ f(2.4375)= 0.105>0

通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!

∵ 2.375 与 2.4375 的近似值都是 2.4, ∴x1≈2.4

解：设 f (x)=x2-2x-1 ， x1 为其正的零点

对于在区间 [a,b]上连续不断，且 f(a)f(b)<0的函数 y=f(x) ，通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点 (或对应方程的根 )近似解的方法叫做二分法．

数学理论 ( 建立数学 )

问题 5：二分法实质是什么？ 用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近思想逐步缩小零点所在的区间。

问题 4．如何描述二分法？

例题：利用计算器，求方程 2x=4-x 的近似解 （精确到 0.1 ）怎样找到它的解所在的区间呢？

在同一坐标系内画函数 y=2x

与 y=4-x 的图象（如图）

能否不画图确定根所在的区间？

方程有一个解 x0 (0, 4)∈

如果画得很准确，可得 x0 (1, 2)∈

数学运用 ( 应用数学 )

解：设函数 f (x)=2x+x-4则 f (x) 在 R上是增函数∵ f (0)= -3<0, f (2)=2>0

∴ f (x) 在 (0,2) 内有惟一零点， ∴方程 2x+x-4 =0 在 (0, 2) 内有惟一解 x0.

由 f (1)= -1<0, f (2)=2>0 得： x0 (1,2)∈

由 f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0 得： x0 (1,1.5)∈

由 f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0 得： x0 (1.25,1.5)∈由 f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0 得： x0 (1.375,1.5)∈

由 f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0 得： x0 (1.375,1.4375)∈∵ 1.375 与 1.4375 的近似值都是 1.4, ∴x0≈1.4

问题 6：能否给出二分法求解方程 f(x)=0(或 g(x)=h(x))近似解的基本步骤？

1 ．利用 y＝ f(x) 的图象，或函数赋值法 (即验证 f (a)•f(b)＜ 0 ) ，判断近似解所在的区间(a, b).

；

2 ．“二分”解所在的区间，即取区间 (a, b)

的中点21

bax

3 ．计算 f (x1)： (1)若 f (x1)＝ 0 ，则 x0＝ x1 ； (2)若 f (a)•f(x1)＜ 0 ，则令 b＝ x1 (此时 x0∈(a, x1));

(3)若 f (a)•f(x1)＜ 0 ，则令 a＝ x1 (此时 x0∈(x1,b)).

；

4 ．判断是否达到给定的精确度，若达到，则得出近似解；若未达到，则重复步骤 2～ 4 ．

练习 1： 求方程 x3+3x-1=0 的一个近似解 ( 精确到 0.0

1)画 y=x3+3x-1 的图象比较困难，

变形为 x3=1-3x ，画两个函数的图象如何？

知识拓展

介绍如何利用 excel

来帮助研究方程的近似解？

x

y

10

y=1-3x

y=x31

有惟一解 x0 (0,1)∈

excel

练习 2:

下列函数的图象与 x轴均有交点 ,其中不能用二分法求其零点的是 （ ）C

x

y

0x

y

0x

y

0x

y

0

问题 7: 根据练习 2 ，请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么？

1. 函数 y=f (x) 在 [a,b]上连续不断．2. y=f (x)满足 f (a)f (b)<0 ，则在 (a,b) 内必有零点 .

思考题 从上海到美国旧金山的海底电缆有 15

个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？

12 3 4 5

6 7 8 9 1011

12

13 14 15

回顾反思 ( 理解数学 )

课堂小结

1. 理解二分法是一种求方程近似解的常用 方法．2. 能借助计算机 ( 器 ) 用二分法求方程的近 似解，体会程序化的思想即算法思想．3. 进一步认识数学来源于生活，又应用于 生活．4. 感悟重要的数学思想：等价转化、函数 与方程、数形结合、分类讨论以及无限 逼近的思想 .

另一案例

案例 4 点到直线的距离

（课堂教学实录）

点 P(2,5)到直线 l 的距离 d =_____.

5

12)

25

895)

25

22(PQ 22 (||d

则直线 l 的方程为 ________________.

已知直线 l 经过点 R (2, 1) 和 S (-1, 5),

3x 4y+14=05

12则 l1 的方程为 ______________.

过点 P (2, 5) 作直线 l1⊥l ，

设 l 、 l1交于 Q , 由 4x+3y 11=03x 4y+14=0

4x+3y 11=0

)25

89

25

2Q( ,得 :

3(x-2) -4(y-5)=0

导入

问题 已知：点 P (x0 , y0) 和直线 l: Ax+By+C=0

求点 P到直线 l 的距离 .

[ 分析 1] 过点 P 作 l1⊥l ，垂足为 Q ，则 |PQ| 就是点 P 到 直线 l 的距离 . 依题意 l1: B x-Ay-Bx0+Ay0=0

Ax+By+C=0 B x-Ay-Bx0+Ay0=0

Q(x, y)满足 :

2200

BA

BCByABxy

2200

2

BA

ACAByxBx

2200

0BA

CByAxAxx

)(

2200

0BA

CByAxByy

)(

22

00

2

22002

2200

20

20

])(

])(

)()PQ

BA

|CByAx|BA

CByAxB

BA

CByAxA

yyxx(||

[[

结论 点 P (x0 , y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离为 :

22

00

BA

|CByAx|d

A(x-x0)+B( y-y0)= -Ax0-By0-C ------- ① B(x-x0)–A( y-y0)=0 -------------②

Ax+By+C=0 B x-Ay-Bx0+Ay0=0

Q(x, y)满足 : 换个角度思考换个角度思考重新构造方程重新构造方程

22

0020

20 )()(PQ

BA

|CByAx|yyxx||d

①2+②2：

(A2+B2)[(x-x0)2+( y-y0)

2]=(Ax0+By0+C)2

设而不求，整体代入

[ 分析 2] 设 M(x, y) 是直线 l 上的一个动点 , 则 P到直线 l 的距离就是 |PM| 的最小值 .

20

20

2 )()(PM yyxx||

22

200

220000

220

220

2

2

22

2

200

2

2

202

0202

22

2

)(222

4

])2(

[)2

(4|PM

BA

CByAx

BA

BCyyABxACxCyBxA

B

BAB

ACAByxB

B

CBCyyx

B

BA

|

min

22

00PMBA

|CByAx|||d min

20

20 )()( y

B

CAxxx

2

202

0202

002

2

2

22 2)(2

B

CBCyyxx

B

ACAByxBx

B

BA

动画

22

200

22

2002

2200

2

2

22

2

202

0202

002

2

2

22

20

20

20

20

2

)(

)()(

2)(2

)()()()(PM

BA

CByAx

BA

CByAx

BA

ACAByxB-x

B

BA

B

CBCyyxx

B

ACAByxBx

B

BA

yB

CAxxxyyxx||

22

2002 )(

|PMBA

CByAx|

min

22

00PMBA

|CByAx|||d min

刚才你在计算时画图了吗 ?

|PS|=3 ， |PR|=4 ， |RS|=5

5

12

|RS|

|PR||PS|

d

充分挖掘 充分挖掘 潜在的几何条件潜在的几何条件

若直线 l 经过点 R (2, 1) 和 S (-1, 5), 则直线 l 的方程为 4x+3y-11=0 . 过点 P(2,5)垂直于 l 的方程为 3x－ 4y+

14=0 ，点 P(2,5)到直线 l 的距离 d = .

5

12

回忆前面的练习

5

-5

-5 5

P

Q

S

R

[ 分析 3] 当 A.B≠0 时 , 直线 l 与 x 轴、 y 轴都相交 .过 P 分别作 x 轴、 y 轴的平行线 ,交直线 l 于 S 、 R 两点 , 则 Rt PRS△ 中斜边 RS上的高 PQ 的长就是 P到直线 l 的距离 .

|A

CByAx||xx|||

00

10PS |B

CByAx||yy|||

00

20PR

|CByAx||AB|

BA||

00

2222 PRPSRS

22

00

|RS|

|PS||PR|PQ

BA

|CByAx|||d

由 P (x0 , y0)及 l: Ax+By+C=0

设 S(x1, y0),R(x0, y2), 则

B

CAxy

0

2

A

CByx

0

1

得 :Ax1+By0+C=0

Ax0+By2+C=0

当 A=0 或 B=0 时仍适用

1. 当 P(x0 ,y0) 在直线 l: Ax+By+C=0上时 , d=0.2. 当 A=0或 B=0 时 ,公式也适用 . 但可以直接求距离 .

结论 点 P (x0 , y0) 到直线 l: Ax+By+C=0 的距离为 :

22

00

BA

|CByAx|d

另有分析 4 ，有兴趣的可课后探索（见后）

例 1.求点 P ( -1, 2 ) 到下列直线的距离 :

⑴ 2 x + y –10 =0 3 ⑵ x =2

解 : ⑴

525

10

12

|10-21(-1)222

|d

3

5|(-1)

3

2|d ⑵ 因为直线 3x=2平行于 y轴 ,

所以

练习 2 A(-2,3)到直线 3x+4y+3=0 的距离为 _____.

B(-3,5)到直线 2y+8=0 的距离为 ______.9

5

9132 0

练习 1 求原点到下列直线的距离：

(1) 3x+2y-26=0 (2) y=x

例 2. 求平行线 2x -7y +8=0 和 2x -7y -6=0 的距离 .

解 : 在直线 2x -7y -6=0 上取 P( 3, 0), 则 P( 3, 0)到

直线 2x -7y +8 =0 的距离就是两平行线间的距离 .

53

5314

53

14

(-7)2

8073222

||d

猜想猜想 两条平行线 A x+By+C1=0 和 Ax+By+C2=0 的距离公式是什么 ?

22

21

BA

|CC|d

例 4. 边长为 4 的正方形中心为 Q (1,-1), 一边的斜率为 ,求正方形各边所在直线的方程 .

3

例 3. 在抛物线 y=4x2 上求 一点 P, 使 P到直线 l: y=4x-

5 的距离最短 , 并求出这个最短距离 .

解 :依题意设 P(x,4x2), 则 P到直线 l: 4x- y-5=0 的距离为

17

4)1(2

17

544

14

54)1(4 200

20

22

200

-x|xx||xx|d

17

174.1)

2

1(P

2

10 有最小值时点坐标为即当 d,x

作业： P54 / 13、 14、 15、16.

)( 00 B

CAx,x

R |

B

CByAx|||

00PR

-5 5

10

5

-5

Q

¦Á

PS

R

¦È

-5 5

10

5

-5

Q

¦Á

P S

R

¦È

2221

1

BA

|B|

tancos

.BA

|CByAx|BA

|B|

|B|

|CByAx|

cos|PR||PQ|

22

00

22

00

tan2α= tan2θ= 2

2

B

A(α<90°)

如图 Rt PR△ 中 , |PQ|=|PR|cosα[ 分析4]α= θ 或 α= 180°－ θ (θ 是倾斜角 )

课后探索

教师提供知识背景，创设问题情境，让学生从不同的角度分析比较 , 寻求计算点到直线距离的方法 , 从按常规思路“求交点算距离”、到观察动画从变化的角度构造函数求“极值”，再挖掘几何条件“形数结合”，在直角三角形中求解。通过特殊到一般的运算 , 由具体到抽象，探索得到点到直线的距离公式 。教师参与讨论并适时点拨，师生互动，学生在获取知识的同时，得到一次有益的思维训练，有利于能力的提高。

解斜三角形中，用向量方法推导正弦定理的思考从三角形中最基本的向量关系式入手：

案例 5 向量方法推导正弦定理

变化 1

变化 2

变化 3

D

B

A C

参数方程的意义

普通高中课程标准实验教科书 选修 4-4

（新课导入片断）

案例 6 参数方程的意义

坐标系的思想是 17世纪著名哲学家、数学家笛卡儿在以前的一些朴素的的思想和零星的问题中比较系统地提出来的．笛卡儿的工作标志着数学的发展进入了一个新的时代，为牛顿—莱布尼兹创立微积分和近代数学的发展奠定了基础．实际上，坐标系不仅仅是解析几何的基础，也是研究其他几何问题、函数问题、方程问题等等的基础．坐标系的思想是现代数学最重要的基本思想之一，它是联系几何与代数的桥梁，充分地反映了数形结合的思想，它可以给出几何问题的代数表示，也可以给出代数问题的几何背景．

T ：现在我们这样建立平面直角坐标系，每一个同学对应着第一象限的一个格点，第一排同学的纵坐标是 1, 第一列同学的横坐标是 1 ，相邻两个同学的间距是 1 个单位．下面，我就按坐标来提问．首先请 (1,2) 同学回答你对应的点到原点的距离是多少 ?

S(1,2): 5

T: 请 (3,3) 同学计算经过你和第一位同学对应的点的直线斜率 .

S(3,3): 2

1k斜率

T: (5,4) 同学 , 你对应的点在刚才两点所确定的直线上吗 ? 为什么 ?

S(5,4): 在 ! 因为刚才两点确定的直线 l:

即 x -2y +3=0 经过点 (5,4).

)1 (2

12 xy

T: 完全正确 ! 下面大家猜猜我该提问谁了 ?

( 学生先茫然，后议论纷纷 )

T: 回想一下 , 我第 1 次喊的是 (1,2), 第 2 次喊的是(3,3), 第 3 次喊的是 (5,4), 那么第 4 次该论到谁呢 ?

如果猜出来了 , 大家都向她瞧 !

( 逐渐地 ,有人把目光投向 (7,5) 同学 , 接着她自己站起来了 ). T: 为什么是你呢 ?

S(7,5): 因为点 (7,5) 在直线 x -2y +3 =0 上 .T: 该直线上不止一个整点，为什么轮到 (7,5) 呢 ?

S(6,1): 横坐标是连续的奇数 , 纵坐标是从 2开始的自然数 .T ：很好！再想一想，为什么第 4次轮到 (7,5)? 照此规律，我第 8次又该喊谁呢 ? 请考虑一下横坐标和纵坐标分别与我喊的序号有什么关系 ?

S(4,3) ：纵坐标是序号加 1, 横坐标是第“序号”个奇数 .

T: 能用数学语言来表示吗 ?

S(2,4) ：设序号为 n, 则 x=2n-1, y=n+1. 也就是说 x ，y 分别是 n 的函数 .

S(2,6) ：因为前几个同学对应的点的横、纵坐标分别是公差为 2 和 1 的等差数列 .

在刚才的讨论中 , 我们发现 x 与 y 的关系不明显 , 但它们都是变数 n 的函数 , 而变数 n

既沟通了 x 与 y 的联系 ,又刻画了动点的运动规律 , 功不可没 ! 我们还不难发现 , 当变数 n

在正整数集合中取值时 , 点 (x,y) 的轨迹是直线 x-2y +3 =0 上孤立的点列 ; 当 n 在实数集合中取值时 , 点 (x,y) 的轨迹是直线 x -2y +3

= 0 .

也就是说，直线 l : x -2y +3 = 0上任意 一

点的坐标都是某个变数 t 的函数 :

并且对于每一个实数 t, 由方程组 (1)

所确定的点M (x,y) 都在直线 l 上 .

(1)1

12

ty

tx

方程组 表示直线 .

我们把它叫做直线的参数方程 , t 叫做参变数 ,

简称为参数 . ( x -2y +3 = 0 叫做普通方程 )

)(1

12是变量　 　 t

ty

tx

结论

T：直线的参数方程，你还能写出别的曲线的参数方程吗？

单位圆上的点能用一个变量来表示吗？你能写出单位圆的参数方程吗？

x＝ cos

α

y＝ sin

α

你能写出单位圆的方程吗？

单位圆的参数方程

x2＋ y2＝1

抛

以 C (a, b) 为圆心， r 为半径的圆呢？例 1 求椭圆的参数方程例 2 求炮弹运行轨迹的参数方程． ( 略 )

参数的作用：沟通动点坐标的联系 , 刻画动点运动的规律 .

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线 C

上任意 一点 M 的坐标 x 和 y都可以表示为某个变量 t 的函数 ，反过来，对于 t 的每个允许的值，由方程组 (1) 所确定的点 M(x,

y)都在曲线 C上，那么，方程组 (1)叫做曲线 C

的参数方程，变量 t 是参变数，简称为参数．

x＝ f (t)y＝ g(t)

(1)

椭圆

画

x＝ t cosθy＝ t sinθ

(θ 是参数 )参数方程 与

x＝ t cosθy＝ t sinθ

(t 是参数 )表示的曲线一样吗？

思考

通过本节课的学习，你有什么收获或体会？

小结

讨论 参数方程一定可化为普通方程吗？

])71.4 ,71.4[( ,cos

sin

ttty

ttx试画出下面参数方程表示的曲线．

画曲线

参数方程是学生第一次接触的新概念 ,如何从学生原有的认知结构出发 ,创设情景 ,让学生参与概念的产生和发展过程 , 从中领悟参数的作用以及建立参数方程的可能性和必要性 ,就显得十分重要 . 本节课概念引入的设计贴近学生实际 , 从学生熟悉的知识出发 , 引导学生积极思维去探索未知问题的规律 ,认识概念的内涵 ,留下了较深刻的印象 , 取得较好的效果 .

世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所感觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼．例如 苏州市 2004年 4月 20日最高气温为 33.4℃，而此前的两天，4月 19日和 4月 18日最高气温分别为 24.4℃和 18.6℃，短短两天时间，气温“陡增” 14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！” 但是，如果我们将该市 2004年 3月 18日最高气温 3.5℃与 4月 18日最高气温 18.6℃进行比较，我们发现两者温差为 15.1℃，甚至超过了 14.8℃．而人们却不会发出上述感叹． 这是什么原因呢？ 原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”． ● 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？ ● 这样的数学模型有哪些应用？

只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动． ――恩格斯

案例 7 导数及其应用

20 30 34

2

10

20

30

A(1, 3.5)

B(32, 18.6)

0

C(34, 33.4)

T( )℃

t(天 )图 4-1-1

2 10

● 如何量化陡峭程度呢？

容易看出 B ， C之间的曲线较 A ， B之间的曲线更加“陡峭”．陡峭的程度反映了气温变化的快与慢．

1.1.1平均变化率

在本章引言的案例中， “气温陡增”的数学意义是什么呢？为了弄清这个问题，我们先来观察下面的气温曲线图（以 3月 18日作为第一天）．

例 1 婴儿从出生到第 12 个月的体重变化 ( 如图 ) ，试分别计算从出生到第 3 个月与第 6个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率．

甲

乙

图 4-1-3

例 2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙 ( 如图 ) ， t秒钟后容器甲中水的体积为 V (t)=5e0.1t(单位 cm3) ，计算第一个 10秒内 V 的平均变化率．

3. 5

8. 6

11

6 12 t(月 )

W(kg)

图 4-1-2

3

6. 5

例 3 已知函数 f (x) = x2 ，分别计算函数 f (x) 在区间 [1, 3], [1, 2], [1, 1.1], [1, 1.001] 上的平均变化率． 例 4 已知函数 f(x) = 2x + 1 ， g(x) = 2x ，分别计算在区间 [3 ， 1] ， [ 0 ， 5] 上函数 f (x) 及 g

(x) 的平均变化率．

思考 从例 4 的求解中，你能发现一次函数 y＝ kx

＋ b 在区间 [ m, n ] 上的平均变化率有什么特点吗？

1.1.2 瞬时变化率——导数● 如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势呢？

P 放大 再放大PP

如果将点 P 附近的曲线放大后进行观察．我们发现，曲线在点 P 附近看上去有点像是直线．

如果将点 P 附近的图形放大再放大，我们发现，曲线在点 P 附近的曲线看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，可以发现点 P 附近的曲线将接近（逼近）一条确定的直线 l ，该直线 l 是经过点 P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线．

1．曲线上一点处的切线

因此，在点 P 附近我们可以用这条直线 l 来代替曲线，也就是说：在点 P 附近，曲线可以看作直线，即在很小范围内以直代曲．

P放大 再放大P P

P放大 再放大P P

既然点 P 附近的曲线被看作直线 l ，从而可用直线 l

的斜率刻画曲线经过点 P 时上升或下降的“变化趋势”．

怎样找到经过曲线上一点 P处最逼近曲线的直线 l 呢？ 如图，设 Q 为曲线 C 上不同于 P 的一点，这时直线 PQ 称为曲线的割线．随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，割线 PQ 在点 P

附近越来越逼近曲线 C ，当点 Q 无限逼近点 P 时，直线 PQ 最终就成为经过点 P 处最逼近曲线的直线 l ，这条直线 l 也称为曲线在点 P 处的切线． 利用这种割线逼近切线的方法，我们来计算曲线上一点处切线的斜率．

例 1 已知 f(x) = x2 ，求 f (x) 在 x = 2处的切线斜率．

2 ．瞬时速度与瞬时加速度 在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比，称为平均速度．平均速度是物体运动快慢程度的量化，但它是针对某一时间段而言的．在变速运动中，每一时刻的速度都是不同的，那么如何精确刻画每一时刻的速度呢？

例 2 10米高台跳水，运动员从腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 t秒后运动员相对于水面的高度为

H(t) = 4.9t2 + 6.5t + 10 ，试确定 t = 2秒时运动员的速度为多少？

例 3 设一辆轿车在高速公路上作匀加速直线运动，假设 t秒时的速度为 v(t) = t2 + 3 ．求 t = t0秒时轿车的加速度．

3 ．导数 前面的实际问题都涉及了一个相同的数学模型——导数： 设函数 y = f (x) 在区间 (a, b)上有定义， x0(a,

b) ，当 x 无限趋近于 0 时，比值

则称 f (x) 在点 x = x0 处可导，并称该常数 A 为函数 f

(x) 在点 x = x0处的导数（ derivative ），记作 f '(x0) ．

，无限趋近于一个常数Ax

xfxxf

x

y

)()( 00

若 f (x) 对于区间 (a ， b) 内任一点都可导，则 f (x)

在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为的导函数，记作 f '(x) ．

.)()(

)(0

.))( ,( ))( ,(

. )(

)(

)(

.

)( ),()( . )('

)()(0),(

'

'

处的瞬时变化率在也称为函数导数

，故便无限趋近于时，割线的斜率无限趋近于当

两点的割线的斜率和它的几何意义即为经过的平均变化率到从为函数的改变量到自变量从的改变量到从函数

则称比值的改变量，到称为自变量从相应地，的改变量到从

为函数并称＝若记无限趋近于

时，无限趋近于当对于函数

xxfyxf

xfx

yx

xxfxxxfx

xxxxf

xxx

xxxxf

x

y

xxxxxxx

xfyyxfxxfyxfx

xfxxf

x

yxxfy

二 项 式 定 理

（课 堂 教 学 实 录）

案例 8 二项式定理

有 n 个口袋，每个口袋都同样装有一红一黑两个小球，现依次从这些口袋中各取出一个小球，共有_____ 种不同的取法；

“ 无黑” (全红 ) 的取法有 _____

种； “恰有 2 个黑球”的取法有 _____种；“恰有 r 个黑球” (r≤n) 的取法有 ____ 种；“全是黑球”的取法有 ______

种 .

0nC

rnC

nnC

2nC

nnn

rnnnn CCCCC 2210

( n 红 0

黑 )( n-1 红 1

黑 )( n-2 红 2

黑 )( n-r 红 r

黑 )( 0 红 n

黑 )

n2

“取球”的不同结果共有 _________个 .

n + 1

1nC “恰有 1 个黑球”的取法有 _____

种；

其中，

引入

展开式中 a n 的系数是 _______.

展开式中 a n-1b 的系数是 _______.

展开式中 a n-rbr 的系数是 _______.

展开式中 a n-2b2 的系数是 _______.

展开式中 b n 的系数是 _______.

0nC1nC2nCrnC

nnC

n+1(a+b)n = (a+b) (a+b) … (a+b) 展开式共有 ________项 .

n 个an , an-1 b , an-2 b2 , … , an-r b r , … , a b n-1 , b n

二项式 (a+b) 的正整数次幂 (a+b)n ( n N∈ * ) 的展开式称为 (a+b)n 的二项展开式 . 那么 , 二项展开式有什么规律吗？

展开式中 a b n-1 的系数是 _______.1n

nC

(a1+b1) (a2+b2) … (a n+ b n)展开式共有 ________项 .n2

432234 464 babbabaa

3223

3

33

))()(()(

babbaa

babababa

222 2))(()( bababababa 22

212

202 bCabCaC

333

223

213

303 bCabCbaCaC

444

334

2224

314

404 bCabCbaCbaCaC

n个

?)())(()( babababa n

))()()(()( 4 bababababa

展开式中 a n 的系数是 _______

展开式中 a n-1b 的系数是 _______

展开式中 a n-rbr 的系数是 _______

展开式中 a n-2b2 的系数是 _______

展开式中 b n 的系数是 _______

0nC1nC2nCrnC

(a+b)n = (a+b) (a+b) … (a+b) 展开式共有 ________项 .

n 个an , an-1 b , an-2 b2 , … , an-r b r , … , a b n-1 , b n

展开式中 a b n-1 的系数是 _______1n

nC

)N(

)(*11

222110

nbCabCbaC

baCbaCaCbann

nnn

nrrnr

n

nn

nn

nn

n

n+1

nnC

433

333

23

2223

13

313

03

403

333

223

213

303

)(

)()(

))((

bCabCC

baCCbaCCaC

bCabCbaCaCba

34 ))(()( bababa

444

334

2224

314

404 bCabCbaCbaCaC

333

223

213

303

3)( bCabCbaCaCba

联想什么？由 14

13

03 CCC

rrnrnr baCT

1

＊ 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 (a +b)n 的二项展开式 , 其中的系数 叫做二项式系数， 展开式中的 叫做二项式的 通项，用 表示，即通项公式 (r=0,1,2,…,n) 表示展 开式的第 r +1 项 .

rnC

rrnrn baC

1rT

一 . 二项式定理

注意 :(1) 公式中的 a 、 b 可以是单项式，也可以是多项式 .

(2) 公式中 a 、 b 的顺序不能颠倒 .

)N(

)(*11

222110

nbCabCbaC

baCbaCaCbann

nnn

nrrnr

n

nn

nn

nn

n

（称为二项式系数）依次为组合数 .,,,,,, 210 n

nrnnnn CCCCC

二 . 二项展开式的性质

(1)项数：

(3) 指数： a 的指数从 n 起依次减 1 直到 0 ， b

的指数从 0 起依次增 1 直到 n ，每项中 a 、 b 的指数和为 n .

展开式共有 n +1项 .

(2) 系数：

注意：展开式中某一项的系数和该项的二项式系数是不同的概念 .

)N(

)(*11

222110

nbCabCbaC

baCbaCaCbann

nnn

nrrnr

n

nn

nn

nn

n

)N(

)(*

222110

nbCbaC

baCbaCaCbann

nrrnr

n

nn

nn

nn

n

　 　 　 　

nx)1(

nba )(

如果用– b 替换公式中的 b , 则得到公式：

如果设 a =1 b =x , 则得到公式：

如果令 a =b =1 呢？

nnn

nrrnrn

r

nn

nn

nn

bCbaC

baCbaCaC

)1()1(

222110

nnn

rrnnnn xCxCxCxCC 2210

nnn

rnnnn CCCCC 2210

的展开式写出例 )1

1( .1 4

x

444

334

224

14

4 )1

()1

()1

()1

(1 )1

1( x

Cx

Cx

Cx

Cx

＝解：

432

14641

xxxx＝

. 4 )( .2 12 项的展开式的倒数第求例 ax

93

93312

991291219

220

)(

ax

axC

axCT

. 10

4 13 )( 12

项是它的第项项，所以倒数第的展开式共有解： ax

3333

33-636134

160)(8(20

)()2(

baba

baCTT

）

　

54322345

555

445

3235

2325

415

505

5

3280804010

)2()2()2(

)2(2)2(

babbababaa

bCbaCbaC

baCbaCaCba

　解：的展开式求练习 )2( . 1 5ba

.________ 4 , ____

4 _________, 4 )2( .3 6

项的系数是第二项式系数是项的第项是展开式的第练习 a-b -160a3b3

20 -160

C)(D (C)C C(B) C A)(

6 )1( .2 510

510

610

610

10

）（项的系数是的展开式的第练习 x D

.1

2 .3 122 的展开式中的常数项）求（例x

x

解：设展开式的第 r+1 项为常数项，则

rrrrrrr xC

xxCT 32412

12122

121 21

2 ）（）（

令 24 -3r=0, 解得 r=8 , 即第 9 项是常数项 .

7920248129 CT

.

)2

( .4 48

2

有，说明理由若有，写出该项；若没

的项，的展开式中有没有含例 xx

x

（课后选作题）

一 . 二项式定理

依次为组合数 (二项式系数 ).C,C,,C,C,C nn

rnnnn 210

二 . 二项展开式的性质（ 1 ）项数：

（ 3 ）指数：

注意 :(1) 公式中的 a 、 b 可以是单项式，也可以是多项式 . (2) 公式中 a 、 b 的顺序不能颠倒 .

a 的指数从 n 起依次减 1直到 0 ， b 的指数从 0 起依次增 1直到 n ，每项中 a 、 b 的指数和为 n .

展开式共有 n +1项 .

（ 2 ）系数：

)N(

)(*11

222110

nbCabCbaC

baCbaCaCbann

nnn

nrrnr

n

nn

nn

nn

n

项为展开式第 1 r

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式 . 叫做二项式系数 . r

nC

展开式中某一项的系数和二项式系数是不同的概念 .

210 1 )n,r(baCT rrnrnr ，，，

小结

)N(

)(*

222110

nbCbaC

baCbaCaCbann

nrrnr

n

nn

nn

nn

n

　 　 　 　

nba )(nn

nnrrnr

nr

nn

nn

nn

bCbaC

baCbaCaC

)1()1(

222110

nx)1( nnn

rrnnnn xCxCxCxCC 2210

作业： P111 / 3. 4 (1) (2)

rrrrrrrr xC

xxCT 38

82

881 2)1()

2(

8-3r=4 无整数解

83

16

8

2)2(

1)

2( x

xxx或

24-3r-16=4 无整数解

.

)2

( .4 48

2

有，说明理由若有，写出该项；若没

的项，的展开式中有没有含例 xx

x

rrrrrr xCxCT

x324

883

8

83

)2()2()('

)2(

展开式的通项为

解答

教师是课程实施的关键，是课改成败的关键

课堂教学是课程改革的主阵地

为什么要“改”？——教育理念的转变 改什么？——新课程“新”在何处？怎么改？——教学观念的转变

教师角色的转变——组织者、引导者、合作者教学要求的把握——教之道在于“度”教学过程的设计——“教”教材还是“用”教材教学手段的更新——多种媒体的合理使用

结束语

南京外国语学校 陈光立南京外国语学校 陈光立210008

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